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第1章 二次函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 秦都区校级一模）下列函数中，关于的二次函数是
A． B． C． D．
【解答】、当时，不是二次函数；
、是二次函数；
、不是二次函数；
、为一次函数．
故选．
2．（2023秋 西城区校级月考）把二次函数改写成顶点式为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】，
故选．
3．（2024春 登封市校级月考）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】
【解答】的顶点坐标为，的顶点坐标为，
将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线．
故选．
4．（2023秋 徐汇区期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】抛物线的对称轴为轴；
选项不符合题意；
抛物线的对称轴为轴；、
选项不符合题意；
抛物线，
该抛物线的对称轴为直线；
选项不符合题意；
抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，
选项符合题意．
故选．
5．（2024 眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】由题意得，，
即，
函数的最小值为．
故选．
6．（2024 管城区校级三模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】由题意可知，
二次函数的图象的对称轴为直线，开口方向向下，
则离着对称轴越远的点的纵坐标越小，
点离着对称轴最远，点离着对称轴最近，
所以．
故选．
7．（2024 龙华区校级模拟）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】一次函数的图象经过二、三、四象限，
，，
，
二次函数的图象开口方向向下，图象经过原点，对称轴在轴左侧，
故选．
8．（2024春 北碚区校级期中）已知抛物线，下列说法正确的是
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小
【答案】
【解答】由题意，抛物线为，
抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
故、、均不正确，正确．
故选．
9．（2024春 西山区校级期末）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的的取值范围是
A． B．或 C．或 D．
【答案】
【解答】由图可知，时，．
故选．
10．（2024 松山区三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解答】①由抛物线可知：，，，
，
，故①正确；
②由对称轴可知：，
，
时，，
，
，故②正确；
③关于的对称点为，
时，，故③正确；
④抛物线与轴有两个交点，
△，
即，
，故④正确；
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 丰顺县期末）若函数为关于的二次函数，则的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】函数为关于的二次函数，
且，
由，解得：，
由，解得：或，
综上所述：的值为2．
故答案为：2．
12．（2023秋 志丹县月考）已知抛物线，当时，随的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”
【答案】减小．
【解答】抛物线，，
抛物线开口向上，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小．
故答案为：减小．
13．（2024 凉州区三模）抛物线与轴交于两点，分别是，，，，则 2 ．
【解答】由韦达定理得：
，
故答案为2．
14．（2024 市南区二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ．
【答案】．
【解答】当销售单价为元时，每件学具的销售利润为元，每天可销售件，
根据题意得：，
即．
故答案为：．
15．（2024 罗庄区二模）如图，四边形是正方形，顶点在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与轴的负半轴的夹角为，则的值是 ．
【答案】．
【解答】如图，连接，
四边形是边长为的正方形，
，，
过点作轴于，
边与轴的负半轴的夹角为，
，
，
，
点的坐标为，
点在抛物线的图象上，
，
解得．
故答案为：．
16．（2024 鹿城区校级一模）已知，为轴上两点，，，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则、两点的最大距离为 8 ．
【答案】8．
【解答】当时，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，二次函数随增大而减小，
，
．
，
当时，，当时，，
，，
的最大值为，
恒成立，
．
，
，
，
的最大值为4，
、两点的最大距离为．
故答案为：8．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 昭平县期中）已知函数为常数），求当为何值时：
（1）是的一次函数？
（2）是的二次函数？并求出此时纵坐标为的点的坐标．
【解答】（1）由为常数），是的一次函数，得
，
解得，
当时，是的一次函数；
（2）为常数），是二次函数，得
，
解得，（不符合题意的要舍去），
当时，是的二次函数，
当时，，
解得，
故纵坐标为的点的坐标的坐标是，．
18．（2023秋 余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【解答】答案如图
．
19．（2023秋 潮南区期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）点的坐标为 ；
（2）当 时，随的增大而减小；
（3）不等式的解集为 ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】（1）由图象可知，、到直线的距离相等，
，
点坐标为：，
故答案为：；
（2）由图象可知，随的增大而减小的自变量的取值范围是：；
故答案为：；
（3）由图象可知，不等式的解集是：；
故答案为：．
20．（2023秋 官渡区校级期中）已知抛物线．
（1）当时，求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若已知点，，当抛物线与线段有且只有一个交点时，求的取值范围．
【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）当抛物线与线段有且只有一个交点时，的取值范围为或或．
【解答】（1）当时，函数关系式为，
该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）当抛物线过点时，则，
解得，
当抛物线过点时，则，
解得，
当抛物线顶点直线上时，令，则，
△，
解得，
当抛物线与线段有且只有一个交点时，的取值范围为或或．
21．（2023秋 富顺县校级期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．
（2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
【答案】（1）；
（2）水面宽度增加米
【解答】（1）设该抛物线的函数解析式为，
由已知可得，点的坐标为且点在该抛物线上，
，
解得：，
即该抛物线的函数解析式为；
（2）将代入，
得，
解得，
，
，
，
即水面宽度增加米．
22．（2023秋 荔湾区校级期中）已知抛物线交轴于，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】（1）将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
此抛物线的顶点坐标为：．
（2）设点的坐标为，
点与点关于轴对称，
点的坐标为：，
又点在抛物线上，
，
解得：，，
又点不与点重合，
，
点的坐标为：．
23．（2024春 都昌县期中）我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．
（1）判断抛物线与是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，请说明理由．
（2）抛物线与是“共点抛物线”，且“共点”在轴上，求抛物线的函数关系式．
（3）抛物线与是“共点抛物线”，求的值．
【答案】（1）是，；（2）；（3）的值为0或4．
【解答】（1）抛物线与是“共点抛物线”都经过坐标原点，
与是“共点抛物线”，共点”为．
（2）令
解得，，
当，，
不是共点；
当时，，解得
；
（3）若两个抛物线是“共点抛物线”，
则方程 有两个相等的实数根
即 有两个相等的实数根，
△
解得或
的值为0或4．
24．（2023秋 玉州区期中）【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量（克随时间（分钟）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景、相应的函数表达式；
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景的函数表达式为，场景的函数表达式为；
（2）化学试剂在场景下发挥作用的时间更长．
【解答】（1）场景：把，，代入，
得：，
解得，
；
场景：把，，代入，
得：，
解得，
；
场景的函数表达式为，场景的函数表达式为；
（2）当时，
场景中，，
解得：，（舍去），
场景中，，
解得，
，
化学试剂在场景下发挥作用的时间更长．
25．（2024春 威远县校级期中）已知：二次函数的顶点在直线上，并且图象经过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为，的面积为．
①求的面积的最大值；
②在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）①；
②或．
【解答】（1）设抛物线顶点坐标为，则抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
抛物线解析式为；
（2）①由（1）得点坐标为
在中，当时，
解得或，
，
设直线解析式为，
，
，
直线解析式为，
，点的坐标为，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
②在中，当时，，
；
，点的坐标为，
，
，，，
当时，则，
，
解得或（舍去），
点的坐标为；
当时，则，
，，
解得或（舍去），
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 二次函数 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024 秦都区校级一模）下列函数中，关于的二次函数是
A． B． C． D．
2．（2023秋 西城区校级月考）把二次函数改写成顶点式为
A． B． C． D．
3．（2024春 登封市校级月考）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4．（2023秋 徐汇区期末）下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是
A． B． C． D．
5．（2024 眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为
A． B． C． D．
6．（2024 管城区校级三模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
7．（2024 龙华区校级模拟）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是
A． B．
C． D．
8．（2024春 北碚区校级期中）已知抛物线，下列说法正确的是
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小
9．（2024春 西山区校级期末）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的的取值范围是
A． B．或 C．或 D．
10．（2024 松山区三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（2023秋 丰顺县期末）若函数为关于的二次函数，则的值为 ．
12．（2023秋 志丹县月考）已知抛物线，当时，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”
13．（2024 凉州区三模）抛物线与轴交于两点，分别是，，，，则 ．
14．（2024 市南区二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ．
15．（2024 罗庄区二模）如图，四边形是正方形，顶点在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与轴的负半轴的夹角为，则的值是 ．
16．（2024 鹿城区校级一模）已知，为轴上两点，，，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则、两点的最大距离为 ．
三．解答题（共9小题）
17．（2023秋 昭平县期中）已知函数为常数），求当为何值时：
（1）是的一次函数？
（2）是的二次函数？并求出此时纵坐标为的点的坐标．
18．（2023秋 余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数的图象．
19．（2023秋 潮南区期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）点的坐标为 ；
（2）当 时，随的增大而减小；
（3）不等式的解集为 ．
20．（2023秋 官渡区校级期中）已知抛物线．
（1）当时，求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若已知点，，当抛物线与线段有且只有一个交点时，求的取值范围．
21．（2023秋 富顺县校级期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）如图2，求该抛物线的函数解析式．
（2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
22．（2023秋 荔湾区校级期中）已知抛物线交轴于，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标．
23．（2024春 都昌县期中）我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．
（1）判断抛物线与是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，请说明理由．
（2）抛物线与是“共点抛物线”，且“共点”在轴上，求抛物线的函数关系式．
（3）抛物线与是“共点抛物线”，求的值．
24．（2023秋 玉州区期中）【综合与实践】
【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量（克随时间（分钟）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
任务一：求出函数表达式
（1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景、相应的函数表达式；
任务二：探究该化学试剂的挥发情况
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
25．（2024春 威远县校级期中）已知：二次函数的顶点在直线上，并且图象经过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为，的面积为．
①求的面积的最大值；
②在上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
