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专题1.1 从自然数到有理数
1. 通过生活实例认识正数和负数及0的特殊性；
2. 会用正负数表示相反意义的量；会用正负数表示允许偏差及相关运算；
3. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类；
4. 本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.正数、负数、零的概念辨析 3
考点2.正数、负数的分类 4
考点3.正负数表示相反意义的量 5
考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 6
考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 7
考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算 8
考点7.有理数的相关概念辨析 10
考点8.有理数的分类 11
考点9.有理数中的新定义集合 13
模块3：能力培优 15
1.正数与负数
1）正数：像8848，36，，，1.31等，这样大于的数叫做正数。正数都大于。
2）负数：像-500，-60，-，-0.5等，这样的数叫做负数。负数都小于。
3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“”号不可省略．
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。
2.用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。
3.“0”的特殊性
1）既不是正数，也不是负数；2）是正数与负数的分界；3）是自然数；
4）的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度。
4.常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；
5.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数。
3）有理数：整数和分数统称为有理数。
4）有理数的分类：
（1）（2）
考点1.正数、负数、零的概念辨析
【解题方法】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。
例1.（2023·武汉市七年级期中）下列结论正确的是（ ）
A．0既是.正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数
【答案】D
【分析】根据0的概念逐项判断即可得．
【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误；B、不是正数，则此项错误；
C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误；
D、既不是正数也不是负数，则此项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了0的概念，掌握理解0的概念是解题关键．
例2．（2023·重庆·七年级统考期中）下列语句中错误的有（ ）个
①不带“-”号的数都是正数；②如果a是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答
【详解】解：①正数是大于0的数，与带不带“ ”无关，例如：0不带“ ”，但不是正数，也不是负数，故①错误；②a是正数， a表示a的相反数，一定是负数，故②正确；
③0既不是正数，也不是负数，故③错误；④0℃就是表示温度是0，不是没有温度，故④错误．故选C．
【点睛】本题考查正数与负数定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数成为解答本题的关键．
变式1．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）中国人最早使用负数，在中国古代一部数学著作中首次正式引入负数及其加减法运算法则，这部数学著作是（ ）
A．《算法统宗》 B．《算学启蒙》 C．《九章算术》 D．《测圆海镜》
【答案】C
【分析】本题考查学生的数学素养，数学试题不仅要考查数学核心内容与基本功，更要关注学生素养的培养与发展，促成学生情感体验． 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，《方程》章在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则．
【详解】解：在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则是中国古代一部著名数学著作《九章算术》中的“《方程》”一章．故选：C
变式2．（2024·河南开封·二模）北京冬季里某一天的气温为，的含义是 .
【答案】零下
【分析】本题考查了负数的定义，根据温度的定义，联系生活，想想我们看过的天气预报，从而想到含义．
【详解】解：含义是零下．故答案为：零下．
变式3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数 B．一个数不是正数就是负数 C．0是负数 D．在正数前面加“”号，就成了负数
【答案】D
【分析】本题主要考查了正负数．根据正负数的定义，对各个选项中的说法进行判断即可．
【详解】解：A、可以表示正数、负数和0，可以是负数、正数和0，故此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
B、一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
C、既不是正数也不是负数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
D、在正数的前面加“”号，就成了负数，此选项的说法正确，故此选项符合题意；故选：D．
考点2.正数、负数的分类
【解题方法】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
例1．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）下列各数是负数的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了负数的意义．根据负数的意义即可判断．
【详解】A．0既不是正数也不是负数，故本选项错误；B．是负数，故本选项正确；
C．是正数，故本选项错误；D．是正数，故本选项错误．故选：B．
变式1．（23-24七年级上·新疆·期末）在，π，0，11，，3这六个数中，正数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了正数的识别，熟知正数是大于0的数是解题的关键．
【详解】解：在，π，0，11，，3这六个数中，正数有π，11，3，共3个，故选；C．
变式2．（2024·江苏常州·一模）下列实数中，负数是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】B
【分析】本题主要考查实数的基本概念，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键．
根据负数的概念得出结论即可．
【详解】解：A、是正数，故本选项不符合题意；
B、是负数，故本选项符合题意；C、是正数，故本选项不符合题意；
D、2024是正数，故本选项不符合题意．故选：B．
考点3.正负数表示相反意义的量
【解题方法】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）如果节约用电千瓦时记作千瓦时，那么浪费用电千瓦时可以记作（ ）
A．千瓦时 B．千瓦时 C．千瓦时 D．千瓦时
【答案】C
【分析】本题考查了负数的认识，用正负数表示一对相反意义的量，如果收入用正数表示，支出就用负数表示．根据正负数的意义即可求解．
【详解】解：节约用电千瓦时记作千瓦时，那么浪费用电千瓦时可以记作千瓦时，故选：C．
变式1．（2024·湖北荆门·模拟预测）随着智能手机的发展和普及，移动支付越来越盛行，很多人不再随身携带现金，扫二维码等移动支付手段成了许多人首选的支付方式．小明在妈妈微信零钱明细中看到收入180元被记作元，则元表示（ ）
A．收入40元 B．支出40元 C．收入140元 D．支出140元
【答案】B
【分析】本题考查了正负数，熟练掌握负数的意义是解题关键．根据正负数的意义即可得．
【详解】解：∵180元被记作元，则元表示支出40元．故选：B．
变式2．（23-24七年级上·山东德州·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果向东走10步记作步，那么向西走9步记作（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
【答案】B
【分析】本题考查了相反意义的量，正确理解定义是解题的关键．根据相反意义的量的意义解答即可．
【详解】解：向东走10步记作步，那么向西走9步记作步，故选B．
变式3．（2024·福建龙岩·一模）钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作 ．
【答案】
【分析】
此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答．
【详解】解：钟表的指针逆时针方向转记作，则顺时针方向转记作，故答案为：．
考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算
【解题方法】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。
例1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：
城市 悉尼 纽约
时差/时
当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（ ）
A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时
C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时
【答案】A
【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握题意是解题的关键．由统计表得出，悉尼比北京早小时，纽约比北京晚小时，计算即可．
【详解】解：悉尼的时间：10月9日23时小时10月10日1时；
纽约的时间：10月9日23时小时10月9日10时．故选A．
变式1．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2022年12月16日气象预报截图，预报显示当天最高气温5℃，最低气温℃，这一天我市的温差是______℃．
【答案】6
【分析】直接根据正负数的意义计算即可．
【详解】∵当天最高气温5℃，最低气温℃，
∴这一天我市的温差是（℃），故答案为:6．
【点睛】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（ ）
城市 东京 北京 多伦多 纽约
国际标准时间
A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约
【答案】A
【分析】本题考查有理数的加减计算方法，以及正负数的意义，根据正负数的意义即可解决，搞清正负数的意义是解题的关键．
【详解】根据正负数的意义，“”表示当地时间比格林尼治时间早，“”表示当地时间比格林尼治时间晚，，这四个城市中最先进入2024年的城市是东京，故选：A．
考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差
【解题方法】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。
例1．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期末）图纸上一个零件的标注为，这里的表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是，现有另一零件的标注为，这个标注中零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为：，，，，，，，则该零件的标准尺寸不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正负数的意义，根据题意得出最大为，最小尺寸为，
【详解】给出的七个合格产品尺寸最大为，最小尺寸为，所以标准尺寸在和之间．故选：D．
变式1．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）某零食包装袋上标有如下文字：净含量以下容量中不符合标注的是（ ）
A．220g B．209g C．210g D．217g
【答案】B
【分析】本题考查了正数和负数，根据标注的容量可知符合标注的容量为，分析判断即可．
【详解】∵零食包装袋上标注的容量为
∴符合标注的容量为：．
∴容量中不符合标注的是209．故选：B．
变式2．（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ．
【答案】25（答案不唯一）．
【分析】
本题考查了正负数的意义，根据给出的范围写出符合题的温度即可．
【详解】因为某种食品的说明书上标明保存温度是，
所以适合该食品保存的温度可以是，故答案为：25（答案不唯一）．
考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算
【解题方法】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。
例1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（ ）
A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁
【答案】C
【分析】本题考查了正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．根据题意即可求解．
【详解】解：由题意得：王横25岁，记为岁，故选：C．
例2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）武汉市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 4
袋数 1 4 3 4 5 3
若标准质量为400克，则抽样检测的20袋食品的平均质量为（ ）
A．417 B．399.15 C．400.85 D．401
【答案】C
【分析】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法法则是解题关键．求出所有记录的和的平均数，然后根据正负数的意义解答．
【详解】解：
（克），
则抽样检测的20袋食品的平均质量为：（克），故选：C
变式1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（ ）
A．83分 B．85分 C．91分 D．92分
【答案】B
【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，用，即可求解．
【详解】解：依题意，小乐得了分，故选：B．
变式2．（2023·浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：
班级 1班 2班 3班 4班
实际购书量（本） a 32 c 22
实际购书量与计划购书量的差值（本） b
(1)直接写出___， ___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整；（2）把每班实际数量相加即可；（3）根据已知求出总费用即可．
【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本，∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本，
故答案依次为：，．
（2）4个班一共购入数量为：本，故答案为：
（3）∵，∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买，
∴最低总花费为：元．
【点睛】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；正确理解正负数的意义是解题的关键．
考点7.有理数的相关概念辨析
【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．
例1．（2023·重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据有理数定义及其分类解答即可．
【详解】没有最小的整数，故①错误；有理数包括正数、0、负数，故②错误；
非负数就是正数和0，故③正确；整数和分数统称有理数，故④正确；故选：C
【点睛】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键．
变式1．（23-24七年级上·山东·期末）下列说法正确的是（ ）
A．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 B．正整数和负整数统称整数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．不是有理数
【答案】C
【分析】本题主要考查的是有理数的概念和分类，依据有理数的概念和分类进行求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】、正整数、负整数、正分数、负分数和统称为有理数，故本选项错误，不符合题意；
、正整数和负整数和统称为整数，故本选项错误，不符合题意；
、一个有理数不是整数就是分数，故本选项正确，符合题意；
、是有理数，故本选项错误，不符合题意；故选：．
变式2．（23-24七年级上·广西·期中）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数
【答案】D
【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可．
【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意；
B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意；
C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意；
D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意；故选：D．
考点8.有理数的分类
【解题技巧】
正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；
正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；
整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数；
有理数：整数和分数统称为有理数。
例1．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下面的有理数填在相应的大括号里：
，，，，，． （友情提示：将各数用逗号分开）
正数集合______…；负数集合______…；非负整数集合______…．
【答案】， ；，， ；
【分析】根据正数和负数以及非负整数的定义，即可求解，
本题考查了正数，负数以及有理数，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】解：，，，，，，
正数集合，；
负数集合，， ；
非负整数集合，
故答案为：， ；，， ； ．
例2．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
【答案】(1)见详解； (2) 正整数，负整数；
【分析】本题考查有理数的分类，根据几个定义直接逐个判断即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
（2）解：由（1）可得，A是正整数集，B为负整数集， 故答案为：正整数，负整数．
变式1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在0，，，，中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，其中分数可以化为有限小数或无限循环小数，据此即可求解．
【详解】解：在0，，，，中，有理数有0，，三个．故选：C
变式2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、是负有理数，故A不符合题意；
B、是整数，故B符合题意；C、是正有理数，故C不符合题意；
D、是负分数，故D不符合题意；故选：B．
3．（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里：
，，，，，，，，，．
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
【答案】，，，；，，；，，．
【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用．
【详解】
整数集合：{，，，，…}；
正分数集合：{，，，…}；
负分数集合：{，，，…}；
故答案为：，，，；，，；，，．
考点9.有理数中的新定义集合
【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。
常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。
例1．（2023·贵州遵义·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．
(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 有理数（填“是”或“不是”）；
(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；
(3)在中，属于非负有理数的是 ．
【答案】(1)是(2)(3)，0，，16.2
【分析】（1）根据有理数的概念求解即可；（2）根据题目中给出的运算方法；
（3）根据有理数的概念求解即可．
【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是；
（2）设，则，即，故，即，解得，即；
（3）在中，属于非负有理数的是，0，，，
故答案为：，0，，．
【点睛】此题考查有理数的概念，无限循环小数转化为分数等知识，解题的关键是熟练掌握有理数的概念．
变式1.（2023 江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．
【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可．
（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合．
【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合．
∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合．
（2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，
∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合．
（3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件．
【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广东·七年级统考期中）下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“”号的数才是正数；（4）既不是正数也不是负数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据正数和负数的定义进行判断即可．
【详解】（1）正数前加上一个负号就是负数，说法正确；
（2）不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数；
（3）只有带“”号的数才是正数，说法错误，如+（-2）是负数；
（4）既不是正数也不是负数，说法正确．
综合上述可得：说法正确有（1）、（4），共计2个．故选：B．
【点睛】考查了正数与负数：像0.1、1、2、3…这样的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，既不是正数也不是负数．
2．（2023·四川成都·模拟预测）下列各数中，是负数的是（ ）
A．5 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据小于零的数是负数，可得答案；本题考查了正数和负数，掌握负数的定义是解题的关键．
【详解】根据小于零的数是负数，可得为负数，5，均为正数 0既不是正数也不是负数 故选：D．
3．（2023·江苏·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可．
【详解】解：整数分为正整数，0和负整数，
∴一个整数不是正数就是负数错误，故（1）不符合题意；
没有最小的整数，故（2）不符合题意；负数中没有最大的数，故（3）符合题意；
自然数包括0，∴自然数一定是正整数错误，故（4）不符合题意；
有理数包括正有理数，零和负有理数，故（5）符合题意，
整数包括正整数，0和负整数，故（6）不符合题意；
零食整数但不是正数，故（7）符合题意；整数和分数统称为有理数，故（8）不符合题意；
非负有理数是指正有理数和0，故（9）符合题意，
综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个，故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的概念和分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
4．（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据整数的定义解答即可；掌握整数包括正整数，0和负整数是解题的关键．
【详解】解：整数有，，，共3个．故选：B．
5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．如图，以下检测结果中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正负数意义．熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
由，可知最接近标准质量，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴最接近标准质量，故选：D．
6．（23-24七年级上·浙江台州·期末）某品牌水笔笔管直径的合格范围是（单位：），下列笔管直径不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，解题的关键是找出合格零件的直径范围为．
【详解】解：∵水笔笔管直径的合格范围是，
∴水笔笔管直径的合格范围，
∴不符合要求的是，故选D．
7．（2024·七年级课时练习）我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”．下列算筹表示负数的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【详解】解：在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”，
算筹表示负数的是选项“” ．故选：B．
【点睛】此题考查了正数与负数，熟练掌握负数的意义，以及题目中表示负数的符号是解本题的关键．
8．（2024·河北廊坊·二模）某运动项目比赛规定，胜一场记作“”分，平局记作“0分”，如果某队在一场比赛中得分记作“”分，则该队在这场比赛中（ ）
A．与对手打成平局 B．输给对手 C．赢得对手 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据正负数的概念即可得出答案．本题考查了正数和负数的概念，解题的关键是理解正数和负数的意义．
【详解】解：由题意可知：胜一场记作“”分，平局记作“0”分，
∴某队得到“”分，则球队比赛输给了对手．
故选：B．
9．（23-24七年级上·广东广州·期中）下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数分为整数和分数，又分为正有理数，负有理数和0，据此求解即可．
【详解】解：在，，，0，，，中，有理数有，，，0，，共5个．故选：B．
10．（2023·江苏无锡·七年级校联考期中）日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例如：一只杯子的杯口“朝上”可记作“”，杯口“朝下”可记作“”．现在桌子上有11只杯口朝上的茶杯，如果每次翻转3只，能否经过若干次翻转使这11只杯子的杯口全部朝下？若能，至少经过多少次翻转能使这11只茶杯的杯口全部朝下？运用数学知识解决实际问题，你的答案是（ ）
A．不能 B．能，4 C．能，5 D．能，6
【答案】C
【分析】通过翻转尝试可以得到答案．
【详解】解：用“”表示杯口朝上，用“”表示杯口朝下，
第一次翻转：，第二次翻转：，第三次翻转：，
第四次翻转：，第五次翻转：，故选：C．
【点睛】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·江苏七年级期中）举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如__________．
【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）
【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可．
【解析】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．
故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
12．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）绵阳冬季某日的最高气温是3℃，最低气温为-1℃，那么当天的温差是__________℃．
【答案】4
【分析】求该日的温差就是作减法，用最高气温减去最低气温，列式计算．
【详解】解：3-（-1）=4（℃）
答：当天的温差是4℃．故答案为4．
【点睛】本题主要考查了有理数的减法的应用，注意符号不要搞错．
13．（23-24七年级上·江西南昌·期中）世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔记为“米”，表示高出海平面米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”，则“米”表示的意义为 ．
【答案】低于海平面15250米
【分析】本题考查了正负数所表示的意义，根据正负数表示具有相反意义的两种量：“”表示高出海平面，则“”即为低于海平面，即可得出答案．
【详解】解：“米”，表示高出海平面4410米，
则“米”，表示低于海平面米；
故答案为：低于海平面15250米．
14．（23-24七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为，若表示水面高于标准水位，则水面低于标准水位，可记为 m．
【答案】
【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：若表示水面高于标准水位，则水面低于标准水位，可记为．
故答案为：．
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内．
，，，0，，13，，，，，
(1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）．
【答案】(1)，，；(2)0，13，，；(3)，，0，13，，．
【分析】（1）根据正分数的定义：比0大的分数叫正分数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写，据此逐一进行判断即可得到答案；（2）根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，据此逐一进行判断即可得到答案；（3）根据非负数的定义：正数和零总称为非负数，据此逐一进行判断即可得到答案
【详解】（1）解：根据正分数的定义，正分数有：，，，故答案为：，，；
（2）解：根据整数的定义，整数有：0，13，，，故答案为：0，13，，；
（3）据非负数的定义，非负数有：，，0，13，，，故答案为：，，0，13，，．
【点睛】本题考查了有理数的分类，解题关键是理解正分数，整数，非负数的定义，并正确区别．
16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间晚的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间早的时数），如北京时间的上午10时，东京时间的10时已过去了1小时，现在已是（时）．
城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥
时差/时
如果现在是北京时间10月8日10：00时，那么现在的纽约时间是 ．
【答案】10月7日
【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案．
【详解】解：现在是北京时间10月8日时，且纽约与北京的时差是时，
则现在的纽约时间是10月7日，
故答案为：10月7日．
【点睛】本题考查正数和负数及有理数加法的实际应用，熟练掌握并理解正数和负数的实际意义是解题的关键．
17．（23-24七年级上·广东广州·期末）一袋大米的包装袋上标示的重量是，由此可知符合标准的一袋大米重量应最小不能低于 ．
【答案】
【分析】本题考查了正负数，正确理解“”的含义是解题关键。根据正负数概念求解即可。
【详解】解：的含义是比多或比少，
符合标准的一袋大米重量应最小不能低于 故答案为：29.8．
18．（2023·山东七年级课时练习）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为______．（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为______．
【答案】 3 5
【分析】（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，根据翻转要求逐步罗列即可得；
（2）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，根据翻转要求逐步罗列即可得．
【详解】（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，
刚开始时：正、正、正、正、正，
第一次翻转结束后：负、负、负、正、正，
第二次翻转结束后：负、正、正、负、正，
第三次翻转结束后：负、负、负、负、负，则m的最小值为3；
（2）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，
刚开始时：正、正、正、正、正、正、正、正、正、正、正，
第一次翻转结束后：负、负、负、正、正、正、正、正、正、正、正，
第二次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、正、正、正、正、正，
第三次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、负、负、正、正，
第四次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、正、正、负、正，
第五次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、负、负、负、负，
则n的最小值为5；故答案为：3，5．
【点睛】本题考查了相反意义的量，正确罗列翻转后杯口的变化情况是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？
【答案】上周星期一至星期五该班一共借书册；
【分析】本题考查正负数意义的应用，用乘以天数加上各天的正负数即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，
答：上周星期一至星期五该班一共借书册．
20．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km）
(1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？
(2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？
【答案】(1)小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米
(2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省110.1元
【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算，
（1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可；
（2）利用（1）中的总路程计算总费用即可．
【详解】（1）解：（千米），
答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米．
（2）解：（元），
（元），
（元），
答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元．
21．（2023·广东·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的圈子内：，，，，0，
【答案】见解析
【分析】根据有理数的分类逐项分析即可求解．
【详解】解：如图所示，
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．
22．（2023·四川·七年级校考阶段练习）把，0.3，，9，分成两类，使两类的数具有不同的特征，写出你的分法．
【答案】分成整数与分数或正数与负数都可以
【分析】根据有理数的分类求解即可．
【详解】分成整数和分数，即整数：，9；分数：0.3，，；
分成正数与负数，即正数：0.3，，9；负数：，．
【点睛】此题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类．
23．（2024 广东七年级期中）如图是李阿姨10月23日至10月25日微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款．
（1）图中“﹣42.00”和“+200”分别表示什么意思？
（2）上图中阴影部分是李阿姨已删除的一条明细，李阿姨只能记得这条明细是10月24日扫二维码付款37元，忘记了当时的余额，请你帮助李阿姨计算出付款37元后的余额为多少？
【分析】（1）根据“正数表示收款，负数表示付款”解答即可；（2）根据题意列式计算即可求解．
【解答】解：（1）图中“﹣42.00”表示付款42元；“+200”表示收款200元；
（2）239.18﹣37＝202.18（元）．答：付款37元后的余额为202.18元．
【点睛】此题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
24.（2023 山西七年级月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．
例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．
（1）集合{﹣4，8} （填“是”或“不是”）对偶集合．
（2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由.
【分析】（1）依据一个集合满足：如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+2也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合，即可得到结论；
（2）根据在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，即可得到结论；
【解答】解：（1）因为﹣4+12＝8，所以集合{﹣4，8}是对偶集合，故答案为：是；
（2）不是；理由如下：
因为，所以是对偶集合，
又因为，所以不是完美对偶集合；
【点评】本题主要考查了有理数，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算．
25．（2022·山西太原·七年级校考期末）阅读与探究：我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________．
【答案】(1)是(2)(3)是，过程见解析(4)(5)，0，，16.2
【详解】解：（1）是
（2） 设，由，得．
可知，，即，解得：，
（3）设，由， 可得：，
等式两边同乘以100，可得， 即：，
化简，得： 解方程，得：．
（4） 由（1）知： 所以．
（5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2，
故答案为：，0，，16.2．
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专题1.1 从自然数到有理数
1. 通过生活实例认识正数和负数及0的特殊性；
2.会用正负数表示相反意义的量；会用正负数表示允许偏差及相关运算；
3. 知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类；
4.本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.正数、负数、零的概念辨析 3
考点2.正数、负数的分类 4
考点3.正负数表示相反意义的量 5
考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 6
考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 7
考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算 8
考点7.有理数的相关概念辨析 10
考点8.有理数的分类 11
考点9.有理数中的新定义集合 13
模块3：能力培优 15
1.正数与负数
1）正数：像8848，36，，，1.31等，这样大于的数叫做正数。正数都大于。
2）负数：像-500，-60，-，-0.5等，这样的数叫做负数。负数都小于。
3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“”号不可省略．
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。
2.用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。
3.“0”的特殊性
1）既不是正数，也不是负数；2）是正数与负数的分界；3）是自然数；
4）的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度。
4.常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；
5.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数。
3）有理数：整数和分数统称为有理数。
4）有理数的分类：
（1）（2）
考点1.正数、负数、零的概念辨析
【解题方法】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。
例1.（2023·武汉市七年级期中）下列结论正确的是（ ）
A．0既是.正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数
例2．（2023·重庆·七年级统考期中）下列语句中错误的有（ ）个
①不带“-”号的数都是正数；②如果a是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）中国人最早使用负数，在中国古代一部数学著作中首次正式引入负数及其加减法运算法则，这部数学著作是（ ）
A．《算法统宗》 B．《算学启蒙》 C．《九章算术》 D．《测圆海镜》
变式2．（2024·河南开封·二模）北京冬季里某一天的气温为，的含义是 .
变式3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数 B．一个数不是正数就是负数 C．0是负数 D．在正数前面加“”号，就成了负数
考点2.正数、负数的分类
【解题方法】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
例1．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）下列各数是负数的是（ ）
A．0 B． C． D．
变式1．（23-24七年级上·新疆·期末）在，π，0，11，，3这六个数中，正数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2024·江苏常州·一模）下列实数中，负数是（ ）
A． B． C． D．2024
考点3.正负数表示相反意义的量
【解题方法】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。
例1．（2024·广东深圳·模拟预测）如果节约用电千瓦时记作千瓦时，那么浪费用电千瓦时可以记作（ ）
A．千瓦时 B．千瓦时 C．千瓦时 D．千瓦时
变式1．（2024·湖北荆门·模拟预测）随着智能手机的发展和普及，移动支付越来越盛行，很多人不再随身携带现金，扫二维码等移动支付手段成了许多人首选的支付方式．小明在妈妈微信零钱明细中看到收入180元被记作元，则元表示（ ）
A．收入40元 B．支出40元 C．收入140元 D．支出140元
变式2．（23-24七年级上·山东德州·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果向东走10步记作步，那么向西走9步记作（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
变式3．（2024·福建龙岩·一模）钟表是指针逆时针方向转记作，顺时针方向转记作 ．
考点4.正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算
【解题方法】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。
例1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：
城市 悉尼 纽约
时差/时
当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（ ）
A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时
C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时
变式1．（2023秋·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2022年12月16日气象预报截图，预报显示当天最高气温5℃，最低气温℃，这一天我市的温差是______℃．
变式2．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（ ）
城市 东京 北京 多伦多 纽约
国际标准时间
A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约
考点5.正负数的应用2-用正负数表示允许偏差
【解题方法】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。
例1．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期末）图纸上一个零件的标注为，这里的表示这个零件直径的标准尺寸是，实际合格产品的直径最小可以是，最大可以是，现有另一零件的标注为，这个标注中零件直径的标准尺寸有些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为：，，，，，，，则该零件的标准尺寸不可能是( )
A． B． C． D．
变式1．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）某零食包装袋上标有如下文字：净含量以下容量中不符合标注的是（ ）
A．220g B．209g C．210g D．217g
变式2．（2024·河南驻马店·一模）生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度： ．
考点6.正负数的应用3-基准量的相关计算
【解题方法】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。
例1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为岁，那么王横25岁，记为（ ）
A．25岁 B．岁 C．岁 D．岁
例2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）武汉市质量技术监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，把超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 4
袋数 1 4 3 4 5 3
若标准质量为400克，则抽样检测的20袋食品的平均质量为（ ）
A．417 B．399.15 C．400.85 D．401
变式1．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）七年一班期末数学考试的平均成绩是分，小欢得了分，记作分，小乐的成绩记作分，则小乐得了（ ）
A．83分 B．85分 C．91分 D．92分
变式2．（2023·浙江·七年级统考期中）某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况：
班级 1班 2班 3班 4班
实际购书量（本） a 32 c 22
实际购书量与计划购书量的差值（本） b
(1)直接写出___， ___；(2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本；(3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用．
考点7.有理数的相关概念辨析
【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．
例1．（2023·重庆·七年级校考期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（23-24七年级上·山东·期末）下列说法正确的是（ ）
A．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 B．正整数和负整数统称整数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．不是有理数
变式2．（23-24七年级上·广西·期中）下列关于有理数的说法正确的是（ ）
A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合
C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数
考点8.有理数的分类
【解题技巧】
正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；
正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；
整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数；
有理数：整数和分数统称为有理数。
例1．（23-24七年级上·山东青岛·期中）把下面的有理数填在相应的大括号里：
，，，，，． （友情提示：将各数用逗号分开）
正数集合______…；负数集合______…；非负整数集合______…．
例2．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里：
，，0，，，，，，
(2)图中A区表示 数集，B区表示 数集．
变式1．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在0，，，，中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．是负有理数 B．不是整数 C．是正有理数 D．是负分数
3．（22-23七年级上·山东济南·期中）把下列各数填在相应的大括号里：
，，，，，，，，，．
整数集合：{ …} 正分数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
考点9.有理数中的新定义集合
【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。
常见类型有：（1）定义一种新运算；（2）定义一种新法则。
例1．（2023·贵州遵义·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．
(1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 有理数（填“是”或“不是”）；
(2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）；
(3)在中，属于非负有理数的是 ．
变式1.（2023 江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广东·七年级统考期中）下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“”号的数才是正数；（4）既不是正数也不是负数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2023·四川成都·模拟预测）下列各数中，是负数的是（ ）
A．5 B． C．0 D．
3．（2023·江苏·七年级校联考阶段练习）下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，，中，其中整数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．如图，以下检测结果中最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级上·浙江台州·期末）某品牌水笔笔管直径的合格范围是（单位：），下列笔管直径不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·七年级课时练习）我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”．下列算筹表示负数的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2024·河北廊坊·二模）某运动项目比赛规定，胜一场记作“”分，平局记作“0分”，如果某队在一场比赛中得分记作“”分，则该队在这场比赛中（ ）
A．与对手打成平局 B．输给对手 C．赢得对手 D．无法确定
9．（23-24七年级上·广东广州·期中）下列7个数中：，，，0，，，，有理数的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2023·江苏无锡·七年级校联考期中）日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例如：一只杯子的杯口“朝上”可记作“”，杯口“朝下”可记作“”．现在桌子上有11只杯口朝上的茶杯，如果每次翻转3只，能否经过若干次翻转使这11只杯子的杯口全部朝下？若能，至少经过多少次翻转能使这11只茶杯的杯口全部朝下？运用数学知识解决实际问题，你的答案是（ ）
A．不能 B．能，4 C．能，5 D．能，6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·江苏七年级期中）举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如__________．
12．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）绵阳冬季某日的最高气温是3℃，最低气温为-1℃，那么当天的温差是__________℃．
13．（23-24七年级上·江西南昌·期中）世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔记为“米”，表示高出海平面米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”，则“米”表示的意义为 ．
14．（23-24七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为，若表示水面高于标准水位，则水面低于标准水位，可记为 m．
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内．
，，，0，，13，，，，，
(1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）．
16．（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间晚的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间早的时数），如北京时间的上午10时，东京时间的10时已过去了1小时，现在已是（时）．
城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥
时差/时
如果现在是北京时间10月8日10：00时，那么现在的纽约时间是 ．
17．（23-24七年级上·广东广州·期末）一袋大米的包装袋上标示的重量是，由此可知符合标准的一袋大米重量应最小不能低于 ．
18．（2023·山东七年级课时练习）（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为______．（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？
20．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km）
(1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？
(2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？
21．（2023·广东·七年级校考阶段练习）把下列各数填入相应的圈子内：，，，，0，
22．（2023·四川·七年级校考阶段练习）把，0.3，，9，分成两类，使两类的数具有不同的特征，写出你的分法．
23．（2024 广东七年级期中）如图是李阿姨10月23日至10月25日微信零钱明细（不完整），其中正数表示收款，负数表示付款．
（1）图中“﹣42.00”和“+200”分别表示什么意思？
（2）上图中阴影部分是李阿姨已删除的一条明细，李阿姨只能记得这条明细是10月24日扫二维码付款37元，忘记了当时的余额，请你帮助李阿姨计算出付款37元后的余额为多少？
24.（2023 山西七年级月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．
例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．（1）集合{﹣4，8} （填“是”或“不是”）对偶集合．（2）集合是否是完美对偶集合？请说明理由.
25．（2022·山西太原·七年级校考期末）阅读与探究：我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________
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