浙教版数学九上章末重难点专训 简单事件的概率-游戏的公平问题
一、选择题
1．（2017八下·洪湖期中）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
2．（初中数学北师大版七年级下册游戏的公平）甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（ ）
A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定
C．游戏的规则由甲乙双方商定 D．游戏双方要各有50%赢的机会
二、填空题
3．（2023九下·罗定期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级 ．（填“公平”或“不公平”）
4．（2023九下·青山月考）广广和雅雅在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是和的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？ .（填“公平”或“不公平”）
三、解答题
5．（2024九下·巧家月考）2023年电影五一档期表现超预期，优质供给引爆观影热情．电影《人生路不熟》和《长空之王》分别夺得五一档票房的冠、亚军．乐乐和爸爸准备一起去看电影，乐乐想看《人生路不熟》，但是爸爸想看《长空之王》，于是他们决定采用摸牌的办法决定去看哪部电影。摸牌规则如下：从一副新扑克牌中取出正面印有红桃3，4，5，6的四张扑克牌，将它们洗匀后背面朝上放置在桌面上，乐乐先从中随机摸出一张牌，记下数字后不放回，爸爸再从中摸出一张牌，记下数字，若两次数字之和为奇数，则看《人生路不熟》；若两次数字之和为偶数，则看《长空之王》。
（1）请用画树状图或列表的方法表示出两数之和的所有可能的结果；
（2）请问这个摸牌规则是否公平？并说明理由。
6．（2023·广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
7．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
8．（2024九上·潮南期末）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋巾随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由.
9．（2023九上·武侯月考）小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．
（1）利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）；
（2）在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？
10．（2023九上·衡阳月考）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为，.
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的，能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗 请你用概率知识解释.
11．（2023九上·拱墅月考）小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘B一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．（用树状图或列表法）
四、综合题
12．（2021九上·广饶期末）小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）．
13．（2023七下·梅江期末）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去．
（1）求小明抽到4的概率；
（2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平
14．（2023·凤县模拟）甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转盘被等分为三份，分别标有数字1，2，-3；转盘也被等分成三份，分别标有数字-1，-2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，记下两个转盘指针所指的数字之和．若指针所指数字之和为正数，则甲胜；指针所指数字之和为负数，则乙胜．
（1）转动转盘一次，指针所指数字为负数的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对甲乙两人是否公平．
15．（2019·云南）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜.
（1）用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选B．
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
2．【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，
∴A．游戏的规则由甲方确定，故此选项错误；
B．游戏的规则由乙方确定，故此选项错误；
C．游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误；
D．游戏双方要各有50%赢的机会，故此选项正确．
故选：D．
【分析】根据游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，游戏是否公平不在于谁定游戏规则，分别判定即可．
3．【答案】公平
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：根据所画树状图，共有4种情况，其两枚硬币朝上的面相同的有2种情形， 两枚硬币朝上的面不相同的有2种情形，
所以P（甲班优先选择场地）=，
P（乙班优先选择场地）=，
故这两个队优先选择比赛场地的概率相等，
∴这种选择场地的方法对两个班级公平；
故答案为：公平．
【分析】根据所画树状图，分别求出P（甲班优先选择场地），P（乙班优先选择场地），比较两个概率的大小来判断是否公平．
4．【答案】不公平
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：∵半径分别是3m和2m的同心圆，
∴半径是3m的圆的面积为；半径是2m的圆的面积为，则阴影部分的面积为，
∵，
故答案为：不公平.
【分析】利用圆的面积公式算出大小两圆的面积，进而根据阴影部分的面积等于大小两圆的面积差，求出阴影部分圆的面积，最后将阴影部分的面积与小圆面积比大小即可得出答案.
5．【答案】（1）列表如下．
乐乐 爸爸 和 3 4 5 6
3 7 8 9
4 7 9 10
5 8 9 11
6 9 10 11
（2）这个摸牌规则不公平，理由如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中和为奇数的有8种结果，和为偶数的有4种结果，
看《人生路不熟》的概率为，看《长空之王》的概率为，
，
这个摸牌规则不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
（2）先利用概率公式分别求出看 《人生路不熟》 和 《长空之王》 的概率，再比较大小即可.
6．【答案】（1）解：画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果，
∴P（乙选中球拍）；
（2）解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有种可能的结果，
∴P（甲先发球），
∴P（乙先发球），
∵ P（甲先发球）=P（乙先发球），
这个约定公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，从而根据概率公式分别算出甲与乙先发球的概率，再比较两个概率的大小即可.
7．【答案】此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，
列表如下，
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【解答】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等。
【分析】此题考查了树状图的列法和利用概率说明游戏的公平性问题。
8．【答案】（1）解：三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：
（2）解：这个游戏不公平.
画树状图得：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
（甲胜），（乙胜），（甲胜）（乙胜），
这个游戏不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）用概率公式可求解；
（2）根据题意画出树状图，然后由树状图的信息可知：共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，根据概率公式计算甲胜和乙胜的概率，比较大小即可判断游戏的公平性.
9．【答案】（1）解：树状图如下图所示；
（2）解：该游戏对三人公平，理由如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中，
∴，
∴该游戏对三人公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图即可求解；
（2）根据树状图即可得到一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
10．【答案】（1）解：画树状图得：
的可能结果有、、、、、、、及，
取值结果共有9种
（2）解：这样的游戏规则不公平.
将（1）中结果分别代入中得
，7，2，0，8，3，-3，5或0
（甲获胜）（乙获胜），
（甲获胜）（乙获胜），
这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，即可求解；
（2）将（1）中结果分别代入根的判别式中求得相对应的值，从而求出甲获胜的概率与乙获胜的概率，从而求解.
11．【答案】（1）
（2）解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
蓝 蓝 红
蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝红
红 红蓝 红蓝 红红
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有6种，
∴P（小明）＝＝，
P（小亮）＝＝，
因此游戏是公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）解：转动转盘B一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率的定义，某一事件的概率=，即可求出；
（2）根据列表法将所有情况列入表格中，根据概率的定义分别算出小明和小亮获胜的概率，比较概率的大小即可判断游戏是否公平.
12．【答案】（1）
（2）解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
，
，
因此游戏是公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）求出转出蓝色的概率是，即可作答；
（2）先列表，再求出 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， 最后求解即可。
13．【答案】（1）解：P（小明抽到4的）==
（2）解：不公平，因为：P(小明抽到大于4的)=＜P(小亮抽到大于等于4的)=，
∴ 游戏不公平．规则可以改为，如小明抽到奇数，小明去；否则，小亮去．
【知识点】游戏公平性；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据概率的计算公式，计算即可；
（2）比较游戏是否公平，只需计算每名玩家获胜的概率是否相同，分别计算小明、小亮获胜的概率是否相等即可.
14．【答案】（1）
（2）解：这个游戏对甲乙两人公平，理由如下：
根据题意，列表如下：
1 2 -3
-1
-2
3
所以一共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数的结果有3种，指针所指的数字之和为负数的结果有3种，
所以甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，
因为 ，
所以这个游戏对甲乙两人公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 转动A转盘一次，指针所指数字为负数的概率是：；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式，用A转盘中标的负数的个数除以转盘的等份数即可求出答案；
（2）这个游戏对甲乙两人公平，理由如下：利用列表法列出所有等可能的结果数，由表格可知，一共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数的结果有3种，指针所指的数字之和为负数的结果有3种，从而根据概率公式分别求出甲与乙获胜的概率，再比大小即可得出结论.
15．【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种
（2）解：这个游戏对双方公平，理由如下：
由列表法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等，
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝ ，
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ ，
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)，
∴这个游戏对双方公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表可知： (x，y)所有可能出现的结果共有16种 ；
（2） 由列表法可知，在16种可能出现的结果中 ， x＋y为奇数的有8种情况 ， x＋y为偶数的有8种情况 ，根据概率公式即可算出它们各自获胜的概率，再比较即可得出答案。
1 / 1浙教版数学九上章末重难点专训 简单事件的概率-游戏的公平问题
一、选择题
1．（2017八下·洪湖期中）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】B
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选B．
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
2．（初中数学北师大版七年级下册游戏的公平）甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（ ）
A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定
C．游戏的规则由甲乙双方商定 D．游戏双方要各有50%赢的机会
【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：根据游戏是否公平不在于谁定游戏规则，游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，
∴A．游戏的规则由甲方确定，故此选项错误；
B．游戏的规则由乙方确定，故此选项错误；
C．游戏的规则由甲乙双方商定，故此选项错误；
D．游戏双方要各有50%赢的机会，故此选项正确．
故选：D．
【分析】根据游戏共是否公平的取决于游戏双方要各有50%赢的机会，游戏是否公平不在于谁定游戏规则，分别判定即可．
二、填空题
3．（2023九下·罗定期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级 ．（填“公平”或“不公平”）
【答案】公平
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：根据所画树状图，共有4种情况，其两枚硬币朝上的面相同的有2种情形， 两枚硬币朝上的面不相同的有2种情形，
所以P（甲班优先选择场地）=，
P（乙班优先选择场地）=，
故这两个队优先选择比赛场地的概率相等，
∴这种选择场地的方法对两个班级公平；
故答案为：公平．
【分析】根据所画树状图，分别求出P（甲班优先选择场地），P（乙班优先选择场地），比较两个概率的大小来判断是否公平．
4．（2023九下·青山月考）广广和雅雅在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是和的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？ .（填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：∵半径分别是3m和2m的同心圆，
∴半径是3m的圆的面积为；半径是2m的圆的面积为，则阴影部分的面积为，
∵，
故答案为：不公平.
【分析】利用圆的面积公式算出大小两圆的面积，进而根据阴影部分的面积等于大小两圆的面积差，求出阴影部分圆的面积，最后将阴影部分的面积与小圆面积比大小即可得出答案.
三、解答题
5．（2024九下·巧家月考）2023年电影五一档期表现超预期，优质供给引爆观影热情．电影《人生路不熟》和《长空之王》分别夺得五一档票房的冠、亚军．乐乐和爸爸准备一起去看电影，乐乐想看《人生路不熟》，但是爸爸想看《长空之王》，于是他们决定采用摸牌的办法决定去看哪部电影。摸牌规则如下：从一副新扑克牌中取出正面印有红桃3，4，5，6的四张扑克牌，将它们洗匀后背面朝上放置在桌面上，乐乐先从中随机摸出一张牌，记下数字后不放回，爸爸再从中摸出一张牌，记下数字，若两次数字之和为奇数，则看《人生路不熟》；若两次数字之和为偶数，则看《长空之王》。
（1）请用画树状图或列表的方法表示出两数之和的所有可能的结果；
（2）请问这个摸牌规则是否公平？并说明理由。
【答案】（1）列表如下．
乐乐 爸爸 和 3 4 5 6
3 7 8 9
4 7 9 10
5 8 9 11
6 9 10 11
（2）这个摸牌规则不公平，理由如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中和为奇数的有8种结果，和为偶数的有4种结果，
看《人生路不熟》的概率为，看《长空之王》的概率为，
，
这个摸牌规则不公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
（2）先利用概率公式分别求出看 《人生路不熟》 和 《长空之王》 的概率，再比较大小即可.
6．（2023·广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）解：画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果，
∴P（乙选中球拍）；
（2）解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有种可能的结果，
∴P（甲先发球），
∴P（乙先发球），
∵ P（甲先发球）=P（乙先发球），
这个约定公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，从而根据概率公式分别算出甲与乙先发球的概率，再比较两个概率的大小即可.
7．在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．
【答案】此游戏不公平．
理由如下：列树状图如下，
列表如下，
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【解答】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等。
【分析】此题考查了树状图的列法和利用概率说明游戏的公平性问题。
8．（2024九上·潮南期末）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋巾随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由.
【答案】（1）解：三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：
（2）解：这个游戏不公平.
画树状图得：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
（甲胜），（乙胜），（甲胜）（乙胜），
这个游戏不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）用概率公式可求解；
（2）根据题意画出树状图，然后由树状图的信息可知：共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，根据概率公式计算甲胜和乙胜的概率，比较大小即可判断游戏的公平性.
9．（2023九上·武侯月考）小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．
（1）利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）；
（2）在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？
【答案】（1）解：树状图如下图所示；
（2）解：该游戏对三人公平，理由如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中，
∴，
∴该游戏对三人公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；等可能事件的概率
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图即可求解；
（2）根据树状图即可得到一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
10．（2023九上·衡阳月考）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为，.
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的，能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗 请你用概率知识解释.
【答案】（1）解：画树状图得：
的可能结果有、、、、、、、及，
取值结果共有9种
（2）解：这样的游戏规则不公平.
将（1）中结果分别代入中得
，7，2，0，8，3，-3，5或0
（甲获胜）（乙获胜），
（甲获胜）（乙获胜），
这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，即可求解；
（2）将（1）中结果分别代入根的判别式中求得相对应的值，从而求出甲获胜的概率与乙获胜的概率，从而求解.
11．（2023九上·拱墅月考）小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘B一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．（用树状图或列表法）
【答案】（1）
（2）解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
蓝 蓝 红
蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝红
红 红蓝 红蓝 红红
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有6种，
∴P（小明）＝＝，
P（小亮）＝＝，
因此游戏是公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）解：转动转盘B一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率的定义，某一事件的概率=，即可求出；
（2）根据列表法将所有情况列入表格中，根据概率的定义分别算出小明和小亮获胜的概率，比较概率的大小即可判断游戏是否公平.
四、综合题
12．（2021九上·广饶期末）小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）．
【答案】（1）
（2）解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
，
，
因此游戏是公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）求出转出蓝色的概率是，即可作答；
（2）先列表，再求出 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， 最后求解即可。
13．（2023七下·梅江期末）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去．
（1）求小明抽到4的概率；
（2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平
【答案】（1）解：P（小明抽到4的）==
（2）解：不公平，因为：P(小明抽到大于4的)=＜P(小亮抽到大于等于4的)=，
∴ 游戏不公平．规则可以改为，如小明抽到奇数，小明去；否则，小亮去．
【知识点】游戏公平性；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据概率的计算公式，计算即可；
（2）比较游戏是否公平，只需计算每名玩家获胜的概率是否相同，分别计算小明、小亮获胜的概率是否相等即可.
14．（2023·凤县模拟）甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，转盘被等分为三份，分别标有数字1，2，-3；转盘也被等分成三份，分别标有数字-1，-2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，记下两个转盘指针所指的数字之和．若指针所指数字之和为正数，则甲胜；指针所指数字之和为负数，则乙胜．
（1）转动转盘一次，指针所指数字为负数的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对甲乙两人是否公平．
【答案】（1）
（2）解：这个游戏对甲乙两人公平，理由如下：
根据题意，列表如下：
1 2 -3
-1
-2
3
所以一共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数的结果有3种，指针所指的数字之和为负数的结果有3种，
所以甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，
因为 ，
所以这个游戏对甲乙两人公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 转动A转盘一次，指针所指数字为负数的概率是：；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式，用A转盘中标的负数的个数除以转盘的等份数即可求出答案；
（2）这个游戏对甲乙两人公平，理由如下：利用列表法列出所有等可能的结果数，由表格可知，一共有12种等可能结果，其中指针所指的数字之和为正数的结果有3种，指针所指的数字之和为负数的结果有3种，从而根据概率公式分别求出甲与乙获胜的概率，再比大小即可得出结论.
15．（2019·云南）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜.
（1）用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种
（2）解：这个游戏对双方公平，理由如下：
由列表法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等，
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝ ，
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ ，
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)，
∴这个游戏对双方公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意列出表格，由表可知： (x，y)所有可能出现的结果共有16种 ；
（2） 由列表法可知，在16种可能出现的结果中 ， x＋y为奇数的有8种情况 ， x＋y为偶数的有8种情况 ，根据概率公式即可算出它们各自获胜的概率，再比较即可得出答案。
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