2.3等腰三角形的性质定理 浙教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.3等腰三角形的性质定理浙教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，为中点，，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，延长到点，在内作射线，使得过点作，垂足为若，则的长为( )
A. B. C. D.
3.如果等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为( )
A. B. C. 或 D.
4.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，若，则的长为 ( )
A. B. C. D.
6.典例在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ( )
A. B. C. D. 或
7.如图，在中，，，为线段上一动点不与点、点重合，连接，作，交线段于点以下四个结论：
；
当为中点时，；
当时，；
当为等腰三角形时，．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于、，画直线，为的中点，为直线上任意一点，若，的面积为，则的最小长度为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线交于点，交于点，为的中点，为直线上的动点，则周长的最小值为 ( )
A. B. C. D.
10.若实数，满足，且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是 ( )
A. B. C. 或 D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，等边的边长为，，两点分别从点，同时出发，沿的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，两点同时停止运动，则当，运动时间 时，为等腰三角形．
12.若一个等腰三角形中有两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为 ．
13.如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是 ．
14.已知中，，交直线于点，，则的度数为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，是边上的中线，于点求证：D.
16.本小题分
如图，在中，，，的延长线交于点，求证：．
17.本小题分
如图，在中，，是边上的中线，于点求证：．
18.本小题分
已知：如图，点，在的边上，，求证：．
19.本小题分
如图，在中，．
作边的垂直平分线，与，分别相交于点，用尺规作图，保留痕迹，不要求写作法；
在的条件下，连接，若，求的度数．
20.本小题分
如图，在中，点在边上，，求和的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理根据，为中点，可知是的平分线，且，，则，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】
解：，
．
，为中点，
是的平分线，
又，
，
．
故选C．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】见答案
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
根据题意可以求得和的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得的度数．
【解答】
解：在中，，，
所以，
因为点在边上，为直角三角形，
所以如图，
当时，则，
所以，
如图，
当时，则
．
综上所述，的度数是或．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，，
；故正确；
为中点，，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；故正确；
，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
，
，故错误，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；故正确；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到，故正确；
根据全等三角形的性质得到；故正确；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，当时，，求出，故错误．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确地识别图形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接，交直线于点，连接，
，为的中点，
，
，，
．
由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
，
当点与点重合时，，为最小值，
的最小值为．
故选：．
连接，交直线于点，连接结合等腰三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式可求出由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则，可知当点与点重合时，，为最小值，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】 提示：连接，因为是等腰三角形，是底边的中点，所以，所以，所以因为是线段的垂直平分线，所以，所以，所以的长为的最小值，所以周长的最小值为．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】或
【解析】解：如图，设点、运动秒后，，
由运动知，，，
，
解得：，
点、运动秒后，是等腰三角形；
如图，假设是等腰三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
≌，
，
设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，
，，
，
，
解得：故假设成立．
点、运动时间为秒或秒时，为等腰三角形．
故答案为：或．
分两种情况求解：如图，由，可列方程求解；如图，首先假设是等腰三角形，可证出≌，可得，设出运动时间，表示出，，的长，列出方程，可解出未知数的值．
此题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定，关键是根据题意计算动点和的路程，理清线段之间的数量关系．
12.【答案】
【解析】解：当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
当为腰时，
其它两边为和，
，
不能构成三角形，故舍去，
答案只有
故答案为：
因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了尺规作图作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握基本作图方法．分两种情况画图，由作图可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】
解：根据题意，补全图如下图所示；
在中，，，
，
由作图可知：，
，
；
由作图可知：，
，
，
，
．
综上所述：的度数是或．
故答案为或．
14.【答案】或
【解析】解：当为锐角时，； 当为钝角时，．
15.【答案】证明：，是边上的中线，
，．
，
，
，，
，
．

【解析】【分析】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
根据三角形三线合一的性质可得，根据同角的余角相等可得：，再根据等量关系得到．
16.【答案】证明：在和中，
≌，
，
，
．
【解析】
本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质由，，是公共边，即可证得≌，则可得，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得．
17.【答案】证明：，是边上的中线，
，．
，
，
，，
，
．

【解析】【分析】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
根据三角形三线合一的性质可得，根据同角的余角相等可得：，再根据等量关系得到．
18.【答案】证明：如图，过点作于．

，
；
，
，
，
．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；要证明线段相等，只要过点作的垂线，利用三线合一得到为及的中点，线段相减即可得证．
19.【答案】【小题】
解：如图所示，即为所求．
【小题】
是的垂直平分线，
．
．

【解析】 略
略
20.【答案】解：，，， 设，则， 在中， ，，，，．
【解析】略
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