2.7探索勾股定理 浙教版初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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2.7探索勾股定理浙教版初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，正方形是由个边长为的小正方形组成的，每个小正方形的顶点都叫格点，连结，，则的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将折叠，使边与重合，折痕为，则的长为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，，于，则的长是( )
A. B. C. D.
4.学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：
已知：在中，，，，解这个直角三角形．
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：
由的度数，根据直角三角形的性质得到的度数；
由，的值，根据的正切值得到的度数；
由，的值，根据勾股定理得到的值；
由，的值，根据的余弦值得到的度数．
请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是( )
A. B. C. D.
5.勾股定理最早出现在周髀算经“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，，，，，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，，，若此类勾股数的勾为为正整数，则弦是结果用含的式子表示( )
A. B. C. D.
6.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图所示的四边形若，，，则的长为 ( )
A. B. C. D.
7.如图，把一张长为的长方形纸对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开后得到一个等腰梯形．若剪掉部分的面积为，则打开后的等腰梯形的腰长为 ( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，为的平分线，将沿直线翻折得，则的长为 ( )
A. B. C. D.
9.如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由个全等的直角三角形拼接而成．若记正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，且，则的值是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如果三角形的三边长分别为，，，那么最长边上的中线长为 ．
12.如图，，两点在数轴上，点表示的数是，是数轴上方一点，且，过点作数轴的垂线．若垂线段的长是，垂足表示的数是，则点表示的数是 ．
13.如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，点、、均在格点上，则的长为 ，的长为 ，的长为 ．
14.我们知道，三个正整数，，满足，那么，，成为一组勾股数；如果一个正整数能表示成两个非负整数，的平方和，即，那么称为“广义勾股数”现有下列结论：是广义勾股数；是广义勾股数；两个广义勾股数的和是广义勾股数；两个广义勾股数的积是广义勾股数；若，，，其中，，，，均是正整数，则，，是一组勾股数．其中正确的是 填序号．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，点为的中点，其中，，，求的长．
16.本小题分
如图，在中，，，，．
求线段的长；
求的周长．
17.本小题分
定义：如图，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的“勾股分割点”．
如图，已知，是线段的“勾股分割点”，，，求的长；
如图，已知点是线段上一定点，请用尺规作图在线段上作一点，使得点，是线段的“勾股分割点”不写作法，保留作图痕迹，画一种情形即可．
18.本小题分
如图，在中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为，，之间的距离为，求的长．
19.本小题分
已知和都是等腰直角三角形，，，．
如图，连接，，试说明线段与的数量关系和位置关系．
如图，若将绕点顺时针旋转，当点恰好在边上时，求证：．
20.本小题分
阅读下面材料：
已知，在中，，，点是射线上任意一点，连接，过点作，垂足为点，交于点，过点作交的延长线于点．

如图，当，点是边中点时，求的长；
当点在的延长线上时，根据题意补全图形，用等式表示线段、和的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
，
解得．
故选C．
首先利用勾股定理计算出的长，再根据三角形的面积公式计算出的长即可．
此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查了三角函数解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键．
【详解】解：由，的值，根据勾股定理得到的值，再由的余弦值得到的度数，进而求出的度数，选项排序正确，不符合题意；
B. 条件需要知道的值，才能得到的余弦值，而的值并没有计算出来，由此可知选项排序错误，符合题意；
C. 由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数，再由，的值，根据勾股定理得到的值，选项排序正确，不符合题意；
D. 由，的值，根据勾股定理得到的值，再由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：为正整数，
为偶数，设其股是，
则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
弦是，
故选：．
根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】如图，由题意，得四边形即为打开后的等腰梯形，且，，，所以，所以故打开后的等腰梯形的腰长为．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，
为的平分线，将沿直线翻折得，
、、共线，，，
，
在中，设，则，
，
，
解得，
，
故选：．
由勾股定理求出，求出，设，则，得出，解方程求出即可得解．
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：点是沿折叠，点的对应点，连接，
，，
在中，，，，
，
，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
．
故选A．
10.【答案】
【解析】因为个直角三角形全等，四边形、四边形、四边形是正方形，
所以，．
所以，．
所以，
所以，
所以．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，判断出是直角三角形是解题的关键．
根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：，
该三角形是直角三角形，
最长边上的中线长为．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】

【解析】由题图中网格，得，，．
14.【答案】
【解析】提示：因为为非负整数，所以不是广义勾股数，故错误；因为，所以是广义勾股数，故正确；举反例，如，，而为非负整数，故错误；设两个广义勾股数分别为，，则，即，所以是广义勾股数，故正确；因为，所以，，是一组勾股数，故正确．
15.【答案】解：，，，
又，
，
是直角三角形且，
，
，
又点为的中点，
．

【解析】根据勾股定理的逆定理求出，求出线段长，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
16.【答案】解：，
．
在中，，，，
．
，，
为等腰直角三角形，
又，
，，
．
【解析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及三角形的周长，解题的关键是：在中利用勾股定理求出的长；根据等腰直角三角形的性质求出、的长．
由可得出，在中，利用勾股定理即可求出的长；
由、可得出为等腰直角三角形，结合的长度可得出、的长度，再利用周长的定理即可求出的周长．
17.【答案】解：设，则．
当为直角三角形的斜边时，
可得，
解得，
的长为．
当为直角三角形的直角边时，
可得为直角三角形的斜边，
，
解得，
的长为．
综上所述，的长为或．
如图，过点作的垂线，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，连接，
此时，，为直角三角形，
以，，为边的三角形是直角三角形，
即点，是线段的“勾股分割点”，
则点即为所求．

【解析】设，则当为直角三角形的斜边时，由勾股定理得，求出的值即可；当为直角三角形的直角边时，可得为直角三角形的斜边，由勾股定理得，求出的值，即可得出答案．
过点作的垂线，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，作线段的垂直平分线，交于点，则点，是线段的“勾股分割点”．
本题考查作图复杂作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】如图，过点作于点，交于点，过点作于点，则，所以因为，，之间的距离为，，之间的距离为，所以，，所以因为，所以，所以在和中，所以≌，所以，所以，所以．

【解析】略
19.【答案】【小题】
解：设分别交，于点，，又，，≌，又，．
【小题】
证明：连接，，即又，，≌，在中，，，在中，，又，．

【解析】 略
略
20.【答案】解：点是边中点，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
．
解：如图，

，理由：
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
．
，
，
．

【解析】【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先由勾股定理求得，再证明，得，即可求解；
根据题意画出图形，再证明，得，即可得出结论．
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