【提升版】浙教版数学八上1.1认识三角形 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·徐汇期末）已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
2．如图，平分，交AB于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2018八上·潘集期中）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
6．（2024·宣恩模拟）如图，将一副三角板放在一起，B、D分别在EF、AC上，若，则（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．（2024八上·金华期末）如图，AD是的中线，是AD的中点，连结BE，CE.若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
8．（2024七下·桥西期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
二、填空题
9．（2023七下·东阿期末）如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是 ．
10．（2022·常州）如图，在中，是中线的中点.若的面积是1，则的面积是 .
11．（2024七下·鄞州期末） 在一个三角形中， 如果一个内角是另一个内角的 3 倍， 这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”. 例如， 三个内角分别为 的三角形是“三倍角三角形”. 若 是“三倍角三角形”，且 ，则 中最小内角的度数为 .
12．（2024七下·深圳期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，且AE：CE=2：1，S△CEP=1，则S△ABC=
三、解答题
13．（2024七下·江油期中）如图，，，CE平分∠BCF，，，求∠F的度数．
14．（2024八下·瑞金期中）秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦 秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．
（1）如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
（2）一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值，
四、综合题
15．（2022七下·南海期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1=∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．
五、实践探究题
16．（2024七下·沈阳期中）阅读材料：若，求的值.
解：，
，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知的三边长，且满足，若的周长为偶数，求的周长；
（2）已知，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形的两边长分别是2和5 ，
∴5-2＜第三边长＜5+2，即3＜第三边长＜7，
故A符合题意；
故答案为：A
【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断即可.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，∠AEF+∠AEC=180°，
∴ ∠AEC=30°，
∵，
∴ ∠AEC=∠ECD=30°，
又∵ CF平分，
∴ ∠ACE=∠ECD=30°，
∴ ∠A=180°-∠ACE-∠AEC=180°-30°-30°=120°，
故答案为：A.
【分析】先根据邻补角求出∠AEC，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ACE，最后根据三角形的内角和定理求出即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，进而根据三角形内角和定理结合题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠3=50°，
∴∠4=∠2=180°-90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得∠1=∠3，∠4=∠2，再由三角形内角和定理即可求解.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故答案为：C．
【分析】若凳子到A、B的距离相等，则凳子应该位于线段AB的垂直平分线上；同理，若凳子到B、C的距离相等，则凳子应该位于线段BC的垂直平分线上；若凳子到C、A的距离相等，则凳子应该位于线段CA的垂直平分线上；综上所述，凳子在三角形的三条垂直平分线的交点处。
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵AC//EF，∠E=45°，
∴∠ADG=∠E=45°，
∵∠A=60°，
∴∠1=180°-∠A-∠ADG=180°-60°-45°=75°，
故答案为：D.
【分析】先利用平行线的性质可得∠ADG=∠E=45°，再利用三角形的内角和求出∠1=180°-∠A-∠ADG=180°-60°-45°=75°即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是的中线，
∴
∵是AD的中点，
∴
∴
∴阴影部分面积为：2+2=4，
故答案为：4.
【分析】根据AD是的中线，得到根据是AD的中点，得到进而即可求解.
8．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的另外两条边长分别为a、b，
根据题意可得：|a-b|<8
∴当a=1时，b=8（舍）；
当a=2时，b=7；
当a=3时，b=6或7；
当a=4时，b=5或6或7；
当a=5时，b=4或5或6或7；
当a=6时，b=3或4或5或6或7；
当a=7时，b=2或3或4或5或6或7；
综上，满足条件的三角形可以为278；368；378；458；468；478；558；568；578；668；678；778；共12个，
故答案为：C.
【分析】设三角形的另外两条边长分别为a、b，利用三角形三边的关系求出|a-b|<89．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，CP的长最小，
△ABC的面积=×AC×BC=AB×CP，
即6×8=10CP，
∴CP=，
故答案为：.
【分析】当CP⊥AB时，CP的长最小，根据△ABC的面积=×AC×BC=AB×CP即可求解.
10．【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点，
根据等底同高可知，△ACE的面积=△CDE的面积，
△ABD的面积=△ACD的面积2△ACE的面积，
故答案为：2.
【分析】根据E为AD的中点可得S△ACE=S△DCE=1，根据AD为中线可得D为BC的中点，则S△ABD=S△ACD，据此计算.
11．【答案】20°或30°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC是“三倍角三角形”. 且 ∠B=60°，
∴∠B不可能是最小内角，
设最小内角为x°，
①3x=60°时：x=20°；
②另两个角分别为：x和3x，
∴x+3x=180°-60°，
∴x=30°，
∴△ABC最小内角的度数为20°或30°.
故答案为：20°或30°.
【分析】首先根据“三倍角三角形”的定义可得出∠B不可能是最小内角，设最小内角为x°，然后分两种情况①3x=60°时，②另两个角分别为x和3x，分别列方程求解即可得出答案.
12．【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
∵点D是AB的中点，
∴S△BCD=S△ACD，S△BDP=S△ADP，
∴S△BCD-S△BDP=S△ACD-S△ADP，即S△BCP=S△ACP，
∵ AE：CE=2：1，
∴S△AEP=2S△PCE=2，S△ABE=2S△BCE，
∴S△BCP=S△ACP=S△PCE+S△APE=3，
∴S△BCE=S△BCP+S△PCE=4，
∴S△ABE=2S△BCE=8，
∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=4+8=12.
故答案为：12.
【分析】连接AP，由等底同高三角形面积相等得S△BCD=S△ACD，S△BDP=S△ADP，由等式的性质推出S△BCP=S△ACP，由同高三角形的面积等于对应底的比得S△AEP=2S△PCE=2，S△ABE=2S△BCE，然后根据三角形构成即可求出△ABC的面积.
13．【答案】解：∵CE平分∠ACF，∴
∴∴∴
又∴
∴
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】先根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，然后根据三角形内角和定理得出．
14．【答案】（1）解：由题意，，
∴．
即的面积为；
（2）解：由题意，，
∴，
∵，
∴
∴．
∴，即
∴．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】本题考查新运算，三角形三边与面积的计算，理解题意，正确计算是关键。（1）根据题中公式，计算p值，再代入S计算即可；（2）先根据p=15及公式得b+c=20，根据s公式计算可得bc值。
15．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠C=∠2，
∴AF∥BC
（2）解：∵CA平分∠BAF，
∴∠BAC=∠2=∠C=∠1，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=∠C=65°，
∴∠1=65°．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠C，结合∠1=∠2，可得∠C=∠2，根据内错角相等，两直线平行即证；
（2） 由角平分线的定义及（1）结论，可得∠BAC=∠2=∠C=∠1， 根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠BAC=∠C=65°， 继而得解.
16．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
的周长为偶数，
，
的周长为：；
（2）解：，
，
，
，
，即，
，
综上的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，三角形三边关系．
（1）根据题中所给方法利用完全平方公式把变形可得：，解方程可求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系可求出，进而求出的周长；
（2）把变形为，解方程可求出的值，代入计算可求出答案．
1 / 1【提升版】浙教版数学八上1.1认识三角形 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·徐汇期末）已知三角形的两边长分别是2和5，那么下列选项中可以作为此三角形第三边长的是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∵三角形的两边长分别是2和5 ，
∴5-2＜第三边长＜5+2，即3＜第三边长＜7，
故A符合题意；
故答案为：A
【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断即可.
2．如图，平分，交AB于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，∠AEF+∠AEC=180°，
∴ ∠AEC=30°，
∵，
∴ ∠AEC=∠ECD=30°，
又∵ CF平分，
∴ ∠ACE=∠ECD=30°，
∴ ∠A=180°-∠ACE-∠AEC=180°-30°-30°=120°，
故答案为：A.
【分析】先根据邻补角求出∠AEC，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ACE，最后根据三角形的内角和定理求出即可.
3．（2024·通辽）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，进而根据三角形内角和定理结合题意即可求解。
4．（2024·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠3=50°，
∴∠4=∠2=180°-90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得∠1=∠3，∠4=∠2，再由三角形内角和定理即可求解.
5．（2018八上·潘集期中）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故答案为：C．
【分析】若凳子到A、B的距离相等，则凳子应该位于线段AB的垂直平分线上；同理，若凳子到B、C的距离相等，则凳子应该位于线段BC的垂直平分线上；若凳子到C、A的距离相等，则凳子应该位于线段CA的垂直平分线上；综上所述，凳子在三角形的三条垂直平分线的交点处。
6．（2024·宣恩模拟）如图，将一副三角板放在一起，B、D分别在EF、AC上，若，则（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】∵AC//EF，∠E=45°，
∴∠ADG=∠E=45°，
∵∠A=60°，
∴∠1=180°-∠A-∠ADG=180°-60°-45°=75°，
故答案为：D.
【分析】先利用平行线的性质可得∠ADG=∠E=45°，再利用三角形的内角和求出∠1=180°-∠A-∠ADG=180°-60°-45°=75°即可.
7．（2024八上·金华期末）如图，AD是的中线，是AD的中点，连结BE，CE.若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是的中线，
∴
∵是AD的中点，
∴
∴
∴阴影部分面积为：2+2=4，
故答案为：4.
【分析】根据AD是的中线，得到根据是AD的中点，得到进而即可求解.
8．（2024七下·桥西期中）三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的另外两条边长分别为a、b，
根据题意可得：|a-b|<8∴当a=1时，b=8（舍）；
当a=2时，b=7；
当a=3时，b=6或7；
当a=4时，b=5或6或7；
当a=5时，b=4或5或6或7；
当a=6时，b=3或4或5或6或7；
当a=7时，b=2或3或4或5或6或7；
综上，满足条件的三角形可以为278；368；378；458；468；478；558；568；578；668；678；778；共12个，
故答案为：C.
【分析】设三角形的另外两条边长分别为a、b，利用三角形三边的关系求出|a-b|<8二、填空题
9．（2023七下·东阿期末）如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：当CP⊥AB时，CP的长最小，
△ABC的面积=×AC×BC=AB×CP，
即6×8=10CP，
∴CP=，
故答案为：.
【分析】当CP⊥AB时，CP的长最小，根据△ABC的面积=×AC×BC=AB×CP即可求解.
10．（2022·常州）如图，在中，是中线的中点.若的面积是1，则的面积是 .
【答案】2
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点，
根据等底同高可知，△ACE的面积=△CDE的面积，
△ABD的面积=△ACD的面积2△ACE的面积，
故答案为：2.
【分析】根据E为AD的中点可得S△ACE=S△DCE=1，根据AD为中线可得D为BC的中点，则S△ABD=S△ACD，据此计算.
11．（2024七下·鄞州期末） 在一个三角形中， 如果一个内角是另一个内角的 3 倍， 这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”. 例如， 三个内角分别为 的三角形是“三倍角三角形”. 若 是“三倍角三角形”，且 ，则 中最小内角的度数为 .
【答案】20°或30°
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC是“三倍角三角形”. 且 ∠B=60°，
∴∠B不可能是最小内角，
设最小内角为x°，
①3x=60°时：x=20°；
②另两个角分别为：x和3x，
∴x+3x=180°-60°，
∴x=30°，
∴△ABC最小内角的度数为20°或30°.
故答案为：20°或30°.
【分析】首先根据“三倍角三角形”的定义可得出∠B不可能是最小内角，设最小内角为x°，然后分两种情况①3x=60°时，②另两个角分别为x和3x，分别列方程求解即可得出答案.
12．（2024七下·深圳期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，且AE：CE=2：1，S△CEP=1，则S△ABC=
【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
∵点D是AB的中点，
∴S△BCD=S△ACD，S△BDP=S△ADP，
∴S△BCD-S△BDP=S△ACD-S△ADP，即S△BCP=S△ACP，
∵ AE：CE=2：1，
∴S△AEP=2S△PCE=2，S△ABE=2S△BCE，
∴S△BCP=S△ACP=S△PCE+S△APE=3，
∴S△BCE=S△BCP+S△PCE=4，
∴S△ABE=2S△BCE=8，
∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=4+8=12.
故答案为：12.
【分析】连接AP，由等底同高三角形面积相等得S△BCD=S△ACD，S△BDP=S△ADP，由等式的性质推出S△BCP=S△ACP，由同高三角形的面积等于对应底的比得S△AEP=2S△PCE=2，S△ABE=2S△BCE，然后根据三角形构成即可求出△ABC的面积.
三、解答题
13．（2024七下·江油期中）如图，，，CE平分∠BCF，，，求∠F的度数．
【答案】解：∵CE平分∠ACF，∴
∴∴∴
又∴
∴
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】先根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，然后根据三角形内角和定理得出．
14．（2024八下·瑞金期中）秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦 秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．
（1）如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
（2）一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值，
【答案】（1）解：由题意，，
∴．
即的面积为；
（2）解：由题意，，
∴，
∵，
∴
∴．
∴，即
∴．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】本题考查新运算，三角形三边与面积的计算，理解题意，正确计算是关键。（1）根据题中公式，计算p值，再代入S计算即可；（2）先根据p=15及公式得b+c=20，根据s公式计算可得bc值。
四、综合题
15．（2022七下·南海期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1=∠2．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠C=∠2，
∴AF∥BC
（2）解：∵CA平分∠BAF，
∴∠BAC=∠2=∠C=∠1，
∵∠B=50°，
∴∠BAC=∠C=65°，
∴∠1=65°．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠C，结合∠1=∠2，可得∠C=∠2，根据内错角相等，两直线平行即证；
（2） 由角平分线的定义及（1）结论，可得∠BAC=∠2=∠C=∠1， 根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求出∠BAC=∠C=65°， 继而得解.
五、实践探究题
16．（2024七下·沈阳期中）阅读材料：若，求的值.
解：，
，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知的三边长，且满足，若的周长为偶数，求的周长；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
的周长为偶数，
，
的周长为：；
（2）解：，
，
，
，
，即，
，
综上的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系
【解析】【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，三角形三边关系．
（1）根据题中所给方法利用完全平方公式把变形可得：，解方程可求出a、b的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系可求出，进而求出的周长；
（2）把变形为，解方程可求出的值，代入计算可求出答案．
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