【培优版】浙教版数学八上1.1认识三角形 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·南海期中）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（ ）
A．5cm，8cm，3cm B．10cm，5cm，8cm
C．12cm，5cm，6cm D．6cm，6cm，12cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、5+3=8，有两边和等于第三边，故不能构成三角形，不符合题意；
B、5+8=13>10，故可以构成三角形，符合题意；
C、5+6=11<12，有两边和小于第三边，故不能构成三角形，不符合题意；
D、2+2=16，有两边和等于第三边，故不能构成三角形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】三角形的两边和大于第三边，两边差小于第三边.若较小的两边的和小于或等于第三边，即可排除.
2．（2024·惠东模拟）如图，在中，，AE平分，若，，则的度数是（ ）
A．10° B．12° C．13° D．15°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=44°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-44°-70°=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=33°-20°=13°.
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC=66°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=33°，根据三角形的内角和是180°可得∠CAD=20°，根据∠DAE=∠CAE-∠CAD即可求解.
3．（2021七下·马鞍山期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a＋b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
【答案】B
【知识点】代数式求值；三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：阴影部分面积．
，，
，
阴影部分面积．
故答案为：B．
【分析】将 a＋b＝10，ab＝22， 代入计算求解即可。
4．（2024·厚街模拟）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．30°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：
延长AE与CD的延长线交于点F，
∵AB//CD，∠AEG=90°，
∴∠F=∠1，∠GEF=90°，
∵∠1=35°，
∴∠F=35°，
∴∠2=180°-∠GEF-∠F=180°-35°-90°=55°.
故答案为：A.
【分析】延长AE与CD的延长线交于点F，根据平行线的性质得到∠F=∠1=35°，再根据三角形内角和定理即可求出∠2的度数，即可求解.
5．（2024·从江模拟）如图，点P是△ABC的AB边上一动点，当S△APC＝S△BPC时，则CP是△ABC的( )
A．高 B．中线 C．角平分线 D．中位线
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：设中AB 边上的高为h，
S△APC＝S△BPC ，
，
AP=PB，
点P是AB的中点，
即CP是△ABC的中线.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案.
6．（2024七下·贵阳期中）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法错误的是( )
A．BF=CF B．∠C+∠CAD=90°
C．∠BAF=∠CAF D．S△ABC=2S△ABF
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：对于A，由AF是BC边上的中线，故BF=CF，故A正确，不符合题意；
对于B，由AD为BC边上的高线，故∠ADC=90°，则 ∠C+∠CAD=90° ，故B正确，不符合题意；
对于C，由 AE是角平分线， 故∠BAE=∠CAE，则结合图可知∠BAF<∠CAF，故C错误，符合题意；
对于D，由BF=CF，故，故D正确，不符合题意.
故选：C.
【分析】分别根据三线的简单性质可快速判断ABC，结合等底同高，即等积判断D.
7．（2024七下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，连接，，若．点M是直线上的一个动点，当最短时，求（ ）
A．5 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，依题意得，由垂线段最短可知，当且仅当OM⊥BC时，AM最小.
在△ABC中，有，
∴.
故选：B.
【分析】由垂线段最短分析最值时点M的位置，进一步结合已知条件信息故而用等积法可求一边上的高.
8．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
二、填空题
9．（2024七下·顺德月考）如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为 ．
【答案】116°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BPC=148°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=32°，
∵CP、BP分别是∠ACB与∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2（∠PBC+∠PCB）=64°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=116°.
故答案为：116°.
【分析】由三角形的内角和定理得∠PBC+∠PCB=32°，由角平分线的定义可推出∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=64°，最后再根据三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
10．（2024七下·温州期中） 如图，将平移到的位置（点在边上），若，，则的度数为 ．
【答案】30
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由三角形内角和定理可得，由平移可得，再根据平行线的性质即可求解.
11．（2024七下·深圳期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，且，，则 .
【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接PA，由AE：CE=2：1得S△APE：S△PEC=2：1，故S△APE=2；
而D为AB的中点，得S△ACD=S△BCD，S△APD=S△BPD，故S△ACD-S△APD=S△BCD-S△BPD，得S△APC=S△BPC，即有S△BPC=3
得S△BCE=4AE：EC=2：1，得S△ABE：S△BEC=2：1，得S△ABE=8，于是S△ABC=S△ABE+S△BCE=12
故答案为：12
【分析】连接AP可直接利用题目中的中点与三等分点，得到三角形的面积关系，从而得到△ABC的面积.
12．（2024七上·叙州期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ．
【答案】10
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】，，，，
由图可得
即
即
当CD最小时，最大，
当CD⊥AB时，CD的长度最小，最小值为
的最大值为
故答案为：10.
【分析】根据得到整理得可得当CD⊥AB时，CD的长度最小，最大，利用面积法求得CD的值，从而求解.
三、作图题
13．（2020八上·扎兰屯期末）已知： 如图△ABC，
求作： 一点P， 使P在BC上， 且点P到∠BAC的两边的距离相等.
(要求尺规作图， 并保留作图痕迹， 不要求写作法)
【答案】解：如图：
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】以点A为圆心，以任意长为半径在角的两边画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，以大于线段EF的一半为半径画弧，两弧在角BAC内交于点D，过点D作射线AD，则AD为角BAC的角平分线，AD与BC的交点即为P点，角平分线上的点到角的两边距离相等。
14．（2024·新兴模拟）在中，AD是的平分线，其中点在边BC上.
（1）用圆规和直尺在图中作出角平分线AD.（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的度数.
【答案】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）解：，，
.
平分，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法进行作图即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，最后利用三角形的内角和定理求出∠ADB的度数.
四、解答题
15．（2024七下·温州期中） 如图，在三角形内部有一点F，点D，E分别是边上的点，，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，则，
，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
解得，
．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得，结合 ，再利用平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设∠A=x°，表示出∠F，根据平行线的性质表示出∠CEF和∠BDF，从而可得∠DEF和∠EDF，最后利用三角形的内角和定理，即可得到x的值.
五、实践探究题
16．（2024八下·河池期中） 阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：
如图，在中，．
（1）求的面积；
（2）过点作，垂足为，求线段的长．
【答案】（1）解：，
的面积为：
（2）解：如图，的面积，
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据题意计算出p的值，利用“海伦—秦九韶公式”即可求出的面积；
（2）根据的面积，代入数值进行计算即可得到答案.
六、综合题
17．如图，直线 BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，点E，F 在线段 BC 上(不与点 B，C重合)，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.
（1）OC 与AB 是否平行 请说明理由.
（2）求∠EOB的度数.
（3）若左右平移线段 AB，是否存在某个位置使得∠OEC=∠OBA 若存在，求出此时∠OEC的度数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：OC∥AB，理由如下：
∵BC∥OA，
∴∠C+∠AOC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠C=∠OAB=108° ，
∴∠OAB+∠AOC=180°，
∴OC∥AB（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵BC∥OA，
∴∠C+∠AOC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠C=108° ，
∴∠AOC=180°-108°=72°，
∵OE平分∠COF，
∴∠EOF=∠COF，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠AOF，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COF+∠AOF=(∠COF+∠AOF)=∠AOF=36°；
（3）解：存在∠OEC=∠OBA，理由如下：
设∠OEC=∠OBA=x，
则∠OEB=180°-x，∠OBC=72°-x，
在△OBE中，∠OEB+∠OBC+∠EOB=180°，
∴180-x+72-x+36=180，
解得x=54，
∴∠OEC=54°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）OC∥AB，理由如下：由两直线平行，同旁内角互补得∠C+∠AOC=180°，由等量代换得∠OAB+∠AOC=180°，进而根据同旁内角互补，两直线平行得出OC∥AB；
（2）两直线平行，同旁内角互补可求出∠C的度数，由角平分线的定义及已知可得∠EOF=∠COF，∠FOB=∠AOF，进而根据角的和差，由∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COF+∠AOF=(∠COF+∠AOF)=∠AOF可算出答案；
（3）存在∠OEC=∠OBA，理由如下：设∠OEC=∠OBA=x，则∠OEB=180°-x，∠OBC=72°-x，在△OBE中，根据三角形的内角和定理建立方程可求出x的值，从而此题得解.
18．（2023七下·遂宁期末）如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．
（1）如图1，当都是的角平分线时，求的度数；
（2）如图2，当都是的高时，求的度数；
（3）如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，都是的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
，
∴
∴；
（2）解：∵，都是的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及角的运算求出，再利用三角形的内角和求出即可；
（2）先求出，再结合，求出即可；
（3）先利用角的运算和等量代换求出，再结合，，再求出，结合，可得，最后求出即可.
1 / 1【培优版】浙教版数学八上1.1认识三角形 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·南海期中）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（ ）
A．5cm，8cm，3cm B．10cm，5cm，8cm
C．12cm，5cm，6cm D．6cm，6cm，12cm
2．（2024·惠东模拟）如图，在中，，AE平分，若，，则的度数是（ ）
A．10° B．12° C．13° D．15°
3．（2021七下·马鞍山期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a＋b＝10，ab＝22，那么阴影部分的面积是（ ）
A．15 B．17 C．20 D．22
4．（2024·厚街模拟）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．30°
5．（2024·从江模拟）如图，点P是△ABC的AB边上一动点，当S△APC＝S△BPC时，则CP是△ABC的( )
A．高 B．中线 C．角平分线 D．中位线
6．（2024七下·贵阳期中）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法错误的是( )
A．BF=CF B．∠C+∠CAD=90°
C．∠BAF=∠CAF D．S△ABC=2S△ABF
7．（2024七下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，连接，，若．点M是直线上的一个动点，当最短时，求（ ）
A．5 B． C． D．3
8．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
二、填空题
9．（2024七下·顺德月考）如图，在中，和的平分线相交于点P，若，则的度数为 ．
10．（2024七下·温州期中） 如图，将平移到的位置（点在边上），若，，则的度数为 ．
11．（2024七下·深圳期中）如图，△ABC中，D是AB的中点，且，，则 .
12．（2024七上·叙州期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ．
三、作图题
13．（2020八上·扎兰屯期末）已知： 如图△ABC，
求作： 一点P， 使P在BC上， 且点P到∠BAC的两边的距离相等.
(要求尺规作图， 并保留作图痕迹， 不要求写作法)
14．（2024·新兴模拟）在中，AD是的平分线，其中点在边BC上.
（1）用圆规和直尺在图中作出角平分线AD.（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求的度数.
四、解答题
15．（2024七下·温州期中） 如图，在三角形内部有一点F，点D，E分别是边上的点，，．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若平分，，求的度数．
五、实践探究题
16．（2024八下·河池期中） 阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：
如图，在中，．
（1）求的面积；
（2）过点作，垂足为，求线段的长．
六、综合题
17．如图，直线 BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，点E，F 在线段 BC 上(不与点 B，C重合)，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.
（1）OC 与AB 是否平行 请说明理由.
（2）求∠EOB的度数.
（3）若左右平移线段 AB，是否存在某个位置使得∠OEC=∠OBA 若存在，求出此时∠OEC的度数；若不存在，请说明理由.
18．（2023七下·遂宁期末）如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．
（1）如图1，当都是的角平分线时，求的度数；
（2）如图2，当都是的高时，求的度数；
（3）如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、5+3=8，有两边和等于第三边，故不能构成三角形，不符合题意；
B、5+8=13>10，故可以构成三角形，符合题意；
C、5+6=11<12，有两边和小于第三边，故不能构成三角形，不符合题意；
D、2+2=16，有两边和等于第三边，故不能构成三角形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】三角形的两边和大于第三边，两边差小于第三边.若较小的两边的和小于或等于第三边，即可排除.
2．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=44°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-44°-70°=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=33°-20°=13°.
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC=66°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=33°，根据三角形的内角和是180°可得∠CAD=20°，根据∠DAE=∠CAE-∠CAD即可求解.
3．【答案】B
【知识点】代数式求值；三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得：阴影部分面积．
，，
，
阴影部分面积．
故答案为：B．
【分析】将 a＋b＝10，ab＝22， 代入计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：
延长AE与CD的延长线交于点F，
∵AB//CD，∠AEG=90°，
∴∠F=∠1，∠GEF=90°，
∵∠1=35°，
∴∠F=35°，
∴∠2=180°-∠GEF-∠F=180°-35°-90°=55°.
故答案为：A.
【分析】延长AE与CD的延长线交于点F，根据平行线的性质得到∠F=∠1=35°，再根据三角形内角和定理即可求出∠2的度数，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：设中AB 边上的高为h，
S△APC＝S△BPC ，
，
AP=PB，
点P是AB的中点，
即CP是△ABC的中线.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：对于A，由AF是BC边上的中线，故BF=CF，故A正确，不符合题意；
对于B，由AD为BC边上的高线，故∠ADC=90°，则 ∠C+∠CAD=90° ，故B正确，不符合题意；
对于C，由 AE是角平分线， 故∠BAE=∠CAE，则结合图可知∠BAF<∠CAF，故C错误，符合题意；
对于D，由BF=CF，故，故D正确，不符合题意.
故选：C.
【分析】分别根据三线的简单性质可快速判断ABC，结合等底同高，即等积判断D.
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，依题意得，由垂线段最短可知，当且仅当OM⊥BC时，AM最小.
在△ABC中，有，
∴.
故选：B.
【分析】由垂线段最短分析最值时点M的位置，进一步结合已知条件信息故而用等积法可求一边上的高.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
9．【答案】116°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BPC=148°，
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=32°，
∵CP、BP分别是∠ACB与∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2（∠PBC+∠PCB）=64°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=116°.
故答案为：116°.
【分析】由三角形的内角和定理得∠PBC+∠PCB=32°，由角平分线的定义可推出∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=64°，最后再根据三角形的内角和定理即可算出∠A的度数.
10．【答案】30
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平移得到，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由三角形内角和定理可得，由平移可得，再根据平行线的性质即可求解.
11．【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接PA，由AE：CE=2：1得S△APE：S△PEC=2：1，故S△APE=2；
而D为AB的中点，得S△ACD=S△BCD，S△APD=S△BPD，故S△ACD-S△APD=S△BCD-S△BPD，得S△APC=S△BPC，即有S△BPC=3
得S△BCE=4AE：EC=2：1，得S△ABE：S△BEC=2：1，得S△ABE=8，于是S△ABC=S△ABE+S△BCE=12
故答案为：12
【分析】连接AP可直接利用题目中的中点与三等分点，得到三角形的面积关系，从而得到△ABC的面积.
12．【答案】10
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】，，，，
由图可得
即
即
当CD最小时，最大，
当CD⊥AB时，CD的长度最小，最小值为
的最大值为
故答案为：10.
【分析】根据得到整理得可得当CD⊥AB时，CD的长度最小，最大，利用面积法求得CD的值，从而求解.
13．【答案】解：如图：
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】以点A为圆心，以任意长为半径在角的两边画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，以大于线段EF的一半为半径画弧，两弧在角BAC内交于点D，过点D作射线AD，则AD为角BAC的角平分线，AD与BC的交点即为P点，角平分线上的点到角的两边距离相等。
14．【答案】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）解：，，
.
平分，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法进行作图即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，最后利用三角形的内角和定理求出∠ADB的度数.
15．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：设，则，
，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
解得，
．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质得，结合 ，再利用平行线的判定定理即可得到结论；
（2）设∠A=x°，表示出∠F，根据平行线的性质表示出∠CEF和∠BDF，从而可得∠DEF和∠EDF，最后利用三角形的内角和定理，即可得到x的值.
16．【答案】（1）解：，
的面积为：
（2）解：如图，的面积，
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据题意计算出p的值，利用“海伦—秦九韶公式”即可求出的面积；
（2）根据的面积，代入数值进行计算即可得到答案.
17．【答案】（1）解：OC∥AB，理由如下：
∵BC∥OA，
∴∠C+∠AOC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠C=∠OAB=108° ，
∴∠OAB+∠AOC=180°，
∴OC∥AB（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵BC∥OA，
∴∠C+∠AOC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠C=108° ，
∴∠AOC=180°-108°=72°，
∵OE平分∠COF，
∴∠EOF=∠COF，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠AOF，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COF+∠AOF=(∠COF+∠AOF)=∠AOF=36°；
（3）解：存在∠OEC=∠OBA，理由如下：
设∠OEC=∠OBA=x，
则∠OEB=180°-x，∠OBC=72°-x，
在△OBE中，∠OEB+∠OBC+∠EOB=180°，
∴180-x+72-x+36=180，
解得x=54，
∴∠OEC=54°.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）OC∥AB，理由如下：由两直线平行，同旁内角互补得∠C+∠AOC=180°，由等量代换得∠OAB+∠AOC=180°，进而根据同旁内角互补，两直线平行得出OC∥AB；
（2）两直线平行，同旁内角互补可求出∠C的度数，由角平分线的定义及已知可得∠EOF=∠COF，∠FOB=∠AOF，进而根据角的和差，由∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠COF+∠AOF=(∠COF+∠AOF)=∠AOF可算出答案；
（3）存在∠OEC=∠OBA，理由如下：设∠OEC=∠OBA=x，则∠OEB=180°-x，∠OBC=72°-x，在△OBE中，根据三角形的内角和定理建立方程可求出x的值，从而此题得解.
18．【答案】（1）解：∵，都是的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
，
∴
∴；
（2）解：∵，都是的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及角的运算求出，再利用三角形的内角和求出即可；
（2）先求出，再结合，求出即可；
（3）先利用角的运算和等量代换求出，再结合，，再求出，结合，可得，最后求出即可.
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