【基础版】浙教版数学八上1.5三角形全等的判定 同步练习
一、选择题
1．（新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2020八上·秀洲月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
3．（2019八上·建邺期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO ＝ CO，AB ＝ CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
4．（2020八上·重庆期中）如图，已知 ，再添加一个条件仍不能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·田阳期末） 如图，O为AC的中点，若要利用“SAS”来判定△AOB≌△COD，则应补充的一个条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB＝CD C．∠B＝∠C D．OB＝OD
6．（2024八上·开化期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．（2024八上·南宁期末）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2024八上·南宁期末）如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长，其中，判定和全等的方法是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2016八上·孝义期末）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结AD，CD．则△ABC≌△ADC的依据是 ．
10．（2023八上·兰山开学考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定 ，这里所运用的几何原理是 ．
11．（2024七下·顺德期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ．
12．（2024七下·江油月考）已知，，和的平分线交于点O，过点O作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．则与的度数和为 ．
三、作图题
13．（2024七下·顺德期末）如图，在中，．
（1）作的平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①若．求的度数；
②若，求的面积．
四、解答题
14．（2024七下·吉州月考）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得DE的长为
（1）请你判断他们做法的正确性并说明理由；
（2）河的宽度是多少米？
15．（2024八下·碑林月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接，.若的周长为10，求线段的长.
16．（2024八上·上城期末）已知：如图，与相交于点，，，求证：．
17．（2023八上·黄陂期中）在中，，过直角顶点作直线于点于点．
（1）如图1，当与边不相交时，判断之间的数量关系，并说明理由；
（2）当与边相交时，请在图2中画出图形，并直接写出之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB＝PA，而已知线段PA＝5，∴PB＝5．
【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB＝PA，而已知线段PA＝5，由此即可求出线段PB的长度．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm.
故答案为：B.
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：AC⊥BD，垂足为O，AO ＝ CO，AB ＝ CD，所以由HL可得到△AOB≌△COD，A符合题意.
故答案为：A
【分析】根据斜边和一直角边对应相等可判断 △AOB≌△COD.
4．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在 和 中，已知AC=AD，AB=AB
A、当 时，利用HL可以判断两三角形全等，故选项A正确，不符合题意；
B、当 时，利用SAS可以判断两三角形全等，故选项B正确，不符合题意；
C、当 时，利用SSS可以判断两三角形全等，故选项C正确，不符合题意；
D、当 ，不能判定两三角形全等，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的判定SSS，SAS，AAS，ASA，HL逐一分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵O为AC的中点，
∴AO=CO，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
∴若要利用“SAS”来判定△AOB≌△COD，则应补充的一个条件是BO=DO.
故答案为：D.
【分析】根据中点定义找出AO=CO，根据对顶角相等得出∠AOB=∠COD，从而根据三角形全等的判定方法“SAS”可得需要添加的第三个条件只能是夹∠AOB与∠COD的另一组边OB与OD相等，据此可得答案.
6．【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由图知：有确定的两角及夹边，
∴师傅配出相同玻璃的依据是角边角（ASA）.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：师傅配出相同玻璃的依据是角边角.
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图，
∵是的角平分线，，
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=CD，进而根据线段间的数量关系即可求解.
8．【答案】B
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵点O为BC和AD的中点，
∴
在和中
∴
∴CD=AB.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定定理“SAS”即可求解.
9．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由作图可知：AB=AD，CD=CB，
∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案为：SSS．
【分析】根据作图过程得出AB=AD，CD=CB，又AC=AC，从而利用SSS判断出△ABC≌△ADC 。
10．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解： 一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里运用的几何原理是三角形的稳定性；
故答案为：三角形的稳定性.
【分析】三角形的稳定性，据此解答即可.
11．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知是线段的垂直平分线，
，
∵与的周长之差为4，
即AC+BC+AB-(AE+BE+AB)=4
∴，即CA-EA=2
∵，
∴5-AE=2，
∴，
【分析】根据作图，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵和的平分线BO和CO交于点O，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可知，又因为和的平分线BO和CO交于点O，，所以。 可得与的度数和。 熟练掌握 三角形内角和定理，角平分线的定义和平行线的性质， 是解答本题的关键。
13．【答案】（1）解：如图所示，∠ABC的平分线BD交AC于点D.
（2）解：①∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵∠ADB=180°-∠A-∠ABD；
∴∠ADB=180°-38°-26°=116°
②过点D作DH⊥AB交AB于点H
∵是的平分线，∠C=90°，
∴点D到的距离为DH，DH=CD=2
∵AB=5
∴．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图—角平分线，作图即可；
（2）①根据三角形内角和定理求出，再由BO是∠ABC的平分线得出，最后在中，利用三角形内角和定理求出∠ADB即可；②根据角平分线的性质， 过点D作DH⊥AB交AB于点H ，得到 DH=CD=2 ，DH即为的高，从而求解即可。
14．【答案】（1）解：由题意可知，，
在和中
∴
∴，即他们的做法是正确的
（2）解：由（1）可知，
∴河的宽度是
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明，再根据全等三角形性质即可得解；
（2）根据全等三角形性质可得，即可得到答案．
15．【答案】解：垂直平分垂直平分，
，.
的周长为10，
，
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出，，则可以推出BC等于的周长 ，即可解答.
16．【答案】证明：，，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由等式的性质推出∠ABC=∠DCB，从而由ASA判断出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得AB=DC.
17．【答案】（1）解：证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
；
，
，
；
（2）解：或.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）理由：如图2，与边相交且，
∵于点于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
如图3，与边相交且，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．
【分析】（1）根据等量代换的原则，可得∠BAD=∠ACE；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得AD=CE，BD=AE；根据等量代换原则，可得DE=BD+CE；
（2）根据三角形全等的判定（AAS）和等量代换原则分类讨论即可解题.
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一、选择题
1．（新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB＝PA，而已知线段PA＝5，∴PB＝5．
【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB＝PA，而已知线段PA＝5，由此即可求出线段PB的长度．
2．（2020八上·秀洲月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm.
故答案为：B.
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案.
3．（2019八上·建邺期末）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO ＝ CO，AB ＝ CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．SSS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：AC⊥BD，垂足为O，AO ＝ CO，AB ＝ CD，所以由HL可得到△AOB≌△COD，A符合题意.
故答案为：A
【分析】根据斜边和一直角边对应相等可判断 △AOB≌△COD.
4．（2020八上·重庆期中）如图，已知 ，再添加一个条件仍不能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在 和 中，已知AC=AD，AB=AB
A、当 时，利用HL可以判断两三角形全等，故选项A正确，不符合题意；
B、当 时，利用SAS可以判断两三角形全等，故选项B正确，不符合题意；
C、当 时，利用SSS可以判断两三角形全等，故选项C正确，不符合题意；
D、当 ，不能判定两三角形全等，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的判定SSS，SAS，AAS，ASA，HL逐一分析判断即可.
5．（2024八上·田阳期末） 如图，O为AC的中点，若要利用“SAS”来判定△AOB≌△COD，则应补充的一个条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AB＝CD C．∠B＝∠C D．OB＝OD
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵O为AC的中点，
∴AO=CO，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
∴若要利用“SAS”来判定△AOB≌△COD，则应补充的一个条件是BO=DO.
故答案为：D.
【分析】根据中点定义找出AO=CO，根据对顶角相等得出∠AOB=∠COD，从而根据三角形全等的判定方法“SAS”可得需要添加的第三个条件只能是夹∠AOB与∠COD的另一组边OB与OD相等，据此可得答案.
6．（2024八上·开化期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由图知：有确定的两角及夹边，
∴师傅配出相同玻璃的依据是角边角（ASA）.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：师傅配出相同玻璃的依据是角边角.
7．（2024八上·南宁期末）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，如图，
∵是的角平分线，，
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=CD，进而根据线段间的数量关系即可求解.
8．（2024八上·南宁期末）如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长，其中，判定和全等的方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵点O为BC和AD的中点，
∴
在和中
∴
∴CD=AB.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定定理“SAS”即可求解.
二、填空题
9．（2016八上·孝义期末）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结AD，CD．则△ABC≌△ADC的依据是 ．
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由作图可知：AB=AD，CD=CB，
∵在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案为：SSS．
【分析】根据作图过程得出AB=AD，CD=CB，又AC=AC，从而利用SSS判断出△ABC≌△ADC 。
10．（2023八上·兰山开学考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定 ，这里所运用的几何原理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解： 一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里运用的几何原理是三角形的稳定性；
故答案为：三角形的稳定性.
【分析】三角形的稳定性，据此解答即可.
11．（2024七下·顺德期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图过程可知是线段的垂直平分线，
，
∵与的周长之差为4，
即AC+BC+AB-(AE+BE+AB)=4
∴，即CA-EA=2
∵，
∴5-AE=2，
∴，
【分析】根据作图，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解．
12．（2024七下·江油月考）已知，，和的平分线交于点O，过点O作BC的平行线分别交AB，AC于点E，F．则与的度数和为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵和的平分线BO和CO交于点O，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形内角和定理可知，又因为和的平分线BO和CO交于点O，，所以。 可得与的度数和。 熟练掌握 三角形内角和定理，角平分线的定义和平行线的性质， 是解答本题的关键。
三、作图题
13．（2024七下·顺德期末）如图，在中，．
（1）作的平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①若．求的度数；
②若，求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，∠ABC的平分线BD交AC于点D.
（2）解：①∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵∠ADB=180°-∠A-∠ABD；
∴∠ADB=180°-38°-26°=116°
②过点D作DH⊥AB交AB于点H
∵是的平分线，∠C=90°，
∴点D到的距离为DH，DH=CD=2
∵AB=5
∴．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图—角平分线，作图即可；
（2）①根据三角形内角和定理求出，再由BO是∠ABC的平分线得出，最后在中，利用三角形内角和定理求出∠ADB即可；②根据角平分线的性质， 过点D作DH⊥AB交AB于点H ，得到 DH=CD=2 ，DH即为的高，从而求解即可。
四、解答题
14．（2024七下·吉州月考）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处；
③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走；
④测得DE的长为
（1）请你判断他们做法的正确性并说明理由；
（2）河的宽度是多少米？
【答案】（1）解：由题意可知，，
在和中
∴
∴，即他们的做法是正确的
（2）解：由（1）可知，
∴河的宽度是
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明，再根据全等三角形性质即可得解；
（2）根据全等三角形性质可得，即可得到答案．
15．（2024八下·碑林月考）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，连接，.若的周长为10，求线段的长.
【答案】解：垂直平分垂直平分，
，.
的周长为10，
，
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出，，则可以推出BC等于的周长 ，即可解答.
16．（2024八上·上城期末）已知：如图，与相交于点，，，求证：．
【答案】证明：，，
，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由等式的性质推出∠ABC=∠DCB，从而由ASA判断出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应边相等得AB=DC.
17．（2023八上·黄陂期中）在中，，过直角顶点作直线于点于点．
（1）如图1，当与边不相交时，判断之间的数量关系，并说明理由；
（2）当与边相交时，请在图2中画出图形，并直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）解：证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
；
，
，
；
（2）解：或.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）理由：如图2，与边相交且，
∵于点于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
如图3，与边相交且，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．
【分析】（1）根据等量代换的原则，可得∠BAD=∠ACE；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得AD=CE，BD=AE；根据等量代换原则，可得DE=BD+CE；
（2）根据三角形全等的判定（AAS）和等量代换原则分类讨论即可解题.
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