【提升版】浙教版数学八上1.5三角形全等的判定 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·鄞州期末） 根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、因为3+4＜8，所以不能画出三角形，所以A不符合题意；
B、根据ASA可以判断，这样的三角形是唯一的，所以能唯一画出△ABC， 所以B符合题意；
C、根据SSA不能判断满足条件的三角形是唯一的，所以C不符合题意；
D、根据斜边和直角不能确定直角三角形，所以D不符合题意.
故答案为：B。
【分析】根据三角形三边之间的关系，以及三角形全等的判定方法，即可得出答案.
2．（2024七下·鄞州期末） 如图， 是 的高线， 与 相交于点 . 若 ，且 的面积为 12，则 的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ 的面积为 12，AD=6，
∴，
∴CD=4，
∵ 是 的高线 ，
∴∠DBF+∠C=∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在和中
∵∠DBF=∠DAC，BD=AD，∠BDF=∠ADC=90°，
∴≌，
∴FD=CD=4，
∴AF=AD-FD=6-4=2.
故答案为：C.
【分析】首先根据三角形的面积计算公式可得出CD=4，然后根据ASA可证明≌，得出FD=CD=4，进而得出AF=2.
3．（2024九下·二道模拟）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；
（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵根据小举的操作过程可得：第一步是作一个角等于已知角，再作出夹这个角的两条边分别对应相等，从而利用“SAS”即可证出三角形全等，再利用全等三角形的性质可得答案，
∴可得出小举是在探究基本事实SAS，
故选：C
【分析】根据作图步骤可得出小举在探究全等三角形判定方法为SAS．
4．（2024·南山模拟）如上图，点B、F、C、E都在一条直线上，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A选项，时，ABC和DEF为直角三角形，故由得(HL)，A正确；
B选项，结合得(SAS)，B正确；
C选项，若，不能判断两三角形全等，为“边边角”；
D选项，，结合，可得(SSS)，D正确；
故答案为：C.
【分析】分别判断每一个选项中的条件，能否证明三角形全等，即可.
5．（2024·乌鲁木齐模拟）如图，①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②面一条射线以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧相交于点；④过点画射线．则有．其依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，OC=OD=O'C'=O'D'，CD=C'D'，
在和中，
OC=OC'，OD=O'D'，CD=C'D'，
，
∠O=∠O'，
即．
故答案为：A.
【分析】先根据作图步骤得到OC=OD=O'C'=O'D'，CD=C'D'，利用“SSS”证明，得出∠O=∠O'，据此可知判定依据为SSS.
6．（2024·阿克苏模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意得，PD⊥AB时，PD取最小值，
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°，PD⊥AB，
∴ PD=CD=5.
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短，角平分线的尺规作图和角平分线的性质，即可求得.
7．（2024八下·信宜月考）如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（ ）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．，两内角平分线的交点处
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得足球所在的位置到△ABC三个顶点的距离相等，而到A、C两点距离相等的点在线段AC的垂直平分线上，到B、C距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，所以足球应该放到AC，BC两边垂直平分线的交点处.
故答案为：C.
【分析】根据到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可求解.
8．（2024八上·邵阳期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得 ； 即可得出①正确；假定 ，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
二、填空题
9．（2024·郫都模拟）如图，在中，，．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的大小为 度．
【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：DF是AB的垂直平分线，AE是∠DAC的平分线，
∴BD=AD，∠DAE=∠CAE=∠DAC，
∴∠DAB=∠B，
∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-50°=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠CAE=∠DAC=×50°=25°.
故答案为：25.
【分析】由作图可得：DF是AB的垂直平分线，AE是∠DAC的平分线，由线段的垂直平分线的性质可得BD=AD，由角的平分线的性质可得∠DAE=∠CAE=∠DAC，由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角的构成∠DAC=∠BAC-∠BAD求出∠DAC的度数，则∠DAE=∠CAE=∠DAC可求解.
10．（2024·郫都模拟）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图．若测出米，则AB的长为 米．
【答案】20
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由题意得：AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△EDC中
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=DE，
∵DE=20，
∴AB=20.
故答案为：20.
【分析】由题意，用角边角可证△ABC≌△EDC，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可得AB=DE可求解.
11．（2021七下·金山期末）如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，BE=1cm，那么DE= cm．
【答案】2
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CDA与△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE，
∵AD=3cm，BE=1cm，
∴DE=3-1=2（cm），
故答案为：2．
【分析】根据AAS证明△CDA≌△BEC，可得CD=BE，CE=AD，从而得出DE=CE-CD=AD-BE，据此即可得解.
12．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
三、作图题
13．（2024八下·黎川期中） 如图在网格中，三角形的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作的平分线，交于点．
（2）在图2中，作的平分线，交于点．
【答案】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为所求．
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据正方形的对角线性质，取格点O，连接BO并延长，交AC于D即可作出图形；
（2）由勾股定理可得AC的长，根据对称性作图，取格点D，使CD=CA，取格点O，可得OA=OD，连接OC，由对称性可知∠OAC=∠ODC，网格中，则∠MAO=∠ODC，从而得到∠OAC=∠OAM，延长AO交BC于点E即可作出图形．
四、解答题
14．（2019八上·平潭月考）如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。
15．（2024七下·吉州月考）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接DC．已知，，．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明∵
∴
即
在和中，
∴
（2）解：∵
∴，
在和中，
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）证明，利用全等三角形判定定理AAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得到，利用SSS证明，得到，即可得到答案．
16．（2024·长沙模拟）如图，在中，是边的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，的长是偶数，求的长．
【答案】（1）证明：是边的中点，
，
，
，，
在和中，
；
（2）解：由（1）可知，
，
在中，，
，
，
又，
，
的长是偶数，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的判定AAS证出即可.
(2)先根据全等三角形的性质得到AB=CE，再根据三角形三边关系求出即可.
五、实践探究题
17．（2024七下·顺德期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究．如图1，在中，是边上的中线，过点作的平行线．
独立思考：
（1）在图1中的直线上取点（点在点左侧），使，连接交于点，得到图2．试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）在图1中的直线上取点（点分别在点的两侧），使，连接交于点，连接交于点，得到图3．小宇发现，请你帮她说明理由；
合作交流：
（3）同学们在图3的基础上展开了更深入的探究．若，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】解：（1）；理由如下：
∵，
∴，∠FAE=∠FBD
又∵，
∴（ASA）．
∴．
（2）∵，AD是BC边上的中线
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
∵直线，∴直线l⊥AD
∴∠DAG=∠DAH=90°
∴∠DAG-∠BAD=∠DAH-∠CAD．即∠MAG=∠NAH
∵，
∴AD是的垂直平分线．
∴．∴．
∴（ASA）．
∴．
（3）或或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（3）∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠B=∠C=70°.
∵直线，
∴∠MAG=∠B=70°，
当是等腰三角形时，可分三种情况：
当=70°时，
∵，
∴∠MGA=∠NAH=70°，
∴∠GDH=180°-∠MGA-∠NHA=40°；
当=70°时，
∠MGA=180°-∠GAM-∠GMA=40°
∵，
∴∠MGA=∠NAH=40°，
∴∠GDH=180°-∠MGA-∠NHA=100°；
当时，
∵∠MAG=70°，∠BAD=∠CAD
∴
∵，
∴∠MGA=∠NAH=55°.
∴∠GDH=180°-∠MGA-∠NHA=70°
综上所述：为或或．
【分析】（1）用ASA证明．从而可得结论；
（2）证明∠BAD=∠CAD，直线l⊥AD，可得∠MAG=∠NAH，证明AD是的垂直平分线，可得，，证明，从而可得答案；
（3）可由AB=AC，∠BAC=40°，以及直线，得出∠MAG=∠B=70°；当是等腰三角形时，分三种情况讨论：当时，当时，当时，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可得答案．
18．（2024·长沙模拟） 阅读材料，完成下面问题：
如图，点A是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．
（1）在直线上任取一点，画线段． （2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点． （3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线 （4）以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．
（1）利用，可得到平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）解：
（2）解：过点A作，由作图得，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解题】（1）由作图可知BM=BN，CM=CN，BC=BC，
，
平分，
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质即可求解；
（2） 过点A作， 根据作图与角平分线的性质求得， 进而得到， 从而得出结论.
六、综合题
19．（2024七下·廉江月考）如图1，已知直线，点为直线AB，ED之间（不在直线上）的一个动点，连接CB，CD，BE平分平分和DA交于点．
（1）证明：，
（2）如图2，连接CF，则在点的运动过程中，当满足时：
①若，求的度数；
②若，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
（2）解：①，
②设，则，
的平分线交直线ED于点，
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据平分， ，内错角相等证明即可；
（2）① 由题意得，由有又因为，所以即；
②设，则，由
有又由有根据得即则所以
20．（2022八上·双辽期中）如图，在中，，，为边的中点，过点A作交的延长线于点平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明： ， ，
，
平分 ，
，
，
在 与 中，
，
；
（2）证明： 为 边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
由（1）可得： ，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证明，利用“ASA”证明 即可；
（2）先利用“ASA”证明 ，可得AD=CG，再利用，可得，即可得到。
21．（2020八上·潮州期末）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
【答案】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°
（3）解：延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．
1 / 1【提升版】浙教版数学八上1.5三角形全等的判定 同步练习
一、选择题
1．（2024七下·鄞州期末） 根据下列已知条件，能唯一画出 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·鄞州期末） 如图， 是 的高线， 与 相交于点 . 若 ，且 的面积为 12，则 的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2024九下·二道模拟）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线BˊN；
（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；
（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；
（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS
4．（2024·南山模拟）如上图，点B、F、C、E都在一条直线上，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·乌鲁木齐模拟）如图，①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；②面一条射线以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步所画的弧相交于点；④过点画射线．则有．其依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·阿克苏模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024八下·信宜月考）如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（ ）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．，两内角平分线的交点处
8．（2024八上·邵阳期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2024·郫都模拟）如图，在中，，．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的大小为 度．
10．（2024·郫都模拟）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图．若测出米，则AB的长为 米．
11．（2021七下·金山期末）如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，BE=1cm，那么DE= cm．
12．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
三、作图题
13．（2024八下·黎川期中） 如图在网格中，三角形的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）
（1）在图1中，作的平分线，交于点．
（2）在图2中，作的平分线，交于点．
四、解答题
14．（2019八上·平潭月考）如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
15．（2024七下·吉州月考）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接DC．已知，，．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
16．（2024·长沙模拟）如图，在中，是边的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，的长是偶数，求的长．
五、实践探究题
17．（2024七下·顺德期末）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探究．如图1，在中，是边上的中线，过点作的平行线．
独立思考：
（1）在图1中的直线上取点（点在点左侧），使，连接交于点，得到图2．试判断与的数量关系，并说明理由；
（2）在图1中的直线上取点（点分别在点的两侧），使，连接交于点，连接交于点，得到图3．小宇发现，请你帮她说明理由；
合作交流：
（3）同学们在图3的基础上展开了更深入的探究．若，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
18．（2024·长沙模拟） 阅读材料，完成下面问题：
如图，点A是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．
（1）在直线上任取一点，画线段． （2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点． （3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线 （4）以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．
（1）利用，可得到平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据；
（2）若，，求线段的长．
六、综合题
19．（2024七下·廉江月考）如图1，已知直线，点为直线AB，ED之间（不在直线上）的一个动点，连接CB，CD，BE平分平分和DA交于点．
（1）证明：，
（2）如图2，连接CF，则在点的运动过程中，当满足时：
①若，求的度数；
②若，求的度数．
20．（2022八上·双辽期中）如图，在中，，，为边的中点，过点A作交的延长线于点平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：
（1） ；
（2） ．
21．（2020八上·潮州期末）如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD=2BF+DE．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、因为3+4＜8，所以不能画出三角形，所以A不符合题意；
B、根据ASA可以判断，这样的三角形是唯一的，所以能唯一画出△ABC， 所以B符合题意；
C、根据SSA不能判断满足条件的三角形是唯一的，所以C不符合题意；
D、根据斜边和直角不能确定直角三角形，所以D不符合题意.
故答案为：B。
【分析】根据三角形三边之间的关系，以及三角形全等的判定方法，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵ 的面积为 12，AD=6，
∴，
∴CD=4，
∵ 是 的高线 ，
∴∠DBF+∠C=∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在和中
∵∠DBF=∠DAC，BD=AD，∠BDF=∠ADC=90°，
∴≌，
∴FD=CD=4，
∴AF=AD-FD=6-4=2.
故答案为：C.
【分析】首先根据三角形的面积计算公式可得出CD=4，然后根据ASA可证明≌，得出FD=CD=4，进而得出AF=2.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵根据小举的操作过程可得：第一步是作一个角等于已知角，再作出夹这个角的两条边分别对应相等，从而利用“SAS”即可证出三角形全等，再利用全等三角形的性质可得答案，
∴可得出小举是在探究基本事实SAS，
故选：C
【分析】根据作图步骤可得出小举在探究全等三角形判定方法为SAS．
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A选项，时，ABC和DEF为直角三角形，故由得(HL)，A正确；
B选项，结合得(SAS)，B正确；
C选项，若，不能判断两三角形全等，为“边边角”；
D选项，，结合，可得(SSS)，D正确；
故答案为：C.
【分析】分别判断每一个选项中的条件，能否证明三角形全等，即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，OC=OD=O'C'=O'D'，CD=C'D'，
在和中，
OC=OC'，OD=O'D'，CD=C'D'，
，
∠O=∠O'，
即．
故答案为：A.
【分析】先根据作图步骤得到OC=OD=O'C'=O'D'，CD=C'D'，利用“SSS”证明，得出∠O=∠O'，据此可知判定依据为SSS.
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意得，PD⊥AB时，PD取最小值，
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°，PD⊥AB，
∴ PD=CD=5.
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短，角平分线的尺规作图和角平分线的性质，即可求得.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得足球所在的位置到△ABC三个顶点的距离相等，而到A、C两点距离相等的点在线段AC的垂直平分线上，到B、C距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，所以足球应该放到AC，BC两边垂直平分线的交点处.
故答案为：C.
【分析】根据到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可求解.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得 ； 即可得出①正确；假定 ，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
9．【答案】25
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可得：DF是AB的垂直平分线，AE是∠DAC的平分线，
∴BD=AD，∠DAE=∠CAE=∠DAC，
∴∠DAB=∠B，
∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-50°=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠CAE=∠DAC=×50°=25°.
故答案为：25.
【分析】由作图可得：DF是AB的垂直平分线，AE是∠DAC的平分线，由线段的垂直平分线的性质可得BD=AD，由角的平分线的性质可得∠DAE=∠CAE=∠DAC，由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角的构成∠DAC=∠BAC-∠BAD求出∠DAC的度数，则∠DAE=∠CAE=∠DAC可求解.
10．【答案】20
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由题意得：AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△EDC中
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=DE，
∵DE=20，
∴AB=20.
故答案为：20.
【分析】由题意，用角边角可证△ABC≌△EDC，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可得AB=DE可求解.
11．【答案】2
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CDA与△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE，
∵AD=3cm，BE=1cm，
∴DE=3-1=2（cm），
故答案为：2．
【分析】根据AAS证明△CDA≌△BEC，可得CD=BE，CE=AD，从而得出DE=CE-CD=AD-BE，据此即可得解.
12．【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
13．【答案】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为所求．
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据正方形的对角线性质，取格点O，连接BO并延长，交AC于D即可作出图形；
（2）由勾股定理可得AC的长，根据对称性作图，取格点D，使CD=CA，取格点O，可得OA=OD，连接OC，由对称性可知∠OAC=∠ODC，网格中，则∠MAO=∠ODC，从而得到∠OAC=∠OAM，延长AO交BC于点E即可作出图形．
14．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。
15．【答案】（1）证明∵
∴
即
在和中，
∴
（2）解：∵
∴，
在和中，
∴
∴
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）证明，利用全等三角形判定定理AAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得到，利用SSS证明，得到，即可得到答案．
16．【答案】（1）证明：是边的中点，
，
，
，，
在和中，
；
（2）解：由（1）可知，
，
在中，，
，
，
又，
，
的长是偶数，
．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据全等三角形的判定AAS证出即可.
(2)先根据全等三角形的性质得到AB=CE，再根据三角形三边关系求出即可.
17．【答案】解：（1）；理由如下：
∵，
∴，∠FAE=∠FBD
又∵，
∴（ASA）．
∴．
（2）∵，AD是BC边上的中线
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
∵直线，∴直线l⊥AD
∴∠DAG=∠DAH=90°
∴∠DAG-∠BAD=∠DAH-∠CAD．即∠MAG=∠NAH
∵，
∴AD是的垂直平分线．
∴．∴．
∴（ASA）．
∴．
（3）或或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（3）∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠B=∠C=70°.
∵直线，
∴∠MAG=∠B=70°，
当是等腰三角形时，可分三种情况：
当=70°时，
∵，
∴∠MGA=∠NAH=70°，
∴∠GDH=180°-∠MGA-∠NHA=40°；
当=70°时，
∠MGA=180°-∠GAM-∠GMA=40°
∵，
∴∠MGA=∠NAH=40°，
∴∠GDH=180°-∠MGA-∠NHA=100°；
当时，
∵∠MAG=70°，∠BAD=∠CAD
∴
∵，
∴∠MGA=∠NAH=55°.
∴∠GDH=180°-∠MGA-∠NHA=70°
综上所述：为或或．
【分析】（1）用ASA证明．从而可得结论；
（2）证明∠BAD=∠CAD，直线l⊥AD，可得∠MAG=∠NAH，证明AD是的垂直平分线，可得，，证明，从而可得答案；
（3）可由AB=AC，∠BAC=40°，以及直线，得出∠MAG=∠B=70°；当是等腰三角形时，分三种情况讨论：当时，当时，当时，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可得答案．
18．【答案】（1）解：
（2）解：过点A作，由作图得，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解题】（1）由作图可知BM=BN，CM=CN，BC=BC，
，
平分，
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质即可求解；
（2） 过点A作， 根据作图与角平分线的性质求得， 进而得到， 从而得出结论.
19．【答案】（1）证明：平分，
（2）解：①，
②设，则，
的平分线交直线ED于点，
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据平分， ，内错角相等证明即可；
（2）① 由题意得，由有又因为，所以即；
②设，则，由
有又由有根据得即则所以
20．【答案】（1）证明： ， ，
，
平分 ，
，
，
在 与 中，
，
；
（2）证明： 为 边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
由（1）可得： ，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先证明，利用“ASA”证明 即可；
（2）先利用“ASA”证明 ，可得AD=CG，再利用，可得，即可得到。
21．【答案】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）
（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°
（3）解：延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．
1 / 1
