【培优版】浙教版数学八上1.6尺规作图 同步练习
一、选择题
1．（2024·峰峰矿模拟）综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线．其作图过程如下：
如图2，在射线上取一点D（不与点O重合），作，且点C落在内部；
如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线，射线就是的平分线．
图1 图2 图3
在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
2．（2024·莲池模拟）已知△ABC，，．用尺规在边AC上求作一点P，使．下图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确
C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确
3．（2024七下·乐平期中）如图，用尺规作出，则作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
4．在 中， 是 上一点， 利用尺规在 上作出一点 ， 使得 ， 则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
5．（华师大版数学八年级上册第十三章第四节13.4.2作一个角等于已知角 同步练习）用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
6．（2024八下·榕江月考）如图所示，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB+PC=AB，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·绥江模拟） 如图，在中，为直角，先以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点F，作射线AF交BC于点G，P为AC上的一个动点，连接PG，若，则PG的最小值为（ ）
A．15 B．10 C．5 D．2.5
8．（2024·长沙模拟）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
二、填空题
9．（2024八上·老河口期末）如图，在 中， ， 分别以 两点为圆心， 大于 的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则的周长为 ．
10．（2024八上·通道期末）如图，中，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、点N，作直线，分别交于点D和于点E ，连接，若，，则 ．
11．（2024八上·邛崃期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若点D到的距离为4，，则的面积为 ．
12．如图，a//b，直线l与直线a，b分别相交于B，A两点.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连结AC.若∠CDA=34°，则∠CAB的度数为 .
三、作图题
13．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册2.4 用尺规作角 同步练习）仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.
14．（2023八上·朔州月考）如图，△ABC是锐角三角形．
（1）作△ABC的中线AD（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在所作的图中，若AC－AB＝4，则△ACD与△ABD的周长差是 ．
四、解答题
15．（2024八下·瑞昌期中）已知直线l及位于其两侧的两点A、B，如图，
（1）在图①中的直线l上求一点P，使PA=PB；
（2）在图②中的直线l上求一点Q使直线l平分 ．
16．（2023七上·绿园月考）已知平分，，点、分别在射线、上运动，满足，连接．
（1）如图1，当点在点左侧时，求证：；
（2）如图2，当点在点右侧时，设，，请直接用含，的代数式表示的度数 ；
（3）射线下方有一点，连接，，满足平分，平分，若，，请直接写出的度数 ．
17．（2023八下·南岸期末）在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
∵垂直平分线段，
∴BE= ▲ ，．
在和中，∵，
∴．∴ ▲ ．
∵在中，，，
∴ ▲ °．
∴ ▲ °．
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
五、实践探究题
18．（2024八下·南宁月考）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
×年×月×日 星期日 用等面积法解决问题 周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的. 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式____①____. 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题.如图2，在中，，，，求点到的距离.我们也可以利用等面积法求得点到的距离为____②____. 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系.
任务：
（1）请你补全小宇日记中不完整的部分：① ，② .
（2）尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）.
（3）在（2）的条件下，求线段的长度.
19．（2022·易县模拟）阅读材料并解决问题：
已知：如图，及内部一点P． 求作：经过点P的线段，使得点E，F分别在射线，上，且． 作法：如图． ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点M，N； ②连接，作线段的垂直平分线，得到线段的中点C； ③连接并在它的延长线上截取； ④作射线，分别交射线，于点F，E．线段就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
由②得，线段（ ）（填“＞”，“＝”或“＜”）．
在和中，
∴
∴．
∴（ ）（填推理的依据）．
又由①得，线段．
可得．
六、综合题
20．（2023七下·平谷期末）如图，，平分，交于点D，过点D作与交于点E，
（1）依据题意补充图形；
（2）设，则 （用含的式子表示）；
（3）求证：．
21．（2023七下·石景山期末）如图，被所截，于点D．E为直线上一点，过点E作的垂线，垂足为F，过点D作交于点G．
（1）若点E在线段上，
①根据题意补全图形；
②判断与的数量关系，并证明；
（2）若点E不在线段上，直接写出与的数量关系为 ；
（3）通过本题前两问的解决，观察与的位置关系和数量关系，归纳出一个你发现的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
故A、B会用到，不符合题意；
以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，
，
（等边对等角），
，
射线就是的平分线．
故C会用到，不符合题意；
综上所述，D不可能用到，
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定与性质结合角平分线的性质对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】由甲图痕迹知知BP⊥AC，而∠C=45°，故∠PBC=45°；而乙中痕迹可知BP平分∠ABC，而∠ABC≠90°，故乙不能说明∠PBC=45°；
故答案：C.
【分析】根据甲乙的作图痕迹即可判断∠PBC是否等于45°.
3．【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的作法可知弧FG是以点为圆心，为半径的弧。
故答案为：D.
【分析】根据作一个角等于已知角的作法可知弧FG是以点为圆心，为半径的弧。
4．【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A、由作图得：EF垂直平分AD，得不到 ，故A不符合题意；
B、由作图得：CE平分∠ACB，得不到 ，故B不符合题意；
C、由作图得：AE=AD，∴∠AED=∠ADE，得不到 ，故C不符合题意；
D、由作图得：∠ADE=∠B，
∴∠A+∠AED=∠A+∠C，
∴∠AED=∠C，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据作图信息逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【解答】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C
选C．
【分析】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段
6．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
【解析】【解答】解：∵点P在AB上，
∴PB+PA=AB，
∵PB+PC=AB，
∴PC=PA，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
∴作出线段AC的垂直平分线交AB于点P，
故答案为：C.
【分析】 先证出PC=PA，可得点P在线段AC的垂直平分线上，再逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得平分，
∵P为上的一个动点，
∴当时，的长最小，过G作于，
∵平分，为直角，，
∴，
故的最小值为5，
故答案为：C
【分析】先根据作图-角的平分线得到平分，进而结合题意得到当时，的长最小，过G作于，再根据角平分线的性质即可求解。
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AB于点D，
∵∠C=90°，
∴ED=EC=3，
∴的面积为 ：.
故答案为：B.
【分析】首先根据作图过程可得出AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AB于点D，再根据角平分线的性质得出ED=EC=3，最后根据三角形的面积计算公式求得的面积即可。
9．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知：NM垂直平分AB，
所以AD=BD，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+3=8.
故答案为：8.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，从而得出△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，据此计算即可.
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、点N，作直线，
∴为的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据作图-垂直平分线结合垂直平分线的性质得到，进而进行角的运算即可求解。
11．【答案】24
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：AP平分∠BAC，
根据平分线的性质定理可得，D到AB和AC的距离相等，
又∵点D到的距离为4，
∴CD=4，
则的面积为
故答案为：24
【分析】根据尺规作图可得，AP平分∠BAC，再根据角平分线的性质定理可得，D到AB和AC的距离相等，得到CD=4，根据三角形的面积公式即可求解。
12．【答案】56°
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：直线CD是AB的垂线平分线，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵a∥b，
∴∠ADC＝∠BCD＝34°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，
∴∠CAB＝∠CBA（180°﹣68°）＝56°．
故答案为：56°．
【分析】由作图可判断直线CD是AB的垂直平分线，可得CA＝CB，然后利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质可求出∠CBA的度数即可解答．
13．【答案】（1）解：首先根据题意画出图形，然后再利用SSS定理证明△ACO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，进而得到射线OC就是∠MON的平分线
（2）解：．由（1）可知OM、ON分别是∠POQ、∠QOG的平分线，则∠MON=90°。
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意可知，连接AF、BE，交于点C，过点C作射线OM即可。
（2）利用同样的方法作射线ON平分∠QOG，OM平分∠POQ，利用角平分线的定义及平角的定义，可证得∠MON=90°，再利用垂直的定义，可证得结论。
14．【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形相关概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，如图所示：
∵是线段的垂直平分线，交于点，
∴点是的中点，
∴线段是的中线，
则线段即为所作；
（2）由（1）知：点是的中点，
∴，
∴的周长为：，
的周长为：，
又∵，
∴与的周长差为：
，
∴与的周长差为，
故答案为：
【分析】（1）根据作图-垂直平分线作线段的垂直平分线，交于点，连接，即可求解；
（2）由（1）知：点是的中点，进而得到BD=CD，再根据三角形的周长结合题意即可求解。
15．【答案】（1）解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线相交于P点，则P点即为所求；
（2）解：作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，连接BQ，则Q点即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线，与l的交点即为点P；
（2）作B的对称点B'，使直线l上下两个三角形全等.
16．【答案】（1）证明： ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）
（3）或
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；尺规作图-作三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：
（1）证明： ∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：根据题意已知，，，
所以，，
因为，，
所以，
又因为，
所以，所以。
故答案为：.
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵平分，
∴，
当点在点左侧时，如图所示：
在中，
；
当点在点右侧时，如图所示：
在中，
．
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意利用角平分线的定义可以证明出∠DGA=∠DAG，然后可以得到AD∥BC，再证出∠AEF+∠BAD=180°，则可以证明出AB∥EF。
（2）根据题意利用三角形内角和为180°，可以求出∠B，然后得到，，然后同理可以求出。
（3）根据题意可以先求出，根据AH平分∠BAG，EH平分∠FEG，然后分两种情况进行讨论，
17．【答案】解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
∵垂直平分线段，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵在中，，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先作图，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，利用三角形全等的判定定理SAS以及全等三角形的性质得到∠DBE=∠C=30°，计算得出∠ABD=30°，再利用三角形全等的判定定理AAS，证明出△DBA≌△DBE，进而得出 ．
18．【答案】（1）；
（2）解：如图所示，线段即为所求；
（3）解：过作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故线段的长度为.
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；三角形全等的判定；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：①正方形面积等于边长乘以边长，即，
正方形面积也可以等于各个小部分的面积之和，即，
即；
②，，
那么点到的距离为，
故答案为：①，②；
【分析】（1）①正方形面积用两种方法分别表示：边长乘以边长=各个小部分的面积之和，即可得到结论；②根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的尺规作图，画出角平分线即可，注意保留作图痕迹；
（3）过作于，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
19．【答案】（1）解：补全的图形如图1所示．
（2）证明：连接MN．
由②得，线段CN=CP（填“＞”，“＝”或“＜”）．
在△MCN和△DCP中，
，
∴△MCN≌△DCP，
∴∠NMC=∠PDC．
∴MN//EF（内错角相等，两直线平行）．
又由①得，线段OM=ON．
可得OE=OF．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作法作出图形即可；
（2）利用全等三角形的性质和平行线的判定可得答案。
20．【答案】（1）解：根据题意，作图如下，
（2）
（3）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；尺规作图-垂线；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∵CD平分∠ACB，∠ACD=a，
∴∠ACE=2∠ACD=2a，
∵∠A=90°， DE⊥AB，
∴DE// AC，
∴∠DEB=∠ACB=2a，
故答案为：2a.
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据角平分线先求出∠ACE=2∠ACD=2a，再根据平行线的判定与性质计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再根据角平分线求出 ， 最后证明求解即可。
21．【答案】（1）解：①如图所示，补全图形如下：
②∵，
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）相等
（3）解：由（2）可得，
当在内部时，即点E在线段上时，；
当在外部时，即点E在线段延长线或延长线上时，．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（2）①当点E在的延长线上时，如下图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点E在的延长线上时，如下图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述： 与的数量关系为相等，
故答案为：相等.
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②根据题意先求出EF//AD，再求出 ，最后根据平行线的性质计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用平行线的判定与性质证明求解即可；
（3）分类讨论，结合（2）所求，判断求解即可。
1 / 1【培优版】浙教版数学八上1.6尺规作图 同步练习
一、选择题
1．（2024·峰峰矿模拟）综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线．其作图过程如下：
如图2，在射线上取一点D（不与点O重合），作，且点C落在内部；
如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线，射线就是的平分线．
图1 图2 图3
在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．等边对等角
D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
故A、B会用到，不符合题意；
以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，
，
（等边对等角），
，
射线就是的平分线．
故C会用到，不符合题意；
综上所述，D不可能用到，
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定与性质结合角平分线的性质对选项逐一判断即可求解。
2．（2024·莲池模拟）已知△ABC，，．用尺规在边AC上求作一点P，使．下图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确
C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】由甲图痕迹知知BP⊥AC，而∠C=45°，故∠PBC=45°；而乙中痕迹可知BP平分∠ABC，而∠ABC≠90°，故乙不能说明∠PBC=45°；
故答案：C.
【分析】根据甲乙的作图痕迹即可判断∠PBC是否等于45°.
3．（2024七下·乐平期中）如图，用尺规作出，则作图痕迹中，弧是（ ）
A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧
C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据作一个角等于已知角的作法可知弧FG是以点为圆心，为半径的弧。
故答案为：D.
【分析】根据作一个角等于已知角的作法可知弧FG是以点为圆心，为半径的弧。
4．在 中， 是 上一点， 利用尺规在 上作出一点 ， 使得 ， 则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：A、由作图得：EF垂直平分AD，得不到 ，故A不符合题意；
B、由作图得：CE平分∠ACB，得不到 ，故B不符合题意；
C、由作图得：AE=AD，∴∠AED=∠ADE，得不到 ，故C不符合题意；
D、由作图得：∠ADE=∠B，
∴∠A+∠AED=∠A+∠C，
∴∠AED=∠C，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据作图信息逐一判断即可.
5．（华师大版数学八年级上册第十三章第四节13.4.2作一个角等于已知角 同步练习）用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线
C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线
【答案】C
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【解答】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C
选C．
【分析】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段
6．（2024八下·榕江月考）如图所示，已知△ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB+PC=AB，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂直平分线；尺规作图-线段的和差
【解析】【解答】解：∵点P在AB上，
∴PB+PA=AB，
∵PB+PC=AB，
∴PC=PA，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
∴作出线段AC的垂直平分线交AB于点P，
故答案为：C.
【分析】 先证出PC=PA，可得点P在线段AC的垂直平分线上，再逐项分析判断即可.
7．（2024·绥江模拟） 如图，在中，为直角，先以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点F，作射线AF交BC于点G，P为AC上的一个动点，连接PG，若，则PG的最小值为（ ）
A．15 B．10 C．5 D．2.5
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得平分，
∵P为上的一个动点，
∴当时，的长最小，过G作于，
∵平分，为直角，，
∴，
故的最小值为5，
故答案为：C
【分析】先根据作图-角的平分线得到平分，进而结合题意得到当时，的长最小，过G作于，再根据角平分线的性质即可求解。
8．（2024·长沙模拟）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AB于点D，
∵∠C=90°，
∴ED=EC=3，
∴的面积为 ：.
故答案为：B.
【分析】首先根据作图过程可得出AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AB于点D，再根据角平分线的性质得出ED=EC=3，最后根据三角形的面积计算公式求得的面积即可。
二、填空题
9．（2024八上·老河口期末）如图，在 中， ， 分别以 两点为圆心， 大于 的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则的周长为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图知：NM垂直平分AB，
所以AD=BD，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+3=8.
故答案为：8.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，从而得出△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，据此计算即可.
10．（2024八上·通道期末）如图，中，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、点N，作直线，分别交于点D和于点E ，连接，若，，则 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、点N，作直线，
∴为的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据作图-垂直平分线结合垂直平分线的性质得到，进而进行角的运算即可求解。
11．（2024八上·邛崃期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若点D到的距离为4，，则的面积为 ．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：AP平分∠BAC，
根据平分线的性质定理可得，D到AB和AC的距离相等，
又∵点D到的距离为4，
∴CD=4，
则的面积为
故答案为：24
【分析】根据尺规作图可得，AP平分∠BAC，再根据角平分线的性质定理可得，D到AB和AC的距离相等，得到CD=4，根据三角形的面积公式即可求解。
12．如图，a//b，直线l与直线a，b分别相交于B，A两点.分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连结AC.若∠CDA=34°，则∠CAB的度数为 .
【答案】56°
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：直线CD是AB的垂线平分线，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵a∥b，
∴∠ADC＝∠BCD＝34°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，
∴∠CAB＝∠CBA（180°﹣68°）＝56°．
故答案为：56°．
【分析】由作图可判断直线CD是AB的垂直平分线，可得CA＝CB，然后利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质可求出∠CBA的度数即可解答．
三、作图题
13．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册2.4 用尺规作角 同步练习）仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.
【答案】（1）解：首先根据题意画出图形，然后再利用SSS定理证明△ACO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，进而得到射线OC就是∠MON的平分线
（2）解：．由（1）可知OM、ON分别是∠POQ、∠QOG的平分线，则∠MON=90°。
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意可知，连接AF、BE，交于点C，过点C作射线OM即可。
（2）利用同样的方法作射线ON平分∠QOG，OM平分∠POQ，利用角平分线的定义及平角的定义，可证得∠MON=90°，再利用垂直的定义，可证得结论。
14．（2023八上·朔州月考）如图，△ABC是锐角三角形．
（1）作△ABC的中线AD（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在所作的图中，若AC－AB＝4，则△ACD与△ABD的周长差是 ．
【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形相关概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）作线段的垂直平分线，交于点，连接，如图所示：
∵是线段的垂直平分线，交于点，
∴点是的中点，
∴线段是的中线，
则线段即为所作；
（2）由（1）知：点是的中点，
∴，
∴的周长为：，
的周长为：，
又∵，
∴与的周长差为：
，
∴与的周长差为，
故答案为：
【分析】（1）根据作图-垂直平分线作线段的垂直平分线，交于点，连接，即可求解；
（2）由（1）知：点是的中点，进而得到BD=CD，再根据三角形的周长结合题意即可求解。
四、解答题
15．（2024八下·瑞昌期中）已知直线l及位于其两侧的两点A、B，如图，
（1）在图①中的直线l上求一点P，使PA=PB；
（2）在图②中的直线l上求一点Q使直线l平分 ．
【答案】（1）解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线相交于P点，则P点即为所求；
（2）解：作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，连接BQ，则Q点即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线，与l的交点即为点P；
（2）作B的对称点B'，使直线l上下两个三角形全等.
16．（2023七上·绿园月考）已知平分，，点、分别在射线、上运动，满足，连接．
（1）如图1，当点在点左侧时，求证：；
（2）如图2，当点在点右侧时，设，，请直接用含，的代数式表示的度数 ；
（3）射线下方有一点，连接，，满足平分，平分，若，，请直接写出的度数 ．
【答案】（1）证明： ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）
（3）或
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；尺规作图-作三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：
（1）证明： ∵平分，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：根据题意已知，，，
所以，，
因为，，
所以，
又因为，
所以，所以。
故答案为：.
（3）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵平分，
∴，
当点在点左侧时，如图所示：
在中，
；
当点在点右侧时，如图所示：
在中，
．
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意利用角平分线的定义可以证明出∠DGA=∠DAG，然后可以得到AD∥BC，再证出∠AEF+∠BAD=180°，则可以证明出AB∥EF。
（2）根据题意利用三角形内角和为180°，可以求出∠B，然后得到，，然后同理可以求出。
（3）根据题意可以先求出，根据AH平分∠BAG，EH平分∠FEG，然后分两种情况进行讨论，
17．（2023八下·南岸期末）在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
∵垂直平分线段，
∴BE= ▲ ，．
在和中，∵，
∴．∴ ▲ ．
∵在中，，，
∴ ▲ °．
∴ ▲ °．
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
【答案】解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
∵垂直平分线段，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵在中，，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】先作图，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，利用三角形全等的判定定理SAS以及全等三角形的性质得到∠DBE=∠C=30°，计算得出∠ABD=30°，再利用三角形全等的判定定理AAS，证明出△DBA≌△DBE，进而得出 ．
五、实践探究题
18．（2024八下·南宁月考）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.
×年×月×日 星期日 用等面积法解决问题 周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的. 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式____①____. 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题.如图2，在中，，，，求点到的距离.我们也可以利用等面积法求得点到的距离为____②____. 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系.
任务：
（1）请你补全小宇日记中不完整的部分：① ，② .
（2）尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）.
（3）在（2）的条件下，求线段的长度.
【答案】（1）；
（2）解：如图所示，线段即为所求；
（3）解：过作于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故线段的长度为.
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形的面积；三角形全等的判定；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：①正方形面积等于边长乘以边长，即，
正方形面积也可以等于各个小部分的面积之和，即，
即；
②，，
那么点到的距离为，
故答案为：①，②；
【分析】（1）①正方形面积用两种方法分别表示：边长乘以边长=各个小部分的面积之和，即可得到结论；②根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的尺规作图，画出角平分线即可，注意保留作图痕迹；
（3）过作于，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
19．（2022·易县模拟）阅读材料并解决问题：
已知：如图，及内部一点P． 求作：经过点P的线段，使得点E，F分别在射线，上，且． 作法：如图． ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点M，N； ②连接，作线段的垂直平分线，得到线段的中点C； ③连接并在它的延长线上截取； ④作射线，分别交射线，于点F，E．线段就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
由②得，线段（ ）（填“＞”，“＝”或“＜”）．
在和中，
∴
∴．
∴（ ）（填推理的依据）．
又由①得，线段．
可得．
【答案】（1）解：补全的图形如图1所示．
（2）证明：连接MN．
由②得，线段CN=CP（填“＞”，“＝”或“＜”）．
在△MCN和△DCP中，
，
∴△MCN≌△DCP，
∴∠NMC=∠PDC．
∴MN//EF（内错角相等，两直线平行）．
又由①得，线段OM=ON．
可得OE=OF．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作法作出图形即可；
（2）利用全等三角形的性质和平行线的判定可得答案。
六、综合题
20．（2023七下·平谷期末）如图，，平分，交于点D，过点D作与交于点E，
（1）依据题意补充图形；
（2）设，则 （用含的式子表示）；
（3）求证：．
【答案】（1）解：根据题意，作图如下，
（2）
（3）证明：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；尺规作图-垂线；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∵CD平分∠ACB，∠ACD=a，
∴∠ACE=2∠ACD=2a，
∵∠A=90°， DE⊥AB，
∴DE// AC，
∴∠DEB=∠ACB=2a，
故答案为：2a.
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据角平分线先求出∠ACE=2∠ACD=2a，再根据平行线的判定与性质计算求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再根据角平分线求出 ， 最后证明求解即可。
21．（2023七下·石景山期末）如图，被所截，于点D．E为直线上一点，过点E作的垂线，垂足为F，过点D作交于点G．
（1）若点E在线段上，
①根据题意补全图形；
②判断与的数量关系，并证明；
（2）若点E不在线段上，直接写出与的数量关系为 ；
（3）通过本题前两问的解决，观察与的位置关系和数量关系，归纳出一个你发现的结论．
【答案】（1）解：①如图所示，补全图形如下：
②∵，
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）相等
（3）解：由（2）可得，
当在内部时，即点E在线段上时，；
当在外部时，即点E在线段延长线或延长线上时，．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（2）①当点E在的延长线上时，如下图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点E在的延长线上时，如下图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述： 与的数量关系为相等，
故答案为：相等.
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②根据题意先求出EF//AD，再求出 ，最后根据平行线的性质计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用平行线的判定与性质证明求解即可；
（3）分类讨论，结合（2）所求，判断求解即可。
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