浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识 一阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·青海） 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，则PE就是点P到PD的距离，
∵平分，点P在上，， PE⊥OA于点E，
∴PD=PE，
∵PD=2，
∴PE=2。
即则点P到的距离是 2，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可求得答案.
2．（2024七下·克孜勒苏柯尔克孜期中） 下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补 D．垂直于同一直线的两直线平行
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵相等的角不一定是对顶角，∴A不正确，不符合题意；
B、∵内错角相等，两直线平行，∴B正确，符合题意；
C、∵两直线平行，同旁内角互补，∴C不正确，不符合题意；
D、∵在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，∴D不正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及判断逐项分析判断即可.
3．（2024七下·克孜勒苏柯尔克孜月考）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定定理证明，再利用平行线的性质证明，再利用对顶角相等即可得到答案.
4．（2024·中山模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由图可得图表示的AD为角平分线，图表示的AD为高线，图表示的AD为中线，
故答案为：D.
【分析】根据图中折痕以及角平分线、高线、中线的定义即可求解.
5．（2021八上·衢江月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、10cm、13cm B．3cm、7cm、4cm
C．4cm、4cm、4cm D．5cm、14cm、6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、2+10＜13，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7，不能够组成三角形，不符合题意；
C、4+4＞4，能组成三角形，符合题意；
D、5+6＜14，不能组成三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
6．（2024·遂川模拟）如图，AD//BC，BD平分∠ABC，∠D＝50°，∠C＝34°，则∠CAB的度数为（ ）
A．46° B．50° C．56° D．68°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：AD//BC，
BD平分∠ABC，
在△ABC中，
∠C＝34°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求得由角平分线的定义求得结合已知条件利用三角形的内角和定理即可求解.
7．（2024·廊下期末） 如图，已知在△ABC和△DEF中，，，点B、F、C、E在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】，
，即BC=EF，
，
当添加时，可得，可利用ASA证明 △ABC≌△DEF ，故A不符合题意；
当添加 时，可利用AAS证明 △ABC≌△DEF ，故B不符合题意；
当添加 时，不能证明 △ABC≌△DEF ，故C符合题意；
当添加 时，可利用SAS证明 △ABC≌△DEF ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形全等的判定进行逐一判断即可求解.
8．（2024·东莞模拟）某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行.接着将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处.现将三角板底边紧贴被测物体表面，如题4图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为35°，那么被测物体表面的倾斜角α为（ ）
A．15° B．30° C．35° D．55°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
AI
∵MN∥AB，OD⊥MN，
∴OD⊥AB，
∴∠PQO=90°，
∵∠APC=∠OPQ，∠ACO=∠OQP=90°
∴∠BAC=∠COD=35°，
∴被测物体表面的倾斜角α为35°，
故答案为：C．
【分析】由平行线的性质，垂直的定义得到∠PQO=90°，由对顶角的性质得到∠APC=∠OPQ，由三角形内角和定理即可得到∠BAC=∠COD=35°．
9．（2023八下·光明期中）如图，中，分别是其角平分线和中线，过点C作于F，连接，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图所示：
过点C作CM//AB，交AE的延长线于点M，交 AD 的延长线于点N，
∵CM//AB，
∴∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，
∵BE=CE，
∴△ABE≌△MCE，
∴AB=CM=10，AE=EM，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB//CM，
∴∠BAD=∠ANC，
∴∠ANC=∠CAD，
∴AC-CN-6，
∴MN=4，
∵AC=CN，CF⊥AD，
∴AF=FN，
∵AE=EM，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质先求出∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，再利用全等三角形的判定与性质，角平分线的定义计算求解即可。
10．（2023七下·巴州期末）如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=49°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴结论①符合题意；
∴∠ABD=∠ACE，
如图所示：
∵∠AOB=∠COF，
∴∠BFC=∠BAO=49°，
∴结论③符合题意；
∵AD=AE，∠DAE=49°，
∴AD不一定等于BD，
∴结论②不符合题意；
如图所示：过点A作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H，
∵△BAD≌△CAE，
∴AK=AH，
∵AF=AF，∠AKF=∠AHE=90°，
∴Rt△AFK≌Rt△AFH，
∴∠AFD=∠AFE，
∴FA平分∠BFE，
∴结论④符合题意；
综上所述：正确的结论个数有3个，
故答案为：B．
【分析】 结合图形，利用全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形的内角和等对每个结论逐一判断求解即可。
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024·牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
【答案】DE＝EF或AD＝CF
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ CF∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
添加DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AE=CE；
添加AD＝CF，
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AE=CE；
故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，可添加DE＝EF或AD＝CF，可证△ADE≌△CFE，可得AE=CE，据此解答即可.
12．（2024七下·鄞州期末） 有三面镜子如图放置，其中镜子 和 相交所成的角 ，已知入射光线 经 反射后，反射光线与入射光线 平行，若 ，则镜子 和 相交所成的角 . (结 果用含 的代数式表示)
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据入射光线FE可依次画出反射光线EG，GD，HK，过点G作GP∥EF，则可得出GP∥EF∥HK，
根据入射角等于反射角，可得出∠BEG=∠AEF=α，
∴∠FEG=180°-2α，
∵∠ABC=110°，
∴∠BGE=180°-110°-α=70°-α，
∴∠CGH=∠BGE=70°-α，
∵EF∥GP，
∴∠EGP=180°-∠FEG=180°-180°+2α=2α，
∴∠PGH=180°-∠BGE-∠EGP-CGH=180°-70°+α-2α-70°+α=40°，
∵GP∥HK，
∴∠GHK=140°，
∴∠CHG=，
∴∠BCD=180°-70°+α-20°=90°+α。
故答案为：90°+α。
【分析】先根据入射角等于反射角画出光线反射途径，再根据平行线的性质和三角形内角和即可得出答案.
13．（2023八上·香洲月考）如图中，，平分，，，则的面积是 .
【答案】14
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 解：如图，过点M作MD⊥AB于D，
∵∠C=90°，AM平分∠BAC，
∴MD=MC=4，
∴△ABM的面积．
故答案为：14.
【分析】过点M作MD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得MC=MD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
14．（2024七下·武汉月考）将常用的三角板如图所示放置，其中，C点为边所在直线上一定点（点C在点O的左边），点D为直线上一动点（不与C、B重合），平分，平分．若，则 ．（用含α的式子表示）
【答案】或或
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①D在C的左边时，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
②D在之间时，
与①同理得，
∵，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
③D在B右边时，
在中，，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
故答案为：或或．
【分析】根据D所在的位置分情况讨论，即当D在C的左边时，当D在之间时，当D在B右边时，分别计算出∠FDC的值即可得到答案.
15．（2024七下·沙坪坝开学考）已知AB∥CD，点E在直线AB上，以点E为顶点作∠FEG＝90°，点F在直线AB上方，点G在直线CD下方，EG与CD交于点N，作∠BEF的角平分线并反向延长与∠CNE的角平分线交于点P，则∠P的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点P作PT∥AB， 如图所示：
设∠FEM=α，
∵EM平分∠BEF，
∴∠BEM=∠FEM=α，
∠BEF=2∠FEM=2α，
∴∠AEP =∠BEM=α，
∵∠FEG = 90°，
∴∠BEG =∠FEG—∠BEF =90°-2α
∵AB∥CD，
∴∠CNE=∠BEG =90°—2α，
∵ PN平分
故答案为：45°.
【分析】先根据题意画出图形，过点P作PT∥AB，根据平行线的性质和角平分线的琮义求解即可。
16．（2023八上·安庆月考）如图，在中，，以AC为边，作，满足，点E为BC上一点，连接AE，，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①；②；③若，则；④．
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：延长至，使，设与交于点，如图所示：
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
（SAS），
，，②正确；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，①不正确；
设，则，
，
，
，
，
，
，③正确；
，
，
，
，
，
，④正确，
故答案为：②③④
【分析】延长至，使，设与交于点，先根据垂直平分线的性质得到，，进而结合题意得到，再运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）即可得到，，从而即可判断②；先根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意即可判断①；设，则，根据三角形内角和定理即可得到，进而运用平行线的性质得到，再结合题意即可判断③；运用三角形全等的性质得到，进而结合题意运用边的转化即可判断④。
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题7分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题6分，第23题9分，第24题14分，共66分）
17．（2024·澧县模拟）如图，已知，请用尺规过点作一条直线，使其将分成面积比为两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图
作出AB的垂直平分线，而AB的垂直平分线交AB于D，再作出AD的垂直平分线，而AD的垂直平分线交AD于E，故AE＝AD，AD＝BD，故AE＝AB，而BE＝AB，而△AEC与△CEB在AB边上的高相同，所以△CEB的面积是△AEC的面积的3倍，即S△AEC∶S△CEB＝1∶3.
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】通过两次作垂直平分线，找出AB的四等分点即可.
18．（2024七下·安州月考）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB=∠A，
又 ∵∠FDE=∠A，
∴∠DFB=∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）解：设∠EDC=x°，
∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，
∴∠BFD=∠BDF=2x°，
由（1）可知∠DFB=∠FDE=2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°，
∴x=36，
又∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=36 °．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠DFB=∠A，再结合 ∠FDE=∠A， 可得 ∠DFB=∠FDE， 从而证出 DE∥AB；
（2）设∠EDC=x°，则 ∠BFD=∠BDF=2x°， 再结合 ∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°， 求出x的值，最后利用平行线的性质可得 ∠B=∠EDC=36 °．
19．（2024七下·顺德月考）如图，中，，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
（1）求证：；
（2）若，，，求AF的长．
【答案】（1）证明：∵AE平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵AE平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠EAG=∠EAF，由垂直的定义得∠EGA=∠EFA=90°，从而用AAS可判断△EGA≌△EFA；
（2）由垂直的定义得∠EGB=∠EFC=90°，由△EGA≌△EFA可得EG=EF，∠GEA=∠FEA，AG=AF，从而结合已知推出∠BEC=∠GEF，再根据等式性质推出∠GEB=∠FEC，然后根据ASA判断出△EGB≌△EFC，由全等三角形对应边相等得BG=CF，然后根据线段的和差及等量代换得2AF=AC-AB，最后代入计算即可.
20．（2024七下·翁源期中）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
（1）如图1，过的顶点A作BC的平行线ED，请你证明三角形的内角和为180°；
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
（2）【迁移应用】健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中．
①若，，则的度数为_▲_；
②若，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在AB，CD外部，请直接写出，，之间的关系．
【答案】（1）解：∵，∴，，
∵，∴．
（2）解：①100°
②过E作
∵，∴，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴．
（3）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）①过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）过点作，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论；
（2）①过点作，由平行线的性质，得出，，由，即可求解；
②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案；
（3）根据平行线的性质，得出，，即可得到答案．
21．（2024八上·道县期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，结合三角形面积即可求出答案.
22．（2021八上·乐陵期中）两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD；
（2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。
23．（2020八上·吉水期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
【答案】（1）解：结论：AD∥BC．
理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°，
∠ADE+∠BCF=180°，
∴∠ADF=∠BCF，
∴AD∥BC
（2）解：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF．
理由：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC．
又∵∠ABC=2∠E，
即∠E= ∠ABC，
∴∠E=∠ABE．
∴AB∥EF
（3）解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠E+∠F=90°
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADF=∠BCF， 再根据平行线的判定方法进行求解即可；
（2）根据角平分线先求出 ∠ABE= ∠ABC，再求出∠E=∠ABE ，即可作答；
（3）先求出 ∠DAB+∠CBA=180°， 再求出 ∠EOF=∠AOB=90°， 即可证明。
24．（2024八上·揭阳期末）
（1）已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，请你说明：.
（2）如图(2)，AP，CP分别平分，若，求的度数；
（3）如图(3)，直线AP平分平分的外角，猜想与、的数量关系并证明.
【答案】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴2∠P＝36°+16°＝52°，
∴∠P＝26°．
答：∠P的度数为26°．
（3）解：，理由如下：
∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，
即，
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理及对顶角相等可证结论.
（2）由角平分线的定义可得∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，把①+②得2∠P＝∠ABC+∠ADC，据此即可求解；
（3）由角平分线的定义可得∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，再利用（1）结论列出等式并整理即可.
1 / 1浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识 一阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·青海） 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2024七下·克孜勒苏柯尔克孜期中） 下列命题中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补 D．垂直于同一直线的两直线平行
3．（2024七下·克孜勒苏柯尔克孜月考）如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·中山模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线
5．（2021八上·衢江月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm、10cm、13cm B．3cm、7cm、4cm
C．4cm、4cm、4cm D．5cm、14cm、6cm
6．（2024·遂川模拟）如图，AD//BC，BD平分∠ABC，∠D＝50°，∠C＝34°，则∠CAB的度数为（ ）
A．46° B．50° C．56° D．68°
7．（2024·廊下期末） 如图，已知在△ABC和△DEF中，，，点B、F、C、E在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·东莞模拟）某同学打算制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，其方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行.接着将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处.现将三角板底边紧贴被测物体表面，如题4图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为35°，那么被测物体表面的倾斜角α为（ ）
A．15° B．30° C．35° D．55°
9．（2023八下·光明期中）如图，中，分别是其角平分线和中线，过点C作于F，连接，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．（2023七下·巴州期末）如图，在和中，，，，，连接，，延长交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024·牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
12．（2024七下·鄞州期末） 有三面镜子如图放置，其中镜子 和 相交所成的角 ，已知入射光线 经 反射后，反射光线与入射光线 平行，若 ，则镜子 和 相交所成的角 . (结 果用含 的代数式表示)
13．（2023八上·香洲月考）如图中，，平分，，，则的面积是 .
14．（2024七下·武汉月考）将常用的三角板如图所示放置，其中，C点为边所在直线上一定点（点C在点O的左边），点D为直线上一动点（不与C、B重合），平分，平分．若，则 ．（用含α的式子表示）
15．（2024七下·沙坪坝开学考）已知AB∥CD，点E在直线AB上，以点E为顶点作∠FEG＝90°，点F在直线AB上方，点G在直线CD下方，EG与CD交于点N，作∠BEF的角平分线并反向延长与∠CNE的角平分线交于点P，则∠P的度数为 ．
16．（2023八上·安庆月考）如图，在中，，以AC为边，作，满足，点E为BC上一点，连接AE，，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①；②；③若，则；④．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题7分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题6分，第23题9分，第24题14分，共66分）
17．（2024·澧县模拟）如图，已知，请用尺规过点作一条直线，使其将分成面积比为两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（2024七下·安州月考）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
19．（2024七下·顺德月考）如图，中，，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
（1）求证：；
（2）若，，，求AF的长．
20．（2024七下·翁源期中）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
（1）如图1，过的顶点A作BC的平行线ED，请你证明三角形的内角和为180°；
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
（2）【迁移应用】健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中．
①若，，则的度数为_▲_；
②若，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在AB，CD外部，请直接写出，，之间的关系．
21．（2024八上·道县期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
22．（2021八上·乐陵期中）两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
23．（2020八上·吉水期末）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°
24．（2024八上·揭阳期末）
（1）已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，请你说明：.
（2）如图(2)，AP，CP分别平分，若，求的度数；
（3）如图(3)，直线AP平分平分的外角，猜想与、的数量关系并证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA于点E，则PE就是点P到PD的距离，
∵平分，点P在上，， PE⊥OA于点E，
∴PD=PE，
∵PD=2，
∴PE=2。
即则点P到的距离是 2，
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可求得答案.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵相等的角不一定是对顶角，∴A不正确，不符合题意；
B、∵内错角相等，两直线平行，∴B正确，符合题意；
C、∵两直线平行，同旁内角互补，∴C不正确，不符合题意；
D、∵在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，∴D不正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质及判断逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定定理证明，再利用平行线的性质证明，再利用对顶角相等即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由图可得图表示的AD为角平分线，图表示的AD为高线，图表示的AD为中线，
故答案为：D.
【分析】根据图中折痕以及角平分线、高线、中线的定义即可求解.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、2+10＜13，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7，不能够组成三角形，不符合题意；
C、4+4＞4，能组成三角形，符合题意；
D、5+6＜14，不能组成三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：AD//BC，
BD平分∠ABC，
在△ABC中，
∠C＝34°，
故答案为：A.
【分析】利用平行线的性质求得由角平分线的定义求得结合已知条件利用三角形的内角和定理即可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】，
，即BC=EF，
，
当添加时，可得，可利用ASA证明 △ABC≌△DEF ，故A不符合题意；
当添加 时，可利用AAS证明 △ABC≌△DEF ，故B不符合题意；
当添加 时，不能证明 △ABC≌△DEF ，故C符合题意；
当添加 时，可利用SAS证明 △ABC≌△DEF ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形全等的判定进行逐一判断即可求解.
8．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
AI
∵MN∥AB，OD⊥MN，
∴OD⊥AB，
∴∠PQO=90°，
∵∠APC=∠OPQ，∠ACO=∠OQP=90°
∴∠BAC=∠COD=35°，
∴被测物体表面的倾斜角α为35°，
故答案为：C．
【分析】由平行线的性质，垂直的定义得到∠PQO=90°，由对顶角的性质得到∠APC=∠OPQ，由三角形内角和定理即可得到∠BAC=∠COD=35°．
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图所示：
过点C作CM//AB，交AE的延长线于点M，交 AD 的延长线于点N，
∵CM//AB，
∴∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，
∵BE=CE，
∴△ABE≌△MCE，
∴AB=CM=10，AE=EM，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB//CM，
∴∠BAD=∠ANC，
∴∠ANC=∠CAD，
∴AC-CN-6，
∴MN=4，
∵AC=CN，CF⊥AD，
∴AF=FN，
∵AE=EM，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质先求出∠B=∠ECM，∠M=∠BAE，再利用全等三角形的判定与性质，角平分线的定义计算求解即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=49°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∴结论①符合题意；
∴∠ABD=∠ACE，
如图所示：
∵∠AOB=∠COF，
∴∠BFC=∠BAO=49°，
∴结论③符合题意；
∵AD=AE，∠DAE=49°，
∴AD不一定等于BD，
∴结论②不符合题意；
如图所示：过点A作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H，
∵△BAD≌△CAE，
∴AK=AH，
∵AF=AF，∠AKF=∠AHE=90°，
∴Rt△AFK≌Rt△AFH，
∴∠AFD=∠AFE，
∴FA平分∠BFE，
∴结论④符合题意；
综上所述：正确的结论个数有3个，
故答案为：B．
【分析】 结合图形，利用全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形的内角和等对每个结论逐一判断求解即可。
11．【答案】DE＝EF或AD＝CF
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ CF∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
添加DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AE=CE；
添加AD＝CF，
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AE=CE；
故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，可添加DE＝EF或AD＝CF，可证△ADE≌△CFE，可得AE=CE，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据入射光线FE可依次画出反射光线EG，GD，HK，过点G作GP∥EF，则可得出GP∥EF∥HK，
根据入射角等于反射角，可得出∠BEG=∠AEF=α，
∴∠FEG=180°-2α，
∵∠ABC=110°，
∴∠BGE=180°-110°-α=70°-α，
∴∠CGH=∠BGE=70°-α，
∵EF∥GP，
∴∠EGP=180°-∠FEG=180°-180°+2α=2α，
∴∠PGH=180°-∠BGE-∠EGP-CGH=180°-70°+α-2α-70°+α=40°，
∵GP∥HK，
∴∠GHK=140°，
∴∠CHG=，
∴∠BCD=180°-70°+α-20°=90°+α。
故答案为：90°+α。
【分析】先根据入射角等于反射角画出光线反射途径，再根据平行线的性质和三角形内角和即可得出答案.
13．【答案】14
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 解：如图，过点M作MD⊥AB于D，
∵∠C=90°，AM平分∠BAC，
∴MD=MC=4，
∴△ABM的面积．
故答案为：14.
【分析】过点M作MD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得MC=MD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
14．【答案】或或
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①D在C的左边时，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
②D在之间时，
与①同理得，
∵，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
③D在B右边时，
在中，，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
故答案为：或或．
【分析】根据D所在的位置分情况讨论，即当D在C的左边时，当D在之间时，当D在B右边时，分别计算出∠FDC的值即可得到答案.
15．【答案】45°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点P作PT∥AB， 如图所示：
设∠FEM=α，
∵EM平分∠BEF，
∴∠BEM=∠FEM=α，
∠BEF=2∠FEM=2α，
∴∠AEP =∠BEM=α，
∵∠FEG = 90°，
∴∠BEG =∠FEG—∠BEF =90°-2α
∵AB∥CD，
∴∠CNE=∠BEG =90°—2α，
∵ PN平分
故答案为：45°.
【分析】先根据题意画出图形，过点P作PT∥AB，根据平行线的性质和角平分线的琮义求解即可。
16．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：延长至，使，设与交于点，如图所示：
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
（SAS），
，，②正确；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，①不正确；
设，则，
，
，
，
，
，
，③正确；
，
，
，
，
，
，④正确，
故答案为：②③④
【分析】延长至，使，设与交于点，先根据垂直平分线的性质得到，，进而结合题意得到，再运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）即可得到，，从而即可判断②；先根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意即可判断①；设，则，根据三角形内角和定理即可得到，进而运用平行线的性质得到，再结合题意即可判断③；运用三角形全等的性质得到，进而结合题意运用边的转化即可判断④。
17．【答案】解：如图
作出AB的垂直平分线，而AB的垂直平分线交AB于D，再作出AD的垂直平分线，而AD的垂直平分线交AD于E，故AE＝AD，AD＝BD，故AE＝AB，而BE＝AB，而△AEC与△CEB在AB边上的高相同，所以△CEB的面积是△AEC的面积的3倍，即S△AEC∶S△CEB＝1∶3.
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】通过两次作垂直平分线，找出AB的四等分点即可.
18．【答案】（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB=∠A，
又 ∵∠FDE=∠A，
∴∠DFB=∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）解：设∠EDC=x°，
∵∠BFD=∠BDF=2∠EDC，
∴∠BFD=∠BDF=2x°，
由（1）可知∠DFB=∠FDE=2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°，
∴x=36，
又∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=36 °．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠DFB=∠A，再结合 ∠FDE=∠A， 可得 ∠DFB=∠FDE， 从而证出 DE∥AB；
（2）设∠EDC=x°，则 ∠BFD=∠BDF=2x°， 再结合 ∠BDF+∠EDF+∠EDC=2x°+2x°+x°=180°， 求出x的值，最后利用平行线的性质可得 ∠B=∠EDC=36 °．
19．【答案】（1）证明：∵AE平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵AE平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠EAG=∠EAF，由垂直的定义得∠EGA=∠EFA=90°，从而用AAS可判断△EGA≌△EFA；
（2）由垂直的定义得∠EGB=∠EFC=90°，由△EGA≌△EFA可得EG=EF，∠GEA=∠FEA，AG=AF，从而结合已知推出∠BEC=∠GEF，再根据等式性质推出∠GEB=∠FEC，然后根据ASA判断出△EGB≌△EFC，由全等三角形对应边相等得BG=CF，然后根据线段的和差及等量代换得2AF=AC-AB，最后代入计算即可.
20．【答案】（1）解：∵，∴，，
∵，∴．
（2）解：①100°
②过E作
∵，∴，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴．
（3）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）①过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）过点作，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论；
（2）①过点作，由平行线的性质，得出，，由，即可求解；
②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案；
（3）根据平行线的性质，得出，，即可得到答案．
21．【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，结合三角形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD；
（2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。
23．【答案】（1）解：结论：AD∥BC．
理由如下：
∵∠ADE+∠ADF=180°，
∠ADE+∠BCF=180°，
∴∠ADF=∠BCF，
∴AD∥BC
（2）解：结论：AB与EF的位置关系是：AB∥EF．
理由：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE= ∠ABC．
又∵∠ABC=2∠E，
即∠E= ∠ABC，
∴∠E=∠ABE．
∴AB∥EF
（3）解：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠E+∠F=90°
【知识点】平行线的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠ADF=∠BCF， 再根据平行线的判定方法进行求解即可；
（2）根据角平分线先求出 ∠ABE= ∠ABC，再求出∠E=∠ABE ，即可作答；
（3）先求出 ∠DAB+∠CBA=180°， 再求出 ∠EOF=∠AOB=90°， 即可证明。
24．【答案】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴2∠P＝36°+16°＝52°，
∴∠P＝26°．
答：∠P的度数为26°．
（3）解：，理由如下：
∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，
即，
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理及对顶角相等可证结论.
（2）由角平分线的定义可得∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，把①+②得2∠P＝∠ABC+∠ADC，据此即可求解；
（3）由角平分线的定义可得∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，再利用（1）结论列出等式并整理即可.
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