【精品解析】浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识 二阶单元测试卷

浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023八上·襄州期中）如图，点B，E，C，F四点在同一条直线上，AC∥DF，AC =DF，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BE=CF B．AB=DE C．∠B=∠DEF D．∠A=∠D
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AC∥DF ∴∠ACB=∠F 且 AC =DF，
A项 BE=CF 则BE+EC=CF+EC，即BC=EF， 根据SAS判定 △ABC≌△DEF ；
B项 AB=DE，SSA并不能判定全等；
C项 ∠B=∠DEF ，根据AAS判定 △ABC≌△DEF；
D项 ∠A=∠D ，根据ASA判定 △ABC≌△DEF.
故答案为：B.
【分析】根据 AC∥DF ，得到∠ACB=∠F，根据选项逐一分析即可.
2．（2024·廊下期末） 如图，已知分别平分，若，则的大小为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】连接BC，如图，
分别平分，
，
故答案为：D.
【分析】连接BC，利用角平分线的定义求得再利用三角形的内角和定理即可求解.
3．（2022八上·江干期中）如图，在△ACB中，∠C=90°， AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BN， 因为MN是AB的垂直平分线，所以AN=BN，设NC为x， 则AN=BN=8-x，又因为 ∠C＝90°，则BC2+NC2=BN2， 即42+x2=(8-x)2， 解得x=3，NC=3.
故答案为：B.
【分析】先根据垂直平分线性质可知AN=BN， 再根据勾股定理，用方程得出NC的长度.
4．（2024八下·合浦期中）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在、两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到线段的距离相等，
∴ 集贸市场应建在、两内角平分线的交点处．
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质分析即可.
5．（2024·柳州三模）如图，在四边形ABCD中，，若对角线BD平分，则的面积为（　　）
A．10 B．24 C．15 D．12
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
故答案为：D
【分析】过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
6．（2023·张家界）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴∠FEB=140°，
∴∠FEG=70°，
∵，
∴∠1=∠EFG=40°，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质结合题意即可得到∠FEG=70°，进而根据平行线的性质得到∠1=∠EFG=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。
7．（2023·福建）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
8．（2023八上·义乌月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）．
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠BOD+∠COE=∠COE+∠OCE=90°，
∴∠BOD=∠OCE，
在△OBD与△COE中，
，
∴△OBD≌△COE，
∴CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，
∴DE=OD-OE=0.4m，
∵B点距离地面1m，
∴AE=1+0.4=1.4m，
∴小丽距离地面的高度是1.4m .
故答案为：D.
【分析】利用AAS证出△OBD≌△COE，得出CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，从而得出DE=0.4m，AE=1+0.4=1.4m，即可得出小丽距离地面的高度是1.4m .
9．（2022七下·乐亭期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m，
BD= 2AB，
S△BCD=2S△ABC =2m，
S△ACD= S△BCD + S△ABC =3m，
AC= AF，
S△ADF= S△ACD=3m，
EC=3BC，
S△ECA==3S△ABC =3m，
S△EDC= 3S△BCD =6m，
AC= AF，
S△AEF= S△EAC= 3m，
S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF
=m + 2m +6m+3m+3m+3m
= 18m = 36，
m= 2，
△ABC的面积为2，
故答案为：A．
【分析】连接AE，CD，设△ABC的面积为m，利用割补法可得S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF，再将数据代入计算即可。
10．（2022八上·江岸开学考）如图，中，，，三条角平分线、、交于，于下列结论：；；平分；其中正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ，
，
，
， ，
，
故①正确；
于H ，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故③错误；
如图，在BC上截取BI=BF，连接OI ，
，
，
，
，
在△OBI和△OBF中，
，
∴△OBI≌△OBF（SAS）
，
，
，
，
在△CIO与△CEO中，
，
∴△CIO≌△CEO（ASA）
，
，
故④正确.
故答案为：C.
【分析】易得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的概念可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，则∠OBC+∠OCB=60°，利用内角和定理求出∠BOC的度数，据此判断①；根据余角的性质结合外角的性质可得∠DOH=90°-∠BAD-∠ABC，结合角平分线的概念以及内角和定理可得∠DOH=(∠ACB-∠ABC)，进而判断②；易得∠ACB>60°，则∠ABC二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·邵东期中）如图，AD是△ABC的角平分线，若，则　 　．
【答案】4：3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DE，
∵S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，AB：AC=4：3，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：3
故答案为：4：3.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，由AD是△ABC的角平分线，得到DE=DE，由S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，AB：AC=4：3，即可得到答案.
12．（2024·娄底模拟）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O既是AA'的中点，也是BB'的中点，若测得AB＝3.5 cm，则该内槽A'B'的宽为　 　cm．
【答案】3.5
【知识点】三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】在△OAB和△OAB中
OA=OA ，∠AOB=∠A OB ，OB=OB
∴△AOB≌△A OB （SAS）
∴AB=A B ，
∵AB=3.5cm
∴A B =3.5cm
故答案为：3.5
【分析】因为点O是AA和BB的中点，所以OA=OA ，OB=OB ，又∠AOB=∠A OB 对顶角相等，由边角边可以判定两三角形△AOB和△A OB 全等，再由全等三角形性质对应边相等可知A B 等于AB，故可求得A B 的长度。
13．（2024·花都模拟）如图：小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是　 　cm
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案为：8
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，进而根据周长结合题意得到，再根据即可求解，
14．（2024八下·信宜月考）如图，在中，于E，于F，AD为的平分线，的面积是28cm2，，，　 　cm．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC的面积为28cm2，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB×DE+AC×DF=28，
即DF（AB+AC）=28，
∵AB=20cm，AC=8cm，
∴DF（20+8）=28，
∴DF=2.
故答案为：2.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，然后S△ABC=S△ABD+S△ACD建立方程可求出DF的长.
15．如图，△ABC是三条边不相等的三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，最多可以画出　 　个这样的三角形.
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：如图所示，可以做出4个三角形与 △ABC全等.
【分析】根据SSS证明方法找出 与△ABC全等的三角形；
（1）以D为圆心，AB为半径作圆，以E为圆心，AC为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
（2）以D为圆心，AC为半径作圆，以E为圆心，AB为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
16．（2020八上·岳阳期中）如图， 与 中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③FA是∠DFC的平分线；④∠BFD=∠CAF．其中正确的结论是：　 　（填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】在 和 中， ，
，
，
，则结论①符合题意；
，
是 的平分线，则结论③符合题意；
由三角形的外角性质得： ，
又 ，
，则结论④符合题意；
假设 ，
在 和 中， ，
，
，即AF是 的角平分线，
AF不一定是 的角平分线，
假设不一定成立，则结论②不符合题意；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】根据题意，证明△AEF≌△ABC，根据全等三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题9分，第23题11分，第24题10分，共66分）
17．（2024七下·平山月考）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）请对说明理由；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．
【答案】（1）解：理由如下：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，∴AB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝30°，
∵∠AOF＋∠BOD＝180°，∴∠AOF＝150°，
∵OE平分∠AOF，∴∠EOF＝∠AOF＝75°，∴∠BOE＝∠BOD＋∠EOF＝105°，
∵OE∥DM，∴∠ANM＝∠BOE＝105°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用对顶角相等，得到 ∠BNM＝∠AND ，再根据同位角相等，即 ∠AOE＝∠AND ，证明两直线平行；
（2）根据平角性质，得到 ∠AOF＋∠BOD＝180° ，再结合题目条件，求出∠AOF=150°，又已知OE平分∠AOF ， ∠ODC＝30°， 算出 ∠EOF＝75° ，继而可算出 ∠BOE＝∠BOD＋∠EOF＝105° ，在利用 OE∥DM ，内错角相等，最后推出 ∠ANM＝∠BOE＝105° 。
18．（2024八上·凤山期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
19．（2024七下·贵阳期中）如图所示，已知∠B=90°，△ADC是以CD为底边的等腰直角三角形，过点D作AB的垂线交AB于点E.
（1）试说明：△ABC≌△DEA；
（2）若BE=5，CB=4，求DE的长.
【答案】（1）因为△ADC是以CD为底边的等腰直角三角形，
所以AC=AD，∠CAD=90°.
所以∠CAB+∠BAD=90°.
因为DE⊥AB，所以∠AED=90°.
所以∠ADE+∠BAD=90°.
所以∠CAB=∠ADE.
因为∠B=90°=∠AED，所以△ABC≌△DEA.
（2）由(1)，知△ABC≌△DEA.所以DE=AB，AE=BC.
因为BE=5，CB=4，
所以AE=BC=4.
所以AB=BE+AE=5+4=9.
所以DE=AB=9.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等推得全等，进一步结合已知条件判定目标三角形全等；
（2）在全等的基础上，利用其对应边相等的性质将条件聚集并求出目标线段长即可.
20．（2024七下·威县月考）【阅读】如图1，光线从空气中射入玻璃砖时，光线的传播方向发生了改变，即玻璃砖中的光线与原来空气中的光线不在同一条直线上，这是光线在玻璃砖中的折射现象．
【探究】为了探究光折射时的特点，科学实验小组将一束光斜射到一块玻璃砖的上表面上的点处，并在下表面（）的点处射出，于点，如图2所示，图中所有的点都在同一平面内，查问相关科学知识，得到．
（1）若，，求光的传播方向改变了多少度；
（2）请判断射入光线与射出光线是否平行，并说明理由；
（3）已知光线与的夹角为35°，如图3所示．若射出光线与光线垂直，则的度数为　 　．
【答案】（1）解：，即光的传播方向改变了28°；
（2）解：射入光线与射出光线平行；
理由：，．
又，，
即，；
（3）55°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图所示，
光线与的夹角为35°，射出光线与光线垂直，
∠GFL=90°，∠DFL=35°，
∠OEA=∠DFG=∠GFL+∠DFL=90°+35°=125°，
∠OEB=180°-∠OEA=55°.
故答案为55°.
【分析】（1）根据角的和差计算即可；
（2） 射入光线与射出光线平行，由AB∥CD得到，再根据得出，进而可判定；
（3）根据题意画出图形，得出∠OEA=∠DFG=90°+35°=125°，再根据平角的定义计算即可得到答案.
21．（2024八上·双牌期末） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考：
图1 图2 图3
（1）由已知和作图能得到，其理由是什么？
（2）求AD的取值范围．
（3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明．
【答案】（1）解：由已知和作图能得到，因为：
AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，因此
所以，
（2）解：因为，所以，
在三角形ABE中，根据三边关系可知
，因此：，
所以，AD的取值范围为：．
（3）解：延长AD到M点，使得，
由题意可知
所以，
所以，
又因为
所以，
所以，．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）利用“SAS”证出即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，再将数据代入求出即可；
（3）延长AD到M点，使得，先利用“SAS”证出，可得，再利用等角对等边的性质可得.
22．（2023七下·长沙期末）如图，平面直角坐标系内，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线于点D，交y轴于点E，交x轴于点C，，且．
（1）求证：；
（2）求的面积；
（3）点M为线段上一动点，作，且交于点N，当点M运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：的值不发生变化，为定值1，理由如下：
如图所示，过点E作于H，连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】垂线的概念；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定、三角形的面积计算。熟悉掌握三角形全等的方法，通过作辅助线构造三角形全等是解题关键。
（1）由得，结合和可证；
（2） 由得，可得；
（3）过点E作于H，连接，由得，可得，
结合证，得；根据，证，有，得，结合，证，得，则，可得.
23．（2021七下·苏州期末）探索角的平分线的画法.
（1）画法1：利用直尺和圆规
请在图中用直尺和圆规画出 的平分线 ；（不写画法不需证明，保留作图痕迹）
（2）画法2：利用等宽直尺.
如图，将一把等宽直尺的一边依次落在 的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O.画射线 ，则射线 是 的平分线.这种角的平分线的画法依据的是______.
A． B． C． D．
（3）画法3：利用刻度尺
已知：如图，在 的两条边上分别画 ， ，连接 、 ，交点为点O，画射线 .
求证： 是 的平分线.
（4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法.请在图中画出 的平分线 ，写出画法，并加以证明.
【答案】（1）解：如图①中，射线 即为所求.
（2）D
（3）解：如图③中，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
平分 .
（4）解：如图，在 的两边上截取 ，利用直角尺作 ， ， 交 于 ，作射线 ，射线 即为所求.
理由：在 和 中，
，
，
，
射线 平分 .
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）如图②中， 是等宽直尺，
点 到两边的距离相等，根据 可以利用全等三角形的性质证明 是角平分线.
故答案为：D.
【分析】（1）利用尺规作图作出角平分线即可；
（2）点 到两边的距离相等，根据 证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明 是角平分线；
（3）先证明 ，再证明 ， 最后证明 ，可得，即得结论；
（4） 在 的两边上截取 ，利用直角尺作 ， ， 交 于 ，作射线 ，射线 即为所求.理由： ，可得 ，即得结论.
24．（2021八上·隆安期中）如图，中，，，E点为射线上一动点，连结，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连结交于G点，若，，求证：E点为中点．
（3）当E点在射线上，连结与直线交于G点，若，，则　 　．（直接写出结果）
【答案】（1）解：证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）证明：作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）或
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，.
故答案为：或.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DFA=∠CAE，由垂直的概念可得∠ADF=∠ECA=90°，结合AF=AE，利用AAS证明△AFD≌△EAC，得到DF=AC，然后结合AC=BC可得结论；
（2）作FD⊥AC于D，由（1）得：FD=AC=BC，AD=CE，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG=1，则AD=2，CE=2，BC=AC=AG+CG=4，据此证明；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，根据全等三角形的性质可得CG=GD，AD=CE=7，则CG=DG=1.5，据此求解；同理可得当点E在线段BC上时对应的值.
1 / 1浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023八上·襄州期中）如图，点B，E，C，F四点在同一条直线上，AC∥DF，AC =DF，添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BE=CF B．AB=DE C．∠B=∠DEF D．∠A=∠D
2．（2024·廊下期末） 如图，已知分别平分，若，则的大小为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022八上·江干期中）如图，在△ACB中，∠C=90°， AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024八下·合浦期中）如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）
A．在AC、BC两边高线的交点处
B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在、两内角平分线的交点处
D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
5．（2024·柳州三模）如图，在四边形ABCD中，，若对角线BD平分，则的面积为（　　）
A．10 B．24 C．15 D．12
6．（2023·张家界）如图，已知直线，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·福建）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．（2023八上·义乌月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）．
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
9．（2022七下·乐亭期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2022八上·江岸开学考）如图，中，，，三条角平分线、、交于，于下列结论：；；平分；其中正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八下·邵东期中）如图，AD是△ABC的角平分线，若，则　 　．
12．（2024·娄底模拟）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O既是AA'的中点，也是BB'的中点，若测得AB＝3.5 cm，则该内槽A'B'的宽为　 　cm．
13．（2024·花都模拟）如图：小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是　 　cm
14．（2024八下·信宜月考）如图，在中，于E，于F，AD为的平分线，的面积是28cm2，，，　 　cm．
15．如图，△ABC是三条边不相等的三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，最多可以画出　 　个这样的三角形.
16．（2020八上·岳阳期中）如图， 与 中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③FA是∠DFC的平分线；④∠BFD=∠CAF．其中正确的结论是：　 　（填写所有正确结论的序号）．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题9分，第23题11分，第24题10分，共66分）
17．（2024七下·平山月考）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）请对说明理由；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．
18．（2024八上·凤山期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
19．（2024七下·贵阳期中）如图所示，已知∠B=90°，△ADC是以CD为底边的等腰直角三角形，过点D作AB的垂线交AB于点E.
（1）试说明：△ABC≌△DEA；
（2）若BE=5，CB=4，求DE的长.
20．（2024七下·威县月考）【阅读】如图1，光线从空气中射入玻璃砖时，光线的传播方向发生了改变，即玻璃砖中的光线与原来空气中的光线不在同一条直线上，这是光线在玻璃砖中的折射现象．
【探究】为了探究光折射时的特点，科学实验小组将一束光斜射到一块玻璃砖的上表面上的点处，并在下表面（）的点处射出，于点，如图2所示，图中所有的点都在同一平面内，查问相关科学知识，得到．
（1）若，，求光的传播方向改变了多少度；
（2）请判断射入光线与射出光线是否平行，并说明理由；
（3）已知光线与的夹角为35°，如图3所示．若射出光线与光线垂直，则的度数为　 　．
21．（2024八上·双牌期末） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考：
图1 图2 图3
（1）由已知和作图能得到，其理由是什么？
（2）求AD的取值范围．
（3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明．
22．（2023七下·长沙期末）如图，平面直角坐标系内，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线于点D，交y轴于点E，交x轴于点C，，且．
（1）求证：；
（2）求的面积；
（3）点M为线段上一动点，作，且交于点N，当点M运动时，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
23．（2021七下·苏州期末）探索角的平分线的画法.
（1）画法1：利用直尺和圆规
请在图中用直尺和圆规画出 的平分线 ；（不写画法不需证明，保留作图痕迹）
（2）画法2：利用等宽直尺.
如图，将一把等宽直尺的一边依次落在 的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O.画射线 ，则射线 是 的平分线.这种角的平分线的画法依据的是______.
A． B． C． D．
（3）画法3：利用刻度尺
已知：如图，在 的两条边上分别画 ， ，连接 、 ，交点为点O，画射线 .
求证： 是 的平分线.
（4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法.请在图中画出 的平分线 ，写出画法，并加以证明.
24．（2021八上·隆安期中）如图，中，，，E点为射线上一动点，连结，作且．
（1）如图1，过F点作交于D点，求证：；
（2）如图2，连结交于G点，若，，求证：E点为中点．
（3）当E点在射线上，连结与直线交于G点，若，，则　 　．（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵AC∥DF ∴∠ACB=∠F 且 AC =DF，
A项 BE=CF 则BE+EC=CF+EC，即BC=EF， 根据SAS判定 △ABC≌△DEF ；
B项 AB=DE，SSA并不能判定全等；
C项 ∠B=∠DEF ，根据AAS判定 △ABC≌△DEF；
D项 ∠A=∠D ，根据ASA判定 △ABC≌△DEF.
故答案为：B.
【分析】根据 AC∥DF ，得到∠ACB=∠F，根据选项逐一分析即可.
2．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】连接BC，如图，
分别平分，
，
故答案为：D.
【分析】连接BC，利用角平分线的定义求得再利用三角形的内角和定理即可求解.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BN， 因为MN是AB的垂直平分线，所以AN=BN，设NC为x， 则AN=BN=8-x，又因为 ∠C＝90°，则BC2+NC2=BN2， 即42+x2=(8-x)2， 解得x=3，NC=3.
故答案为：B.
【分析】先根据垂直平分线性质可知AN=BN， 再根据勾股定理，用方程得出NC的长度.
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到线段的距离相等，
∴ 集贸市场应建在、两内角平分线的交点处．
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的性质分析即可.
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
故答案为：D
【分析】过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴∠FEB=140°，
∴∠FEG=70°，
∵，
∴∠1=∠EFG=40°，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质结合题意即可得到∠FEG=70°，进而根据平行线的性质得到∠1=∠EFG=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠BOD+∠COE=∠COE+∠OCE=90°，
∴∠BOD=∠OCE，
在△OBD与△COE中，
，
∴△OBD≌△COE，
∴CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，
∴DE=OD-OE=0.4m，
∵B点距离地面1m，
∴AE=1+0.4=1.4m，
∴小丽距离地面的高度是1.4m .
故答案为：D.
【分析】利用AAS证出△OBD≌△COE，得出CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，从而得出DE=0.4m，AE=1+0.4=1.4m，即可得出小丽距离地面的高度是1.4m .
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m，
BD= 2AB，
S△BCD=2S△ABC =2m，
S△ACD= S△BCD + S△ABC =3m，
AC= AF，
S△ADF= S△ACD=3m，
EC=3BC，
S△ECA==3S△ABC =3m，
S△EDC= 3S△BCD =6m，
AC= AF，
S△AEF= S△EAC= 3m，
S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF
=m + 2m +6m+3m+3m+3m
= 18m = 36，
m= 2，
△ABC的面积为2，
故答案为：A．
【分析】连接AE，CD，设△ABC的面积为m，利用割补法可得S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF，再将数据代入计算即可。
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ，
，
，
， ，
，
故①正确；
于H ，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
故③错误；
如图，在BC上截取BI=BF，连接OI ，
，
，
，
，
在△OBI和△OBF中，
，
∴△OBI≌△OBF（SAS）
，
，
，
，
在△CIO与△CEO中，
，
∴△CIO≌△CEO（ASA）
，
，
故④正确.
故答案为：C.
【分析】易得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的概念可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，则∠OBC+∠OCB=60°，利用内角和定理求出∠BOC的度数，据此判断①；根据余角的性质结合外角的性质可得∠DOH=90°-∠BAD-∠ABC，结合角平分线的概念以及内角和定理可得∠DOH=(∠ACB-∠ABC)，进而判断②；易得∠ACB>60°，则∠ABC11．【答案】4：3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DE，
∵S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，AB：AC=4：3，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：3
故答案为：4：3.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，由AD是△ABC的角平分线，得到DE=DE，由S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，AB：AC=4：3，即可得到答案.
12．【答案】3.5
【知识点】三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】在△OAB和△OAB中
OA=OA ，∠AOB=∠A OB ，OB=OB
∴△AOB≌△A OB （SAS）
∴AB=A B ，
∵AB=3.5cm
∴A B =3.5cm
故答案为：3.5
【分析】因为点O是AA和BB的中点，所以OA=OA ，OB=OB ，又∠AOB=∠A OB 对顶角相等，由边角边可以判定两三角形△AOB和△A OB 全等，再由全等三角形性质对应边相等可知A B 等于AB，故可求得A B 的长度。
13．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案为：8
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，进而根据周长结合题意得到，再根据即可求解，
14．【答案】2
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC的面积为28cm2，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB×DE+AC×DF=28，
即DF（AB+AC）=28，
∵AB=20cm，AC=8cm，
∴DF（20+8）=28，
∴DF=2.
故答案为：2.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，然后S△ABC=S△ABD+S△ACD建立方程可求出DF的长.
15．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：如图所示，可以做出4个三角形与 △ABC全等.
【分析】根据SSS证明方法找出 与△ABC全等的三角形；
（1）以D为圆心，AB为半径作圆，以E为圆心，AC为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
（2）以D为圆心，AC为半径作圆，以E为圆心，AB为半径作圆，两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个三角形均与△ABC全等．
16．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】在 和 中， ，
，
，
，则结论①符合题意；
，
是 的平分线，则结论③符合题意；
由三角形的外角性质得： ，
又 ，
，则结论④符合题意；
假设 ，
在 和 中， ，
，
，即AF是 的角平分线，
AF不一定是 的角平分线，
假设不一定成立，则结论②不符合题意；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】根据题意，证明△AEF≌△ABC，根据全等三角形的性质分别进行判断即可得到答案。
17．【答案】（1）解：理由如下：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，∴AB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝30°，
∵∠AOF＋∠BOD＝180°，∴∠AOF＝150°，
∵OE平分∠AOF，∴∠EOF＝∠AOF＝75°，∴∠BOE＝∠BOD＋∠EOF＝105°，
∵OE∥DM，∴∠ANM＝∠BOE＝105°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用对顶角相等，得到 ∠BNM＝∠AND ，再根据同位角相等，即 ∠AOE＝∠AND ，证明两直线平行；
（2）根据平角性质，得到 ∠AOF＋∠BOD＝180° ，再结合题目条件，求出∠AOF=150°，又已知OE平分∠AOF ， ∠ODC＝30°， 算出 ∠EOF＝75° ，继而可算出 ∠BOE＝∠BOD＋∠EOF＝105° ，在利用 OE∥DM ，内错角相等，最后推出 ∠ANM＝∠BOE＝105° 。
18．【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
19．【答案】（1）因为△ADC是以CD为底边的等腰直角三角形，
所以AC=AD，∠CAD=90°.
所以∠CAB+∠BAD=90°.
因为DE⊥AB，所以∠AED=90°.
所以∠ADE+∠BAD=90°.
所以∠CAB=∠ADE.
因为∠B=90°=∠AED，所以△ABC≌△DEA.
（2）由(1)，知△ABC≌△DEA.所以DE=AB，AE=BC.
因为BE=5，CB=4，
所以AE=BC=4.
所以AB=BE+AE=5+4=9.
所以DE=AB=9.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等推得全等，进一步结合已知条件判定目标三角形全等；
（2）在全等的基础上，利用其对应边相等的性质将条件聚集并求出目标线段长即可.
20．【答案】（1）解：，即光的传播方向改变了28°；
（2）解：射入光线与射出光线平行；
理由：，．
又，，
即，；
（3）55°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图所示，
光线与的夹角为35°，射出光线与光线垂直，
∠GFL=90°，∠DFL=35°，
∠OEA=∠DFG=∠GFL+∠DFL=90°+35°=125°，
∠OEB=180°-∠OEA=55°.
故答案为55°.
【分析】（1）根据角的和差计算即可；
（2） 射入光线与射出光线平行，由AB∥CD得到，再根据得出，进而可判定；
（3）根据题意画出图形，得出∠OEA=∠DFG=90°+35°=125°，再根据平角的定义计算即可得到答案.
21．【答案】（1）解：由已知和作图能得到，因为：
AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，因此
所以，
（2）解：因为，所以，
在三角形ABE中，根据三边关系可知
，因此：，
所以，AD的取值范围为：．
（3）解：延长AD到M点，使得，
由题意可知
所以，
所以，
又因为
所以，
所以，．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）利用“SAS”证出即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，再将数据代入求出即可；
（3）延长AD到M点，使得，先利用“SAS”证出，可得，再利用等角对等边的性质可得.
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：的值不发生变化，为定值1，理由如下：
如图所示，过点E作于H，连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】垂线的概念；三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定、三角形的面积计算。熟悉掌握三角形全等的方法，通过作辅助线构造三角形全等是解题关键。
（1）由得，结合和可证；
（2） 由得，可得；
（3）过点E作于H，连接，由得，可得，
结合证，得；根据，证，有，得，结合，证，得，则，可得.
23．【答案】（1）解：如图①中，射线 即为所求.
（2）D
（3）解：如图③中，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
平分 .
（4）解：如图，在 的两边上截取 ，利用直角尺作 ， ， 交 于 ，作射线 ，射线 即为所求.
理由：在 和 中，
，
，
，
射线 平分 .
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）如图②中， 是等宽直尺，
点 到两边的距离相等，根据 可以利用全等三角形的性质证明 是角平分线.
故答案为：D.
【分析】（1）利用尺规作图作出角平分线即可；
（2）点 到两边的距离相等，根据 证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明 是角平分线；
（3）先证明 ，再证明 ， 最后证明 ，可得，即得结论；
（4） 在 的两边上截取 ，利用直角尺作 ， ， 交 于 ，作射线 ，射线 即为所求.理由： ，可得 ，即得结论.
24．【答案】（1）解：证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）证明：作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）或
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，.
故答案为：或.
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠DFA=∠CAE，由垂直的概念可得∠ADF=∠ECA=90°，结合AF=AE，利用AAS证明△AFD≌△EAC，得到DF=AC，然后结合AC=BC可得结论；
（2）作FD⊥AC于D，由（1）得：FD=AC=BC，AD=CE，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG=1，则AD=2，CE=2，BC=AC=AG+CG=4，据此证明；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，根据全等三角形的性质可得CG=GD，AD=CE=7，则CG=DG=1.5，据此求解；同理可得当点E在线段BC上时对应的值.
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