浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识 三阶单元测试卷

浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2017八上·江都期末）如图，已知 ，下列所给条件不能证明△ ≌△ 的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·景德镇期中） 如图，中，，点O是垂直平分线的交点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
4．（2024·安新模拟）已知一条线段AB外有一点C，利用尺规过点C作线段AB的垂线，以下作法正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八下·西安月考）如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
6．（2020七下·武昌期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．150°
7．（2022八上·义乌月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（　　）
A．BC+AD＝CD B．E为CD中点
C．∠AEB＝90° D．S△ABE＝S四边形ABCD
8．（2022·河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A．1 B．2 C．7 D．8
9．（2021七下·宣化期中）如图：已知 ， 度， 度，则 等于（　　）度．
A．50 B．60 C．80 D．90
10．（2023八上·拜城期中） 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　.
12．（2021·日照）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿BC边向点C运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为　 　时，与全等．
13．（2023八上·洪山月考）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　 　．
14．如图，在△ABC中，CB>CA，∠BAC=80°，D为AB上一点，满足CB-CA=BD，I为△ABC三条角平分线的交点连接ID，则∠IDA=　 　.
15．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为　 　度．
16．（2023八上·福州开学考）如图，在中，，角平分线、交于点，于点下列结论：
：：；
；
；
，
其中正确结论是　 　．
三、解答题（本题共8小题，第17题7分，第18题9分，第19题9分，第20题6分，第21题9分，第22题8分，第23题8分，第24题10分，共66分）
17．（2024·七下婺城期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数；
②当直线EM与直线PN平行时，求t的值．
18．（2024七下·桥西期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．
如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且，射线OE是的“好线”．
（1）若，且OE在内部，求的度数；
（2）若OE恰好平分，求的度数；
（3）若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系．
19．（2024七下·深圳期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围.
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使.请根据小明的方法思考：
（1）请证明
（2）请直接写出的取值范围　 　　 　；
（3）【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.
如图2，已知，，，P为的中点.若A，C，D共线，求证：平分；
20．（2024七下·光明月考）【综合实践活动】
【问题背景】
小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．
【理论准备】
哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因；
【实际操作】
小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下：
⑴在房屋M墙边找一点C，使得；
⑵在院子里找一点E，使得：此时发现；
⑶测量出B到房屋M墙的距离，即：，；
⑷测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现；
经过以上的方法可以计算出的长度．
请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度：
解：如图4，延长至F，使得，连接．
……
（1）【成果迁移】
如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离．
21．（2024八上·景县期末）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是　 　．
22．（2021七下·大连期中）
（1）学行线后，王玲同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如下：
①请你仿照以上过程，在下图中画出一条直线b，使直线b经过点P，且b∥a，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，无需写画法．
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 ▲ 线．
（2）已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．
求证：BE∥CF．
要求：请你阅读小宁同学如下的证明过程，圈出他证明中的不符合题意，并在右侧的空白处进行改正，若有跳步，请在下面方框内补充完整并将其标记到证明过程中的相应位置，可如下所示使用修改替换符号：“”
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC=∠BCD（同位角相等，两直线平行）．两直线平行，内错角相等．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知），
∴∠2=∠3（角平分线的定义）．
∴BE∥CF（两直线平行，内错角相等）
23．（2023八上·开福开学考）如图，，的平分线交于点，．
（1）如图，若，的平分线交于点、交射线于点求的度数；
（2）如图，线段上有一点，满足，若在直线上取一点，使，求的值．
24．（2023七下·西青期末）已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A满足AAS，
B，SSA，不能证明三角形全等.
C满足ASA.
D满足SAS.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS；判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点是垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理，进行计算即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
A、1+3=4，故不能组成三角形，A不符合题意；
B、2+2＜7，故不能组成三角形，B不符合题意；
C、4+5＞7，故能组成三角形，C符合题意；
D、3+3=6，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点M，再分别以点M、B为圆心，大于MB的长为半径画弧交于一点，过该点与点A直线与线段AB交于点D，再CD即为所求作的垂线（如图所示）.
故答案为：D.
【分析】以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点M，再分别以点M、B为圆心，大于MB的长为半径画弧交于一点，过该点与点A直线与线段AB交于点D，再CD即为所求作的垂线.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：
∵，为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，故B正确.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AC于点G，过点P作PH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得PF=PG=PH，根据内角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，结合角平分线的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，则∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS证明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四边形AEPD=S四边形AHPG=5，则S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四边形AHPG=11，利用HL证明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，据此计算.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
∵FB、HG分别为 、 的角平分线
∴ ，
∵
∴
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过G作 ，先根据平行线的性质、角的和差得出 ，再根据角平分线的定义得出 ，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出 ，联立求解可得 ，最后根据角平分线的定义可得 .
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长BE，AD交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠BAD＝180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠CBA，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠ABE＝ ∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
故选项C不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠ABF＝∠F，∠C＝∠D，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠FED，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴CE＝DE，
∴E为CD中点，
故选项B不符合题意；
∵△BCE≌△FDE，
∴S△ABF＝S四边形ABCD，
∵E为CD中点，
∴S△ABE＝ S△ABF，
∴S△ABE＝ S四边形ABCD，
故选项D不符合题意；
∵△ABE≌△AFE（AAS），△BCE≌△FDE（AAS），
∴AB＝AF，BC＝DF，
∵AF＝AD+DF＝AD+BC，
∴AB＝AD+BC，
∵AB与CD不一定相等，
∴BC+AD＝CD不一定成立；
故选项A符合题意．
故答案为：A．
【分析】C、先根据二直线平行，同旁内角互补，得∠CBA＋∠BAD＝180°，再根据角平分线的定义得∠BAE＋∠ABE＝90°，从而根据三角形的内角和定理得∠AEB＝90°，据此判断C选项；
B、延长BE，AD交于点F，先用AAS证明△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得BE＝EF，再用AAS证明△BCE≌△FDE，根据全等三角形的性质得CE＝DE，即E为CD中点，据此判断B；
D、根据△BCE≌△FDE，得S△ABF＝S四边形ABCD，再根据E为CD中点，得S△ABE＝S△ABF，最后得S△ABE＝S四边形ABCD，据此判断D；
A、由△ABE≌△AFE，△BCE≌△FDE，得AB＝AF，BC＝DF，再根据AF＝AD＋DF＝AD＋BC，得AB＝AD＋BC，因此BC＋AD＝CD不一定成立，据此判断A．
8．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
所以 ， ，
在 中， ，
所以 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系分析求解即可。
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】
过点O作OH//AB
∵AB//CD
∴OH//AB//CD
∴∠ABO+∠BOH=180°
∠CDO+∠HOD=180°
∵∠B=120°，∠D=150°
∴∠BOH=60°，∠HOD=30°
∴∠BOD=60+30=90°
故答案为：D
【分析】本题属于平行线夹拐点的题目。只需要过拐点作辅助线，找角的关系即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
①AD平分∠CDE；
AD平分∠BAC
∠C＝90°， DE⊥AB
(AAS)
即①D平分∠CDE正确
②∠BAC＝∠BDE；
故②∠BAC＝∠BDE正确
③DE平分∠ADB；
假设DE平分∠ADB
DE⊥AB
DB=DA
∠C＝90°
即仅当时，DE平分∠ADB
故③DE平分∠ADB不正确
④BE+AC＝AB，
(AAS)
AE=AC
BE+AC=BE+AE=AB
故④BE+AC＝AB正确
综上，①②④正确
故选：B
【分析】根据角平分线的定义判定角平分线，掌握全等三角形的判定定理及其性质，掌握等腰三角形的三线合一定理，逐一判定即可。
11．【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
12．【答案】2或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①当，时，，
，
，
，
，解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
，
，
，解得：，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，与全等，
故答案为：2或．
【分析】由于∠B=∠C，要使与全等，分两种情况：①当，时，②当，时，据此分别求解即可.
13．【答案】12.5
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图，
∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴ ∠EAD=∠CAD，
∵ CD⊥AD，
∴ ∠ADE=∠ADC=90°，
∵ AD=AD，
∴ △ADE≌△ADC（ASA），
∴ DE=DC，AE=AC，
∴ S△BDC=S△BCE，
∵ AC-AB=5，
∴ BE=5，
∵ 当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，
∴ S△BDC=S△BCE，=×BC·BE=12.5.
故答案为：12.5.
【分析】延长AB交CD的延长线于点E，根据角平分线的定义和垂直的定义可得∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，根据ASA判定△ADE≌△ADC推出 DE=DC，从而得到S△BDC=S△BCE，当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，即可求得.
14．【答案】40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在CB上取点A，使得CA1=CA．连接IA1、IA、A1D、CI、BI．
则BD=BA1．易证△ACI≌△A1CI，△A1BI≌△DBI，故AI=A1I= DI，
∴∠IDA =∠IAD=∠DAC=40°．
故答案为：40°.
【分析】由 CB-CA=BD ，联想到在CB上取点A，使得CA1=CA，由 I为△ABC三条角平分线的交点 联想到连接AI、BI、CI.由此容易证得△A1CI≌△ACI，△ABI≌△DBI，所以AI=A1I= DI，∠IDA =∠IAD=∠DAC=40°．
15．【答案】65
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
OD垂直平分AB，
AO=BO，
∠OAB=∠OBA.
AB=AC，∠BAC=50°，
∠ABC=∠ACB=65°.
OA平分∠BAC，
∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，
∠OBA=25°，
∠OBC=40°.
在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，
△ABO≌△ACO（SAS），
BO=CO，
∠OBC=∠OCB=40°.
△EOF与△ECF关于EF对称，
OF=CF，∠OFE=∠CFE=∠OFC，
∠FCO=∠FOC=25°， ∴∠OFC=130°， ∴∠CFE=65°.
故答案为：65.
【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，过点O作OH⊥BC于点H
∵BD平分∠ABC，OF⊥AB ∴OF=OH ∴ 故结论正确；
∵∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=120°
又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O
∴∠OBD=∠OBA=∠ABC，∠OCB=∠OCA=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB）=60°
∴∠EOB=∠OBC+∠OCB=60°
∴∠EOF=∠BOE-∠BOF
又∵∠OBF=∠ABC ∴∠BOF=90°-∠ABC
∴∠EOF=60°-（90°-∠ABC）=∠ABC-30°=（∠ABC-60°）=（∠ABC-∠A）.故结论
②错误；
如图2，在BC上截取BM=BE，连接OM
在和中，∴
∴OE=OM，∠EOB=∠BOM=60°
又∵∠COD=∠EOB=60° ∴∠COM=180°-∠BOM-∠COD=60° ∴∠COD=∠COM
在和中，∴
∴CD=CM ∴BE+CD=BC 故结论正确；
∵，
∴，
∴
∴，故结论正确.
故答案为：.
【分析】主要利用全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论解题，解题的关键是正确地做出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质解决问题。
17．【答案】（1）解：∠AEP＝150°；
（2）解：①当PN平分∠EPF时，求得运动时间t的值为3秒，9秒，15秒.
∠AEM＝3×9°＝27° 或∠AEM＝9×9°＝81° 或∠AEM＝15×9°＝135°
②
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵ PF⊥CD，∠FPE=60°，
∴ ∠PEB=30°，
∴ ∠AEP=150°；
（2）②当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，又∵0≤∠EPN≤60°，
∴ ∠MEP=150°-9t，且，
当150°-9t=10°（12-t），无解；
当，150°-9t=10（t-12），解得，t=；
故t=.
【分析】（1）根据垂线的定义和三角形的内角和定理即可求得；
（2）①根据角平分线的定义，先求出t的值，再计算∠AEM即可；
②根据平行线的性质可得∠MEP=∠EPN，再根据∠EPN的取值范围求得t的取值范围，再分两种情况：当时和当时，根据∠MEP=∠EPN列出关于t的方程，即可求得.
18．【答案】（1）如图①，由于射线OE是的“好线”，
当时，，，
，，，
如图②，由于射线OE是的“好线”，
当时，，，
，因此或．
（2）若OE恰好平分，，；
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的概念；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：（3）①如图所示，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD=180°时，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOE=∠BOD，
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠EOF=∠AOE=∠BOD，
∴OG是∠BOC的平分线，
∴∠BOG=∠BOC=×（90°+∠BOD）=45°+∠BOD，
∴∠DOG=∠BOG-∠BOD=45°-∠BOD，
∴∠EOF+∠DOG=45°；
②如图所示，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD=180°时，
∵∠AOD+∠EOD=180°，
∴∠DOE=∠BOD，
∴∠DOG=∠BOC-∠BOD=（90°+∠BOD）-∠BOD=45°-∠BOD，
∴∠EOF=∠AOE=×（180°-2∠BOD）=90°-∠BOD，
∴∠EOF=2∠DOG，
综上，或.
【分析】（1）分类讨论：①当时，②当时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可；
（2）利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论：①当∠AOE+∠AOD=180°时，②当∠AOE+∠AOD=180°时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
19．【答案】（1）解：为边上的中线，
，
在和中，，
，
（2）1；7
（3）证明：如图1，交延长线于点F，
，，，，
为的中点，，，
，，
又，，
在和中，，
（全等三角形的对应角相等），
即平分；
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）由(1)知BE=AC，AE=2AD，在ABE中，AB-BE【分析】（1）倍长AD，再加上BD=DC，还有一组对顶角便可证明全等；
（2）全等对应边相等，再利用三角形三边的关系可求得线段AD的取值范围；
(3)利用倍长中线法构造全等三角形，再找到第二组全等三角形的条件即可证得.
20．【答案】（1）解：（理论准备）：在和中
，
，
；
（实际操作）：
证明：由题意可得，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
；
（成果迁移）：延长并截取，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
海里．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】 【理论准备】由题意知DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，利用“SAS”可证△ABC≌△DEC，则可得AB=DE即可解答；
【实际操作】易得∠D=∠AEC=∠CEF=90°，利用“SAS”可证△CDB≌△CEF，则可得∠ECF=∠DCB，EF=DB，CB=CF，从而可求得∠ACF=∠ACB，然后利用“SAS”可证△ACB≌△ACF，再根据全等三角形的性质可求AB的长即可解答；
【成果迁移】延长EC并截取CF=BD，先证∠B=∠ACF，然后利用“SAS”可得△ABD≌△ACF，得出AD=AF，∠BAD=∠CAF，然后证得∠EAF=∠DAE，从而可证△DAE≌△FAE，再根据全等三角形的性质定理可求出DE的长即可解答．
21．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠CAE+∠FAG＝90°
∴∠FAG＝∠AEC，
∵FG⊥AC，
∴∠FGA＝90°＝∠ACE，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
∴AG＝EC；
（2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D，
∵AC＝4，AG＝3，
∴CG＝4﹣3＝1，
由（1）可知，△FAD≌△AEC，
∴CE＝AD，FG＝AC＝BC，
在△FDG 和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG＝GC＝1，
∴CE＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∴CE＝EB，即E点为BC中点；
（3）
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴
由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD＝DG，AG＝CE，
∴
∴
∴
∴＝．
故答案为：．
【分析】（1）利用余角的性质可得∠FAG=∠CEA，根据AAS证明；
（2）过点F作，根据AAS证明，得到DG=GC，进而求出CE=EB即可；
（3）作，交AC的延长线于一点H，由（1）（2）可知，，，利用全等三角形的性质计算即可．
22．【答案】（1）解：①如图2所示；
②垂
（2）证明：∵AB∥CD（
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知）
∴∠2＝∠ABC，∠3＝∠BCD（已证），
∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BECF（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的垂线；
故答案为：垂；
【分析】（1）①首先折直线a的垂线，并且使a的垂线经过点P，再作答即可；
②根据作图可得折平行线的过程实际就是寻找过点P的直线a的垂线；
（2）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ABC＝∠BCD，进而得出答案。
23．【答案】（1）解：平分，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：有两种情况，
当在的下方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
当在的上方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质，平行线的性质，三角形内角和定理进行角之间的等量替换即可求出答案；
（2）根据平行线的性质，三角形内角和定理及角平分线性质分别表示出∠ABM和∠GBM，即可求出答案。
24．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
的度数为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质和平行线的性质。
（1）根据平分得，根据 得，可知；
（2） 由（1）得 ，得 ，结合平分，平分，得，，可得 ，根据，得.
1 / 1浙教版数学八上第1章 三角形的初步知识 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2017八上·江都期末）如图，已知 ，下列所给条件不能证明△ ≌△ 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A满足AAS，
B，SSA，不能证明三角形全等.
C满足ASA.
D满足SAS.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS；判断即可.
2．（2024八下·景德镇期中） 如图，中，，点O是垂直平分线的交点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点是垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理，进行计算即可.
3．（2023·长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
A、1+3=4，故不能组成三角形，A不符合题意；
B、2+2＜7，故不能组成三角形，B不符合题意；
C、4+5＞7，故能组成三角形，C符合题意；
D、3+3=6，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．（2024·安新模拟）已知一条线段AB外有一点C，利用尺规过点C作线段AB的垂线，以下作法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点M，再分别以点M、B为圆心，大于MB的长为半径画弧交于一点，过该点与点A直线与线段AB交于点D，再CD即为所求作的垂线（如图所示）.
故答案为：D.
【分析】以点C为圆心，CB长为半径画弧交AB于点M，再分别以点M、B为圆心，大于MB的长为半径画弧交于一点，过该点与点A直线与线段AB交于点D，再CD即为所求作的垂线.
5．（2023八下·西安月考）如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示：
∵，为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，故B正确.
故答案为：B.
【分析】过点P作PF⊥BC于点F，过点P作PG⊥AC于点G，过点P作PH⊥AB于点H，由角平分线的性质可得PF=PG=PH，根据内角和定理可得∠ABC+∠ACB=120°，结合角平分线的概念可得∠PBF+∠PCF=(∠ABC+∠ACB)=60°，则∠BPC=120°，易得∠EPH=∠DPG，利用AAS证明△PEH≌△PDG，得到S△PEH=S△PDG，推出S四边形AEPD=S四边形AHPG=5，则S△PBH+S△PBF+S△PCF+S△PCG=S△ABC-S四边形AHPG=11，利用HL证明△CPF≌△CPG，得到S△BPH=S△BPF，S△CPF=S△CPG，据此计算.
6．（2020七下·武昌期中）如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．150°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】如图，过G作
∴
∵
∴
∴
∴
∵FB、HG分别为 、 的角平分线
∴ ，
∵
∴
解得
故答案为：C.
【分析】如图（见解析），过G作 ，先根据平行线的性质、角的和差得出 ，再根据角平分线的定义得出 ，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出 ，联立求解可得 ，最后根据角平分线的定义可得 .
7．（2022八上·义乌月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（　　）
A．BC+AD＝CD B．E为CD中点
C．∠AEB＝90° D．S△ABE＝S四边形ABCD
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长BE，AD交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠BAD＝180°，
∵AE平分∠BAD，BE平分∠CBA，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠ABE＝ ∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
故选项C不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠ABF＝∠F，∠C＝∠D，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE（AAS），
∴BE＝EF，
∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠FED，
∴△BCE≌△FDE（AAS），
∴CE＝DE，
∴E为CD中点，
故选项B不符合题意；
∵△BCE≌△FDE，
∴S△ABF＝S四边形ABCD，
∵E为CD中点，
∴S△ABE＝ S△ABF，
∴S△ABE＝ S四边形ABCD，
故选项D不符合题意；
∵△ABE≌△AFE（AAS），△BCE≌△FDE（AAS），
∴AB＝AF，BC＝DF，
∵AF＝AD+DF＝AD+BC，
∴AB＝AD+BC，
∵AB与CD不一定相等，
∴BC+AD＝CD不一定成立；
故选项A符合题意．
故答案为：A．
【分析】C、先根据二直线平行，同旁内角互补，得∠CBA＋∠BAD＝180°，再根据角平分线的定义得∠BAE＋∠ABE＝90°，从而根据三角形的内角和定理得∠AEB＝90°，据此判断C选项；
B、延长BE，AD交于点F，先用AAS证明△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质得BE＝EF，再用AAS证明△BCE≌△FDE，根据全等三角形的性质得CE＝DE，即E为CD中点，据此判断B；
D、根据△BCE≌△FDE，得S△ABF＝S四边形ABCD，再根据E为CD中点，得S△ABE＝S△ABF，最后得S△ABE＝S四边形ABCD，据此判断D；
A、由△ABE≌△AFE，△BCE≌△FDE，得AB＝AF，BC＝DF，再根据AF＝AD＋DF＝AD＋BC，得AB＝AD＋BC，因此BC＋AD＝CD不一定成立，据此判断A．
8．（2022·河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A．1 B．2 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，设这个凸五边形为 ，连接 ，并设 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
所以 ， ，
在 中， ，
所以 ，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系分析求解即可。
9．（2021七下·宣化期中）如图：已知 ， 度， 度，则 等于（　　）度．
A．50 B．60 C．80 D．90
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】
过点O作OH//AB
∵AB//CD
∴OH//AB//CD
∴∠ABO+∠BOH=180°
∠CDO+∠HOD=180°
∵∠B=120°，∠D=150°
∴∠BOH=60°，∠HOD=30°
∴∠BOD=60+30=90°
故答案为：D
【分析】本题属于平行线夹拐点的题目。只需要过拐点作辅助线，找角的关系即可。
10．（2023八上·拜城期中） 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
①AD平分∠CDE；
AD平分∠BAC
∠C＝90°， DE⊥AB
(AAS)
即①D平分∠CDE正确
②∠BAC＝∠BDE；
故②∠BAC＝∠BDE正确
③DE平分∠ADB；
假设DE平分∠ADB
DE⊥AB
DB=DA
∠C＝90°
即仅当时，DE平分∠ADB
故③DE平分∠ADB不正确
④BE+AC＝AB，
(AAS)
AE=AC
BE+AC=BE+AE=AB
故④BE+AC＝AB正确
综上，①②④正确
故选：B
【分析】根据角平分线的定义判定角平分线，掌握全等三角形的判定定理及其性质，掌握等腰三角形的三线合一定理，逐一判定即可。
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2021八上·长沙开学考）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是　 　.
【答案】9＜AB＜19
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE.
在△ADC和△EDB中，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）.
∵AC=5，AD=7，
∴BE=5，AE=14.
在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，
∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19.
故答案为9＜AB＜19.
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，则可得出AC=BE，由于AE和BE的长已知，根据三角形三边的关系即可求出AB的范围.
12．（2021·日照）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿BC边向点C运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为　 　时，与全等．
【答案】2或
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①当，时，，
，
，
，
，解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
，
，
，解得：，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，与全等，
故答案为：2或．
【分析】由于∠B=∠C，要使与全等，分两种情况：①当，时，②当，时，据此分别求解即可.
13．（2023八上·洪山月考）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　 　．
【答案】12.5
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图，
∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴ ∠EAD=∠CAD，
∵ CD⊥AD，
∴ ∠ADE=∠ADC=90°，
∵ AD=AD，
∴ △ADE≌△ADC（ASA），
∴ DE=DC，AE=AC，
∴ S△BDC=S△BCE，
∵ AC-AB=5，
∴ BE=5，
∵ 当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，
∴ S△BDC=S△BCE，=×BC·BE=12.5.
故答案为：12.5.
【分析】延长AB交CD的延长线于点E，根据角平分线的定义和垂直的定义可得∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，根据ASA判定△ADE≌△ADC推出 DE=DC，从而得到S△BDC=S△BCE，当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，即可求得.
14．如图，在△ABC中，CB>CA，∠BAC=80°，D为AB上一点，满足CB-CA=BD，I为△ABC三条角平分线的交点连接ID，则∠IDA=　 　.
【答案】40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在CB上取点A，使得CA1=CA．连接IA1、IA、A1D、CI、BI．
则BD=BA1．易证△ACI≌△A1CI，△A1BI≌△DBI，故AI=A1I= DI，
∴∠IDA =∠IAD=∠DAC=40°．
故答案为：40°.
【分析】由 CB-CA=BD ，联想到在CB上取点A，使得CA1=CA，由 I为△ABC三条角平分线的交点 联想到连接AI、BI、CI.由此容易证得△A1CI≌△ACI，△ABI≌△DBI，所以AI=A1I= DI，∠IDA =∠IAD=∠DAC=40°．
15．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为　 　度．
【答案】65
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
OD垂直平分AB，
AO=BO，
∠OAB=∠OBA.
AB=AC，∠BAC=50°，
∠ABC=∠ACB=65°.
OA平分∠BAC，
∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，
∠OBA=25°，
∠OBC=40°.
在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，
△ABO≌△ACO（SAS），
BO=CO，
∠OBC=∠OCB=40°.
△EOF与△ECF关于EF对称，
OF=CF，∠OFE=∠CFE=∠OFC，
∠FCO=∠FOC=25°， ∴∠OFC=130°， ∴∠CFE=65°.
故答案为：65.
【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。
16．（2023八上·福州开学考）如图，在中，，角平分线、交于点，于点下列结论：
：：；
；
；
，
其中正确结论是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，过点O作OH⊥BC于点H
∵BD平分∠ABC，OF⊥AB ∴OF=OH ∴ 故结论正确；
∵∠A=60° ∴∠ABC+∠ACB=120°
又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O
∴∠OBD=∠OBA=∠ABC，∠OCB=∠OCA=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB）=60°
∴∠EOB=∠OBC+∠OCB=60°
∴∠EOF=∠BOE-∠BOF
又∵∠OBF=∠ABC ∴∠BOF=90°-∠ABC
∴∠EOF=60°-（90°-∠ABC）=∠ABC-30°=（∠ABC-60°）=（∠ABC-∠A）.故结论
②错误；
如图2，在BC上截取BM=BE，连接OM
在和中，∴
∴OE=OM，∠EOB=∠BOM=60°
又∵∠COD=∠EOB=60° ∴∠COM=180°-∠BOM-∠COD=60° ∴∠COD=∠COM
在和中，∴
∴CD=CM ∴BE+CD=BC 故结论正确；
∵，
∴，
∴
∴，故结论正确.
故答案为：.
【分析】主要利用全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论解题，解题的关键是正确地做出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质解决问题。
三、解答题（本题共8小题，第17题7分，第18题9分，第19题9分，第20题6分，第21题9分，第22题8分，第23题8分，第24题10分，共66分）
17．（2024·七下婺城期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度数；
（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数；
②当直线EM与直线PN平行时，求t的值．
【答案】（1）解：∠AEP＝150°；
（2）解：①当PN平分∠EPF时，求得运动时间t的值为3秒，9秒，15秒.
∠AEM＝3×9°＝27° 或∠AEM＝9×9°＝81° 或∠AEM＝15×9°＝135°
②
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵ PF⊥CD，∠FPE=60°，
∴ ∠PEB=30°，
∴ ∠AEP=150°；
（2）②当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，又∵0≤∠EPN≤60°，
∴ ∠MEP=150°-9t，且，
当150°-9t=10°（12-t），无解；
当，150°-9t=10（t-12），解得，t=；
故t=.
【分析】（1）根据垂线的定义和三角形的内角和定理即可求得；
（2）①根据角平分线的定义，先求出t的值，再计算∠AEM即可；
②根据平行线的性质可得∠MEP=∠EPN，再根据∠EPN的取值范围求得t的取值范围，再分两种情况：当时和当时，根据∠MEP=∠EPN列出关于t的方程，即可求得.
18．（2024七下·桥西期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．
如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且，射线OE是的“好线”．
（1）若，且OE在内部，求的度数；
（2）若OE恰好平分，求的度数；
（3）若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系．
【答案】（1）如图①，由于射线OE是的“好线”，
当时，，，
，，，
如图②，由于射线OE是的“好线”，
当时，，，
，因此或．
（2）若OE恰好平分，，；
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的概念；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：（3）①如图所示，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD=180°时，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOE=∠BOD，
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠EOF=∠AOE=∠BOD，
∴OG是∠BOC的平分线，
∴∠BOG=∠BOC=×（90°+∠BOD）=45°+∠BOD，
∴∠DOG=∠BOG-∠BOD=45°-∠BOD，
∴∠EOF+∠DOG=45°；
②如图所示，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD=180°时，
∵∠AOD+∠EOD=180°，
∴∠DOE=∠BOD，
∴∠DOG=∠BOC-∠BOD=（90°+∠BOD）-∠BOD=45°-∠BOD，
∴∠EOF=∠AOE=×（180°-2∠BOD）=90°-∠BOD，
∴∠EOF=2∠DOG，
综上，或.
【分析】（1）分类讨论：①当时，②当时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可；
（2）利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论：①当∠AOE+∠AOD=180°时，②当∠AOE+∠AOD=180°时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可.
19．（2024七下·深圳期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围.
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使.请根据小明的方法思考：
（1）请证明
（2）请直接写出的取值范围　 　　 　；
（3）【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.
如图2，已知，，，P为的中点.若A，C，D共线，求证：平分；
【答案】（1）解：为边上的中线，
，
在和中，，
，
（2）1；7
（3）证明：如图1，交延长线于点F，
，，，，
为的中点，，，
，，
又，，
在和中，，
（全等三角形的对应角相等），
即平分；
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）由(1)知BE=AC，AE=2AD，在ABE中，AB-BE【分析】（1）倍长AD，再加上BD=DC，还有一组对顶角便可证明全等；
（2）全等对应边相等，再利用三角形三边的关系可求得线段AD的取值范围；
(3)利用倍长中线法构造全等三角形，再找到第二组全等三角形的条件即可证得.
20．（2024七下·光明月考）【综合实践活动】
【问题背景】
小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．
【理论准备】
哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因；
【实际操作】
小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下：
⑴在房屋M墙边找一点C，使得；
⑵在院子里找一点E，使得：此时发现；
⑶测量出B到房屋M墙的距离，即：，；
⑷测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现；
经过以上的方法可以计算出的长度．
请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度：
解：如图4，延长至F，使得，连接．
……
（1）【成果迁移】
如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离．
【答案】（1）解：（理论准备）：在和中
，
，
；
（实际操作）：
证明：由题意可得，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
；
（成果迁移）：延长并截取，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
海里．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】 【理论准备】由题意知DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，利用“SAS”可证△ABC≌△DEC，则可得AB=DE即可解答；
【实际操作】易得∠D=∠AEC=∠CEF=90°，利用“SAS”可证△CDB≌△CEF，则可得∠ECF=∠DCB，EF=DB，CB=CF，从而可求得∠ACF=∠ACB，然后利用“SAS”可证△ACB≌△ACF，再根据全等三角形的性质可求AB的长即可解答；
【成果迁移】延长EC并截取CF=BD，先证∠B=∠ACF，然后利用“SAS”可得△ABD≌△ACF，得出AD=AF，∠BAD=∠CAF，然后证得∠EAF=∠DAE，从而可证△DAE≌△FAE，再根据全等三角形的性质定理可求出DE的长即可解答．
21．（2024八上·景县期末）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是　 　．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠CAE+∠FAG＝90°
∴∠FAG＝∠AEC，
∵FG⊥AC，
∴∠FGA＝90°＝∠ACE，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
∴AG＝EC；
（2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D，
∵AC＝4，AG＝3，
∴CG＝4﹣3＝1，
由（1）可知，△FAD≌△AEC，
∴CE＝AD，FG＝AC＝BC，
在△FDG 和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG＝GC＝1，
∴CE＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∴CE＝EB，即E点为BC中点；
（3）
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴
由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD＝DG，AG＝CE，
∴
∴
∴
∴＝．
故答案为：．
【分析】（1）利用余角的性质可得∠FAG=∠CEA，根据AAS证明；
（2）过点F作，根据AAS证明，得到DG=GC，进而求出CE=EB即可；
（3）作，交AC的延长线于一点H，由（1）（2）可知，，，利用全等三角形的性质计算即可．
22．（2021七下·大连期中）
（1）学行线后，王玲同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如下：
①请你仿照以上过程，在下图中画出一条直线b，使直线b经过点P，且b∥a，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，无需写画法．
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 ▲ 线．
（2）已知：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．
求证：BE∥CF．
要求：请你阅读小宁同学如下的证明过程，圈出他证明中的不符合题意，并在右侧的空白处进行改正，若有跳步，请在下面方框内补充完整并将其标记到证明过程中的相应位置，可如下所示使用修改替换符号：“”
证明：∵AB∥CD
∴∠ABC=∠BCD（同位角相等，两直线平行）．两直线平行，内错角相等．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知），
∴∠2=∠3（角平分线的定义）．
∴BE∥CF（两直线平行，内错角相等）
【答案】（1）解：①如图2所示；
②垂
（2）证明：∵AB∥CD（
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知）
∴∠2＝∠ABC，∠3＝∠BCD（已证），
∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BECF（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的垂线；
故答案为：垂；
【分析】（1）①首先折直线a的垂线，并且使a的垂线经过点P，再作答即可；
②根据作图可得折平行线的过程实际就是寻找过点P的直线a的垂线；
（2）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ABC＝∠BCD，进而得出答案。
23．（2023八上·开福开学考）如图，，的平分线交于点，．
（1）如图，若，的平分线交于点、交射线于点求的度数；
（2）如图，线段上有一点，满足，若在直线上取一点，使，求的值．
【答案】（1）解：平分，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：有两种情况，
当在的下方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
当在的上方时，如图：
设，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，，
；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质，平行线的性质，三角形内角和定理进行角之间的等量替换即可求出答案；
（2）根据平行线的性质，三角形内角和定理及角平分线性质分别表示出∠ABM和∠GBM，即可求出答案。
24．（2023七下·西青期末）已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
的度数为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质和平行线的性质。
（1）根据平分得，根据 得，可知；
（2） 由（1）得 ，得 ，结合平分，平分，得，，可得 ，根据，得.
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