浙教版数学八上第1章章末重难点题型专训 雨伞模型
一、选择题
1．（2024七下·西安期中）某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·温州期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A．BE B．AE C．DE D．DP
3．（2022七下·昌图期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
4．（2023八上·孟村期中）下面是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D、E分别是、的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，则判定“”的依据是（ ）
A．角边角 B．角角边 C．边边边 D．边边角
5．（2023八上·永年期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点、分别是、的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·德州期中）我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈 D 能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄 AP 始终平分同一平面内所成的角∠BAC，为了证明这个结论，我们的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
7．（2023八上·石家庄期中）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角，.若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A．BE B．AE C．DE D．DP
二、填空题
8．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且、已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是 .
9．（2022八上·淅川期中）我国传统工艺中，油纸伞如图①制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.图②是撑开的油纸伞的截面示意图，已知，，则 其依据是 .
三、解答题
10．（2023八上·苍溪期末）“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙.如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD.问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.
11．（2022八上·义乌月考）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为什么？
12．（2023八上·宁江期中）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一．起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙．如图2．伞骨BD=CD，AB=AC，试向：当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP是否始终平分∠BAC？请说明你的理由．
13．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
14．（2022七下·宝鸡期末）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨 ， ，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的 ．请你说明其中的理由．
15．（2023八上·东阳月考）我国纸伞的制作工艺十分巧妙。如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能沿着众柄滑动。你能证明点必定在AP上吗？
16．（2023八上·遵义月考）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，在弹簧向上滑动的过程中，试说明平分．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
故答案为：D.
【分析】先求得AE=AF，再根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等，理由如下：
如图：连接DF，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DF=ED，
∴ 支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等.
故答案为：C.
【分析】连接DF，根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而利用SAS判断△AED≌△AFD，根据全等三角形的对应边相等得出DF=ED，据此即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△AEG和△AFG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法证明即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：AB=AC， 点D、E分别是、的中点
又DM=EM
AM=AM
(SSS)
故答案为：C
【分析】根据已知条件，分析整理得知三条边分别对应相等，故符合边边边（SSS）定理。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】∵，点、分别是、的中点，
∴AD=AE，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故答案为：C.
【分析】利用“SSS”证明三角形全等的判定方法分析求解即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据伞的结构，AE=AF，伞骨DE=DF，AD是公共边，
∵在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故答案为：B．
【分析】确定三角形全等的条件进行判定即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，而AD=AD，AE=AF，
∴（SAS），
∴DE=DF。
故答案为：C。
【分析】连接DF，根据SAS证明，利用对应边相等求解。
8．【答案】SSS
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB=AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=AE，
在△ADM和△AEM中，
∴△ADM≌△AEM(SSS)，
故答案为：SSS.
【分析】根据SSS证明△ADM≌△AEM.
9．【答案】AFG；SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴.
故答案为：AFG，SSS.
【分析】由题意用边边边可证△AEG≌△AFG.
10．【答案】解：AP平分∠BAC，
理由如下：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC.
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】 AP平分∠BAC， 利用SSS判断出△ABD≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等可得∠BAD＝∠CAD， 据此即可得出结论.
11．【答案】解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AP平分∠BAC．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等得∠BAD＝∠CAD，据此即可得出答案.
12．【答案】解：结论：伞柄AP始终平分∠BAC，
理由如下：
在△MBD和△MCD中，
∴△BDA≌△ACD (SSS)；
∴∠BMD=∠CAD
即AP平分∠BAC．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】先利用“SSS”证出△BDA≌△ACD，可得∠BMD=∠CAD，即可得到AP平分∠BAC．
13．【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
14．【答案】解：在 和 中，
， ， ，
所以 ，
所以 ，即AP平分 ．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】根据题意，利用”SSS“证明，得出，即可得出结论.
15．【答案】解：点D在AP上，
理由如下：始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，BD=CD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD
∵AP平分∠BAC．
∴点D在AP上
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】根要证AP平分∠BAC，则可先证明两个三角形全等，根据“SSS”即可得出△ABD≌△ACD，再利用全等三角形的性质即可解答.
16．【答案】证明：，分别是，的中点，
，，
，
，
，，
≌，
，
平分．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】证明△ADM≌△AEM（SSS），得到∠MAD=∠MAE，即可证明AM平分∠BAC．
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一、选择题
1．（2024七下·西安期中）某中学数学兴趣小组的同学在学习了三角形相关知识后，尝试了制作雨伞的实践活动．康康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，且，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS）．
故答案为：D.
【分析】先求得AE=AF，再根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形，即可求解.
2．（2023八上·温州期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A．BE B．AE C．DE D．DP
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等，理由如下：
如图：连接DF，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DF=ED，
∴ 支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等.
故答案为：C.
【分析】连接DF，根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而利用SAS判断△AED≌△AFD，根据全等三角形的对应边相等得出DF=ED，据此即可得出答案.
3．（2022七下·昌图期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△AEG和△AFG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故答案为：D．
【分析】利用全等三角形的判定方法证明即可。
4．（2023八上·孟村期中）下面是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D、E分别是、的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，则判定“”的依据是（ ）
A．角边角 B．角角边 C．边边边 D．边边角
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：AB=AC， 点D、E分别是、的中点
又DM=EM
AM=AM
(SSS)
故答案为：C
【分析】根据已知条件，分析整理得知三条边分别对应相等，故符合边边边（SSS）定理。
5．（2023八上·永年期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点、分别是、的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】∵，点、分别是、的中点，
∴AD=AE，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（SSS），
故答案为：C.
【分析】利用“SSS”证明三角形全等的判定方法分析求解即可.
6．（2021八上·德州期中）我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈 D 能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄 AP 始终平分同一平面内所成的角∠BAC，为了证明这个结论，我们的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据伞的结构，AE=AF，伞骨DE=DF，AD是公共边，
∵在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE=∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故答案为：B．
【分析】确定三角形全等的条件进行判定即可得出答案。
7．（2023八上·石家庄期中）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角，.若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A．BE B．AE C．DE D．DP
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，而AD=AD，AE=AF，
∴（SAS），
∴DE=DF。
故答案为：C。
【分析】连接DF，根据SAS证明，利用对应边相等求解。
二、填空题
8．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且、已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是 .
【答案】SSS
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB=AC，点D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=AE，
在△ADM和△AEM中，
∴△ADM≌△AEM(SSS)，
故答案为：SSS.
【分析】根据SSS证明△ADM≌△AEM.
9．（2022八上·淅川期中）我国传统工艺中，油纸伞如图①制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.图②是撑开的油纸伞的截面示意图，已知，，则 其依据是 .
【答案】AFG；SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴.
故答案为：AFG，SSS.
【分析】由题意用边边边可证△AEG≌△AFG.
三、解答题
10．（2023八上·苍溪期末）“油纸伞”是汉族古老的传统工艺品之一（如图1），其制作工艺十分巧妙.如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨AB＝AC，BD＝CD.问：伞柄AP是否始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC？请说明理由.
【答案】解：AP平分∠BAC，
理由如下：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC.
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】 AP平分∠BAC， 利用SSS判断出△ABD≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等可得∠BAD＝∠CAD， 据此即可得出结论.
11．（2022八上·义乌月考）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC．为什么？
【答案】解：AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AP平分∠BAC．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等得∠BAD＝∠CAD，据此即可得出答案.
12．（2023八上·宁江期中）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一．起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙．如图2．伞骨BD=CD，AB=AC，试向：当伞圈D沿着伞柄AP滑动时，伞柄AP是否始终平分∠BAC？请说明你的理由．
【答案】解：结论：伞柄AP始终平分∠BAC，
理由如下：
在△MBD和△MCD中，
∴△BDA≌△ACD (SSS)；
∴∠BMD=∠CAD
即AP平分∠BAC．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】先利用“SSS”证出△BDA≌△ACD，可得∠BMD=∠CAD，即可得到AP平分∠BAC．
13．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
14．（2022七下·宝鸡期末）如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨 ， ，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的 ．请你说明其中的理由．
【答案】解：在 和 中，
， ， ，
所以 ，
所以 ，即AP平分 ．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】根据题意，利用”SSS“证明，得出，即可得出结论.
15．（2023八上·东阳月考）我国纸伞的制作工艺十分巧妙。如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能沿着众柄滑动。你能证明点必定在AP上吗？
【答案】解：点D在AP上，
理由如下：始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，
理由：在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，BD=CD
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD
∵AP平分∠BAC．
∴点D在AP上
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】根要证AP平分∠BAC，则可先证明两个三角形全等，根据“SSS”即可得出△ABD≌△ACD，再利用全等三角形的性质即可解答.
16．（2023八上·遵义月考）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，在弹簧向上滑动的过程中，试说明平分．
【答案】证明：，分别是，的中点，
，，
，
，
，，
≌，
，
平分．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】证明△ADM≌△AEM（SSS），得到∠MAD=∠MAE，即可证明AM平分∠BAC．
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