浙教版数学八上第1章章末重难点题型专训 一线三等角全等模型
一、选择题
1．（2024八下·昭平期中）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在DE上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵水墙之间的距离DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，，
，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．
2．（2019八下·太原期末）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（ ）
A． cm B．4cm C．3 cm D．6cm
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE= AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE= BD= ，
∴BE= cm.
故答案为：A.
【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE的长.
3．（全等三角形的判定与性质+++++ ）已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AB=CE，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
【答案】D
【知识点】同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△CED中
，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C正确，
∴∠A=∠2，∠1=∠D，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B正确；D 错误，
故选D．
【分析】根据HL证Rt△ABC≌Rt△CED，根据全等三角形的性质即可求出答案．
二、填空题
4．（2018九上·郑州开学考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝ cm.
【答案】6.
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，∵ ，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2× AB DE=AB DE=3AB.
∵S△ABC= AC BF，∴ AC BF=3AB.
∵AC=AB，∴ BF=3，∴BF=6.
故答案为：6.
【分析】首先利用HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC，根据全等三角形的面积相等及三角形的面积法列出方程2× AB DE= AC BF，求解即可。
5．（2024八下·罗湖期末）如图中，，，，将边绕点 B顺时针旋转90°至，连， 则 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作，交延长线于点，
，
，，
在中，，
，
由旋转可知，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
故答案为：．
【分析】根据已知条件信息可先解△ABC，即利用两边一角中的特殊角作垂进行求解△ABC边长，结合旋转90°及目标线段AD长，易联想通过构造直角利用勾股定理进行求解，在构造过程产生一线三垂直全等，最后根据勾股定理即可得的长．
6．（2024·成都一诊）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，过B、C两点分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E，点F．若点F为AE中点，BE＝2，则BC的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，AB＝AC，
，
∴且
∴
∴ AF=BE=2
∵ 点F为AE中点，
∴ AE=2AF=4
在Rt△ABE中，=
在Rt△ABC中，
故答案为.
【分析】根据一线三垂直得出，从而得出AF=BE=2，再根据点F为AE中点，求出
AE的长，根据勾股定理求出AB，从而求出BC.
三、解答题
7．（2024七下·贵阳期中）如图所示，为了测量一幢楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，在P处仰望旗杆顶C和楼顶A，两条视线的夹角正好为90°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等，都等于8 m，量得旗杆与楼之间的距离DB为33 m，求楼高AB.
【答案】解：由题意，得∠CDP=∠PBA=∠APC=90°，
所以∠DCP+∠CPD=∠BPA+∠CPD=90°.
则∠DCP=∠BPA.
在△CPD和△PAB中，
因为∠CDP=∠PBA，CD=PB，∠DCP=∠BPA，
所以△CPD≌△PAB(ASA).所以PD=AB.
因为DB=33 m，PB=8 m，所以AB=PD=33-8=25(m).
故楼高AB是25 m.
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】根据条件分析等角，结合几何直观进一步证得全等后，利用全等性质进行求边即可.
8．（2024·广西模拟）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点作于点，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点，测得.
（1）求证：；
（2）求AE的长.
【答案】（1）证明：∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
，
∵BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
∴在Rt中，，
（2）解：在和中
，
，
的长为．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及角的构成可得∠AOB+∠COE=90°，由直角三角形量锐角互余得∠AOB+∠B=90°，由同角的余角相等得∠COE=∠B；
（2）由AAS判断出△DOB≌△ECO，由全等三角形的对应边相等得OE=BD=8cm，然后根据线段的构成，由AE=OA-OE即可算出答案.
9．（2024·南充模拟） 如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．
【答案】证明：，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【分析】根据题意可得，则，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即，即可求出答案.
10．（2024八上·廉江月考）综合与实贱
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，中，，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为E、F.求证：.
（1）独立思考：请证明王老师提出的问题.
（2）实践探究：王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答.
如图2，中，，，点D是BC上一点，，于E，求证：.问题解决：
（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
如图3，中，，，点D为BC上一点，，过点A作，且，连接BM.若，请直接写出AG的值为 .
【答案】（1）证明：∵，∴∠1+∠2=90°
∵，，∴，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，
又∵，，∴，∴，，
∵，∴.
（2）证明：过B作，
由（1）可知∴，
∵，，∴，∴.
（3）1
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（3）解：如图，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，
由（1）得，△AEC≌△BFA，
∴BF=AE=AM，∠BFG=∠MAG=90°，AF=CE=2，
又∵∠AGM=∠FGB，
∴△MAG≌△BFG(AAS)，
∴AG=FG=.
【分析】（1）根据已知条件及几何直观，易猜想，由已知三垂直条件，进而推得除已知直角外的一组同角余角相等，从而得证目标两三角形全等，利用全等的性质进行等量代换得出线段和差关系；
（2）在(1)中基础上，结合等腰BA=BD，易联想构造三线合一得出(1)中全等，并利用全等性质及等腰性质得证（2）中结论；
（3）同理构造全等，进而利用全等性质及（3）中条件的猜想并证明△MAG≌△BFG，从而利用全等性质推出目标线段的长度.
11．（2024八下·深圳期中）
（1）【模型呈现】发现：如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC= ，BC= .我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型：
（2）【模型应用】应用：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请探究线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，4)，点B为平面内一点.若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标 .
【答案】（1）DE；AE
（2）解：DE=AD-BE，理由如下：
证明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）(3，1)或(-1，3).
【知识点】坐标与图形性质；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1） ∵BC⊥AC ， DE⊥AC ，
∴∠ACB=∠DEA=90°，
又∵ ∠BAD=90° ，
∴ ∠1+∠2=∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠D，
在△ABC与△ADE中，
∵∠1=∠2，∠ACB=∠DEA，AB=AD，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE；
故答案为：DE；AE；
（3）如图，△ABO和△AB'O是以OA为斜边的等腰直角三角形，过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE=OC，OE=CD，∠ADB=90°，
∵点A（2，4），
∴OE=4，AE=2，
∵∠ABO=90°，
∴∠ABD+∠CBO=90°，
∵DC⊥OC，
∴∠COB+∠CBO=90°，
∴∠ABD=∠COB，
在△ADB与△BCO中，
∵∠ABD=∠COB，∠ADB=∠BCO=90°，AB=OB，
∴△ADB≌△BCO（AAS），
∴AD=BC，BD=OC，
∴BD=OC=DE=AD+2=BC+2，
∴BC+BC+2=4，
解得，BC=1，OC=3，
∴点B的坐标为(3，1)，
同理，点B'的坐标为(-1，3)，
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为(3，1)或(-1，3).
【分析】（1）由垂直的定义得∠ACB=∠DEA=90°，由同角的余角相等得∠1=∠D，从而用AAS判断出△ABC≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得AC=DE，BC=AE；
（2）由垂直定义得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得∠DAC=∠BCE，从而用AAS判断出△ADC≌△CEB，根据全等三角形的对应边相等得AD=CE，CD=BE，进而根据线段的构成及等量代换可得DE=AD-BE；
（3）如图，△ABO和△AB'O是以OA为斜边的等腰直角三角形，过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，则四边形OCDE为矩形，由矩形的性质得DE=OC，OE=CD，∠ADB=90°，由点的坐标与图形性质得OE=4，AE=2，由同角的余角相等得∠ABD=∠COB，从而用AAS判断出△ADB≌△BCO，根据全等三角形的对应边相等得AD=BC，BD=OC，然后根据线段间的关系可推出BD=OC=DE=AD+2=BC+2，则BC+BC+2=4，据此求出BC的长，进而得到OC的长，可得点B的坐标；同理，点B'的坐标为，综上即可得出答案.
1 / 1浙教版数学八上第1章章末重难点题型专训 一线三等角全等模型
一、选择题
1．（2024八下·昭平期中）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在DE上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵水墙之间的距离DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·太原期末）如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（ ）
A． cm B．4cm C．3 cm D．6cm
3．（全等三角形的判定与性质+++++ ）已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC=CD，∠B=∠E=90°，AB=CE，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
二、填空题
4．（2018九上·郑州开学考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝ cm.
5．（2024八下·罗湖期末）如图中，，，，将边绕点 B顺时针旋转90°至，连， 则 ．
6．（2024·成都一诊）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，过B、C两点分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E，点F．若点F为AE中点，BE＝2，则BC的长为 ．
三、解答题
7．（2024七下·贵阳期中）如图所示，为了测量一幢楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，在P处仰望旗杆顶C和楼顶A，两条视线的夹角正好为90°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等，都等于8 m，量得旗杆与楼之间的距离DB为33 m，求楼高AB.
8．（2024·广西模拟）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点作于点，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点，测得.
（1）求证：；
（2）求AE的长.
9．（2024·南充模拟） 如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．
10．（2024八上·廉江月考）综合与实贱
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，中，，，点E为外一点，，过B作，垂足分别为E、F.求证：.
（1）独立思考：请证明王老师提出的问题.
（2）实践探究：王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答.
如图2，中，，，点D是BC上一点，，于E，求证：.问题解决：
（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
如图3，中，，，点D为BC上一点，，过点A作，且，连接BM.若，请直接写出AG的值为 .
11．（2024八下·深圳期中）
（1）【模型呈现】发现：如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC= ，BC= .我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型：
（2）【模型应用】应用：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请探究线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，4)，点B为平面内一点.若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，，
，
故答案为：D.
【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．
2．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由AD＝AD，
所以，Rt△ACD≌Rt△AED，
所以，AC=AE.
∵E为AB中点，∴AC=AE= AB，
所以，∠B=30° .
∵DE为AB中线且DE⊥AB，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE= BD= ，
∴BE= cm.
故答案为：A.
【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE的长.
3．【答案】D
【知识点】同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△CED中
，
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL），故C正确，
∴∠A=∠2，∠1=∠D，
∵∠1+∠A=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B正确；D 错误，
故选D．
【分析】根据HL证Rt△ABC≌Rt△CED，根据全等三角形的性质即可求出答案．
4．【答案】6.
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，∵ ，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2× AB DE=AB DE=3AB.
∵S△ABC= AC BF，∴ AC BF=3AB.
∵AC=AB，∴ BF=3，∴BF=6.
故答案为：6.
【分析】首先利用HL判断出Rt△ADB≌Rt△ADC，根据全等三角形的面积相等及三角形的面积法列出方程2× AB DE= AC BF，求解即可。
5．【答案】10
【知识点】勾股定理；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点作于点，过点作，交延长线于点，
，
，，
在中，，
，
由旋转可知，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
在中，，
故答案为：．
【分析】根据已知条件信息可先解△ABC，即利用两边一角中的特殊角作垂进行求解△ABC边长，结合旋转90°及目标线段AD长，易联想通过构造直角利用勾股定理进行求解，在构造过程产生一线三垂直全等，最后根据勾股定理即可得的长．
6．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】 在Rt△ABC中，AB＝AC，
，
∴且
∴
∴ AF=BE=2
∵ 点F为AE中点，
∴ AE=2AF=4
在Rt△ABE中，=
在Rt△ABC中，
故答案为.
【分析】根据一线三垂直得出，从而得出AF=BE=2，再根据点F为AE中点，求出
AE的长，根据勾股定理求出AB，从而求出BC.
7．【答案】解：由题意，得∠CDP=∠PBA=∠APC=90°，
所以∠DCP+∠CPD=∠BPA+∠CPD=90°.
则∠DCP=∠BPA.
在△CPD和△PAB中，
因为∠CDP=∠PBA，CD=PB，∠DCP=∠BPA，
所以△CPD≌△PAB(ASA).所以PD=AB.
因为DB=33 m，PB=8 m，所以AB=PD=33-8=25(m).
故楼高AB是25 m.
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】根据条件分析等角，结合几何直观进一步证得全等后，利用全等性质进行求边即可.
8．【答案】（1）证明：∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
，
∵BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
∴在Rt中，，
（2）解：在和中
，
，
的长为．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）由垂直的定义及角的构成可得∠AOB+∠COE=90°，由直角三角形量锐角互余得∠AOB+∠B=90°，由同角的余角相等得∠COE=∠B；
（2）由AAS判断出△DOB≌△ECO，由全等三角形的对应边相等得OE=BD=8cm，然后根据线段的构成，由AE=OA-OE即可算出答案.
9．【答案】证明：，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【分析】根据题意可得，则，再根据全等三角形判定定理可得≌，则，，即，即可求出答案.
10．【答案】（1）证明：∵，∴∠1+∠2=90°
∵，，∴，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，
又∵，，∴，∴，，
∵，∴.
（2）证明：过B作，
由（1）可知∴，
∵，，∴，∴.
（3）1
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（3）解：如图，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，
由（1）得，△AEC≌△BFA，
∴BF=AE=AM，∠BFG=∠MAG=90°，AF=CE=2，
又∵∠AGM=∠FGB，
∴△MAG≌△BFG(AAS)，
∴AG=FG=.
【分析】（1）根据已知条件及几何直观，易猜想，由已知三垂直条件，进而推得除已知直角外的一组同角余角相等，从而得证目标两三角形全等，利用全等的性质进行等量代换得出线段和差关系；
（2）在(1)中基础上，结合等腰BA=BD，易联想构造三线合一得出(1)中全等，并利用全等性质及等腰性质得证（2）中结论；
（3）同理构造全等，进而利用全等性质及（3）中条件的猜想并证明△MAG≌△BFG，从而利用全等性质推出目标线段的长度.
11．【答案】（1）DE；AE
（2）解：DE=AD-BE，理由如下：
证明：∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）(3，1)或(-1，3).
【知识点】坐标与图形性质；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1） ∵BC⊥AC ， DE⊥AC ，
∴∠ACB=∠DEA=90°，
又∵ ∠BAD=90° ，
∴ ∠1+∠2=∠2+∠D=90°，
∴∠1=∠D，
在△ABC与△ADE中，
∵∠1=∠2，∠ACB=∠DEA，AB=AD，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE；
故答案为：DE；AE；
（3）如图，△ABO和△AB'O是以OA为斜边的等腰直角三角形，过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，
则四边形OCDE为矩形，
∴DE=OC，OE=CD，∠ADB=90°，
∵点A（2，4），
∴OE=4，AE=2，
∵∠ABO=90°，
∴∠ABD+∠CBO=90°，
∵DC⊥OC，
∴∠COB+∠CBO=90°，
∴∠ABD=∠COB，
在△ADB与△BCO中，
∵∠ABD=∠COB，∠ADB=∠BCO=90°，AB=OB，
∴△ADB≌△BCO（AAS），
∴AD=BC，BD=OC，
∴BD=OC=DE=AD+2=BC+2，
∴BC+BC+2=4，
解得，BC=1，OC=3，
∴点B的坐标为(3，1)，
同理，点B'的坐标为(-1，3)，
综上所述，△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为(3，1)或(-1，3).
【分析】（1）由垂直的定义得∠ACB=∠DEA=90°，由同角的余角相等得∠1=∠D，从而用AAS判断出△ABC≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得AC=DE，BC=AE；
（2）由垂直定义得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得∠DAC=∠BCE，从而用AAS判断出△ADC≌△CEB，根据全等三角形的对应边相等得AD=CE，CD=BE，进而根据线段的构成及等量代换可得DE=AD-BE；
（3）如图，△ABO和△AB'O是以OA为斜边的等腰直角三角形，过点B作DC⊥x轴于点C，过点A作DE⊥y轴于点E，两直线交于点D，则四边形OCDE为矩形，由矩形的性质得DE=OC，OE=CD，∠ADB=90°，由点的坐标与图形性质得OE=4，AE=2，由同角的余角相等得∠ABD=∠COB，从而用AAS判断出△ADB≌△BCO，根据全等三角形的对应边相等得AD=BC，BD=OC，然后根据线段间的关系可推出BD=OC=DE=AD+2=BC+2，则BC+BC+2=4，据此求出BC的长，进而得到OC的长，可得点B的坐标；同理，点B'的坐标为，综上即可得出答案.
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