浙教版数学八上第1章章末重难点题型专训 角平分线
一、选择题
1．（2023八上·东阳月考）如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥OB于H，先根据角平分线的性质，得出DE＝DH，再根据点到线的距离垂线段最短得出DF的长度不小于3，从而得出答案即可．
2．（2022·长春）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故答案为：B．
【分析】利用角平分线和线段垂直平分线的性质逐项判断即可。
3．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=80°，BA=BC
∴∠A=∠BCA=50°
根据作图轨迹可知，CE为∠ACD的平分线
∵∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°
∴∠DCE=65°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由等边对等角求出三角形ABC剩余内角的度数，结合作图轨迹和平角的性质，求出∠DCE。
4．（2024八下·保山期中）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A．CB=CD B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、若CB=CD，可利用SSS判定，不符合题意；
B、若 ，可利用SAS判定，不符合题意；
C、若 ，SSA不能判定，符合题意；
D、若 ，可利用HL判定，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 已知AB=AD， AC是公共边，故分别添加CB=CD， ， 后可以分别利用SSS，SAS，HL判定，而添加 不能判定，据此即可得到答案.
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，当DP⊥AB时，DP的值最小，
由作图可知，AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴DP的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出当DP⊥AB时，DP的值最小，再求出DP=CD=2，最后求解即可。
6．（2019·汕头模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作GH⊥AB于H，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GH⊥AB，
∴GH＝CG＝3，
∴△ABG的面积＝ ×AB×GH＝15，
故答案为：C．
【分析】由基本尺规作图可知AG是角的平分线，再根据角的平分线性质定理可知GH=CG，再根据三角形的面积公式即可。
7．（2019八上·吴兴期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过B作BF'⊥AC交AC于F'，交AD于M'，过M'作M'N'⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
以M为圆心，以MN为半径画弧交AC于F点，
则BM+MN=BM+MF，BM'+M'N'=BF'，
∴BF'AB2=AF'2+BF'2，
∵∠A=45°，
【分析】根据垂线段最短，结合AD是∠BAC的平分线， 当BF垂直于AC时，BM+MN是最小值，即BF取最小值，然后结合∠BAC=45°，利用勾股定理即可求出最短距离.
8．（2019八上·天台期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点 G作EF ∥ BC交AB于E，交AC 于F，过点G作 GD⊥AC 于D，下列四个结论：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+ ∠A ；③点G到 △ABC 各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则 =mn. 其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ① ∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵∠EBG=CBG，∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG，同理FC=FG，EF=EG+FG=BE+CF，正确；
②∵BG和CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠CBG=∠ABC，∠BCG=∠ACB，∠BGC=180°-∠CBG-∠BCG=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+ ∠A ，正确；
③如图，过G作GN⊥AB，GM⊥BC，
∵BG是∠ABC的平分线，∴GN=GM，∵CG是∠ACB的平分线，∴GM=GD，∴GM=GN=GD，即
点G到 △ABC 各边的距离相等，正确；
④如图，连接AG，
S△AEF=S△AEG+S△AFG=AE×GN+AF×GD=（AE+AF）×GD=mn，错误.
综上，正确的有3项.
故答案为：C.
【分析】利用角的平分线和过平分线的一点作角的一边的平行线可得等腰三角形，推出EF等于BE和CF之和；根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理把∠BGC用∠ABC和∠ACB表示，从而可把∠BGC用含∠A的关系式表示；因为G是三角形两角平分线的交点，根据角平分线性质定理可得点G到三角形的三边距离相等；用分割法求三角形面积，可得△AEF的面积是mn.
二、填空题
9．（2024·荆州模拟）已知：．求作：的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线，射线即为所求（如图）．
从上述作法中可以判断，其依据是 （在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作法得OM=ON，PM=PN，
∵OP为公共边，
∴△MOP≌△NOP（SSS）.
故答案为：SSS.
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等三角形即可求解.
10．（2024八下·道县月考）如图，，于点C，若，则点E到OA的距离为 ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴OE平分∠AOB
∵
∴点E到OA的距离为CE=2
故答案为：2.
【分析】先由∠AOE=∠COE=30°，得出OE平分∠AOB，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点E到OA的距离 .
11．（2024八下·景德镇期中）中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点D，已知，的面积为40，则 ．
【答案】16
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，如图：
由题意可得：平分，
，即：，
，
在中，，，，
，
，
的面积为40，
，
解得：，
故答案为：16．
【分析】由题意作图可得平分，根据角平分线的性质可得CD=DE，再根据勾股定理求出CD，进而根据三角形的面积公式计算即可.
12．（2024八下·电白期中）如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点C作CH⊥OB于点H，
由OE平分∠AOB，CF⊥OA，CH⊥OB得CH=CF=3，而OD=3，故S△ODC==
故答案为：.
【分析】由角平分线的性质可得C到OB的距离等于CF，再求面积.
13．（2024八上·惠州期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积；
故答案为：15.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求得DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可.
14．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
15．（2024八下·印江月考）如图，平分，于点，，是射线上的任一点，则的长度不可能是（ ）
A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥OB于点H，
平分， ，DH⊥OB，
DH=DE=4.2，
是射线上的任一点，
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥OB于点H，利用角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短即可求解.
16．（2020八上·顺义期末）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于 ．
【答案】2
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE= PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为2．
【分析】根据题意求出∠OPC=∠POD，再求出PE=2，最后根据角平分线的性质求解即可。
三、解答题
17．（2024·天河模拟）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：．
【答案】证明：∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴AD=CD.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】在读题标量的基础上易分析全等的三组条件，得出全等对应边相等得证.
18．（2024·乐山）如图，AB是的平分线，，求证：．
【答案】证明：∵AB是的平分线，∴．
∴在和中，，，，
∴（SAS）
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质，即可得出．
19．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 ．
【答案】100°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠ABD=40°，
∴∠CDB=∠ABD=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=40°，
∴∠C=180°-∠CDB-∠CBD=180°-40°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据平行线的性质得∠CDB=∠ABD=40°，再根据角平分线的定义得∠CBD=∠ABD=40°，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数.
20．（2024七下·重庆市期末）在中，和的角平分线相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（）由题可知，先由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求解；
（）在上截取，连接，先由角平分线的性质可证，再结合题意证，即可求证.
21．（2023八上·南宁月考）综合与实践
（1）【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任意作一个，作出的平分线在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，第一小组的测量结果如下：
学生 学生
小明 小刚
小红 小丽
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
（2）【推理证明】请结合图，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：，点在上，，，垂足分别为，求证：．
（3）【定理应用】如图2，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
【答案】（1）解：发现：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
（2）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）解：当时，最小，
，为的角平分线，
，
的最小值为3．
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，总结出规律即可；
（2）利用"AAS"证明，再根据"全等三角形对应边相等"，即可求解；
（3）当时，最小，根据角平分线的性质得到，即可求解.
1 / 1浙教版数学八上第1章章末重难点题型专训 角平分线
一、选择题
1．（2023八上·东阳月考）如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥OB于H，先根据角平分线的性质，得出DE＝DH，再根据点到线的距离垂线段最短得出DF的长度不小于3，从而得出答案即可．
2．（2022·长春）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故答案为：B．
【分析】利用角平分线和线段垂直平分线的性质逐项判断即可。
3．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=80°，BA=BC
∴∠A=∠BCA=50°
根据作图轨迹可知，CE为∠ACD的平分线
∵∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°
∴∠DCE=65°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由等边对等角求出三角形ABC剩余内角的度数，结合作图轨迹和平角的性质，求出∠DCE。
4．（2024八下·保山期中）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A．CB=CD B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、若CB=CD，可利用SSS判定，不符合题意；
B、若 ，可利用SAS判定，不符合题意；
C、若 ，SSA不能判定，符合题意；
D、若 ，可利用HL判定，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 已知AB=AD， AC是公共边，故分别添加CB=CD， ， 后可以分别利用SSS，SAS，HL判定，而添加 不能判定，据此即可得到答案.
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，当DP⊥AB时，DP的值最小，
由作图可知，AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴DP的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出当DP⊥AB时，DP的值最小，再求出DP=CD=2，最后求解即可。
6．（2019·汕头模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作GH⊥AB于H，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GH⊥AB，
∴GH＝CG＝3，
∴△ABG的面积＝ ×AB×GH＝15，
故答案为：C．
【分析】由基本尺规作图可知AG是角的平分线，再根据角的平分线性质定理可知GH=CG，再根据三角形的面积公式即可。
7．（2019八上·吴兴期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过B作BF'⊥AC交AC于F'，交AD于M'，过M'作M'N'⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
以M为圆心，以MN为半径画弧交AC于F点，
则BM+MN=BM+MF，BM'+M'N'=BF'，
∴BF'AB2=AF'2+BF'2，
∵∠A=45°，
【分析】根据垂线段最短，结合AD是∠BAC的平分线， 当BF垂直于AC时，BM+MN是最小值，即BF取最小值，然后结合∠BAC=45°，利用勾股定理即可求出最短距离.
8．（2019八上·天台期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点 G作EF ∥ BC交AB于E，交AC 于F，过点G作 GD⊥AC 于D，下列四个结论：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+ ∠A ；③点G到 △ABC 各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则 =mn. 其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ① ∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵∠EBG=CBG，∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG，同理FC=FG，EF=EG+FG=BE+CF，正确；
②∵BG和CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠CBG=∠ABC，∠BCG=∠ACB，∠BGC=180°-∠CBG-∠BCG=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+ ∠A ，正确；
③如图，过G作GN⊥AB，GM⊥BC，
∵BG是∠ABC的平分线，∴GN=GM，∵CG是∠ACB的平分线，∴GM=GD，∴GM=GN=GD，即
点G到 △ABC 各边的距离相等，正确；
④如图，连接AG，
S△AEF=S△AEG+S△AFG=AE×GN+AF×GD=（AE+AF）×GD=mn，错误.
综上，正确的有3项.
故答案为：C.
【分析】利用角的平分线和过平分线的一点作角的一边的平行线可得等腰三角形，推出EF等于BE和CF之和；根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理把∠BGC用∠ABC和∠ACB表示，从而可把∠BGC用含∠A的关系式表示；因为G是三角形两角平分线的交点，根据角平分线性质定理可得点G到三角形的三边距离相等；用分割法求三角形面积，可得△AEF的面积是mn.
二、填空题
9．（2024·荆州模拟）已知：．求作：的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线，射线即为所求（如图）．
从上述作法中可以判断，其依据是 （在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作法得OM=ON，PM=PN，
∵OP为公共边，
∴△MOP≌△NOP（SSS）.
故答案为：SSS.
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等三角形即可求解.
10．（2024八下·道县月考）如图，，于点C，若，则点E到OA的距离为 ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴OE平分∠AOB
∵
∴点E到OA的距离为CE=2
故答案为：2.
【分析】先由∠AOE=∠COE=30°，得出OE平分∠AOB，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点E到OA的距离 .
11．（2024八下·景德镇期中）中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点D，已知，的面积为40，则 ．
【答案】16
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，如图：
由题意可得：平分，
，即：，
，
在中，，，，
，
，
的面积为40，
，
解得：，
故答案为：16．
【分析】由题意作图可得平分，根据角平分线的性质可得CD=DE，再根据勾股定理求出CD，进而根据三角形的面积公式计算即可.
12．（2024八下·电白期中）如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点C作CH⊥OB于点H，
由OE平分∠AOB，CF⊥OA，CH⊥OB得CH=CF=3，而OD=3，故S△ODC==
故答案为：.
【分析】由角平分线的性质可得C到OB的距离等于CF，再求面积.
13．（2024八上·惠州期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积；
故答案为：15.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求得DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可.
14．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
15．（2024八下·印江月考）如图，平分，于点，，是射线上的任一点，则的长度不可能是（ ）
A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥OB于点H，
平分， ，DH⊥OB，
DH=DE=4.2，
是射线上的任一点，
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥OB于点H，利用角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短即可求解.
16．（2020八上·顺义期末）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于 ．
【答案】2
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE= PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为2．
【分析】根据题意求出∠OPC=∠POD，再求出PE=2，最后根据角平分线的性质求解即可。
三、解答题
17．（2024·天河模拟）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：．
【答案】证明：∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴AD=CD.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】在读题标量的基础上易分析全等的三组条件，得出全等对应边相等得证.
18．（2024·乐山）如图，AB是的平分线，，求证：．
【答案】证明：∵AB是的平分线，∴．
∴在和中，，，，
∴（SAS）
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质，即可得出．
19．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 ．
【答案】100°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠ABD=40°，
∴∠CDB=∠ABD=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=40°，
∴∠C=180°-∠CDB-∠CBD=180°-40°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据平行线的性质得∠CDB=∠ABD=40°，再根据角平分线的定义得∠CBD=∠ABD=40°，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数.
20．（2024七下·重庆市期末）在中，和的角平分线相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（）由题可知，先由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求解；
（）在上截取，连接，先由角平分线的性质可证，再结合题意证，即可求证.
21．（2023八上·南宁月考）综合与实践
（1）【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任意作一个，作出的平分线在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，第一小组的测量结果如下：
学生 学生
小明 小刚
小红 小丽
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
（2）【推理证明】请结合图，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：，点在上，，，垂足分别为，求证：．
（3）【定理应用】如图2，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
【答案】（1）解：发现：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
（2）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）解：当时，最小，
，为的角平分线，
，
的最小值为3．
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，总结出规律即可；
（2）利用"AAS"证明，再根据"全等三角形对应边相等"，即可求解；
（3）当时，最小，根据角平分线的性质得到，即可求解.
1 / 1浙教版数学八上第1章章末重难点题型专训 角平分线
一、选择题
1．（2023八上·东阳月考）如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
2．（2022·长春）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
4．（2024八下·保山期中）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A．CB=CD B．
C． D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2019·汕头模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
7．（2019八上·吴兴期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．
8．（2019八上·天台期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点 G作EF ∥ BC交AB于E，交AC 于F，过点G作 GD⊥AC 于D，下列四个结论：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+ ∠A ；③点G到 △ABC 各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则 =mn. 其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2024·荆州模拟）已知：．求作：的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线，射线即为所求（如图）．
从上述作法中可以判断，其依据是 （在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）
10．（2024八下·道县月考）如图，，于点C，若，则点E到OA的距离为 ．
11．（2024八下·景德镇期中）中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点D，已知，的面积为40，则 ．
12．（2024八下·电白期中）如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是 ．
13．（2024八上·惠州期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
14．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
15．（2024八下·印江月考）如图，平分，于点，，是射线上的任一点，则的长度不可能是（ ）
A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8
16．（2020八上·顺义期末）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于 ．
三、解答题
17．（2024·天河模拟）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：．
18．（2024·乐山）如图，AB是的平分线，，求证：．
19．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 ．
20．（2024七下·重庆市期末）在中，和的角平分线相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
21．（2023八上·南宁月考）综合与实践
（1）【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任意作一个，作出的平分线在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，第一小组的测量结果如下：
学生 学生
小明 小刚
小红 小丽
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
（2）【推理证明】请结合图，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：，点在上，，，垂足分别为，求证：．
（3）【定理应用】如图2，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥OB于H，先根据角平分线的性质，得出DE＝DH，再根据点到线的距离垂线段最短得出DF的长度不小于3，从而得出答案即可．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故答案为：B．
【分析】利用角平分线和线段垂直平分线的性质逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=80°，BA=BC
∴∠A=∠BCA=50°
根据作图轨迹可知，CE为∠ACD的平分线
∵∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°
∴∠DCE=65°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由等边对等角求出三角形ABC剩余内角的度数，结合作图轨迹和平角的性质，求出∠DCE。
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、若CB=CD，可利用SSS判定，不符合题意；
B、若 ，可利用SAS判定，不符合题意；
C、若 ，SSA不能判定，符合题意；
D、若 ，可利用HL判定，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 已知AB=AD， AC是公共边，故分别添加CB=CD， ， 后可以分别利用SSS，SAS，HL判定，而添加 不能判定，据此即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，当DP⊥AB时，DP的值最小，
由作图可知，AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴DP的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出当DP⊥AB时，DP的值最小，再求出DP=CD=2，最后求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作GH⊥AB于H，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GH⊥AB，
∴GH＝CG＝3，
∴△ABG的面积＝ ×AB×GH＝15，
故答案为：C．
【分析】由基本尺规作图可知AG是角的平分线，再根据角的平分线性质定理可知GH=CG，再根据三角形的面积公式即可。
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过B作BF'⊥AC交AC于F'，交AD于M'，过M'作M'N'⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
以M为圆心，以MN为半径画弧交AC于F点，
则BM+MN=BM+MF，BM'+M'N'=BF'，
∴BF'AB2=AF'2+BF'2，
∵∠A=45°，
【分析】根据垂线段最短，结合AD是∠BAC的平分线， 当BF垂直于AC时，BM+MN是最小值，即BF取最小值，然后结合∠BAC=45°，利用勾股定理即可求出最短距离.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ① ∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵∠EBG=CBG，∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG，同理FC=FG，EF=EG+FG=BE+CF，正确；
②∵BG和CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠CBG=∠ABC，∠BCG=∠ACB，∠BGC=180°-∠CBG-∠BCG=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+ ∠A ，正确；
③如图，过G作GN⊥AB，GM⊥BC，
∵BG是∠ABC的平分线，∴GN=GM，∵CG是∠ACB的平分线，∴GM=GD，∴GM=GN=GD，即
点G到 △ABC 各边的距离相等，正确；
④如图，连接AG，
S△AEF=S△AEG+S△AFG=AE×GN+AF×GD=（AE+AF）×GD=mn，错误.
综上，正确的有3项.
故答案为：C.
【分析】利用角的平分线和过平分线的一点作角的一边的平行线可得等腰三角形，推出EF等于BE和CF之和；根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理把∠BGC用∠ABC和∠ACB表示，从而可把∠BGC用含∠A的关系式表示；因为G是三角形两角平分线的交点，根据角平分线性质定理可得点G到三角形的三边距离相等；用分割法求三角形面积，可得△AEF的面积是mn.
9．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作法得OM=ON，PM=PN，
∵OP为公共边，
∴△MOP≌△NOP（SSS）.
故答案为：SSS.
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等三角形即可求解.
10．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴OE平分∠AOB
∵
∴点E到OA的距离为CE=2
故答案为：2.
【分析】先由∠AOE=∠COE=30°，得出OE平分∠AOB，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点E到OA的距离 .
11．【答案】16
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，如图：
由题意可得：平分，
，即：，
，
在中，，，，
，
，
的面积为40，
，
解得：，
故答案为：16．
【分析】由题意作图可得平分，根据角平分线的性质可得CD=DE，再根据勾股定理求出CD，进而根据三角形的面积公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点C作CH⊥OB于点H，
由OE平分∠AOB，CF⊥OA，CH⊥OB得CH=CF=3，而OD=3，故S△ODC==
故答案为：.
【分析】由角平分线的性质可得C到OB的距离等于CF，再求面积.
13．【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积；
故答案为：15.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求得DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可.
14．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
15．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥OB于点H，
平分， ，DH⊥OB，
DH=DE=4.2，
是射线上的任一点，
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥OB于点H，利用角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短即可求解.
16．【答案】2
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE= PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为2．
【分析】根据题意求出∠OPC=∠POD，再求出PE=2，最后根据角平分线的性质求解即可。
17．【答案】证明：∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴AD=CD.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】在读题标量的基础上易分析全等的三组条件，得出全等对应边相等得证.
18．【答案】证明：∵AB是的平分线，∴．
∴在和中，，，，
∴（SAS）
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质，即可得出．
19．【答案】100°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠ABD=40°，
∴∠CDB=∠ABD=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=40°，
∴∠C=180°-∠CDB-∠CBD=180°-40°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据平行线的性质得∠CDB=∠ABD=40°，再根据角平分线的定义得∠CBD=∠ABD=40°，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数.
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（）由题可知，先由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求解；
（）在上截取，连接，先由角平分线的性质可证，再结合题意证，即可求证.
21．【答案】（1）解：发现：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
（2）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）解：当时，最小，
，为的角平分线，
，
的最小值为3．
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，总结出规律即可；
（2）利用"AAS"证明，再根据"全等三角形对应边相等"，即可求解；
（3）当时，最小，根据角平分线的性质得到，即可求解.
1 / 1浙教版数学八上第1章章末重难点题型专训 角平分线
一、选择题
1．（2023八上·东阳月考）如图，OD平分于点是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（ ）
A．2.8 B．3 C．4.2 D．5
2．（2022·长春）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
4．（2024八下·保山期中）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A．CB=CD B．
C． D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2019·汕头模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（ ）
A．3 B．10 C．15 D．30
7．（2019八上·吴兴期中）如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．1 B． C．1.5 D．
8．（2019八上·天台期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点 G作EF ∥ BC交AB于E，交AC 于F，过点G作 GD⊥AC 于D，下列四个结论：① EF=BE+CF；②∠BGC=90°+ ∠A ；③点G到 △ABC 各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则 =mn. 其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2024·荆州模拟）已知：．求作：的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线，射线即为所求（如图）．
从上述作法中可以判断，其依据是 （在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）
10．（2024八下·道县月考）如图，，于点C，若，则点E到OA的距离为 ．
11．（2024八下·景德镇期中）中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点D，已知，的面积为40，则 ．
12．（2024八下·电白期中）如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是 ．
13．（2024八上·惠州期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
14．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
15．（2024八下·印江月考）如图，平分，于点，，是射线上的任一点，则的长度不可能是（ ）
A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8
16．（2020八上·顺义期末）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于 ．
三、解答题
17．（2024·天河模拟）古人诗云：“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”纸鸢，又称风筝，其制作技艺是我国民间的传统工艺，某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形（如图所示），已知，，求证：．
18．（2024·乐山）如图，AB是的平分线，，求证：．
19．（2024七下·慈溪期中）如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 ．
20．（2024七下·重庆市期末）在中，和的角平分线相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）延长至点，过点作的平行线交于点，若，求证：．
21．（2023八上·南宁月考）综合与实践
（1）【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任意作一个，作出的平分线在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，第一小组的测量结果如下：
学生 学生
小明 小刚
小红 小丽
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
（2）【推理证明】请结合图，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：，点在上，，，垂足分别为，求证：．
（3）【定理应用】如图2，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DE＝DH＝3，
∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：垂线段最短，
∴DF≥3，
∴DF的长度不可能是2.8，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥OB于H，先根据角平分线的性质，得出DE＝DH，再根据点到线的距离垂线段最短得出DF的长度不小于3，从而得出答案即可．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故答案为：B．
【分析】利用角平分线和线段垂直平分线的性质逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=80°，BA=BC
∴∠A=∠BCA=50°
根据作图轨迹可知，CE为∠ACD的平分线
∵∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°
∴∠DCE=65°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由等边对等角求出三角形ABC剩余内角的度数，结合作图轨迹和平角的性质，求出∠DCE。
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、若CB=CD，可利用SSS判定，不符合题意；
B、若 ，可利用SAS判定，不符合题意；
C、若 ，SSA不能判定，符合题意；
D、若 ，可利用HL判定，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 已知AB=AD， AC是公共边，故分别添加CB=CD， ， 后可以分别利用SSS，SAS，HL判定，而添加 不能判定，据此即可得到答案.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，当DP⊥AB时，DP的值最小，
由作图可知，AE平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DP=CD=2，
∴DP的最小值为2，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出当DP⊥AB时，DP的值最小，再求出DP=CD=2，最后求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作GH⊥AB于H，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GH⊥AB，
∴GH＝CG＝3，
∴△ABG的面积＝ ×AB×GH＝15，
故答案为：C．
【分析】由基本尺规作图可知AG是角的平分线，再根据角的平分线性质定理可知GH=CG，再根据三角形的面积公式即可。
7．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过B作BF'⊥AC交AC于F'，交AD于M'，过M'作M'N'⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
以M为圆心，以MN为半径画弧交AC于F点，
则BM+MN=BM+MF，BM'+M'N'=BF'，
∴BF'AB2=AF'2+BF'2，
∵∠A=45°，
【分析】根据垂线段最短，结合AD是∠BAC的平分线， 当BF垂直于AC时，BM+MN是最小值，即BF取最小值，然后结合∠BAC=45°，利用勾股定理即可求出最短距离.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ① ∵EF∥BC，∴∠EGB=∠CBG，∵∠EBG=CBG，∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG，同理FC=FG，EF=EG+FG=BE+CF，正确；
②∵BG和CG分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠CBG=∠ABC，∠BCG=∠ACB，∠BGC=180°-∠CBG-∠BCG=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+ ∠A ，正确；
③如图，过G作GN⊥AB，GM⊥BC，
∵BG是∠ABC的平分线，∴GN=GM，∵CG是∠ACB的平分线，∴GM=GD，∴GM=GN=GD，即
点G到 △ABC 各边的距离相等，正确；
④如图，连接AG，
S△AEF=S△AEG+S△AFG=AE×GN+AF×GD=（AE+AF）×GD=mn，错误.
综上，正确的有3项.
故答案为：C.
【分析】利用角的平分线和过平分线的一点作角的一边的平行线可得等腰三角形，推出EF等于BE和CF之和；根据角平分线的性质，结合三角形内角和定理把∠BGC用∠ABC和∠ACB表示，从而可把∠BGC用含∠A的关系式表示；因为G是三角形两角平分线的交点，根据角平分线性质定理可得点G到三角形的三边距离相等；用分割法求三角形面积，可得△AEF的面积是mn.
9．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作法得OM=ON，PM=PN，
∵OP为公共边，
∴△MOP≌△NOP（SSS）.
故答案为：SSS.
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等三角形即可求解.
10．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴OE平分∠AOB
∵
∴点E到OA的距离为CE=2
故答案为：2.
【分析】先由∠AOE=∠COE=30°，得出OE平分∠AOB，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点E到OA的距离 .
11．【答案】16
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，如图：
由题意可得：平分，
，即：，
，
在中，，，，
，
，
的面积为40，
，
解得：，
故答案为：16．
【分析】由题意作图可得平分，根据角平分线的性质可得CD=DE，再根据勾股定理求出CD，进而根据三角形的面积公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】过点C作CH⊥OB于点H，
由OE平分∠AOB，CF⊥OA，CH⊥OB得CH=CF=3，而OD=3，故S△ODC==
故答案为：.
【分析】由角平分线的性质可得C到OB的距离等于CF，再求面积.
13．【答案】15
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积；
故答案为：15.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求得DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可.
14．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
15．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥OB于点H，
平分， ，DH⊥OB，
DH=DE=4.2，
是射线上的任一点，
故答案为：C.
【分析】过点D作DH⊥OB于点H，利用角平分线的性质得到DH=DE=4.2，再根据垂线段最短即可求解.
16．【答案】2
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE= PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为2．
【分析】根据题意求出∠OPC=∠POD，再求出PE=2，最后根据角平分线的性质求解即可。
17．【答案】证明：∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴AD=CD.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】在读题标量的基础上易分析全等的三组条件，得出全等对应边相等得证.
18．【答案】证明：∵AB是的平分线，∴．
∴在和中，，，，
∴（SAS）
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质，即可得出．
19．【答案】100°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠ABD=40°，
∴∠CDB=∠ABD=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=40°，
∴∠C=180°-∠CDB-∠CBD=180°-40°-40°=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据平行线的性质得∠CDB=∠ABD=40°，再根据角平分线的定义得∠CBD=∠ABD=40°，最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数.
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（）由题可知，先由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理，即可求解；
（）在上截取，连接，先由角平分线的性质可证，再结合题意证，即可求证.
21．【答案】（1）解：发现：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
（2）证明：，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）解：当时，最小，
，为的角平分线，
，
的最小值为3．
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据表中的数据，总结出规律即可；
（2）利用"AAS"证明，再根据"全等三角形对应边相等"，即可求解；
（3）当时，最小，根据角平分线的性质得到，即可求解.
1 / 1
