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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 能力评估测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．二次函数 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
2．抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
3．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．若m＜n＜0，且关于x的方程（a＜0）的解为，，关于x的方程（a＜0）的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
（第7题） （第8题） （第9题）
8．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
10．已知二次函数，当时，的最小值为－4，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若是关于x的二次函数，则m= ．
12． 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，且它的顶点坐标为（﹣1，6），则这条抛物线的解析式为 ．
13．小明推铅球，铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，则小明推铅球的成绩是 .
14．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集为 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形 求出此时点P的坐标.
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若，当时，求的取值范围；
（2）已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围．
19．已知抛物线的图象与x轴交于点和点C，与y轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
20．已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
（1）求的值；
（2）若点（其中）在抛物线上，求的值．
21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
22．在平面直角坐标系xOy中，有抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点也在抛物线上，求的取值范围；
（2）当时，有已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
23．某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
（3）在试销过程中，受国家扶持，每销售一件新产品，国家补贴商场a元（0＜a≤5），并要求包含补贴后每件的利润不高于36元，通过销售记录发现：每件补贴经费a元后，每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，求出a的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2与x轴相交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 能力评估测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．二次函数 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】D
【解析】∵二次函数y=kx2 6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2 6x+3=0(k≠0)有实数根，
即△=36 12k 0，k 3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k 3且k≠0.
故答案为：D.
2．抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【解析】抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，
故答案为：D
3．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4
【答案】C
【解析】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），
∴-2a+b=0，即b=2a，
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-=-=-1．
故选：C．
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
5．已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
对称轴为.
a=1>0，抛物线开口向上，
所以点到对称轴距离越远，对应的函数值越大.
∵A到对称轴距离：；B到对称轴距离：；C到对称轴距离：；
∵
∴.
故答案为：B.
6．若m＜n＜0，且关于x的方程（a＜0）的解为，，关于x的方程（a＜0）的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵关于x的方程（a<0）的解为，，
∴抛物线与直线y=m的两交点的横坐标分别为，，如图所示：
∵关于x的方程（a＜0）的解为 ，
∴抛物线与直线y=n的两交点的横坐标分别为，如图所示：
∴，
故答案为：B.
7．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】将点E（2，4）代入解得：a=1
∵当点，四边形为正方形
∴CD=CE=EF=4
设点A横坐标为m，则A（m，8）
代入解得：
故答案为：B
8．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，其图像与x轴围成封闭图形L，图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），系数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和，
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，
当时，，，
∴抛物线顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，
如图所示：
∵图形L内部（不包含边界）恰有4个整点（横纵坐标均为整数的点），
∴，
解得，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故答案为：B
9．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴，故①符合题意；
∵抛物线的顶点为，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴，故②不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴，即：b=-4a，
∵，
∴c=b-a=-5a，
∵顶点，
∴，即：，
∴m=-9a，即：，故③符合题意；
∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴此抛物线经过点，
∴，
∴一定是方程的一个根，故④不符合题意．
故答案为：B．
10．已知二次函数，当时，的最小值为－4，则的值为（ ）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为：直线，
当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故答案为：D
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若是关于x的二次函数，则m= ．
【答案】1
【解析】∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
12． 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，且它的顶点坐标为（﹣1，6），则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】y＝﹣2（x+1）2+6
【解析】由题意可知顶点坐标， 抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同 ，所以得y=a(x+1)2+6，a=-2，所以y=-2(x+1)+6。
故答案为：y=-2(x+1)+6.
13．小明推铅球，铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，则小明推铅球的成绩是 .
【答案】
【解析】令函数式 中，y=0，
，解得x1=10，x2=-2（舍去）.
即铅球推出的距离是10m.
故答案为：10.
14．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＞mx+n的解集为 ．
【答案】﹣3＜x＜1
【解析】∵ 抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），
∴ 关于x的不等式ax2+bx＞mx+n 的解集为-3＜x＜1，
故答案为：-3＜x＜1.
15．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】∵Rt△OAB的顶点A(-2，4)在抛物线y=ax2上，
∴4=4a，解得a=1，∴拋物线解析式为y=x2，
∵点A(-2，4)，∴B(-2，0)，
∴OB=2，
∵旋转，∴OD=OB=2，∴D(0，2)，
∵DC⊥OD，∴DC∥x轴，
∴=2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=±，
∴P(，2).
故答案为：(，2).
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为 .
【答案】13
【解析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形 求出此时点P的坐标.
【答案】（1）解：根据题意，得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
（2）解：如图所示，
∵PQ∥y轴，
∴当PQ=CD时，四边形PDCQ是平行四边形.
∵当x=0时，
y=-x2+2x+3=3，y=x+2=2，
∴C(0，3)，D(0，2).
∴CD=1.
设Q(m，-m2+2m+3)，则P(m，m+2).
∴PQ=(-m2+2m+3)-(m+2)=1，
解得m1=0，m2=1.
当m=0时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，
∴m=1，m+2=3.
∴点P的坐标为(1，3).
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若，当时，求的取值范围；
（2）已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
比距离对称轴远，
时，为函数最小值，
当时，为函数最大值，
当时，；
（2）解：对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，函数有最小值，
∴，
∵，
∴，即，
，
解得，
当时，抛物线开口向下，函数有最大值，
∴，
∵，
∴，即，
，
解得，
的取值范围是或．
19．已知抛物线的图象与x轴交于点和点C，与y轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
【答案】（1）解：抛物线的图象经过点和点
，解得
抛物线的解析式为：.
（2）解：对称轴为，令，
解得，，，如图所示.
点C与点A关于直线对称，
连接与对称轴的交点即为所求之P点，
的长是个定值，则此时的点P，使的周长最小，
由于A、C两点关于对称轴对称，则此时最小.
设直线的解析式为，由可得，
解得，，直线解析式为；
当时，，点坐标为；
20．已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
（1）求的值；
（2）若点（其中）在抛物线上，求的值．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点，∴
∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴抛物线对称轴为：，∴，解得：．
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为：．
∵点在抛物线上，∴．
原式，将代入可得，
原式
=
，
∴的值为．
21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时，y最大= m2.
22．在平面直角坐标系xOy中，有抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求抛物线的对称轴；
②若点也在抛物线上，求的取值范围；
（2）当时，有已知点，若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
【答案】（1）解：①点在抛物线上，，
，
抛物线的对称轴为直线；
②抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线顶点坐标为，
点在抛物线上，
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述，或.
（2）当时，，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
当时，，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在左侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
当时，点在第一象限内，
点在抛物线与轴围成的图象的内部，
线段AB只有和在右侧的抛物线相交，
抛物线与线段AB恰有一个公共点，
或
即满足条件的的范围为或.
23．某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
（3）在试销过程中，受国家扶持，每销售一件新产品，国家补贴商场a元（0＜a≤5），并要求包含补贴后每件的利润不高于36元，通过销售记录发现：每件补贴经费a元后，每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，求出a的取值范围．
【答案】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：．
∴y＝﹣x+150，
令y＝0，则﹣x+150＝0，
解得：x＝150．
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150（80＜x≤150）；
（2）解：∵y＝﹣x+150，
∴W＝（x﹣80） y＝（x﹣80）（﹣x+150），
∴W＝﹣x2+230x﹣12000，
∴每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W＝﹣x2+230x﹣12000（80＜x≤150）；
根据题意可得：
，
解得：x≤100，
∴80＜x≤100，
∵W＝﹣x2+230x﹣12000＝﹣（x﹣115）2+1225，
∴当x＝100时，W有最大值，
且Wmax＝﹣（100﹣115）2+1225＝1000（元）．
答：将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元；
（3）解：根据题意可知：x﹣80+a≤36，
解得：x≤116﹣a，即售价不能高于（116﹣a）元，
根据题意可得：，
∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，
∴，
解得：a≥2，
∵0＜a≤5，
∴2≤a≤5．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2与x轴相交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2得：
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过P作PK∥y轴交BC于K，如图：
在中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
由B（4，0），C（0，2）得直线BC解析式为，
设P（t，），则K，
∴PK＝
∴S△PBC＝，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，S△PBC取最大值4，此时P（2，3），
∴△PBC面积的最大值为4，此时点P的坐标为（2，3）；
（3）解：抛物线上存在点Q，使∠QCB＝45°，理由如下：
当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T，过T作MN⊥y轴于N，过B作BM⊥MN于M，如图：
∵∠QCB＝45°，
∴△BCT是等腰直角三角形，
∴∠BTC＝90°，BT＝CT，
∴∠CTN＝90°﹣∠BTM＝∠TBM，
∵∠M＝∠TNC＝90°，
∴△BTM≌△TCN（AAS），
∴BM＝NT，TM＝CN，
设T（m，n），则NT＝m，BM＝n，
∵B（4，0），C（0，2），
∴TM＝MN﹣NT＝4﹣m，CN＝ON﹣OC＝n﹣2，
∵BM＝NT，TM＝CN，
∴，
解得
∴T（3，3），
由C（0，2），T（3，3）得直线CT解析式为，
联立，解得，
∴Q（）；
当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R，过R作SW⊥y轴于W，过B作BS⊥SW于S，如图：
同理可得△BSR≌△RWC（AAS），
∴BS＝RW，RS＝CW，
设R（p，q），
∴，
解得，
∴R（1，﹣1），
∴直线CR解析式为y＝﹣3x+2，
联立，
解得 ，
∴Q（9，﹣25），
综上所述，Q的坐标为（）或（9，﹣25）．
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