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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 能力评估测试卷
考试时间:120分钟 满分:120分
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.二次函数 的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
2.抛物线通过变换可以得到抛物线,以下变换过程正确的是( )
A.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位 B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位 D.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
3.若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(﹣2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为( )
A.直线x=1 B.直线x=﹣2 C.直线x=﹣1 D.直线x=﹣4
4.在同一平面直角坐标系中,一次函数 与二次函数 的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.已知,,三点都在抛物线上,则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.若m<n<0,且关于x的方程(a<0)的解为,,关于x的方程(a<0)的解为.则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图,在平面直角坐标系中,点A、E在抛物线上,过点A、E分别作y轴的垂线,交抛物线于点B、F,分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点,四边形为正方形时,则线段的长为( )
A.4 B. C.5 D.
(第7题) (第8题) (第9题)
8.如图,二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和,其图像与x轴围成封闭图形L,图形L内部(不包含边界)恰有4个整点(横纵坐标均为整数的点),系数a的值可以是( )
A. B. C. D.
9.抛物线的顶点为,且经过点,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:①;②;③;④若此抛物线经过点,则一定是方程的一个根.其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
10.已知二次函数,当时,的最小值为-4,则的值为( )
A.或4 B.或 C.或4 D.或4
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.若是关于x的二次函数,则m= .
12. 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=﹣2x2+9x相同,且它的顶点坐标为(﹣1,6),则这条抛物线的解析式为 .
13.小明推铅球,铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ,则小明推铅球的成绩是 .
14.如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(﹣3,﹣6),B(1,﹣2),则关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为 .
(第14题) (第15题) (第16题)
15.如图,的顶点在抛物线上,将绕点顺时针旋转,得到,边与该抛物线交于点,则点的坐标为 .
16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上,点C、D在抛物线上,则矩形周长的最大值为 .
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(-1,0),B(3,0),与 y轴交于点C,直线 y=x+2与y轴交于点D,交抛物线于E,F两点,点P为线段EF上一个动点(与E,F不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当P在什么位置时,四边形PDCQ为平行四边形 求出此时点P的坐标.
18.在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)若,当时,求的取值范围;
(2)已知点,,都在该抛物线上,若,求的取值范围.
19.已知抛物线的图象与x轴交于点和点C,与y轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P为抛物线的对称轴上一动点,当的周长最小时,求点P的坐标;
20.已知抛物线与轴交于点,当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大.
(1)求的值;
(2)若点(其中)在抛物线上,求的值.
21.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长)和长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为,试分别确定、的长;
(2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问应设计为多长?此时最大面积为多少?
22.在平面直角坐标系xOy中,有抛物线.
(1)若点在抛物线上,
①求抛物线的对称轴;
②若点也在抛物线上,求的取值范围;
(2)当时,有已知点,若抛物线与线段AB只有一个公共点,结合函数图象,求的取值范围.
23.某商场购进一种每件成本为80元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)疫情期间,有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%,那么将售价定为多少,来保证每天获得的总利润最大,最大总利润是多少?
(3)在试销过程中,受国家扶持,每销售一件新产品,国家补贴商场a元(0<a≤5),并要求包含补贴后每件的利润不高于36元,通过销售记录发现:每件补贴经费a元后,每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大,求出a的取值范围.
24.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点,连接PB,PC,求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标;
(3)抛物线上是否存在点Q,使∠QCB=45°?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 能力评估测试卷
解析版
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)
下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.二次函数 的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )
A. B. 且
C. D. 且
【答案】D
【解析】∵二次函数y=kx2 6x+3的图象与x轴有交点,
∴方程kx2 6x+3=0(k≠0)有实数根,
即△=36 12k 0,k 3,由于是二次函数,故k≠0,则k的取值范围是k 3且k≠0.
故答案为:D.
2.抛物线通过变换可以得到抛物线,以下变换过程正确的是( )
A.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
D.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
【答案】D
【解析】抛物线通过先向左平移1个单位,再向上平移2个单位可以得到抛物线,
故答案为:D
3.若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(﹣2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为( )
A.直线x=1 B.直线x=﹣2 C.直线x=﹣1 D.直线x=﹣4
【答案】C
【解析】∵一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),
∴-2a+b=0,即b=2a,
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=-=-=-1.
故选:C.
4.在同一平面直角坐标系中,一次函数 与二次函数 的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、由抛物线可知,a>0,b<0,由直线可知,a<0,b>0,矛盾,故本选项不符合题意;
B、由抛物线可知,a>0,b>0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项符合题意;
C、由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a<0,b>0,矛盾,故本选项不符合题意;
D、由抛物线可知,a<0,b<0,由直线可知,a>0,b>0,矛盾,故本选项不符合题意;
故答案为:B.
5.已知,,三点都在抛物线上,则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
对称轴为.
a=1>0,抛物线开口向上,
所以点到对称轴距离越远,对应的函数值越大.
∵A到对称轴距离:;B到对称轴距离:;C到对称轴距离:;
∵
∴.
故答案为:B.
6.若m<n<0,且关于x的方程(a<0)的解为,,关于x的方程(a<0)的解为.则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵关于x的方程(a<0)的解为,,
∴抛物线与直线y=m的两交点的横坐标分别为,,如图所示:
∵关于x的方程(a<0)的解为 ,
∴抛物线与直线y=n的两交点的横坐标分别为,如图所示:
∴,
故答案为:B.
7.如图,在平面直角坐标系中,点A、E在抛物线上,过点A、E分别作y轴的垂线,交抛物线于点B、F,分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D.当点,四边形为正方形时,则线段的长为( )
A.4 B. C.5 D.
【答案】B
【解析】将点E(2,4)代入解得:a=1
∵当点,四边形为正方形
∴CD=CE=EF=4
设点A横坐标为m,则A(m,8)
代入解得:
故答案为:B
8.如图,二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和,其图像与x轴围成封闭图形L,图形L内部(不包含边界)恰有4个整点(横纵坐标均为整数的点),系数a的值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵二次函数的图象与x轴的交点为A、D的横坐标分别为3和,
∴二次函数解析式为,对称轴为直线,
当时,,,
∴抛物线顶点坐标为,与y轴的交点坐标为,
如图所示:
∵图形L内部(不包含边界)恰有4个整点(横纵坐标均为整数的点),
∴,
解得,
∴四个选项中只有B选项符合题意,
故答案为:B
9.抛物线的顶点为,且经过点,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:①;②;③;④若此抛物线经过点,则一定是方程的一个根.其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c>0,
∴,故①符合题意;
∵抛物线的顶点为,且经过点,
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),
∴,故②不符合题意;
∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴,即:b=-4a,
∵,
∴c=b-a=-5a,
∵顶点,
∴,即:,
∴m=-9a,即:,故③符合题意;
∵若此抛物线经过点,抛物线的对称轴为直线x=2,
∴此抛物线经过点,
∴,
∴一定是方程的一个根,故④不符合题意.
故答案为:B.
10.已知二次函数,当时,的最小值为-4,则的值为( )
A.或4 B.或 C.或4 D.或4
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为:直线,
当时,当时,随的增大而减小,当,随的增大而增大,
当时,取得最小值,
,
;
当时,当时,随的增大而增大,当,随的增大而减小,
当时,取得最小值,
,
.
故答案为:D
二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案.
11.若是关于x的二次函数,则m= .
【答案】1
【解析】∵是关于x的二次函数,
∴,解得:,
∴.
故答案为:1.
12. 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=﹣2x2+9x相同,且它的顶点坐标为(﹣1,6),则这条抛物线的解析式为 .
【答案】y=﹣2(x+1)2+6
【解析】由题意可知顶点坐标, 抛物线的形状、开口方向均与抛物线y=﹣2x2+9x相同 ,所以得y=a(x+1)2+6,a=-2,所以y=-2(x+1)+6。
故答案为:y=-2(x+1)+6.
13.小明推铅球,铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ,则小明推铅球的成绩是 .
【答案】
【解析】令函数式 中,y=0,
,解得x1=10,x2=-2(舍去).
即铅球推出的距离是10m.
故答案为:10.
14.如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(﹣3,﹣6),B(1,﹣2),则关于x的不等式ax2+bx>mx+n的解集为 .
【答案】﹣3<x<1
【解析】∵ 抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(﹣3,﹣6),B(1,﹣2),
∴ 关于x的不等式ax2+bx>mx+n 的解集为-3<x<1,
故答案为:-3<x<1.
15.如图,的顶点在抛物线上,将绕点顺时针旋转,得到,边与该抛物线交于点,则点的坐标为 .
【答案】
【解析】∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,
∴4=4a,解得a=1,∴拋物线解析式为y=x2,
∵点A(-2,4),∴B(-2,0),
∴OB=2,
∵旋转,∴OD=OB=2,∴D(0,2),
∵DC⊥OD,∴DC∥x轴,
∴=2,
代入y=x2,得2=x2,
解得x=±,
∴P(,2).
故答案为:(,2).
16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上,点C、D在抛物线上,则矩形周长的最大值为 .
【答案】13
【解析】设点D的横坐标为m,则点D的纵坐标为,
∴AD=,
∵抛物线的对称轴是直线,
∴点C的横坐标为3-(m-3)=6-m,
∴CD=2m-6,
∴矩形ABCD的周长=,
∴当m=5时,矩形周长有最大值为13,
故答案为:13.
三、解答题(本题有8小题,第17~19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题10分,第24题12分,共66分)
解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.
17.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过点 A(-1,0),B(3,0),与 y轴交于点C,直线 y=x+2与y轴交于点D,交抛物线于E,F两点,点P为线段EF上一个动点(与E,F不重合),PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求抛物线的解析式.
(2)当P在什么位置时,四边形PDCQ为平行四边形 求出此时点P的坐标.
【答案】(1)解:根据题意,得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)解:如图所示,
∵PQ∥y轴,
∴当PQ=CD时,四边形PDCQ是平行四边形.
∵当x=0时,
y=-x2+2x+3=3,y=x+2=2,
∴C(0,3),D(0,2).
∴CD=1.
设Q(m,-m2+2m+3),则P(m,m+2).
∴PQ=(-m2+2m+3)-(m+2)=1,
解得m1=0,m2=1.
当m=0时,点P与点D重合,不能构成平行四边形,
∴m=1,m+2=3.
∴点P的坐标为(1,3).
18.在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)若,当时,求的取值范围;
(2)已知点,,都在该抛物线上,若,求的取值范围.
【答案】(1)解:当时,,
抛物线开口向上,对称轴为直线,
比距离对称轴远,
时,为函数最小值,
当时,为函数最大值,
当时,;
(2)解:对称轴为直线,
当时,抛物线开口向上,函数有最小值,
∴,
∵,
∴,即,
,
解得,
当时,抛物线开口向下,函数有最大值,
∴,
∵,
∴,即,
,
解得,
的取值范围是或.
19.已知抛物线的图象与x轴交于点和点C,与y轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P为抛物线的对称轴上一动点,当的周长最小时,求点P的坐标;
【答案】(1)解:抛物线的图象经过点和点
,解得
抛物线的解析式为:.
(2)解:对称轴为,令,
解得,,,如图所示.
点C与点A关于直线对称,
连接与对称轴的交点即为所求之P点,
的长是个定值,则此时的点P,使的周长最小,
由于A、C两点关于对称轴对称,则此时最小.
设直线的解析式为,由可得,
解得,,直线解析式为;
当时,,点坐标为;
20.已知抛物线与轴交于点,当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大.
(1)求的值;
(2)若点(其中)在抛物线上,求的值.
【答案】(1)解:抛物线与轴交于点,∴
∵当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大,
∴抛物线对称轴为:,∴,解得:.
(2)解:由(1)知,抛物线的解析式为:.
∵点在抛物线上,∴.
原式,将代入可得,
原式
=
,
∴的值为.
21.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长)和长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为,试分别确定、的长;
(2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问应设计为多长?此时最大面积为多少?
【答案】(1)解:两块篱笆墙的长为12m,篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m,
设CG为am,DG为(12-a)m,那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×(12-a)=32
解得:a=8
∴CG=8m,DG=4m.
(2)解:设两块矩形总种植面积为ym2,BC长为xm,那么AD=HG=BC=xm,DC=(21-3x)m,由题意得,
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时,y最大= m2.
22.在平面直角坐标系xOy中,有抛物线.
(1)若点在抛物线上,
①求抛物线的对称轴;
②若点也在抛物线上,求的取值范围;
(2)当时,有已知点,若抛物线与线段AB只有一个公共点,结合函数图象,求的取值范围.
【答案】(1)解:①点在抛物线上,,
,
抛物线的对称轴为直线;
②抛物线的对称轴为直线,
,
抛物线顶点坐标为,
点在抛物线上,
当时,,解得;
当时,,解得
综上所述,或.
(2)当时,,
点在抛物线与轴围成的图象的内部,
当时,,
当时,点在第一象限内,
点在抛物线与轴围成的图象的内部,
线段AB只有和在左侧的抛物线相交,
抛物线与线段AB恰有一个公共点,
当时,点在第一象限内,
点在抛物线与轴围成的图象的内部,
线段AB只有和在右侧的抛物线相交,
抛物线与线段AB恰有一个公共点,
或
即满足条件的的范围为或.
23.某商场购进一种每件成本为80元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)疫情期间,有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%,那么将售价定为多少,来保证每天获得的总利润最大,最大总利润是多少?
(3)在试销过程中,受国家扶持,每销售一件新产品,国家补贴商场a元(0<a≤5),并要求包含补贴后每件的利润不高于36元,通过销售记录发现:每件补贴经费a元后,每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大,求出a的取值范围.
【答案】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
由所给函数图象可知:,
解得:.
∴y=﹣x+150,
令y=0,则﹣x+150=0,
解得:x=150.
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150(80<x≤150);
(2)解:∵y=﹣x+150,
∴W=(x﹣80) y=(x﹣80)(﹣x+150),
∴W=﹣x2+230x﹣12000,
∴每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W=﹣x2+230x﹣12000(80<x≤150);
根据题意可得:
,
解得:x≤100,
∴80<x≤100,
∵W=﹣x2+230x﹣12000=﹣(x﹣115)2+1225,
∴当x=100时,W有最大值,
且Wmax=﹣(100﹣115)2+1225=1000(元).
答:将售价定为100元,每天获得的总利润最大,最大总利润是1000元;
(3)解:根据题意可知:x﹣80+a≤36,
解得:x≤116﹣a,即售价不能高于(116﹣a)元,
根据题意可得:,
∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大,
∴,
解得:a≥2,
∵0<a≤5,
∴2≤a≤5.
24.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点,连接PB,PC,求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标;
(3)抛物线上是否存在点Q,使∠QCB=45°?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:把A(﹣1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2得:
解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)解:过P作PK∥y轴交BC于K,如图:
在中,令x=0得y=2,
∴C(0,2),
由B(4,0),C(0,2)得直线BC解析式为,
设P(t,),则K,
∴PK=
∴S△PBC=,
∵﹣1<0,
∴当t=2时,S△PBC取最大值4,此时P(2,3),
∴△PBC面积的最大值为4,此时点P的坐标为(2,3);
(3)解:抛物线上存在点Q,使∠QCB=45°,理由如下:
当Q在BC上方时,过B作BT⊥CQ于T,过T作MN⊥y轴于N,过B作BM⊥MN于M,如图:
∵∠QCB=45°,
∴△BCT是等腰直角三角形,
∴∠BTC=90°,BT=CT,
∴∠CTN=90°﹣∠BTM=∠TBM,
∵∠M=∠TNC=90°,
∴△BTM≌△TCN(AAS),
∴BM=NT,TM=CN,
设T(m,n),则NT=m,BM=n,
∵B(4,0),C(0,2),
∴TM=MN﹣NT=4﹣m,CN=ON﹣OC=n﹣2,
∵BM=NT,TM=CN,
∴,
解得
∴T(3,3),
由C(0,2),T(3,3)得直线CT解析式为,
联立,解得,
∴Q();
当Q在BC下方时,过B作BR⊥CQ于R,过R作SW⊥y轴于W,过B作BS⊥SW于S,如图:
同理可得△BSR≌△RWC(AAS),
∴BS=RW,RS=CW,
设R(p,q),
∴,
解得,
∴R(1,﹣1),
∴直线CR解析式为y=﹣3x+2,
联立,
解得 ,
∴Q(9,﹣25),
综上所述,Q的坐标为()或(9,﹣25).
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