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专题1.4.有理数的大小比较
1. 能利用数轴、法则或特值法比较有理数的大小；
2. 能利用有理数的大小比较解决生活中的实际问题；
3. 通过有理数大小比较的探究，培养学生转化思想、观察和动手操作的能力。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.利用数轴比较有理数的大小 2
考点2.利用数轴比较有理数的大小（含字母） 3
考点3.利用法则比较有理数的大小 5
考点4.利用特殊值法比较有理数的大小 7
考点5.有理数大小比较的实际应用 8
考点6.有理数大小比较的新定义问题 10
模块3：能力培优 12
1.有理数的大小比较方法
1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：
（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3）作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4） 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5）倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
考点1.利用数轴比较有理数的大小
【解题方法】1）正方向上，离原点越远，数越大；
2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.
注：在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左右边的数大。。
例1．（2023秋·福建漳州·七年级统考期末）请写出一个大于且小于0的整数______．
例2．（23-24七年级上·贵州六盘水·期中）（1）将下列各数表示在数轴上．，0，，3，0.5；并用“”把它们连接起来．
（2）观察（1）中的数轴，写出大于并且小于0.5的所有整数______．
变式1．（2024·重庆·七年级校考阶段练习）写出所有比大的非正整数：____________________．
变式2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）给出下面六个数：，1，，，0，．
(1)先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来．(2)用“”将上面的各数连接起来．
考点2.利用数轴比较有理数的大小（含字母）
【解题方法】比较一个有理数和它的相反数的大小分以下3种情况：
1）一个有理数本身大于0的话，它的相反数必然小于0，这个有理数比它的相反数大。
2）一个有理数本身小于0的话，它的相反数必然大于0，这个有理数比它的相反数小。
3）一个有理数本身等于0的话，它的相反数必然等于0，这个有理数与它的相反数一样大,即相等。
例1．（23-24七年级·浙江·期末）根据有理数a、、，在数轴上的位置，比较a、b、c的大小，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·湖南·七年级校考期中）数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（ ）
A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边
C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边
变式1．（23-24七年级上·四川乐山·阶段练习），在数轴上位置如图1所示，则，，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·山东聊城·七年级校考阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：(1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______．
(2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______．
考点3.利用法则比较有理数的大小
【解题方法】有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
例1．（2023·浙江·七年级统考开学考试）下列两数比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·广东梅州·一模）下列各数中最大的负数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·广东云浮·七年级校考期末）比较大小：_________．（填“>”“<”或“=”）
考点4.利用特殊值法比较有理数的大小
【解题方法】一般选填题中带有字母的大小比较问题可采用赋值法。
例1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·广东云浮·七年级统考期末）有一负数a，它的值介于和0之间，写出数a的可能取值为__________（写出一个即可）；则a，，的大小关系为__________．（用“＜”连接）．
变式2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）a、b、c都是自然数，且，则a、b、c中最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．不确定
考点5.有理数大小比较的实际应用
例1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）右表是去年世界国家和地区GDP排行版（IMF版）（部分），则该表中“名义增速”最小的国家是（ ）
国家 2022年GDP总量（亿美元） 名义增量 名义增速
美国 254645 24670
中国 181000 6420
日本 42335
德国 40754
印度 33864 3444
A．日本 B．德国 C．印度 D．美国
例2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某种药品的说明书上，贴有如右标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·山东聊城·一模）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考期中）几种气体的固化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氮气 二氧化碳 氢气
固化温度/℃
其中固化温度最高的气体是（ ）．
A．氧气 B．氮气 C．二氧化碳 D．氢气
变式3．（2024·河北沧州·一模）2024年3月1日，大连市内4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，中最低的气温是（ ）
A． B．0 C．1 D．﹣1
考点6.有理数大小比较中的新定义问题
例1．（2023·浙江杭州市·七年级期中）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·山东菏泽·七年级统考期中）用表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数，，的值为 _____．
变式2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
全卷共24题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·北京东城·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北保定·二模）下列各数中，最小的有理数是（ ）
A．4 B． C．0 D．
3．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）下列两数比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
5．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）若a、b表示两个负数，且，那么a与b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．（2023·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，－a，－b的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23七年级上·北京顺义·阶段练习）人口自然增长率是指在一定时期内（通常为一年）人口增加数与该时期内平均人数之比．人口自然增长率是反映人口发展速度和制定人口计划的重要指标，用来表明人口自然增长的程度和趋势．2015年，一些国家的人口自然增长率（%）如下表所示，人口自然增长趋势最慢的国家是（ ）
美国 日本 中国 印度 德国 卡塔尔
0.9 －0.0772 0.48 1.312 －0.2 4.93
A．卡塔尔 B．中国 C．日本 D．德国
8．（2024七年级·山东·培优）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（22-23八年级下·福建龙岩·期末）地理学上规定不同地形海拔高度：平原，丘陵，山地且相对高度大于，且等高线密集，高原且相对高度小，且等高线十分密集．某地区的等高线地图如下图示，图中用字母A，B，表示不同区域，其中为平原区域的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·湖南株洲·七年级校考期中）对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如，下列结论正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）写出一个绝对值小于4的负数 ．（写出一个即可）
12．（2024 金牛区校级期中）写出符合下列条件的数：①绝对值最小的有理数为 ；②大于﹣3且小于2的整数有 ；③绝对值大于2且小于5的负整数有 ；④在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数有 ．
13．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则将有理数，1，按从小到大的顺序用“＜”连接起来是_____．
14．（2024·陕西·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是___（任填一个即可）．
15．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）下列说法正确的是 。（填序号）
（1）0是绝对值最小的有理数；（2）相反数大于本身的数是负数（3）数轴上原点两侧的数互为相反数；（4）两个数比较，绝对值大的反而小
16．（2023·浙江杭州·七年级期末）用“>”或“<”填空：（1）_____；（2）_____．
17．（2023·浙江七年级月考）问题：比较－与＋(－)的大小．
解：化简可得－＝－，＋(－)＝－①.因为＝，=②，
且＝>＝③，所以－＜－④，所以－＜＋(－)⑤.
本题从第________(填序号)步开始产生错误，请给出正确的解题过程．
18．（2023·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有 个。
三、解答题（本大题共6小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·广西崇左·期中）在数轴上表示下列各数，并把它们的相反数用“”连接起来：
20．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
(1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______．
(2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______．
21．（2023·浙江台州·七年级统考期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，，
（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：
①在数轴上分别表示出数， ，②把，，，这四个数从小到大用“”号连接．
22．（23-24七年级上·河南南阳·期中）设是有理数，我们规定：，．例如：，；；．解决下列问题．
（1）填空：＝____；＝____；＝______；＝_____．
（2）分别用一个含有、的式子表示和．
23．（22-23七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考
请阅读小彬的日记，并完成相应的任务：
X年X月X日 比较两个数的大小的方法 今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？……
任务：(1)上述方法是先通过找中间量_______来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，_______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法．(2)利用上述方法比较与的大小．
24．（2024 赤壁市七年级校级月考）设用符号＜a，b＞表示a，b两数中较小的数，用[a，b]表示a，b两数中较大的数．试求下列各式的值．
（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]；（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]．
25．（2023 浙江七年级期中）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
（1）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ．
（2）数a和b在数轴上的位置如图所示，将a，b，﹣a，﹣b从小到大排列为 ．
（3）在所给数轴上表示下列各数：﹣4.5，，﹣2，1．
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专题1.4.有理数的大小比较
1. 能利用数轴、法则或特值法比较有理数的大小；
2. 能利用有理数的大小比较解决生活中的实际问题；
3. 通过有理数大小比较的探究，培养学生转化思想、观察和动手操作的能力。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.利用数轴比较有理数的大小 2
考点2.利用数轴比较有理数的大小（含字母） 3
考点3.利用法则比较有理数的大小 5
考点4.利用特殊值法比较有理数的大小 7
考点5.有理数大小比较的实际应用 8
考点6.有理数大小比较的新定义问题 10
模块3：能力培优 12
1.有理数的大小比较方法
1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：
（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3）作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4） 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5）倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
考点1.利用数轴比较有理数的大小
【解题方法】1）正方向上，离原点越远，数越大；
2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.
注：在数轴上表示出两个有理数，右边的数总比左右边的数大。。
例1．（2023秋·福建漳州·七年级统考期末）请写出一个大于且小于0的整数______．
【答案】
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可．
【详解】解：∵大于且小于0的整数是．故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
例2．（23-24七年级上·贵州六盘水·期中）（1）将下列各数表示在数轴上．，0，，3，0.5；并用“”把它们连接起来．
（2）观察（1）中的数轴，写出大于并且小于0.5的所有整数______．
【答案】（1）见解析，；（2），，，0
【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，能正确在数轴上表示数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．（1）把各数表示在数轴上即可求解；
（2）根据实数大小比较的方法，写出大于并且小于0.5的所有整数即可求解．
【详解】解：（1）如图所示：
用“”把它们连接起来：；
（2）大于并且小于0.5的所有整数有，，，0．故答案为：，，，0．
变式1．（2024·重庆·七年级校考阶段练习）写出所有比大的非正整数：____________________．
【答案】
【分析】在数轴上表示出，根据数轴的特点即可得出结论．
【详解】解：由如图所示数轴可知比大的非正整数有，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用数轴比较有理数的大小，正确画出数轴是解题的关键．
变式2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）给出下面六个数：，1，，，0，．
(1)先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来．(2)用“”将上面的各数连接起来．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，求一个数的绝对值和化简多重符号：（1）在数轴上表示出各数即可；
（2）根据（1）所画数轴结合数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可．
【详解】（1）解：数轴表示如下所示：
（2）解：由（1）得．
考点2.利用数轴比较有理数的大小（含字母）
【解题方法】比较一个有理数和它的相反数的大小分以下3种情况：
1）一个有理数本身大于0的话，它的相反数必然小于0，这个有理数比它的相反数大。
2）一个有理数本身小于0的话，它的相反数必然大于0，这个有理数比它的相反数小。
3）一个有理数本身等于0的话，它的相反数必然等于0，这个有理数与它的相反数一样大,即相等。
例1．（23-24七年级上·浙江·期末）根据有理数a、、，在数轴上的位置，比较a、b、c的大小，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相反数的含义，利用数轴比较有理数的大小，熟练的利用相反数的特点在数轴上表示，是解本题的关键．
【详解】解：如图，在数轴上描出，，
∴；故选C
例2．（2023·湖南·七年级校考期中）数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（ ）
A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边
C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边
【答案】D
【分析】由于不知道数m的数值，所以不清楚点A与点C，点A与点B的位置关系，再根据点B，C分别表示数m，即可判断．
【详解】解：∵m的数值未知，∴点A与点C，点A与点B的位置关系未知，
∵点B，C分别表示数m，，即点B向左移动一个单位得到C，
∴点C一定在点B的左边，故选：D．
【点睛】本题主要考查数轴，掌握在数轴上，右边的数总比左边大是解题关键．
变式1．（23-24七年级上·四川乐山·阶段练习），在数轴上位置如图1所示，则，，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相反数，数轴；
根据相反数的意义将，表示在数轴上，再根据数轴特点得出答案．
【详解】解：将，表示在数轴上，如图：
由数轴得：，故选：D．
变式2．（2024·山东聊城·七年级校考阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：(1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______．
(2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______．
【答案】(1)-2，3，-0.5； (2)b<-a
【分析】（1）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答；
（2）根据各点之间的相对位置、原点位置及相反数的性质解答 ．
（1）解：由题意可知：AB=2，AC=5，BC=3，
∴以为原点时，点表示的数是-2，点表示的数是3，
若，表示的两个数互为相反数，则AC的中点（如图，设为D）为原点，
∴AD=2.5，BD=0.5，且D在B的右边，∴点表示的数是-0.5；
（2）如图，可以把-a、-b在数轴上表示出来，
∴根据数轴的意义可得：b<-a【点睛】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键．
考点3.利用法则比较有理数的大小
【解题方法】有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
例1．（2023·浙江·七年级统考开学考试）下列两数比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数比较大小的方法即可求解．
【详解】A、，而，故选项错误；B、，而，故选项错误；
C、 ，故选项正确；D、 ，而，故选项错误；故选C．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较及绝对值等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
变式1．（2024·广东梅州·一模）下列各数中最大的负数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是有理数大小比较的方法，解题关键是要明确负数绝对值大的其值反而小．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：，，，，
，，所给的各数中最大的负数是．故选：．
变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义和有理数比较大小的法则对各组数进行逐一比较即可．
【详解】解：A、∵，，∴，故本选项错误；
B、∵，∴，故本选项错误；
C、∵，，∴，故本选项错误；
D、∵，，∴，故本选项正确；故选：D．
【点睛】此题考查了绝对值的意义，有理数的大小比较，掌握好正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小是本题的关键．
变式3．（2023秋·广东云浮·七年级校考期末）比较大小：_________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】分别将两个数化简后，利用有理数比较大小的法则进行比较．
【详解】解：∵，，又∵，∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查有理数大小的比较，相反数的意义，绝对值意义．将要比较的两数进行化简是解题关键．
考点4.利用特殊值法比较有理数的大小
【解题方法】一般选填题中带有字母的大小比较问题可采用赋值法。
例1．（2023·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题关键．
【详解】解：∴令则
，故选：A．
变式1．（2023秋·广东云浮·七年级统考期末）有一负数a，它的值介于和0之间，写出数a的可能取值为__________（写出一个即可）；则a，，的大小关系为__________．（用“＜”连接）．
【答案】 (答案不唯一）
【分析】根据负数的大小比较原则计算比较即可．
【详解】∵,∴；∴，，
∵，∴．故答案为：，．
【点睛】本题考查了负数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的原则是解题的关键．
变式2．（23-24七年级·黑龙江绥化·期中）a、b、c都是自然数，且，则a、b、c中最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了利用假设法判断最小自然数，首先假设，得出a、b、c的值，即可判断出其中的最小自然数．
【详解】假设 ，则，，，
，，即b最小，故选：B．
考点5.有理数大小比较的实际应用
例1．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）右表是去年世界国家和地区GDP排行版（IMF版）（部分），则该表中“名义增速”最小的国家是（ ）
国家 2022年GDP总量（亿美元） 名义增量 名义增速
美国 254645 24670
中国 181000 6420
日本 42335
德国 40754
印度 33864 3444
A．日本 B．德国 C．印度 D．美国
【答案】A
【分析】本题考查正负数比较．根据题意比较“名义增速”数据大小关系即为本题答案．
【详解】解：∵，
∴“名义增速”最小的国家：日本，故选：A．
例2．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）某种药品的说明书上，贴有如右标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数大小的比较方法，找出在和4之间的数即可
本题主要考查了理数大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数大小比较方法是解题关键．
【详解】解：已知药品贮藏条件要求为，
∵，故不在范围，不符合要求，
，故在范围，符合要求，
，故、不在范围，不符合要求，故选B．
变式1．（2024·山东聊城·一模）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的大小比较．根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
【详解】解：，
则信号最强的是，故选：D．
变式2．（2022秋·河南鹤壁·七年级校考期中）几种气体的固化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氮气 二氧化碳 氢气
固化温度/℃
其中固化温度最高的气体是（ ）．
A．氧气 B．氮气 C．二氧化碳 D．氢气
【答案】C
【分析】根据两个负数比大小，绝对值大的反而小，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，∴固化温度最高的气体是二氧化碳．故选∶C
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
变式3．（2024·河北沧州·一模）2024年3月1日，大连市内4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，中最低的气温是（ ）
A． B．0 C．1 D．﹣1
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则成为解题的关键．根据两个负数比较，绝对值大的反而小，比较和的大小，然后再根据正数大于0，0大于负数即可解答．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵正数大于0，0大于负数，∴，
∴最小的数是，∴最低的气温是．故选：A．
考点6.有理数大小比较中的新定义问题
例1．（2023·浙江杭州市·七年级期中）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者”，先确定和，得到，再根据法则即可解答．
【详解】解：∵， ∴=，，
∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了新定义中的有理数的大小比较，解题的关键是理解题中给出的运算法则．
变式1．（2023·山东菏泽·七年级统考期中）用表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数，，的值为 _____．
【答案】
【分析】根据题中给出的条件进行计算即可．
【详解】解：表示，两数中较大的一个数，用，表示，两数中较小的一个数，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，根据题意得出和，的值是解题的关键．
变式2．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项正确，不符合题意；故选A．
【点睛】本题考查有理数比较大小．理解并掌握题干中的规定，是解题的关键．
全卷共24题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24七年级上·北京东城·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数比较大小方法进行判断即可，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握比较方法是解题的关键．
【详解】解：A．0大于负数，则，故选项错误，不符合题意；
B．正数大于负数，则，故选项正确，符合题意；
C．两个负数绝对值大的反而小，则，故选项错误，不符合题意；
D．正数大于0，则，故选项错误，不符合题意．故选：B．
2．（2024·河北保定·二模）下列各数中，最小的有理数是（ ）
A．4 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较．熟练掌握负数小于0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
根据负数小于0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，故选：B．
3．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）下列两数比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查有理数的大小比较方法，解题关键是先化简再比较．
利用有理数的大小比较方法：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；先化简再进一步比较即可．
【详解】解：A、∵，，∴，故此选项错误；
B、∵，，∴，故此选项错误；
C、∵，，∴，故此选项错误；
D、∵负数小于正数，∴，故此选项正确．故选D．
4．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的大小比较，根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小”将所给数据按大小排序，即可求解．
【详解】解：，，
可知，，0，，其中比小的数是，故选A．
5．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）若a、b表示两个负数，且，那么a与b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，根据绝对值的几何意义可直接得出结论．熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．
【详解】解：∵，表示两个负数，且，
∴点到原点的距离大于点到原点的距离，
在负半轴，离原点的距离越大的数越小，∴，故选：B．
6．（2023·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，－a，－b的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴得出b＜0＜1＜a，|b|＞|a|，再比较即可．
【详解】解：从数轴可知b＜0＜1＜a，|b|＞|a|，
所以-b＞a，a＞-a，-a＞-b所以故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，数轴，有理数的大小比较等知识点，根据数轴得出b＜0＜1＜a，|b|＞|a|是解答本题的关键．
7．（22-23七年级上·北京顺义·阶段练习）人口自然增长率是指在一定时期内（通常为一年）人口增加数与该时期内平均人数之比．人口自然增长率是反映人口发展速度和制定人口计划的重要指标，用来表明人口自然增长的程度和趋势．2015年，一些国家的人口自然增长率（%）如下表所示，人口自然增长趋势最慢的国家是（ ）
美国 日本 中国 印度 德国 卡塔尔
0.9 －0.0772 0.48 1.312 －0.2 4.93
A．卡塔尔 B．中国 C．日本 D．德国
【答案】D
【分析】找出人口自然增长率最小的国家即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴人口自然增长趋势最慢的国家是德国，故选：D．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，需要正确理解题意方可选得正确答案．
8．（2024七年级·山东·培优）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可．
【详解】解：，
又，
∵，∴，
∴，．故选：A．
9．（22-23八年级下·福建龙岩·期末）地理学上规定不同地形海拔高度：平原，丘陵，山地且相对高度大于，且等高线密集，高原且相对高度小，且等高线十分密集．某地区的等高线地图如下图示，图中用字母A，B，表示不同区域，其中为平原区域的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据地形与海拔高度的关系解答即可．
【详解】解：A、B、D的海拔高度大于200米，且小于300米，属于丘陵；
C的海拔高度大于100米，且小于200米，属于平原．故选C．
【点睛】本题考查了有理数的应用，理解地形与海拔高度的关系是解答本题的关键．
10．（2023·湖南株洲·七年级校考期中）对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如，下列结论正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【分析】根据符号[x]表示不超过x的最大整数，依次判断可得答案．
【详解】解：由题意可得，[-3]=-3，故①正确；[-2.9]=-3，故②错误；[0.9]=0，故③正确；
当x为整数时，[x]+[-x]=x+（-x）=0，当x为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24七年级上·湖南湘西·期中）写出一个绝对值小于4的负数 ．（写出一个即可）
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题考查绝对值与有理数比较大小，解题的关键是掌握负数的绝对值等于它的相反数．
写出一个比大的负数即可．
【详解】解：比大的负数的绝对值均小于4，如．故答案为：（答案不唯一）．
12．（2024 金牛区校级期中）写出符合下列条件的数：①绝对值最小的有理数为 ；②大于﹣3且小于2的整数有 ；③绝对值大于2且小于5的负整数有 ；④在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数有 ．
【思路点拨】①绝对值最小的有理数：0；②找出大于﹣3且小于2的所有整数即可得出结论；③找出绝对值大于2且小于5的所有负整数即可得出结论；④设在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数为x，根据两点间的距离可找出关于x的方程，解之即可得出结论．
【答案】解：①绝对值最小的有理数：0；
②大于﹣3且小于2的所有整数为：﹣2，﹣1，0，1．
③绝对值大于2且小于5的所有负整数为：﹣4，﹣3．
④设在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数为x，
则有：|x﹣（﹣1）|＝2，解得：x1＝1，x2＝﹣3．
∴在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的所有数为1，﹣3．
故答案为：①0；②﹣2，﹣1，0，1；③﹣4，﹣3，④1，﹣3．
【点睛】本题考查有理数的大小比较、数轴以及绝对值，熟练掌握有理数、整数及有理数的大小比较是解题的关键．
13．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则将有理数，1，按从小到大的顺序用“＜”连接起来是_____．
【答案】
【分析】通过观察可知a、为负数，且b的绝对值大于a的绝对值，a的绝对值大于1，即可解答．
【详解】解：因为a、为负数，且b的绝对值大于a的绝对值，a的绝对值大于1，可得：．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
14．（2024·陕西·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是___（任填一个即可）．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】根据a的范围确定出﹣a的范围，进而确定出b的范围，判断即可．
【详解】解：由数轴可知，1＜a＜2，﹣2＜﹣a＜﹣1，
∵﹣a＜b＜a，∴b可以在﹣1和1之间任意取值，如﹣1，0，1等，故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查数轴的性质，解题的关键是熟知有理数的大小关系．
15．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）下列说法正确的是 。（填序号）
（1）0是绝对值最小的有理数；（2）相反数大于本身的数是负数（3）数轴上原点两侧的数互为相反数；（4）两个数比较，绝对值大的反而小
【答案】（1）（2）
【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，有理数的大小比较，相反数的意义，逐项分析判断即可求解．
【详解】（1）0是绝对值最小的有理数，故该选项正确，符合题意；
（2）相反数大于本身的数是负数，故该选项正确，符合题意；
（3）若数轴上原点两侧的数的绝对值相等，则它们互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
（4）两个负数比较，绝对值大的反而小，故该选项不正确，不符合题意；故答案（1）（2）．
【点睛】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，有理数的大小比较，相反数的意义，掌握以上知识是解题的关键．
16．（2023·浙江杭州·七年级期末）用“>”或“<”填空：（1）_____；（2）_____．
【答案】＞ ＞
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】解：=3.5，=3，∴＞，
∵36＜62，∴-36＞-62，故答案为：＞，＞．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
17．（2023·浙江七年级月考）问题：比较－与＋(－)的大小．
解：化简可得－＝－，＋(－)＝－①.因为＝，=②，
且＝>＝③，所以－＜－④，所以－＜＋(－)⑤.
本题从第________(填序号)步开始产生错误，请给出正确的解题过程．
【答案】③
【分析】根据比较两个负数大小的方法进行分析解答即可.
【解析】本题从第③步开始产生错误．正确的解题过程如下：
将原式化简可得：，，①；
∵，，②；且，③；
∴，④ ∴．⑤ 故答案为：③.
【点睛】熟知“两个负数，绝对值大的反而小”是解答本题的关键.
18．（2023·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有 个。
【答案】16
【分析】由，以及若x不是整数，则【详解】∵，若x不是整数，则∴n的值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个，故选：C.
【点睛】此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解表示不超过x的最大整数，得到，即n是6的倍数，由此解决问题.
三、解答题（本大题共6小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·广西崇左·期中）在数轴上表示下列各数，并把它们的相反数用“”连接起来：
【答案】数轴见解析．
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，以及利用数轴比较有理数的大小，越在数轴的右边的数越大，据此即可作答，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：数轴如图所示：
∵，，
∴
20．（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
(1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______．
(2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______．
【答案】(1)-2，3，-0.5；(2)b<-a【分析】（1）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答；
（2）根据各点之间的相对位置、原点位置及相反数的性质解答 ．
【详解】（1）解：由题意可知：AB=2，AC=5，BC=3，
∴以为原点时，点表示的数是-2，点表示的数是3，
若，表示的两个数互为相反数，则AC的中点（如图，设为D）为原点，
∴AD=2.5，BD=0.5，且D在B的右边，∴点表示的数是-0.5；
（2）如图，可以把-a、-b在数轴上表示出来，
∴根据数轴的意义可得：b<-a【点睛】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键．
21．（2023·浙江台州·七年级统考期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，，
（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：
①在数轴上分别表示出数， ，②把，，，这四个数从小到大用“”号连接．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）先化简各数，再在数轴上表示各数即可；（2）①由，再利用相反数的含义在数轴上描出，即可；②利用数轴比较，，，的大小即可．
【详解】解：（1）∵，，，在数轴上表示如下图，
（2）①∵，∴，在数轴上分别表示数，如下图；
②由数轴可得：．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，相反数的含义，绝对值的含义，绝对值的化简，利用数轴比较有理数的大小，掌握以上基础知识是解本题的关键．
22．（23-24七年级上·河南南阳·期中）设是有理数，我们规定：，．例如：，；；．解决下列问题．
（1）填空：＝____；＝____；＝______；＝_____．
（2）分别用一个含有、的式子表示和．
【答案】（1）0；-3；0；x；（2）
【分析】（1）先认真阅读题目，理解已知式子的含义，再进行计算即可；
（2）分为两种情况，当x≥0和x＜0，分别求出，再得出等式即可．
【详解】解：（1）=0；=-3；=0；
当x≥0时，x++x-=x+0=x，当x＜0时，x++x-=0+x =x，综上，x++x-=x，故答案为：0；-3；0；x；
（2）∵当x≥0时，x+=x，|x|=x，∴x+=；
∵当x＜0时，x+=0，∴x+=；
综合上述：当x为有理数时，x+=；
∵当x≥0时，x-=0，|x|=x，∴x-=，
∵当x＜0时，x-=x，|x|=-x，∴x-=；
综合上述，当x为有理数时，x-=．
【点睛】本题考查了新定义，有理数的大小比较，绝对值的应用，主要考查学生的理解能力和运算能力．
23．（22-23七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考
请阅读小彬的日记，并完成相应的任务：
X年X月X日 比较两个数的大小的方法 今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？……
任务：
(1)上述方法是先通过找中间量__________来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，__________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法．
(2)利用上述方法比较与的大小．
【答案】(1)；绝对值 (2)
【分析】（1）根据借助中间量比较法来求解；（2）先通过找中间量来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小来求解．
【详解】（1）解：观察可知，上述方法是先通过找中间量来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法．
故答案为：；绝对值；
（2）解：因为，，所以，所以．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，理解借助中间量比较法是解答关键．
24．（2024 赤壁市七年级校级月考）设用符号＜a，b＞表示a，b两数中较小的数，用[a，b]表示a，b两数中较大的数．试求下列各式的值．
（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]；（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]．
【思路点拨】（1）首先比较出﹣5与﹣0.5，以及﹣4与2的大小关系，求出＜﹣5，﹣0.5＞、[﹣4，2]的值各是多少；然后把它们相加即可．
（2）比较出1与3，以及﹣2与7的大小关系，求出＜1，3＞、＜﹣2，7＞的值各是多少，进而求出＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]的值是多少即可．
【答案】解：（1）＜﹣5，﹣0.5＞+[﹣4，2]＝﹣5+2＝﹣3．
（2）＜1，3＞+[﹣5，＜﹣2，7＞]＝1+[﹣5，﹣2]＝1+（﹣2）＝﹣1．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小
25．（2023 浙江七年级期中）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
（1）如图所示，A，B，C为数轴上三点，且当A为原点时，点B表示的数是2，点C表示的数是5．若以B为原点，则点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；若A，C表示的两个数互为相反数，则点B表示的数是 ．
（2）数a和b在数轴上的位置如图所示，将a，b，﹣a，﹣b从小到大排列为 ．
（3）在所给数轴上表示下列各数：﹣4.5，，﹣2，1．
【思路点拨】（1）根据数轴的定义解答即可；
（2）根据数轴表示数的方法得到b＜0＜a，且|b|＞a，则﹣a＞b，﹣b＞a，然后把a，b，﹣a，﹣b从小到大排列；（3）根据数轴的定义解答即可．
【答案】解：（1）由题意可得，AB＝2，AC＝5，即BC＝3，
若以B为原点，则点A表示的数是：0﹣2＝﹣2；点C表示的数是：0+3＝3；
若A，C表示的两个数互为相反数，则点A表示，所以点B表示的数是：，
故答案为：﹣2；3；；
（2）由题意可得，b＜0＜a，且|b|＞a，
∴﹣a＞b，﹣b＞a，∴b＜﹣a＜a＜﹣b；故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b；
（3）如图所示：
【点睛】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了数轴．
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