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专题1.2.数轴
1. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；
2. 能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动；
3. 能理解相反数的意义；能求出已知数的相反数；掌握相反数的几何意义和性质；
4. 能根据相反数的意义进行多重符合的化简；
5. 初步运用数形结合、分类讨论的思想解决问题，增强应用意识，培养创新精神。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.数轴的三要素及其画法 3
考点2.用数轴上的点与有理数的关系 4
考点3.数轴上两点之间的距离 7
考点4.数轴上的动点问题 8
考点5.相反数的概念的概念辨析 9
考点6.判断两个数是否互为相反数 11
考点7.求一个数的相反数 12
考点8.相反数的性质 13
考点9.相反数的几何意义（与结合数轴） 14
考点10.多重符号化简 17
模块3：能力培优 18
1.数轴
1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求：
①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点．
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．
像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
2.相反数
1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身；
③相反数是成对出现的（0除外）。
2）相反数的几何意义：互为相反数的两数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然结果如果出现多重符号需要化简）。
2.多重符号的化简
1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。
考点1.数轴的三要素及其画法
【解题方法】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….
例1．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可．
【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；B、正确；
C、不正确，错误原因：缺少正方向；
D、不正确，错误原因：缺少了原点．故选：B．
变式1．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
【答案】D
【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④
【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；
②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误；
③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数，利用了数轴与有理数的关系，数轴与无理数的关系，熟练掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．
变式2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素．根据“数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线”，即可求解．
【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意；
B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意；
C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意；
D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意．故选：D．
考点2.用数轴上的点与有理数的关系
【解题方法】数轴上的点与有理数之间的关系
①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；
②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为。
例1．（2024年湖南长沙中考模拟预测）数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，则数a为（ ）
A．2024 B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴上点的特征，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
根据数轴上的点的特征是解题的关键．
【详解】解：∵数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，
∴点a点表示的数是2024．故选：A．
变式1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一应，根据题目中的条件，可以把四个点分别求出来，即可判断．
【详解】解：数轴上与5两点间的线段的长度为，
平均每条线段的长度为：，
所以，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，
因此，位置最靠近原点的是点C，故选：C．
变式2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据刻度尺上“”在原点的左侧的位置即可求解．
【详解】解：根据题意可知刻度尺上“”在原点的左侧的位置，
∴刻度尺上“”对应数轴上的数为，故选：B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键．
变式3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示6的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
【答案】1
【分析】先根据已知条件确定对称点，然后再求出结论即可．
【详解】解：∵表示的点与表示6的点重合，
∴折痕处所表示的数为：，∴3表示的点与数1表示的点重合．故答案为：1．
【点睛】本题主要考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键．
考点3.数轴上两点之间的距离
【解题方法】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3。
在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。
例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段2=3-1；线段．
问题：(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段_______；
(2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段_______；
(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数．
【答案】(1)7(2)4(3)另一个点表示的数为2或
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（3）分两种情况讨论，当另一个点在右侧或当另一个点在左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可．
【详解】（1）数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段，故答案为：7；
（2）数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段，故答案为：4；
（3）由题可得：①当另一个点在12右侧时，；
②当另一个点在12左侧时，，综上，另一个点表示的数为17或7．
变式1．（2024·广东·七年级期中）数轴上点表示的数是6，则与点相距4个单位长度的点表示的数是 ．
【答案】2或10
【分析】本题考查了数轴的应用，关键是注意符合条件的有两种情况．根据题意得出两种情况：当点在表示6的点的左边时，当点在表示6的点的右边时，列出算式求出即可．
【详解】解：分为两种情况：①当点在表示6的点的左边时，数为；
②当点在表示6的点的右边时，数为； 故答案为：2或10
变式2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了数轴，有理数用数轴上的点表示，掌握有理数与数轴上点的关系是关键．根据题意计算、长度，再计算长度，即可得出答案．
【详解】解：点表示的数分别是1，3，，
，，点表示的数是9．故答案为：9
考点4.数轴上的动点问题
【解题方法】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。
例1．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有
①对应的数是；②点到达点时，；③时，；
④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解．
【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，
对应的数为：；故①是正确的；，故②是正确的；
当时，，，故③是错误的；
在点的运动过程中，，故④是错误的；故选：B．
变式1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了数轴，数轴上原点左边的点均为负数，原点右边的数为正数，当数a在数轴上表示的点向正方向移动n个单位时，可以得到
【详解】解：根据题意得：，故表示的数是3．故答案为：3．
变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数轴上的单动点问题，解决本题的关键要确定运动的路程和运动方向．
【详解】解：点以每秒个单位长度的速度运动，点运动秒后的路程：，
又点向右运动，点运动秒后表示的数为，故选：C．
考点5.相反数的概念的概念辨析
【解题方法】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零。
例1．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数
C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数
【答案】C
【分析】本题主要考查了相反数的定义和应用，根据互为相反数的定义，对各个选项进行判断即可．解题关键是熟练掌握互为相反数的定义并灵活运用．
【详解】解：A．∵互为相反数是到原点距离相等且在原点两旁的两个点表示的数，
∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
B．∵所有的有理数都有相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
C．∵只有符合不同的两个数是互为相反数，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意；
D．∵在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
变式1．（23-24七年级·上海松江·期末）以下叙述中，正确的是（ ）
A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数
C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数
【答案】C
【分析】根据正负数、相反数的定义与应用对各选项进行判断即可．
【详解】A选项：1和不互为相反数，原说法错误，故不符合题意．
B选项：支出1元与收入2元是两个相反意义的量，但不互为相反数，原说法错误，故不符合题意．
C选项：任何有理数都有相反数，正确，故符合题意．
D选项：的相反数是1，是正数，原说法错误，故不符合题意．故选C．
【点睛】本题考查了正负数、相反数．解题的关键在于熟练掌握相反数的定义与应用．
变式2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数
C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是
【答案】D
【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【详解】解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意；
B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意；
C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意；
D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意．故选：D．
考点6.判断两个数是否互为相反数
【解题方法】根据相反数的定义判断即可。
例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．和 B．2和 C．和2 D．和
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”逐项判断即可，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、和不是相反数，故不符合题意；
B、2和不是相反数，故不符合题意；C、和2是相反数，故符合题意；
D、和不是相反数，故不符合题意；故选：C．
变式1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查相反数的定义，熟记相反数的定义是解题的关键，相反数的定义：“只有符号不同的两个数叫做相反数”，利用相反数的定义即可得到答案．
【详解】解：A、和不是互为相反数，故此选项不符合题意；
B、和互为相反数，故此选项符合题意；
C、和不是互为相反数，故此选项不符合题意；
D、和不是互为相反数，故此选项不符合题意．故选：B．
变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是( )
A．和 B．和 C．和- D．和
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：A. 和，互为相反数，故该选项正确，符合题意；
B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．
考点7.求一个数的相反数
【解题方法】相反数的表示方法：一般地，a的相反数为-a，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.
例1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）有理数的相反数是（ ）
A． B． C．2024 D．
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【详解】解：有理数的相反数是2024，故选：C．
变式1．（23-24七年级·江苏·课时训练）填空：
（1）的相反数是 ；（2） 是的相反数；
（3）是 的相反数； （4） 的相反数是；
（5）8.2和 互为相反数． （6）a和 互为相反数．
（7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身．
【答案】 100 1.1 负数 0
【分析】根据相反数的定义逐一解答即可．
【详解】解：（1），相反数是；故答案为：；
（2）100是的相反数；故答案为：100；
（3）是的相反数；故答案为：；
（4）1.1的相反数是；故答案为：1.1；
（5）8.2和互为相反数．故答案为：；
（6）a和互为相反数．故答案为：；
（7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身．故答案为：负数，0．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题关键．
变式2．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正负号相反的两个数互为相反数进行解答即可．
【详解】解：的相反数是．故选：C．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
变式3．（2024·广东·七年级专题练习）的相反数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得．
【详解】的相反数为，故选：C．
【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键．
考点8.相反数的性质
【解题方法】利用“互为相反数的两个数和为0”计算即可。
例．（2023·广西·七年级校考期中）已知与互为相反数，则a的值为_____．
【答案】5
【分析】根据相反数的性质即可列式求解．
【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：5．
【点睛】此题主要考查相反数的定义与性质与一元一次方程的求解，解题的关键是熟知：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
变式1．（2023·成都市·七年级专题练习）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，，则b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
【答案】A
【分析】由题可得，则可得到与的关系，即可得到答案．
【详解】为不为零的有理数
，
互为相反数故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的换算，相反数的性质，熟练掌握是解题关键．
变式2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可．
【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求；
若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求；
若a、b互为相反数，当时，，错误，故③不符合要求；
若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求；故选：C．
【点睛】本题考查相反数应用．熟练掌握0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，是解题的关键．
考点9.相反数的几何意义（与结合数轴）
【解题方法】从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
例1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】先用a的式子表示出点C，根据点C与点B互为相反数列出方程求解即可．
【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1，
∵C点是A向左平移3个单位长度，∴C点可表示为：，
又∵点C与点B互为相反数，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上数的表示，表示平移后的点所表示的数，根据等量关系列出方程是关键．
例2．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题：
(1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________；
(2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？
(3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）“点与点所表示的数互为相反数”，则点B与C分别位于原点的两侧，都到原点是1个单位，由此得点所表示的数为．（2）方法同（1）可得点D表示的数为．（3）方法同（1）可得点所表示的数为，由点在点F左边1个单位，则点所表示的数是2，它的相反数为．
【详解】（1）解：∵点与点所表示的数互为相反数，且B与之间有2个单位长度，
∴可得点所表示的数为；故答案为：
（2）∵点A与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为5，∴点D表示的数为；
（3）∵点与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为6，∴点所表示的数为，
∵点在点F左边1个单位，∴点所表示的数是2，∴点所表示的数的相反数是．
【点睛】本题主要考查数轴和相反数的应用，根据两点之间单位长度的数量来确定点所表示的数字．
变式1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，若，则点A表示的数为 ．
【答案】
【分析】根据，则A、B表示的数互为相反数，根据数轴上两点间的距离公式即靠近右边的数减去其左边的数，列式即可．
【详解】解：∵，∴，又∵，∴．∴．
∴，即点A表示的数为．故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，正确理解性质，熟练运用公式是解题的关键．
变式2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据题意得出与互为相反数，与互为相反数，再根据表示数与的点相距30个单位长度即可求出表示数的点到原点的距离为15，再根据表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的求出的值，从而求出的值．
【详解】解：表示数的点与表示数的点到原点的距离相等，
与互为相反数，即原点在、之间，如图，
与互为相反数，且表示数与的点相距30个单位长度，
表示数的点到原点的距离为15，
表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的，
，，故选：D．
变式3．（2023秋·重庆·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【答案】(1)-1(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
（1）由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，
故点C表示的数是-1．
（2）由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，
故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5．
【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置．
考点10.多重符号化简
【解题方法】口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。
例1．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）化简下列各式：
①___________；②__________；③___________；
④__________；⑤______________；⑥____________
（2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少 当前面有2022个负号时，化简后结果是多少 （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论.
【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥；
（2）当前面有2022负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是；（3）在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数．
【分析】本题考查的是相反数的概念和多重符号化简，掌握一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数是解题的关键．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正．
【详解】解：（1）①；②；③；
④；⑤；⑥；
（2）当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是；
（3）规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数．
变式1．（23-24七年级上·广西梧州·期末）下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可，本题考查了相反数，多重符号的化简方法，熟练掌握以上方法是解题的关键．
【详解】解：A、，不符合题意 B、，不符合题意
C、，符合题意 D、，不符合题意故选：C．
变式2．（23-24七年级上·广东 阶段练习）化简得（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了化简多重符号，多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正；一个数前面有奇数个“”号，结果为负；0前面无论有几个“”号，结果都为0，由此进行计算即可，熟练掌握多重符号化简方法是解此题的关键．
【详解】解：，故选：A．
变式3．（2023·黑龙江·七年级校考阶段练习）化简
(1)；(2)；(3)(4)
【答案】(1)68(2)(3)(4)3.6
【分析】（1）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值；
（2）先去括号，然后根据负号的个数为奇数个，即可化简求值；
（3）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值；
（4）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值．
【详解】（1）解：；（2）解：；
（3）解：；（4）解：．
【点睛】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握若一个数前有多重符号，则由该数前面的符号中“”的个数来决定，即奇数个“”符号则该数为负数，偶数个“”符号，则该数为正数．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·江苏苏州·一模）的相反数是（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的概念解题．
【详解】解；的相反数是，故选：B．
2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
【答案】D
【分析】此题主要考查了数轴的相关概念，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案．
【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；
②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数，说法错误；
③有理数在数轴上无法表示出来，说法错误，可以表示；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D．
3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴的认识，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此作答即可．
【详解】解：A、 的正方向错了，故该选项是错误的；
B、 的数值标错了，故该选项是错误的；
C、 没有正方向，故该选项是错误的；
D、 原点、正方向、单位长度都正确，故该选项是正确的；
故选：D
4．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“ ”号，结果为正，一个数前面有奇数个“ ”号，结果为负，0前面无论有几个“ ”号，结果都为0．
【详解】解：，故A不符合题意；，故B不符合题意；
，故C符合题意；，故D不符合题意；故选C
5．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）一个数的相反数是它本身，则该数为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】根据的相反数是解答即可．
【详解】解：的相反数是，一个数的相反数是它本身，则该数为．故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，要注意的特殊性．
6．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②是负数；③a与必有一个是负数；④a与互为相反数，其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③④ D．④
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的分类与相反数，掌握0的特殊性是解题关键．根据有理数分为正数、0、负数可以判断①②说法；根据当时，，可以判断③说法；根据相反数的定义，可以判断④说法．
【详解】解：①可能是正数，可能是负数，也可能是0，原说法错误；
②可能是正数，可能是负数，也可能是0，原说法错误；
③当时，，a与都不是负数，原说法错误；
④a与互为相反数，原说法正确，则正确的序号是④，故选：D．
7．（23-24七年级上·云南·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（ ）
A． B．6 C．或6 D．或2
【答案】C
【分析】
本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数（注意考虑在原点左侧或右侧两种情况），再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题．
【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，
所以点A表示的数是4或，
又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，
所以点B表示的数是：或．故选：C．
8．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（ ）
A．2.1 B．2.7 C．4 D．4.5
【答案】D
【分析】根据点A，B在数轴上分别表示0，3，算出每厘米代表的数值，乘以即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”， A，B在数轴上分别表示0，3，
∴，∴C在数轴上所表示的数为：；故选D．
【点睛】本题考查数轴上数字表示，解题的关键是根据的长度及数值得到每厘米代表的数值．
9．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（ ）重合
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上规律问题，根据题意2和之间有个数，循环节为4，计算即可，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】∵根据题意2和之间有个数，循环节为4， ∴，
∴数轴上的数与圆周上的数重合，故选C．
10．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键； 根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可．
【详解】点表示的数为x，表示的数是，
点和点A表示的数互为相反数，
点所表示的数是，故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．
【答案】
【分析】
本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，根据“点P在数轴上，且到原点的距离大于2，还是负数”这三个条件，写出一个即可作答．答案不唯一
【详解】解：依题意，当点P在数轴的负半轴上，即点P表示为满足“到原点的距离大于2，还是负数”
故答案为：
12．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ．
【答案】4
【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】根据平移规律，得，，故点B表示的数是4，故答案为：4．
13．（2023·湖北·七年级专题练习）的相反数是________．
【答案】
【分析】求的相反数在整个式子的前面加上负号，再去掉括号即可．
【详解】解：由题意可得， ．故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
14．（2023·河南南阳·七年级统考期末）若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ______．
【答案】1
【分析】根据题意求得a与b的关系，c，d的值，代入代数式求值．
【详解】∵a，b互为相反数，∴，∵c是最小的非负数，∴，
∵d是最小的正整数，∴．∴．
【点睛】本题主要考查互为相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
15．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为
【答案】 1
【分析】本题考查相反数及化简多重符号，先根据化简多重符合得，则可得a的相反数，根据相反数的性质得，进而可得，熟练掌握相反数的定义及化简多重符合的运算法则是解题关键．
【详解】解：若，则，即：，a的相反数为：，
若与互为相反数，则，即：，故答案为：；1．
16．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是______．
【答案】、1或
【分析】分在左侧，右侧，重合，三种情况分类讨论即可；
【详解】解：①当重合时，即表示的数是1时， 满足题意；
②当不重合时，为的中点，
在左侧时：表示的数是：；
在右侧时：表示的数是：；
综上：点在数轴上表示的数是、1或；故答案为：、1或．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．根据题意，正确的画图，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
17．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合．
【答案】0
【分析】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可．
本题考查了数轴上的折叠问题，中点坐标公式，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】根据折叠后数对应的点与数7对应的点重合，
得到折痕点表示的数为，
设点A表示的数是，根据折叠的性质，
得到，解得，故答案为：0．
18．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单位长度，则点C在数轴上表示的数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了数轴，正确理解题意是解题的关键．根据题意得到点表示的数为，于是求出点运动的距离为，即可得到答案．
【详解】解：表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，点表示的数为，
点运动的距离为，点C在数轴上表示的数为或，
故点C在数轴上表示的数为或．故答案为：或．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·湖北·七年级校考期中）观察数轴，回答下列问题：
(1)点、、表示的数分别为，，，请在数轴上标出点、、；
(2)大于并且小于的整数有哪几个？
(3)在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点表示的数是什么？
【答案】(1)见解析(2)，，，(3)或
【分析】（1）在数轴上表示出，，，即可；
（2）结合数轴数出符合题意的数字即可；
（3）根据题意，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：点、、如图所示
（2）由数轴可知大于且小于的整数有，，，；
（3）在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点有
或，
即在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点有或．
【点睛】本题考查了数轴，数轴可以表示数的位置，也可以表示数的大小关系，到一个点距离相等的数有两个，数形结合是解题的关键．
20．（2024·河北廊坊·一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家．
(1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置；
(2)求淇淇家与学校之间的距离；
(3)如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？
【答案】(1)画图见解析(2)3km(3)30min
【分析】本题考查了正负数的应用以及在数轴上表示有理数，两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据时间乘速度等于路程，以及结合在数轴上表示有理数，即可作答．
（2）求两点间的距离，即运用有理数的减法列式进行计算，即可作答．
（3）先得出路程，再除以速度，即可作答．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，且向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，则；
∴淇淇家的位置对应的数为2，小敏家的位置对应的数为3.5，学校的位置对应的数为，如图所示：
；
（2）解：依题意，．答：淇淇家与学校之间的距离是3km．
（3）解：依题意，则，
∴．答：嘉嘉骑车一共用了30min．
21．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为．
(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
【答案】(1)点B所对应的数是；(2)A，B两点间距离是；
【分析】（1）本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值；
（2）本题考查数轴上动点及两点间距离，根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度，
∴点B所对应的数为：，∴点B所对应的数是；
（2）解：∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到，∴，
∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，∴点B运动到：，∴A，B两点间距离为：．
22．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？
【答案】(1) (2)正数
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可．
【详解】（1）点表示的数是；
（2）点表示的数是0.5为正数．
【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．
23．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数．(1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值
(2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值
【答案】(1)、；(2)，
【分析】（1）由相反数的定义及两点间的距离公式可得a、b的值；
（2）求出、的长即可求出a、b的值．
【详解】（1）∵点A、B表示互为相反数的两个数，a，，且A、B之间的距离为3，∴、；
（2）∵，，∴，∴，∴，
【点睛】本题考查了数轴和相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
24.（2023 浙江七年级期中）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合；
（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？
【分析】（1）根据对称的知识，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到﹣2的对称点；
（2）若数﹣1表示的点与数5表示的点重合，则对称中心是2表示的点，从而找到0的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解；
（3）先得到﹣1与5的对称点是2，第二次对折得到两个对称点是0.5和3.5．
【解答】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与2表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与4表示的点重合；
（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，所有的折点表示的数0.5，2，3.5．
【点评】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及中心对称的性质．注意：数轴上折点到两点的距离相等．
25．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）李老师善于利用信息技术对文本、图像、声音、动画等进行综合处理，丰富教学场景，激发学生学习数学的兴趣和探究新知的欲望．下面是李老师在“数轴与有理数”主题下设计的一个游戏，请你融入其中并解答问题．
(1)【情境设计】如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．
①如果点A所表示的数是，那么点B所表示的数是______；
②请借助刻度尺在图1中标出原点O的位置．
(2)【操作判断】图2是小华所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．请你帮他标出原点O的位置，并写出此时点C所表示的数：______．
(3)【拓展探究】如图3，数轴上标出了若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位长度，如点A与点B的距离为1个单位长度，且已知．
①求a的值；
②若点D也在这条数轴上，且点D所表示的数为d，当点C与点D的距离为3个单位长度时，直接写出d的值．
【答案】(1)①5；②见解析(2)见解析；4(3)①；②1或7
【分析】本题考查数轴上点坐标的应用．（1）①根据相反数定义即可得到本题答案，②根据数轴上点坐标的表示即可画出点的位置；（2）根据数轴上点坐标情况即可得出点表示的数；
（3）①根据题意列出代数式即可求出本题答案；②根据题意列出代数式即可得到本题答案．
【详解】（1）解：①∵点A所表示的数是，A，B两点所表示的数互为相反数，
∴点B所表示的数是，故答案为：；
②∵点A所表示的数是，点B所表示的数是，∴点的位置应为线段中点处，如下图所示：
；
（2）解：∵，
∴根据题意可知表示，表示，∴中点即为原点的位置，即见下图所示：
，
通过图像可知点为中点，故点表示的数为：；
（3）①解：∵，数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位长度，∴，
∵点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，∴，∵，∴，故答案为：；
②解：设点D所表示的数为d，当点C与点D的距离为3个单位长度时，
∵，，∴，∵，∴或，∴或，故答案为：1或7．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学
专题1.2.数轴
1. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；
2. 能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数及数轴上点的运动；
3. 能理解相反数的意义；能求出已知数的相反数；掌握相反数的几何意义和性质；
4. 能根据相反数的意义进行多重符合的化简；
5. 初步运用数形结合、分类讨论的思想解决问题，增强应用意识，培养创新精神。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.数轴的三要素及其画法 3
考点2.用数轴上的点与有理数的关系 4
考点3.数轴上两点之间的距离 7
考点4.数轴上的动点问题 8
考点5.相反数的概念的概念辨析 9
考点6.判断两个数是否互为相反数 11
考点7.求一个数的相反数 12
考点8.相反数的性质 13
考点9.相反数的几何意义（与结合数轴） 14
考点10.多重符号化简 17
模块3：能力培优 18
1.数轴
1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求：
①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点．
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．
像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
2.相反数
1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身；
③相反数是成对出现的（0除外）。
2）相反数的几何意义：互为相反数的两数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然结果如果出现多重符号需要化简）。
2.多重符号的化简
1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。
考点1.数轴的三要素及其画法
【解题方法】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….
例1．（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
变式2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（ ）
A． B．
C． D．
考点2.用数轴上的点与有理数的关系
【解题方法】数轴上的点与有理数之间的关系
①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；
②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的中点表示的数为。
例1．（2024年湖南长沙中考模拟预测）数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点相距2024个单位长度，则数a为（ ）
A．2024 B． C． D．不确定
变式1．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
变式2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为( )
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示的点与表示6的点重合，则3表示的点与______表示的点重合．
考点3.数轴上两点之间的距离
【解题方法】若点A表示的数为a，点B表示的数为b，则AB的距离为b-a或a-b（关键：较大数减较小数）。如：数轴上点A、B代表的数分别为1和4，则线段AB的距离为3。
在解答有关数轴上两点之间距离的题目时，最简单的方法就是利用数形结合，但是切记不要漏解，该点左右两边都要考虑到，利用绝对值进行求解不容易漏解，但是很多同学可能会感觉到比较的复杂，但是学好绝对值后，会发现这种方法非常的好用，而且不需要过多的考虑。希望两种方法同学们都能够掌握。
例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段2=3-1；线段．
问题：(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段_______；
(2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段_______；
(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数．
变式1．（2024·广东·七年级期中）数轴上点表示的数是6，则与点相距4个单位长度的点表示的数是 ．
变式2．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）已知是数轴上的三个点，且在的右侧，点表示的数分别是1，3，如图所示，若，则点表示的数是 ．
考点4.数轴上的动点问题
【解题方法】数轴上的动点问题是本节乃至本章的重难点内容，后面我们讲在专题18中重点介绍，本考点中只对数轴中点的简单移动作一些基础的认识。
例1．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有
①对应的数是；②点到达点时，；③时，；
④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ．
变式2．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）数轴上有一动点从表示的点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
考点5.相反数的概念的概念辨析
【解题方法】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零。例1．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数
C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数
变式1．（23-24七年级·上海松江·期末）以下叙述中，正确的是（ ）
A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数
C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数
变式2．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数
C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是
考点6.判断两个数是否互为相反数
【解题方法】根据相反数的定义判断即可。
例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
A．和 B．2和 C．和2 D．和
变式1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是( )
A．和 B．和 C．和- D．和
考点7.求一个数的相反数
【解题方法】相反数的表示方法：一般地，a的相反数为-a，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零.
例1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）有理数的相反数是（ ）
A． B． C．2024 D．
变式1．（23-24七年级·江苏·课时训练）填空：
（1）的相反数是 ；（2） 是的相反数；
（3）是 的相反数； （4） 的相反数是；
（5）8.2和 互为相反数． （6）a和 互为相反数．
（7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身．
变式2．（2023·浙江·七年级校考阶段练习）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·广东·七年级专题练习）的相反数（ ）
A． B． C． D．
考点8.相反数的性质
【解题方法】利用“互为相反数的两个数和为0”计算即可。
例．（2023·广西·七年级校考期中）已知与互为相反数，则a的值为_____．
变式1．（2023·成都市·七年级专题练习）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，，则b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
变式2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
考点9.相反数的几何意义（与结合数轴）
【解题方法】从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
例1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．0
例2．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题：
(1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________；
(2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？
(3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？
变式1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，若，则点A表示的数为 ．
变式2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023秋·重庆·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
考点10.多重符号化简
【解题方法】口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。
例1．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）化简下列各式：
①___________；②__________；③___________；
④__________；⑤______________；⑥____________
（2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少 当前面有2022个负号时，化简后结果是多少 （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论.
变式1．（23-24七年级上·广西梧州·期末）下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24七年级上·广东 阶段练习）化简得（ ）
A．8 B． C． D．
变式3．（2023·黑龙江·七年级校考阶段练习）化简(1)；(2)；(3)(4)
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·江苏苏州·一模）的相反数是（ ）
A．2024 B． C．﹣2024 D．1
2．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；③有理数在数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
3．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）一个数的相反数是它本身，则该数为（ ）
A． B． C． D．不存在
6．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②是负数；③a与必有一个是负数；④a与互为相反数，其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③④ D．④
7．（23-24七年级上·云南·阶段练习）点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（ ）
A． B．6 C．或6 D．或2
8．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）将一刻度尺放置在数轴上，数轴上A，B，C三点分别对应刻度尺上的“”，“”和“”，若点A，B在数轴上分别表示0，3，则点C在数轴上所表示的数为（ ）
A．2.1 B．2.7 C．4 D．4.5
9．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左滚动，数轴上的数1与圆周上的数2重合，数轴上的数与圆周上的数（ ）重合
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负数： ．
12．（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ．
13．（2023·湖北·七年级专题练习）的相反数是________．
14．（2023·河南南阳·七年级统考期末）若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ______．
15．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为
16．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）已知点、点、点是同一条数轴上的三个点，且，若点在数轴上表示的数是1，则点在数轴上表示的数是______．
17．（23-24七年级上·浙江·期末）纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示的点与表示7的点重合时，表示4的点与表示数 的点重合．
18．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单位长度，则点C在数轴上表示的数为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·湖北·七年级校考期中）观察数轴，回答下列问题：
(1)点、、表示的数分别为，，，请在数轴上标出点、、；
(2)大于并且小于的整数有哪几个？
(3)在数轴上到表示的点的距离等于个单位长度的点表示的数是什么？
20．（2024·河北廊坊·一模）六一到了，嘉嘉和同学要表演节目．嘉嘉骑车到同学家拿东西，再到学校，她从自己家出发，向东骑了2km到达淇淇家，继续向东骑了1.5km到达小敏家，然后又向西骑了4.5km到达学校．演出结束后又向东骑回到自己家．
(1)以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出淇淇家，用点B表示出小敏家，用点C表示出学校的位置；
(2)求淇淇家与学校之间的距离；
(3)如果嘉嘉骑车的速度是，那么嘉嘉骑车一共用了多长时间？
21．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为．
(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；
(2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离．
22．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？
23．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数．(1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值
(2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值
24.（2023 浙江七年级期中）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合；
（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？
25．（23-24七年级上·河南商丘·阶段练习）李老师善于利用信息技术对文本、图像、声音、动画等进行综合处理，丰富教学场景，激发学生学习数学的兴趣和探究新知的欲望．下面是李老师在“数轴与有理数”主题下设计的一个游戏，请你融入其中并解答问题．
(1)【情境设计】如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．
①如果点A所表示的数是，那么点B所表示的数是______；
②请借助刻度尺在图1中标出原点O的位置．
(2)【操作判断】图2是小华所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．请你帮他标出原点O的位置，并写出此时点C所表示的数：______．
(3)【拓展探究】如图3，数轴上标出了若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位长度，如点A与点B的距离为1个单位长度，且已知．
①求a的值；
②若点D也在这条数轴上，且点D所表示的数为d，当点C与点D的距离为3个单位长度时，直接写出d的值．
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