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第2章 特殊三角形单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 射洪市期末）川剧是汉族戏曲剧种之一，流行于四川东中部、重庆及贵州、云南部分地区．在丰富的川剧表现元素中，川剧脸谱是川剧展现给观众的最直观的视觉形象，也是人们区别川剧和其他剧种的一个重要标志．下面四幅川剧脸谱中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（2024春 潮南区期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为
A．21 B．15 C．13 D．12
3．（2024春 沈河区期末）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是
A． B． C． D．
4．（2024春 九龙坡区校级期末）已知，是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为
A．9 B．12 C．15 D．12或15
5．（2024春 任城区校级期末）下列命题中，其逆命题是真命题的个数是
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果三角形的三边长，，为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形．
③如果两个角是对顶角，那么它们相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024春 武侯区期末）某社区准备在街道（直线旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶．如图，已知点关于直线的对称点为，与直线相交于点，与直线相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区，到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
7．（2024春 凤翔区期末）如图，在中，，点，于点，于点，，则
A． B． C． D．
8．（2023秋 苍梧县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
9．（2024春 巴中期末）如图，在中，，点是上一点，点是上一点，连接，．若是的中点，，，且为直角三角形，则线段的长度为
A．5或 B．或 C．5或 D．5
10．（2024春 叙州区期末）在三角形纸片中，，，点为边上意近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处．有以下四个结论：①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或．其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 红寺堡区期末）把命题“等角的余角相等”改写成“如果，那么”的形式是 ．
12．（2024春 宜州区期末）在中，，，，则 ．
13．（2024春 东港市期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ．
14．（2024春 伊通县期末）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为 ．
15．（2023秋 衡阳期末）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当 时，和全等．
16．（2023秋 新北区校级月考）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有 ．（填入序号）
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 凉州区校级期末）网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题：
（1） ； ； ；
（2）求的面积；
（3）求边上的高．
18．（2024春 开福区校级期末）如图，已知，，．
（1）在平面直角坐标系中画出；
（2）在图中画出关于轴对称的△（点、、的对称点分别为，，；
（3）已知为轴上一点，若△的面积为4，请直接写出点的坐标．
19．（2024春 秦都区期末）如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在延长线上，的垂直平分线交线段于点，垂足为，连接，试说明：．
20．（2024春 侯马市期末）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长？
21．（2023秋 蒙城县期末）如图，已知中，，于，的平分线分别交，于、．
（1）试说明是等腰三角形．
（2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系．
22．（2024春 大荔县期末）定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，分别为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
当为直角边时，若，，求的长．
23．（2024春 丹东期末）如图，在中，，点为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的度数．
24．（2024春 大理市期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边为．
（1）请利用“赵爽弦图”证明：；
（2）若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．
25．（2023秋 沂水县期末）已知在中，，点是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
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第2章 特殊三角形单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 射洪市期末）川剧是汉族戏曲剧种之一，流行于四川东中部、重庆及贵州、云南部分地区．在丰富的川剧表现元素中，川剧脸谱是川剧展现给观众的最直观的视觉形象，也是人们区别川剧和其他剧种的一个重要标志．下面四幅川剧脸谱中，不是轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】不是轴对称图形，，，是轴对称图形，
故选．
2．（2024春 潮南区期末）我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为
A．21 B．15 C．13 D．12
【答案】
【解析】弦为：，
故选．
3．（2024春 沈河区期末）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
在和中，
，
，
故选．
4．（2024春 九龙坡区校级期末）已知，是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【答案】
【解析】，
，，
解得：，，
分两种情况：
当腰为3，底边长为6时，
，
不能组成三角形；
当腰为6，底边长为3时，
这个三角形的周长；
综上所述：此三角形的周长为15，
故选．
5．（2024春 任城区校级期末）下列命题中，其逆命题是真命题的个数是
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果三角形的三边长，，为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形．
③如果两个角是对顶角，那么它们相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】①逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②逆命题为：如果一个三边长，，为最长边）的三角形是直角三角形，那么，是真命题；
③逆命题为：如果两个角相等，那么它们是对顶角，是假命题；
④逆命题为：如果两个实数平方相等，那么它们相等，是假命题；
故选．
6．（2024春 武侯区期末）某社区准备在街道（直线旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶．如图，已知点关于直线的对称点为，与直线相交于点，与直线相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区，到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【答案】
【解析】因为点和点关于直线对称，
所以直线上的任意一点到点和点的距离相等，
所以对于直线上的任意一点，总有．
根据两点之间线段最短可知，
当奶站建在点处时，取得最小值，即为的长，
所以奶站建在点处时，居民区，到奶站的距离之和最短．
故选．
7．（2024春 凤翔区期末）如图，在中，，点，于点，于点，，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
，
的面积的面积，
，，
，
，
故选．
8．（2023秋 苍梧县期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】
【解析】如图，分情况讨论：
①为等腰的底边时，符合条件的点有4个；
②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个．
故选．
9．（2024春 巴中期末）如图，在中，，点是上一点，点是上一点，连接，．若是的中点，，，且为直角三角形，则线段的长度为
A．5或 B．或 C．5或 D．5
【答案】
【解析】在中，，，，
，
是的中点，，
当时，，
即，
，
；
当时，，
，
取的中点为，
又是的中点，
，
点即为点（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）
；
综上所述：线段的长度为5或，
故选．
10．（2024春 叙州区期末）在三角形纸片中，，，点为边上意近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处．有以下四个结论：①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或．其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】①点落在边上，
由折叠的性质得：，
，
，
故结论①正确；
②连接，如图2所示：
由折叠的性质得：，
，，
又，，
，，
，
即，
故结论②正确；
③设，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
，
，
故结论③正确；
④当时，有以下两种情况：
（ⅰ）当点在上方时，设交于，如图3①所示：
，，
，
，
由折叠的性质得：，
；
（ⅱ）当点在下方时，延长交于，如图3②所示：
，，
，
由折叠的性质得：，，
在△中，，
．
综上：当时，或，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，共4个．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 红寺堡区期末）把命题“等角的余角相等”改写成“如果，那么”的形式是 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等 ．
【答案】如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．
【解析】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．
12．（2024春 宜州区期末）在中，，，，则 6 ．
【解析】在中，，，，
．
故答案为：6．
13．（2024春 东港市期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 或 ．
【答案】或．
【解析】依题意，
设顶角的度数是，则有：，
解得：，
所以顶角度数是：；
设顶角的度数是，
则有：，
解得：，
则有顶角度数是：，
综上所述，故顶角的度数是或．
故答案为：或．
14．（2024春 伊通县期末）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为 ．
【答案】．
【解析】，
则，
点表示，
点表示的数为：．
故答案为：．
15．（2023秋 衡阳期末）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当 5或10 时，和全等．
【答案】5或10
【解析】当或10时，和全等，
理由是：，，
，
①当时，
在和中
，
②当时，
在和中
，
故答案为：5或10．
16．（2023秋 新北区校级月考）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有 ②③④ ．（填入序号）
【答案】②③④．
【解析】，
，，
中，与的平分线交于点，
，，
，，
，，
即和都是等腰三角形；
故④正确，符合题意；
，
故③正确，符合题意；
的周长为：；
故②正确，符合题意；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定相等，
故①错误，不符合题意．
故答案为：②③④．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 凉州区校级期末）网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，完成下列问题：
（1） ； ； ；
（2）求的面积；
（3）求边上的高．
【解析】（1），
故答案为：，
（2）的面积，
（3）的面积边上的高，
即边上的高．
18．（2024春 开福区校级期末）如图，已知，，．
（1）在平面直角坐标系中画出；
（2）在图中画出关于轴对称的△（点、、的对称点分别为，，；
（3）已知为轴上一点，若△的面积为4，请直接写出点的坐标．
【解析】（1）根据题意，，，，画图如下：
则即为所求．
（2）根据，，，得到关于轴对称的△的三个顶点坐标分别为，，，画图如下：
则△即为所求．
（3）设点，
根据题意，得，
△的面积为4，
，
解得或，
故点的坐标为或．
19．（2024春 秦都区期末）如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在延长线上，的垂直平分线交线段于点，垂足为，连接，试说明：．
【解析】（1）因为，于点，
所以，，
因为，
所以，
所以．
（2）因为垂直平分，
所以，
所以．
由（1）知，，
所以，
所以．
20．（2024春 侯马市期末）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求各边的长？
【解析】由题意可得是边上的中线，
，
的周长为，，
，即，
如图1，当时，，，
（图
，
又，
，，
三边分别为，，．符合三角形三边关系；
如图2，当时，，，
（图
，
，
又，
，，
三边分别为，，，符合三角形三边关系；
综上，各边为，，或，，．
21．（2023秋 蒙城县期末）如图，已知中，，于，的平分线分别交，于、．
（1）试说明是等腰三角形．
（2）若点恰好在线段的垂直平分线上，试说明线段与线段之间的数量关系．
【解析】（1），
，
，
，
，
是的平分线，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
（2）点恰好在线段的垂直平分线上，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
．
22．（2024春 大荔县期末）定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，分别为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
当为直角边时，若，，求的长．
【解析】设，则，
①当为最大线段时，根据题意得，，即，
解得：，
②当为最大线段时，根据题意得，，即，
解得：，
综上所述，的长为5或3．
23．（2024春 丹东期末）如图，在中，，点为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【解析】（1）证明：是的中垂线，
，
，为中点，
（三线合一），
是的中垂线，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：，为中点，
（三线合一），
，
是的中垂线，
，
，
，
，
，
，
．
24．（2024春 大理市期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边为．
（1）请利用“赵爽弦图”证明：；
（2）若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．
【解析】（1）直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边为，
小正方形的面积四个直角三角形的面积大正方形的面积，
，
，
；
（2）由题意可得：，
即，
，
故一个直角三角形的面积为4．
25．（2023秋 沂水县期末）已知在中，，点是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【解析】（1），
，
是的一个外角，
，
，，
，
．
；
（2）①，
，
，
设，则，
，
，
；
②是的一个外角，
，
分三种情况：
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
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