浙教版数学九年级上册《第1章 二次函数》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·广东模拟）下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝－
C．y＝+5 D．y＝x2－3x＋5
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=3x不符合题二次函数的定义，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、y=不符合题二次函数的定义，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=+5不符合题二次函数的定义，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、 y＝x2－3x＋5符合题二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此逐项判断得出答案.
2．（2024九上·耒阳期末）已知函数是二次函数，则等于（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵m+2≠0，
∴m≠-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义可知m+2≠0，解不等式即可求解。
3．（2021九上·芝罘期中）若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
4．（2023九上·肇源月考）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数的系数a<0，二次函数开口向上a>0，不符合题意；
B、一次函数中a>0，b>0；二次函数开口向上a>0，对称轴>0即->0，解得b<0，不符合题意；
C、一次函数中a>0，b<0；二次函数开口向上a>0，对称轴<0即-<0，解得b>0，符合题意；
D、一次函数中a>0，b<0；二次函数开口向下a<0，对称轴>0即->0，解得b>0，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数图象判断系数和常数项与0的大小关系；根据二次函数图象的性质和对称轴的位置判断系数与0的大小关系.
5．（2023九上·孝感月考）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①③⑤
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵有图像可知，当x=1时，y＜0
∴a+b+c＜0，①正确；
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0即b-a-c＜0
∵a+b+c＜0，b-a-c＜0
两式相加，可得2b＜0，即b＜0，②错误；
∵方程有两个不相等的实根
∴ ，③正确；
由图像的对称性，可知当x=-2时，y＞0；
∴4a-2b+c＞0，④错误；
当x=0时，y=c=1；
抛物线的对称轴为直线x=-=-1；
∴b=2a
∴a+b+c=a+2a+c=3a+1＜0
∴a＜
∴a+c＜+1=，⑤正确；
∴正确的结论有：①③⑤.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的根和图像的关系，可得a+b+c＜0，b＜0；根据二次函数根的判别式和图像的特点，可得 ；根据二次函数的对称轴和图像关系，可得a＜，进而可得a+c＜.
6．（2024·中山模拟）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 把抛物线向左平移1个单位， 得到， 然后向上平移3个单位得到，即
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的集合变换规律“上加下减，左加右减”规律进行变换即可求解.
7．（2024·广州） 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小； y2位于一、三象限内，且在每一象限内y2均随着x的增大而减小，
∴当x>1时，y1、y2均随着x的增大而减小.
故答案为：D.
【分析】由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小；y2图象的两支分别位于在一、三象限内，在每一个象限内y2均随着x的增大而减小，据此即可得到答案.
8．（2024·柳州模拟）若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图像可知，图像关于直线x=1对称，且与x轴的一个交点为（3，0）；
∴1×2-3=-1
∴图像与x轴的另一个交点为（-1，0）
∴x1=-1，x2=3
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象和点的对称性即可直接解题.
9．（2024九上·凤山期末）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．函数的最小值是－4
C．当时，y随x的增大而增大
D．－1和3是方程的两个根
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：通过图像可知，二次函数的对称轴是x=1，当x=1时，函数取到最小值-4，故A、B正确，
当x＜1时，y随着x的增大而减少，故C错误，
二次函数关于x=1对称，所以-1，3是方程 的两个根 ，故D正确，
故答案为：C.
【分析】根据二次二次函数的特点判断即可.
10．（北师大版数学九年级下册第二章第二节《二次函数的图像与性质》同步检测）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（ ）
A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值3 D．最大值3
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，-5），
所以该抛物线有最大值-5．
故选：B．
【分析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质可以做出判断．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点，则m= .
【答案】9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点 ，
∴△=（-6）2-4m=0，
解得m=9.
故答案为：9.
【分析】由抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点 ，可得△=0，据此解答即可.
12．（2024九下·通榆月考）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：函数向右平移2个单位，得：；
再向上平移3个单位，得：；
故答案为：．
【分析】二次函数平移的规律：左加右减，上加下减。据此求解。
13．（2021九上·廊坊月考）抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】（2，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】
=
，
抛物线开口向上，当x= 2时，y最小= 1，
顶点坐标是：（2， 1），
故答案为：（2， 1）．
【分析】将解析式化为顶点式，即得顶点坐标.
14．（2024九下·榆树开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 3 …
则这个二次函数图象的对称轴是直线 ．
【答案】x＝1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵x=0、x=2时的函数值都是0，
∴此函数图象的对称轴为直线x==1；
故答案为：x=1.
【分析】由图表可知，x=0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可.
15．（2020九上·德城期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与 轴的交点坐标为 .此二次函数的解析式可以是
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知a 0，c=3，
故二次函数解析式可以是
【分析】根据二次函数图象和性质得a 0，c=3，即可设出解析式.
16．（2024九上·江津期末）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为 m．
【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令，则，
解得：或（不合题意，舍去），
，
．
故答案为：9
【分析】结合题意，代入可得到一个关于x的一元二次方程，求解方程即可得出答案。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·朝阳期末）已知一次函数和二次函数，下表给出了与自变量的几组对应值：
… 0 1 2 3 4 …
… 5 4 3 2 1 0 …
… 0 3 4 3 0 …
（1）求的解析式；
（2）直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：根据题意，设该二次函数的解析式为．
当时，，
．
．
（2）解：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据表格设该二次函数的解析式为，利用待定系数法求得a的值，即可求解；
（2）直接根据表格数据即可求解；
18．（2023九上·抚松月考）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
解得：
∴y=x2-2x-3，
∴此二次函数的解析式为y=x2-2x-3．
（2）解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴点D的坐标为（1，-4），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S△ABD=
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将 A（-1，0）、B（3，0）两点 带入函数解析式，得到二次函数的一般式。
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，得到顶点B的坐标，然后可求出 △ABD的面积。
19．（2023九上·孝感月考）如图，在矩形中，，，点M从A出发，以的速度在矩形边上沿A→B→C方向运动，点N从B点出发，以的速度在矩形边上沿B→C→D方向运动，两点同时出发，其中一点到达终点时，两点同时停止，运动时间为t（单位：s，且0（1）当0（2）如图，当4【答案】（1）解：由题意可知：AM=2t，BN=t；
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90°，BM=8-2t，AB=CD，
当 能否成为等腰三角形 时，BM=BN；
∴8-2t=t，解得t=（s）0＜≤4，符合要求；
∴存在t，当t=s时， 是等腰三角形.
（2）解：当 恰好是以BN为底的等腰三角形 时，MN=BM；
∵8÷2=4（s），4÷1=4（s）
∴BM=2（t-4）=2t-8，CN=t-4
∴CM=4-（2t-8）=12-2t
∴MN==2t-8，解得t =(12+）s或(12-)s；
∵ 4∴t= (12-)s
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题路程=速度×时间，可列不等式表示BM和BN的长度；根据等腰三角形的性质，可得关于t的一元一次方程，解方程即可求出t的值；
（2）根据题路程=速度×时间，可以求出点M从点A运动到点B的时间，点N从点B运动到点C的时间；根据已用的时间，可列代数式和表示M、N在BC和CD上运动的距离；根据勾股定理，可得MN的长度；根据等腰三角形的两腰相等，列关于t的一元二次方程，根据求根公式即可求出t的值.
20．（2023九上·拱墅月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）解： 把M（-2，3）代入y=-x2+mx+3得：
-4-2m+3=3，
解得m=-2，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）解：y的取值范围是0≤y≤4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2） ∵y=-（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x=0时，y=3，当x=-3时，y=0，
∴当-3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
【分析】（1）根据抛物线上点的性质，将点M的坐标代入解析式，即可列关于m的一元一次方程，解方程即可求出解析式，将解析式化为顶点式即可直接写出顶点的坐标；
（2）根据（1）可知，抛物线二次项系数小于0，开口向下，对称轴为直线x=-1，此时最大值为6；根据x的取值范围，可知该区间最大值为6，-321．（2021·黄梅模拟）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，每日最多生产130kg，假设生产出的产品能全部售出，每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间满足一次函数关系y1＝﹣ x+168，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象如图中折线ABC所示.
（1）求生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）求日利润为W（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少kg时，这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？
【答案】（1）解：由题意，可得当 时， ；
当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
，解得 ，
当 时， .
综上所述，生产成本 （元）与产量 之间的函数关系式为 ；
（2）解： 当 时， ，
当 时，
（3）解： 当 时， ，
当 时，
当 时， 的值最大，最大值为 ；
因此当该产品产量为 时，获得的利润最大，最大值为 元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由图像可知，①当0≤x≤50时，y=70；②当50＜x≤130时，y2与x是一次函数关系.因为点B（50，70）和点C（130，54）在 y2与x的函数图象上，所以，设y2与x的函数关系式为y2=mx+n，用待定系数法，列二元一次方程组，即可确定y2与x的函数关系式.
（2）总利润=单位利润×数量=（售价-成本）×数量.所以，w=x（ y1 - y2），分别把 y1和 y2的关系式代入，整理，可得w与x的函数关系式.
（3）在x的不同取值范围内，分别求出w的最大值.可以把函数关系式化为顶点坐标式，或者直接用顶点坐标公式，可以求得，当x=110时，wmax=4840.
22．（2024·河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含的式子表示）.
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
当时，.
∴.
∴.
（3）解：小明的说法不正确.理由如下：
由（2），得.
当时，.
解方程，得，.
∴小明的说法不正确.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）依题意，对称轴所在直线；
∵-5＜0，∴小球被发射后s时离地面的高度最大 ；
故答案为：；
【分析】（1）根据二次函数的性质，利用含参数v0表示二次函数对称轴即可；
（2）在（1）的基础上分析，即该二次函数经过顶点，代入函数解出v0即可；
（3）在（2）的基础上，求出当发射小球高度为15米时对应物体的运动时间判断即可.
23．（2021九上·温州开学考）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点B在抛物线上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由题意得：-x+2=x2
得 -2
∴C(-2，4)
∴
（3）-2＜x＜1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法抛物线解析式即可；
(2)联立直线和抛物线的函数式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
(3)看图象，找出直线在抛物线上方部分，读出这时的x范围即可.
24．（2024·江门模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉安全通道？ 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．
素材3 安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．
问题解决
任务1 确定喷泉形状． 在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐 标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2 确定喷泉跨度的最小值． 若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．
任务3 设计通道位置及儿童的身高上限． 现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道 上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人 的最大身高为多少？（精确到）
【答案】解：任务
点坐标为，点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的最高点为3，顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为过点，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
任务
当喷水管最高可伸长到时，
设此时的抛物线的函数表达式为，
当时，，解得：，
由，得，解得：或（舍），
．
任务
由题意得：当点落在上，
当点落在上时，最大．
延长交抛物线与点，
，，
，关于直线对称，点的横坐标为0.5，
当时，，
∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】 由任务1先求出抛物线的对称轴，顶点坐标，设解析式为顶点式，将（0，0）代入解析式，求出二次项系数，从而可得抛物线的解析式；
任务2设抛物线解析式为：，（0，2.25）代入可求抛物线解析式，从而求OB的值；
在任务3中，设F（n，h），可得用n，h表示E点坐标，代入对应的抛物线解析式求解．
1 / 1浙教版数学九年级上册《第1章 二次函数》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·广东模拟）下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝－
C．y＝+5 D．y＝x2－3x＋5
2．（2024九上·耒阳期末）已知函数是二次函数，则等于（ ）
A． B．2 C． D．6
3．（2021九上·芝罘期中）若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
4．（2023九上·肇源月考）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·孝感月考）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．①②⑤ D．①③⑤
6．（2024·中山模拟）把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广州） 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
8．（2024·柳州模拟）若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2024九上·凤山期末）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．函数的最小值是－4
C．当时，y随x的增大而增大
D．－1和3是方程的两个根
10．（北师大版数学九年级下册第二章第二节《二次函数的图像与性质》同步检测）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（ ）
A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值3 D．最大值3
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点，则m= .
12．（2024九下·通榆月考）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是 ．
13．（2021九上·廊坊月考）抛物线 的顶点坐标是 ．
14．（2024九下·榆树开学考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 8 3 0 ﹣1 0 3 …
则这个二次函数图象的对称轴是直线 ．
15．（2020九上·德城期末）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与 轴的交点坐标为 .此二次函数的解析式可以是
16．（2024九上·江津期末）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为 m．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·朝阳期末）已知一次函数和二次函数，下表给出了与自变量的几组对应值：
… 0 1 2 3 4 …
… 5 4 3 2 1 0 …
… 0 3 4 3 0 …
（1）求的解析式；
（2）直接写出关于的不等式的解集．
18．（2023九上·抚松月考）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求△ABD的面积．
19．（2023九上·孝感月考）如图，在矩形中，，，点M从A出发，以的速度在矩形边上沿A→B→C方向运动，点N从B点出发，以的速度在矩形边上沿B→C→D方向运动，两点同时出发，其中一点到达终点时，两点同时停止，运动时间为t（单位：s，且0（1）当0（2）如图，当420．（2023九上·拱墅月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
21．（2021·黄梅模拟）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，每日最多生产130kg，假设生产出的产品能全部售出，每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间满足一次函数关系y1＝﹣ x+168，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象如图中折线ABC所示.
（1）求生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（2）求日利润为W（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少kg时，这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？
22．（2024·河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含的式子表示）.
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
23．（2021九上·温州开学考）如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
24．（2024·江门模拟）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷泉安全通道？ 在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．
素材3 安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．
问题解决
任务1 确定喷泉形状． 在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐 标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2 确定喷泉跨度的最小值． 若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．
任务3 设计通道位置及儿童的身高上限． 现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道 上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人 的最大身高为多少？（精确到）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=3x不符合题二次函数的定义，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、y=不符合题二次函数的定义，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=+5不符合题二次函数的定义，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、 y＝x2－3x＋5符合题二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，据此逐项判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵m+2≠0，
∴m≠-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义可知m+2≠0，解不等式即可求解。
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
【分析】先求出b＝0，再求出6＝4+c，最后计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数的系数a<0，二次函数开口向上a>0，不符合题意；
B、一次函数中a>0，b>0；二次函数开口向上a>0，对称轴>0即->0，解得b<0，不符合题意；
C、一次函数中a>0，b<0；二次函数开口向上a>0，对称轴<0即-<0，解得b>0，符合题意；
D、一次函数中a>0，b<0；二次函数开口向下a<0，对称轴>0即->0，解得b>0，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数图象判断系数和常数项与0的大小关系；根据二次函数图象的性质和对称轴的位置判断系数与0的大小关系.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵有图像可知，当x=1时，y＜0
∴a+b+c＜0，①正确；
∵x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0即b-a-c＜0
∵a+b+c＜0，b-a-c＜0
两式相加，可得2b＜0，即b＜0，②错误；
∵方程有两个不相等的实根
∴ ，③正确；
由图像的对称性，可知当x=-2时，y＞0；
∴4a-2b+c＞0，④错误；
当x=0时，y=c=1；
抛物线的对称轴为直线x=-=-1；
∴b=2a
∴a+b+c=a+2a+c=3a+1＜0
∴a＜
∴a+c＜+1=，⑤正确；
∴正确的结论有：①③⑤.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的根和图像的关系，可得a+b+c＜0，b＜0；根据二次函数根的判别式和图像的特点，可得 ；根据二次函数的对称轴和图像关系，可得a＜，进而可得a+c＜.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 把抛物线向左平移1个单位， 得到， 然后向上平移3个单位得到，即
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的集合变换规律“上加下减，左加右减”规律进行变换即可求解.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小； y2位于一、三象限内，且在每一象限内y2均随着x的增大而减小，
∴当x>1时，y1、y2均随着x的增大而减小.
故答案为：D.
【分析】由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小；y2图象的两支分别位于在一、三象限内，在每一个象限内y2均随着x的增大而减小，据此即可得到答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图像可知，图像关于直线x=1对称，且与x轴的一个交点为（3，0）；
∴1×2-3=-1
∴图像与x轴的另一个交点为（-1，0）
∴x1=-1，x2=3
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象和点的对称性即可直接解题.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：通过图像可知，二次函数的对称轴是x=1，当x=1时，函数取到最小值-4，故A、B正确，
当x＜1时，y随着x的增大而减少，故C错误，
二次函数关于x=1对称，所以-1，3是方程 的两个根 ，故D正确，
故答案为：C.
【分析】根据二次二次函数的特点判断即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，-5），
所以该抛物线有最大值-5．
故选：B．
【分析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质可以做出判断．
11．【答案】9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点 ，
∴△=（-6）2-4m=0，
解得m=9.
故答案为：9.
【分析】由抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点 ，可得△=0，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：函数向右平移2个单位，得：；
再向上平移3个单位，得：；
故答案为：．
【分析】二次函数平移的规律：左加右减，上加下减。据此求解。
13．【答案】（2，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】
=
，
抛物线开口向上，当x= 2时，y最小= 1，
顶点坐标是：（2， 1），
故答案为：（2， 1）．
【分析】将解析式化为顶点式，即得顶点坐标.
14．【答案】x＝1
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵x=0、x=2时的函数值都是0，
∴此函数图象的对称轴为直线x==1；
故答案为：x=1.
【分析】由图表可知，x=0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可.
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知a 0，c=3，
故二次函数解析式可以是
【分析】根据二次函数图象和性质得a 0，c=3，即可设出解析式.
16．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令，则，
解得：或（不合题意，舍去），
，
．
故答案为：9
【分析】结合题意，代入可得到一个关于x的一元二次方程，求解方程即可得出答案。
17．【答案】（1）解：根据题意，设该二次函数的解析式为．
当时，，
．
．
（2）解：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）根据表格设该二次函数的解析式为，利用待定系数法求得a的值，即可求解；
（2）直接根据表格数据即可求解；
18．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
解得：
∴y=x2-2x-3，
∴此二次函数的解析式为y=x2-2x-3．
（2）解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴点D的坐标为（1，-4），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S△ABD=
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将 A（-1，0）、B（3，0）两点 带入函数解析式，得到二次函数的一般式。
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，得到顶点B的坐标，然后可求出 △ABD的面积。
19．【答案】（1）解：由题意可知：AM=2t，BN=t；
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=90°，BM=8-2t，AB=CD，
当 能否成为等腰三角形 时，BM=BN；
∴8-2t=t，解得t=（s）0＜≤4，符合要求；
∴存在t，当t=s时， 是等腰三角形.
（2）解：当 恰好是以BN为底的等腰三角形 时，MN=BM；
∵8÷2=4（s），4÷1=4（s）
∴BM=2（t-4）=2t-8，CN=t-4
∴CM=4-（2t-8）=12-2t
∴MN==2t-8，解得t =(12+）s或(12-)s；
∵ 4∴t= (12-)s
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题路程=速度×时间，可列不等式表示BM和BN的长度；根据等腰三角形的性质，可得关于t的一元一次方程，解方程即可求出t的值；
（2）根据题路程=速度×时间，可以求出点M从点A运动到点B的时间，点N从点B运动到点C的时间；根据已用的时间，可列代数式和表示M、N在BC和CD上运动的距离；根据勾股定理，可得MN的长度；根据等腰三角形的两腰相等，列关于t的一元二次方程，根据求根公式即可求出t的值.
20．【答案】（1）解： 把M（-2，3）代入y=-x2+mx+3得：
-4-2m+3=3，
解得m=-2，
∴y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）；
（2）解：y的取值范围是0≤y≤4．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2） ∵y=-（x+1）2+4，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当x=0时，y=3，当x=-3时，y=0，
∴当-3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．
【分析】（1）根据抛物线上点的性质，将点M的坐标代入解析式，即可列关于m的一元一次方程，解方程即可求出解析式，将解析式化为顶点式即可直接写出顶点的坐标；
（2）根据（1）可知，抛物线二次项系数小于0，开口向下，对称轴为直线x=-1，此时最大值为6；根据x的取值范围，可知该区间最大值为6，-321．【答案】（1）解：由题意，可得当 时， ；
当 时，设 与 之间的函数关系式为 ，
，解得 ，
当 时， .
综上所述，生产成本 （元）与产量 之间的函数关系式为 ；
（2）解： 当 时， ，
当 时，
（3）解： 当 时， ，
当 时，
当 时， 的值最大，最大值为 ；
因此当该产品产量为 时，获得的利润最大，最大值为 元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由图像可知，①当0≤x≤50时，y=70；②当50＜x≤130时，y2与x是一次函数关系.因为点B（50，70）和点C（130，54）在 y2与x的函数图象上，所以，设y2与x的函数关系式为y2=mx+n，用待定系数法，列二元一次方程组，即可确定y2与x的函数关系式.
（2）总利润=单位利润×数量=（售价-成本）×数量.所以，w=x（ y1 - y2），分别把 y1和 y2的关系式代入，整理，可得w与x的函数关系式.
（3）在x的不同取值范围内，分别求出w的最大值.可以把函数关系式化为顶点坐标式，或者直接用顶点坐标公式，可以求得，当x=110时，wmax=4840.
22．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
当时，.
∴.
∴.
（3）解：小明的说法不正确.理由如下：
由（2），得.
当时，.
解方程，得，.
∴小明的说法不正确.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）依题意，对称轴所在直线；
∵-5＜0，∴小球被发射后s时离地面的高度最大 ；
故答案为：；
【分析】（1）根据二次函数的性质，利用含参数v0表示二次函数对称轴即可；
（2）在（1）的基础上分析，即该二次函数经过顶点，代入函数解出v0即可；
（3）在（2）的基础上，求出当发射小球高度为15米时对应物体的运动时间判断即可.
23．【答案】（1）解：∵点B在抛物线上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由题意得：-x+2=x2
得 -2
∴C(-2，4)
∴
（3）-2＜x＜1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法抛物线解析式即可；
(2)联立直线和抛物线的函数式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
(3)看图象，找出直线在抛物线上方部分，读出这时的x范围即可.
24．【答案】解：任务
点坐标为，点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的最高点为3，顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为过点，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
任务
当喷水管最高可伸长到时，
设此时的抛物线的函数表达式为，
当时，，解得：，
由，得，解得：或（舍），
．
任务
由题意得：当点落在上，
当点落在上时，最大．
延长交抛物线与点，
，，
，关于直线对称，点的横坐标为0.5，
当时，，
∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】 由任务1先求出抛物线的对称轴，顶点坐标，设解析式为顶点式，将（0，0）代入解析式，求出二次项系数，从而可得抛物线的解析式；
任务2设抛物线解析式为：，（0，2.25）代入可求抛物线解析式，从而求OB的值；
在任务3中，设F（n，h），可得用n，h表示E点坐标，代入对应的抛物线解析式求解．
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