浙教版数学九年级上册《第1章 二次函数》单元提升测试卷

浙教版数学九年级上册《第1章 二次函数》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m＝．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），
∴可设y=a(x+3)(x-1)，即y=ax2+2ax-3a，
∴b=2a，c=-3a，
∴ abc2=a·2a·(-3a)2=18a4＞0，故①正确；
抛物线y=ax2+2ax-3a与y轴的交点为C（0，-3a），
∵ 点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，
∴-3＜-3a＜-2，即＜2a＜2，
∴＜b＜2，故②正确；
∵﹣bx1＝﹣bx2，
∴﹣2ax1＝﹣2ax2，则﹣2x1＝﹣2x2，
∴--2（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2-2）=0，
∵ x1≠x2，
∴x1+x2=2，故③错误；
直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c，令y相等，
则﹣cx+c=ax2+bx+c，
∴ax-3a=ax2+2ax-3a，
解得x=或0（舍），
∴m=，故④正确.
故答案为：A.
【分析】由抛物线与y轴的交点，可设y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，可得b=2a，c=-3a，代入①计算即可判断；由点C（0，-3a）的纵坐标在﹣3～﹣2之间， 可得-3＜-3a＜-2，据此求出b的范围即可判断②；把b=2a代入﹣bx1＝﹣bx2中，利用因式分解可得（x1-x2）（x1+x2-2）=0，据从可求出x1+x2-2=0，据此判断③；令y相等，可得﹣cx+c=ax2+bx+c，把b=2a，c=-3a代入方程并解方程，即得m值，据此判断④.
2．（2024·包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x=(x+1)2-1，
∴将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-1-2=(x+1)2-3.
故答案为：A.
【分析】首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出答案.
3．（2024·福建）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（　　）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
4．（2019九上·长春月考）已知点 ， ， 都在二次函数 的图象上，那么a、b、c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】当x＝ 2时，a＝ x2＋2x＋3＝ （ 2）2＋2×（ 2）＋3＝ 5；当x＝ 时，b＝ x2＋2x＋3＝ （ ）2＋2× ＋3＝ ；当x＝ 时，c＝ x2＋2x＋3＝ （ ）2＋2× ＋3＝ ；
所以a＜c＜b．
故答案为：D．
【分析】分别计算自变量为 2、 、 对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
5．（2024·泸州）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，
∴
解得.
∴a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象经过的象限，结合函数的图象与系数的关系可得对称轴直线在y轴的右侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，抛物线与y轴的交点在原点或正半轴，据此建立出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围.
6．（2024·濠江模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由的图象知：a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b＜0，
∴ 一次函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二四象限.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的位置确定a、b、c的符号，从而得出一次函数与反比例函数图象所在的位置，据此判断即可.
7．（2024·武侯模拟） 如图，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴负半轴相交于点C，点D在抛物线上，且直线轴，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．线段CD的长为4
C．
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线开口向下，
a<0，故A选项错误，不符合题意；
抛物线与x轴相交于，两点，与y轴负半轴相交于点C，点D在抛物线上，且直线轴，
点C的横坐标为4，
CD=4，故B选项正确，符合题意；
抛物线的顶点在x轴的上方，
当x=2时，y=4a+2b+c>0，故C选项错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线开口向下，
当x<2时，y随x的增大而增大，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口方向可判断A选项错误，不符合题意；根据抛物线与x轴的交点求得点C的横坐标，可判断B选项正确，符合题意；根据抛物线的对称轴以及开口方向可判断C，D错误，不符合题意；从而求解.
8．（2024·天津） 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围；函数值；二次函数的最值
【解析】【解答】解：①由自变量的取值范围可知①正确；②h的最大值为：，所以小球运动过程中的最大高度为45，所以②正确；③当t=2时，h=30×2-5×22=40，当t=5时，h=30×5-5×52=25，所以③不正确。综上正确结论有2个。
故答案为：C.
【分析】首先根据自变量的取值范围判定①正确；根据函数的最大值可得出②正确；分别求得当t=2和t=5时的h的值，即可得出③不正确。
9．（2021·包河模拟）如图①，在菱形 中，∠A=120°，点E是边 的中点，点F是对角线 上一动点，设 的长为x， 与 长度的和为y．图②是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
∵在菱形 中点A与点C关于 对称，
∴ ，
∴ ，
当 三点在同一直线上时y取最小值，y的最小值为线段 的长，
由图②知此时 ，即 ，在菱形中点E是边 的中点，
易得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ // ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点F和点B重合时，此时x取最大值6， ．
∴点Q的坐标为 ，
故答案为：D．
【分析】连接 ，在菱形 中点A与点C关于 对称，推出 ，推出 ，当 三点在同一直线上时y取最小值，y的最小值为线段 的长，观察图像可知， ，在Rt△ADF1中，由三角函数求出AD的长，由平行得出 ∽ ，求出BE和F1B的长，当点F和点B重合时，此时x取最大值6， ，即可求出点Q的坐标．
10．（2024·眉山） 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置可确定出b的取值范围，再根据抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点坐标及对称轴，可得到b=-2a，a-b+c=0，据此可得到3a+c的值，可对②作出判断；利用函数图象及对称轴，可得到函数的最小值为a+b+c，据此可对③作出判断；利用一元二次方程根与系数，可得到c=-3a，利用c的取值范围，可得到a的取值范围，再求出a+b+c=-4a，据此可得到a+b+c的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·长春）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】根据抛物线与x轴没有交点，，即可求解.
12．（2020九上·崇左期末）如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=- x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=　 　.
【答案】4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4.
故答案是：4.
【分析】根据平移的性质得出阴影部分即为平行四边形的面积.
13．（2024·米东模拟） 如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③（为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图象上，则；⑥．其中错误的结论是　 　（填序号）．
【答案】①⑤
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴是直线，
∴，即，
∴，
∵经过点，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵当时，函数取得最大值，最大值为，
∴当时，，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴直线和直线与对称轴距离相等，则和时的函数值相等，故④正确；
∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下，
∴离对称轴越近，函数值越大，
∴，故⑤错误；
当时，，
∴，
∴，故⑥正确；
故答案为：①⑤
【分析】根据二次函数图象与性质逐项判断即可求解。
14．（2024·青山模拟）已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论：
①；
②若是抛物线上两点，若，则；
③若方程有四个根，则这四个根的和为12；
④当时，若，对应y的整数值有4个，则．
其中正确的结论是　 　．（填写序号）
【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵对称轴为直线x=3，
∴，
∴b=-6a，
∴a，b异号，
∴ab＜0，
∵无法判断c的符号，
∴abc＞0是错误，故①错误；
②∵，，
∴y1-y2=，
∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞6，
∴x1-x2＜0，x1+x2-6＞0，
∴y1-y2＜0，
∴y1＜y2，故②正确；
③∵，
∴，
∴当时，x1+x2=-=6，
当时，x1+x2=-=6，
∴这四个根的和为12，故③正确；
④当a＞0时，若5≤x≤6，y随x的增大而增大，
∴当x=5时，y=25a-30a-7=-5a-7，
当x=6时，y=36a-36a-7=-7，
∴-5a-7≤y≤-7，
∵y的整数值有4个，
∴-11＜-5a-7≤-10，
∴，
当a＜0时，若5≤x≤6，y随x的增大而减小，
∴当x=5时，y=25a-30a-7=-5a-7，
当x=6时，y=36a-36a-7=-7，
∴-7≤y≤-5a-7，
∵y的整数值有4个，
∴-4＜-5a-7≤-3，
∴，
∴或，故④错误，
∴ 其中正确的结论是②③.
故答案为：②③.
【分析】①根据题意得出a，b异号，但无法判断c的符号，即可判断①错误；
②根据题意得出y1-y2＜0，得出y1＜y2，即可判断②正确；
③根据题意得出，当时，利用根与系数的关系得出x1+x2=-=6，
当时，得出x1+x2=-=6，从而得出这四个根的和为12，即可判断③正确；
④分两种情况讨论：当a＞0时，若5≤x≤6，y随x的增大而增大，得出-5a-7≤y≤-7，再根据y的整数值有4个，得出；当a＜0时，若5≤x≤6，y随x的增大而减小，得出-7≤y≤-5a-7，根据y的整数值有4个，得出，即可判断④错误.
15．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于 轴的矩形内部 （包括边界）， 这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形． 例如： 如图， 函数 的图象 （抛物线中的实线部分）， 它的关联矩形为矩形 ． 若二次函数 的图象的关联矩形恰好也是矩形 ，则 　 　.
【答案】 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质
【解析】【解答】解：由函数当时，
∴
∵，且四边形OABC为矩形，
∴
①当抛物线过点O、B时，
∴
②当抛物线过点A、C时，
∴
综上所述，b的值为：或，
故答案为：或.
【分析】根据题意可求出点A、B、C的坐标，然后根据题意可知需分两种情况讨论，①当抛物线过点O、B时，②当抛物线过点A、C时，分别利用待定系数法计算即可求解.
16．（2024·南昌模拟）如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF，则夜景灯带EF的长是　 　m．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得：，，
．
故答案为：．
【分析】先根据题意得到，进而即可求出，，再相减即可求解。
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024·江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）① ▲ ， ▲ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为 ▲ 米；
②求v的值．
【答案】（1）解：①；
②方法一：
把和分别代入，得
解得，
将代入，得
解得(舍)，.
将代入，得.
点的坐标是.
方法二：
设，
将代入，得
解得.
即.
将代入，
得.
解得(舍)，.
将代入，得.
点的坐标是.
（2）①8；(填“”亦可)
②方法一：
a=-5<0，
∴二次函数的对称轴为：，有最大值.
（答案写“米/秒”亦可）
方法二：
的顶点纵坐标为8，
当时，
不成立.
（答案写“米/秒”亦可）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）①由题意得：飞行路线可表示为：，对称轴为：x=4；
∵x=m和x=5时函数值相同，
∴m+5=2×4
∴m=3.
x=2和x=6关于x=4对称，
∴对应的函数值相等，故n=6.
故答案为：3；6.
（2）①由表格可得：飞行高度y的最大值为：8.
又．
故答案为：8（或）.
【分析】（1）①根据表格得到二次函数的对称轴，于是可根据对称性得到m和n的值；
（1）②方法一：选两个点坐标带入一般式解析式，利用待定系数法求出二次函数表达式，再联立二次函数和一次函数并求解，即可得到点A的坐标；方法二：设二次函数为顶点式，代入（2，6），求出二次函数解析式，后面解析步骤和方法①一样.
（2）①根据表格，即可得到飞行的最大高度；也可以将二次函数化成顶点式，得到最大值；
②方法一：将二次函数化为顶点式，得到二次函数的对称轴和最值，利用最值得到关于v的方程，求解得v值，根据对称轴在y轴右边，可得v>0，从而确定满足v值；方法二：根据顶点坐标公式表示出顶点纵坐标，得关于v的方程，求解得v值，再根据y≥0，确定满足条件的v值.
18．（2024·贵州）某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值．
销售单价元 12 14 16 18 20
销售量盒 56 52 48 44 40
（1）求与的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值．
【答案】（1）解：设．
．
解得：．
；
（2）解：设日销售利润为元．
．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：
．
最大利润为392元，
．
整理得：．
．
解得：，．
当时，，
每盒糖果的利润（元），故舍去．
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）设日销售利润为w元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，再把函数解析式配成顶点式，结合函数解析式的性质可得答案；
（3） 赠送礼品后，每千克糖果的利润为(x-10-m)元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而根据日销售获得的最大利润为392元，结合顶点纵坐标公式建立方程，求解得出m的值，再检验即可得出符合题意的答案.
19．如图，已知二次函数y=ax2+-bx-2的图象经过点（-1，-7），点（3，1）.
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标.
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m=4时，求n的值.
（3）已知A（0，3），B（4，3），若将该二次函数的图象向上平移k（k>0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围.
【答案】（1）解： 二次函数 的图象经过点 ， 点 ，
把 分别代人 ，
得
解得 二次函数的解析式为 ，
又
抛物线的顶点坐标为 .
（2）解： 点 在该二次函数图象上，
当 时， .
（3）解：∵A(0，3)，B(4，3)，
∴线段 AB∥ x 轴，其中点坐标为(2，3).
①若原抛物线向上平移k个单位，与线段 AB 只有一个公共点时，
如图1，此时，k=3-2=1；
②若原抛物线向上平移 k个单位，
与线段AB 只有2个公共点时，且恰好为A，B 两点，
如图2，设此时抛物线的解析式为y=-(x-2)2+c，
把A(0，3)或 B (4.3)代入，
求得c=7，∴k=7-2=5.
综上所述，将该二次函数的图象向上平移k(k>0)个单位后与线段 AB 有交点，k 的取值范围为1≤k≤5.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把点 ， 点 代入 y=ax2+bx-2中，建立关于a、b的方程组并解之即可；
（2）把m=4代入函数关系式中即可求出n值；
（3）分别求出抛物线与线段AB有一个交点和两个交点时的k值，从而得出k的范围.
20．（2024九下·汕头月考）如图，抛物线y=-﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线1经过B，C两点。
（1）求抛物线的解析式：
（2）过点C作CD//x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线1上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点B（3，0），点C（0，3）代入y= ﹣x2+bx +c得：

（2）解：，
对称轴为，
轴，
，
，
点，点
的直线解析式为，
设，
交线段于点，
∴S四边形ECFD=S△CDE+S△CDF=×2×（－m2+2m）+×2×3m=－（m－）2+
∴当m=时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；
此时E（，）；
（3）解：设P（n，－n2+2n+3），
①当CP⊥CB时，
∵∠CBO=45°，
∴∠PCD=45°，
∴n=－n2+2n，
∴n1=1，n2=0(舍去)
∴P点横坐标为1；
②当时，
点横坐标为.
综上所述：点横坐标为或1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用B、C的坐标结合待定系数法求解即可；
（2）先求出BC的直线解析式为，再设，则，所以，即可求面积的最大值；
（3）设P（n，－n2+2n+3），分两种情况：①当时，根据构建方程求解；②当时，，可求点横坐标．
21．（2024·馆陶模拟）如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止．
（1）若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标；
（2）设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m．
①用含m的式子表示顶点D的坐标；
②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
【答案】（1）对于抛物线，
令，得，解得或．
∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）①∵抛物线，
可得顶点，且顶点在直线上．
又∵抛物线为抛物线沿直线l向左上方平移得到，
∴其顶点D也在直线l上，
将横坐标为m代入，得，
∴顶点D的坐标为．
②由①可得在平移过程中抛物线的解析式为，
当时，，
∵，∴当时，有最小值，
此时点C与原点的距离最大，
此时抛物线的解析式为．
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】（3） 当抛物线在平移停止时
C2：y=x2 ∵ 直线与抛物线交于点M，N
∴x2=n
解得：
∴
∵ 直线与与抛物线交于点P，Q
∴x2-4x-n=0
解得
∴
∴
∵的值是整数
∴
∴
k的最小值为2
∴
故答案为：
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0，代入解析式中，即可；
（2）①因为点D在直线，已知顶点D的横坐标为m，即可求得点D的坐标；
②根据①求得的D的坐标，可得抛物线的解析式为，C是C2与y轴的交点，可得，当m=1时，yc最大，所以C的坐标为（0，-1），即可求出C2解析式；
（3）根据 直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q ，可以用n表示出MN和PQ，，，所以为整数，所以，即可得到n的最大值为.
22．（2024·沅江三模）抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于，两点，为抛物线顶点，连接，，若面积为，求的值；
（3）如图2，，是直线上的两个动点，在点左边且，是直线下方抛物线上的点，，，求满足条件的点的横坐标．
【答案】（1）解：，
坐标为，坐标为，
将，坐标代入得，
得，，
∴；
（2）解：过点作轴交于，
，
∴顶点坐标为，
∴坐标为，
，
设，横坐标分别为，，则，
联立整理得，
∴，，
∴，
，
解得，
，
；
（3）解：过作直线，垂足为，过作轴交直线于，
在中，，，，
设，则，
由得，
，，
∵，即
∴，
轴得，得为等腰直角三角形，
，
将直线向下平移得，
联立得，
点横坐标为或．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由OA=OC=3，得A（0，3），C（-3，0），用待定系数法得抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；
（2）过P作PK∥y轴交DE于K，求出P（-1，4），K（-1，1），PK=4-1=3，由-x2-2x+3=kx+k+1得：x2+（k+2）x+k-2=0，故xD+xE=-k-2，xD xE=k-2，可得|xD-xE|=
=，即得PK |xD-xE|=×3×=，可解得k的值为-；
（3）过M作MT∥x轴，过N作NT∥y轴，交MT于T，设P（m，-m2-2m+3），M（t，t+3），求出直线AC解析式为y=x+3，证明△MNT是等腰直角三角形，可得MT=NT===2，故N（t+2，t+5），由∠MPN=90°，tan∠MNP＝，MN=，可得PM=，PN=，可得
，即可解得满足条件的P点的横坐标为或．
23．（2024九下·龙湖模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）解：在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，则.
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），
∴PM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∵PM＝﹣t2+2t＝-（t﹣2）2+2，﹣＜0，
∴当t＝2时，PM取得最大值2，此时点M的坐标为（2，﹣2）；
（3）解：①如图1，∵P（t，t2﹣t﹣4），M（t，t﹣4），N（t，0），B（4，0），C（0，﹣4），CH⊥PN，
∴BN＝4﹣t，MN＝4﹣t，CH＝t，MH＝t﹣4﹣（﹣4）＝t，
∵S△BMN＝9S△CHM，
∴×（4﹣t）2＝9×t2，
解得：t1＝1，t2＝﹣2，
∵点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，
∴0＜t＜4，
∴t＝1，
∴P（1，﹣）；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），
∵C（0，﹣4），P（1，﹣），
∴CP2＝（1﹣0）2+（﹣+4）2＝，CQ2＝（﹣4﹣m）2，PQ2＝12+（﹣﹣m）2，∠PCQ≠90°，
当∠CQP＝90°时，如图2，PQ⊥y轴，
∴Q（0，﹣）；
当∠CPQ＝90°时，如图3，
在Rt△CPQ中，CP2+PQ2＝CQ2，
∴+12+（﹣﹣m）2＝（﹣4﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；直角三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点A（﹣2，0）和B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，利用待定系数法即可求得解析式；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数的性质求出最值，即可得到答案；
（3）①根据题意S△BMN＝9S△CHM，得×（4﹣t）2＝9×t2，求解即可得出答案；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），根据，分两种情况：当时，当时，分别利用勾股定理求得点Q的坐标即可．
1 / 1浙教版数学九年级上册《第1章 二次函数》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m＝．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
2．（2024·包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
3．（2024·福建）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（　　）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
4．（2019九上·长春月考）已知点 ， ， 都在二次函数 的图象上，那么a、b、c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·泸州）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·濠江模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·武侯模拟） 如图，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴负半轴相交于点C，点D在抛物线上，且直线轴，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．线段CD的长为4
C．
D．当时，y的值随x值的增大而增大
8．（2024·天津） 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2021·包河模拟）如图①，在菱形 中，∠A=120°，点E是边 的中点，点F是对角线 上一动点，设 的长为x， 与 长度的和为y．图②是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·眉山） 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·长春）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是　 　．
12．（2020九上·崇左期末）如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=- x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=　 　.
13．（2024·米东模拟） 如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③（为常数）；④和时函数值相等；⑤若，，在该函数图象上，则；⑥．其中错误的结论是　 　（填序号）．
14．（2024·青山模拟）已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论：
①；
②若是抛物线上两点，若，则；
③若方程有四个根，则这四个根的和为12；
④当时，若，对应y的整数值有4个，则．
其中正确的结论是　 　．（填写序号）
15．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于 轴的矩形内部 （包括边界）， 这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形． 例如： 如图， 函数 的图象 （抛物线中的实线部分）， 它的关联矩形为矩形 ． 若二次函数 的图象的关联矩形恰好也是矩形 ，则 　 　.
16．（2024·南昌模拟）如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF，则夜景灯带EF的长是　 　m．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2024·江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）① ▲ ， ▲ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为 ▲ 米；
②求v的值．
18．（2024·贵州）某超市购入一批进价为10元盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值．
销售单价元 12 14 16 18 20
销售量盒 56 52 48 44 40
（1）求与的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求的值．
19．如图，已知二次函数y=ax2+-bx-2的图象经过点（-1，-7），点（3，1）.
（1）求二次函数的表达式和顶点坐标.
（2）点P（m，n）在该二次函数图象上，当m=4时，求n的值.
（3）已知A（0，3），B（4，3），若将该二次函数的图象向上平移k（k>0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围.
20．（2024九下·汕头月考）如图，抛物线y=-﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线1经过B，C两点。
（1）求抛物线的解析式：
（2）过点C作CD//x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线1上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
21．（2024·馆陶模拟）如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止．
（1）若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标；
（2）设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m．
①用含m的式子表示顶点D的坐标；
②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
22．（2024·沅江三模）抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于，两点，为抛物线顶点，连接，，若面积为，求的值；
（3）如图2，，是直线上的两个动点，在点左边且，是直线下方抛物线上的点，，，求满足条件的点的横坐标．
23．（2024九下·龙湖模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），
∴可设y=a(x+3)(x-1)，即y=ax2+2ax-3a，
∴b=2a，c=-3a，
∴ abc2=a·2a·(-3a)2=18a4＞0，故①正确；
抛物线y=ax2+2ax-3a与y轴的交点为C（0，-3a），
∵ 点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，
∴-3＜-3a＜-2，即＜2a＜2，
∴＜b＜2，故②正确；
∵﹣bx1＝﹣bx2，
∴﹣2ax1＝﹣2ax2，则﹣2x1＝﹣2x2，
∴--2（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2-2）=0，
∵ x1≠x2，
∴x1+x2=2，故③错误；
直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c，令y相等，
则﹣cx+c=ax2+bx+c，
∴ax-3a=ax2+2ax-3a，
解得x=或0（舍），
∴m=，故④正确.
故答案为：A.
【分析】由抛物线与y轴的交点，可设y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，可得b=2a，c=-3a，代入①计算即可判断；由点C（0，-3a）的纵坐标在﹣3～﹣2之间， 可得-3＜-3a＜-2，据此求出b的范围即可判断②；把b=2a代入﹣bx1＝﹣bx2中，利用因式分解可得（x1-x2）（x1+x2-2）=0，据从可求出x1+x2-2=0，据此判断③；令y相等，可得﹣cx+c=ax2+bx+c，把b=2a，c=-3a代入方程并解方程，即得m值，据此判断④.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x=(x+1)2-1，
∴将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-1-2=(x+1)2-3.
故答案为：A.
【分析】首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】当x＝ 2时，a＝ x2＋2x＋3＝ （ 2）2＋2×（ 2）＋3＝ 5；当x＝ 时，b＝ x2＋2x＋3＝ （ ）2＋2× ＋3＝ ；当x＝ 时，c＝ x2＋2x＋3＝ （ ）2＋2× ＋3＝ ；
所以a＜c＜b．
故答案为：D．
【分析】分别计算自变量为 2、 、 对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1的图象经过第一、二、四象限，
∴
解得.
∴a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象经过的象限，结合函数的图象与系数的关系可得对称轴直线在y轴的右侧，抛物线与x轴有两个不同的交点，抛物线与y轴的交点在原点或正半轴，据此建立出关于字母a的不等式组，求解得出a的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由的图象知：a＜0，b＜0，c＞0，
∴a+b＜0，
∴ 一次函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二四象限.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的位置确定a、b、c的符号，从而得出一次函数与反比例函数图象所在的位置，据此判断即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】抛物线开口向下，
a<0，故A选项错误，不符合题意；
抛物线与x轴相交于，两点，与y轴负半轴相交于点C，点D在抛物线上，且直线轴，
点C的横坐标为4，
CD=4，故B选项正确，符合题意；
抛物线的顶点在x轴的上方，
当x=2时，y=4a+2b+c>0，故C选项错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线开口向下，
当x<2时，y随x的增大而增大，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据抛物线开口方向可判断A选项错误，不符合题意；根据抛物线与x轴的交点求得点C的横坐标，可判断B选项正确，符合题意；根据抛物线的对称轴以及开口方向可判断C，D错误，不符合题意；从而求解.
8．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围；函数值；二次函数的最值
【解析】【解答】解：①由自变量的取值范围可知①正确；②h的最大值为：，所以小球运动过程中的最大高度为45，所以②正确；③当t=2时，h=30×2-5×22=40，当t=5时，h=30×5-5×52=25，所以③不正确。综上正确结论有2个。
故答案为：C.
【分析】首先根据自变量的取值范围判定①正确；根据函数的最大值可得出②正确；分别求得当t=2和t=5时的h的值，即可得出③不正确。
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接 ，如图，
∵在菱形 中点A与点C关于 对称，
∴ ，
∴ ，
当 三点在同一直线上时y取最小值，y的最小值为线段 的长，
由图②知此时 ，即 ，在菱形中点E是边 的中点，
易得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ // ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点F和点B重合时，此时x取最大值6， ．
∴点Q的坐标为 ，
故答案为：D．
【分析】连接 ，在菱形 中点A与点C关于 对称，推出 ，推出 ，当 三点在同一直线上时y取最小值，y的最小值为线段 的长，观察图像可知， ，在Rt△ADF1中，由三角函数求出AD的长，由平行得出 ∽ ，求出BE和F1B的长，当点F和点B重合时，此时x取最大值6， ，即可求出点Q的坐标．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置可确定出b的取值范围，再根据抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点坐标及对称轴，可得到b=-2a，a-b+c=0，据此可得到3a+c的值，可对②作出判断；利用函数图象及对称轴，可得到函数的最小值为a+b+c，据此可对③作出判断；利用一元二次方程根与系数，可得到c=-3a，利用c的取值范围，可得到a的取值范围，再求出a+b+c=-4a，据此可得到a+b+c的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】根据抛物线与x轴没有交点，，即可求解.
12．【答案】4
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4.
故答案是：4.
【分析】根据平移的性质得出阴影部分即为平行四边形的面积.
13．【答案】①⑤
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴是直线，
∴，即，
∴，
∵经过点，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵当时，函数取得最大值，最大值为，
∴当时，，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，
∴直线和直线与对称轴距离相等，则和时的函数值相等，故④正确；
∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下，
∴离对称轴越近，函数值越大，
∴，故⑤错误；
当时，，
∴，
∴，故⑥正确；
故答案为：①⑤
【分析】根据二次函数图象与性质逐项判断即可求解。
14．【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵对称轴为直线x=3，
∴，
∴b=-6a，
∴a，b异号，
∴ab＜0，
∵无法判断c的符号，
∴abc＞0是错误，故①错误；
②∵，，
∴y1-y2=，
∵a＞0，x1＜x2，x1+x2＞6，
∴x1-x2＜0，x1+x2-6＞0，
∴y1-y2＜0，
∴y1＜y2，故②正确；
③∵，
∴，
∴当时，x1+x2=-=6，
当时，x1+x2=-=6，
∴这四个根的和为12，故③正确；
④当a＞0时，若5≤x≤6，y随x的增大而增大，
∴当x=5时，y=25a-30a-7=-5a-7，
当x=6时，y=36a-36a-7=-7，
∴-5a-7≤y≤-7，
∵y的整数值有4个，
∴-11＜-5a-7≤-10，
∴，
当a＜0时，若5≤x≤6，y随x的增大而减小，
∴当x=5时，y=25a-30a-7=-5a-7，
当x=6时，y=36a-36a-7=-7，
∴-7≤y≤-5a-7，
∵y的整数值有4个，
∴-4＜-5a-7≤-3，
∴，
∴或，故④错误，
∴ 其中正确的结论是②③.
故答案为：②③.
【分析】①根据题意得出a，b异号，但无法判断c的符号，即可判断①错误；
②根据题意得出y1-y2＜0，得出y1＜y2，即可判断②正确；
③根据题意得出，当时，利用根与系数的关系得出x1+x2=-=6，
当时，得出x1+x2=-=6，从而得出这四个根的和为12，即可判断③正确；
④分两种情况讨论：当a＞0时，若5≤x≤6，y随x的增大而增大，得出-5a-7≤y≤-7，再根据y的整数值有4个，得出；当a＜0时，若5≤x≤6，y随x的增大而减小，得出-7≤y≤-5a-7，根据y的整数值有4个，得出，即可判断④错误.
15．【答案】 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；矩形的性质
【解析】【解答】解：由函数当时，
∴
∵，且四边形OABC为矩形，
∴
①当抛物线过点O、B时，
∴
②当抛物线过点A、C时，
∴
综上所述，b的值为：或，
故答案为：或.
【分析】根据题意可求出点A、B、C的坐标，然后根据题意可知需分两种情况讨论，①当抛物线过点O、B时，②当抛物线过点A、C时，分别利用待定系数法计算即可求解.
16．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得：，，
．
故答案为：．
【分析】先根据题意得到，进而即可求出，，再相减即可求解。
17．【答案】（1）解：①；
②方法一：
把和分别代入，得
解得，
将代入，得
解得(舍)，.
将代入，得.
点的坐标是.
方法二：
设，
将代入，得
解得.
即.
将代入，
得.
解得(舍)，.
将代入，得.
点的坐标是.
（2）①8；(填“”亦可)
②方法一：
a=-5<0，
∴二次函数的对称轴为：，有最大值.
（答案写“米/秒”亦可）
方法二：
的顶点纵坐标为8，
当时，
不成立.
（答案写“米/秒”亦可）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）①由题意得：飞行路线可表示为：，对称轴为：x=4；
∵x=m和x=5时函数值相同，
∴m+5=2×4
∴m=3.
x=2和x=6关于x=4对称，
∴对应的函数值相等，故n=6.
故答案为：3；6.
（2）①由表格可得：飞行高度y的最大值为：8.
又．
故答案为：8（或）.
【分析】（1）①根据表格得到二次函数的对称轴，于是可根据对称性得到m和n的值；
（1）②方法一：选两个点坐标带入一般式解析式，利用待定系数法求出二次函数表达式，再联立二次函数和一次函数并求解，即可得到点A的坐标；方法二：设二次函数为顶点式，代入（2，6），求出二次函数解析式，后面解析步骤和方法①一样.
（2）①根据表格，即可得到飞行的最大高度；也可以将二次函数化成顶点式，得到最大值；
②方法一：将二次函数化为顶点式，得到二次函数的对称轴和最值，利用最值得到关于v的方程，求解得v值，根据对称轴在y轴右边，可得v>0，从而确定满足v值；方法二：根据顶点坐标公式表示出顶点纵坐标，得关于v的方程，求解得v值，再根据y≥0，确定满足条件的v值.
18．【答案】（1）解：设．
．
解得：．
；
（2）解：设日销售利润为元．
．
答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：
．
最大利润为392元，
．
整理得：．
．
解得：，．
当时，，
每盒糖果的利润（元），故舍去．
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）设日销售利润为w元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，再把函数解析式配成顶点式，结合函数解析式的性质可得答案；
（3） 赠送礼品后，每千克糖果的利润为(x-10-m)元，根据总利润=每千克糖果的利润×销售数量可建立出w关于x的函数解析式，进而根据日销售获得的最大利润为392元，结合顶点纵坐标公式建立方程，求解得出m的值，再检验即可得出符合题意的答案.
19．【答案】（1）解： 二次函数 的图象经过点 ， 点 ，
把 分别代人 ，
得
解得 二次函数的解析式为 ，
又
抛物线的顶点坐标为 .
（2）解： 点 在该二次函数图象上，
当 时， .
（3）解：∵A(0，3)，B(4，3)，
∴线段 AB∥ x 轴，其中点坐标为(2，3).
①若原抛物线向上平移k个单位，与线段 AB 只有一个公共点时，
如图1，此时，k=3-2=1；
②若原抛物线向上平移 k个单位，
与线段AB 只有2个公共点时，且恰好为A，B 两点，
如图2，设此时抛物线的解析式为y=-(x-2)2+c，
把A(0，3)或 B (4.3)代入，
求得c=7，∴k=7-2=5.
综上所述，将该二次函数的图象向上平移k(k>0)个单位后与线段 AB 有交点，k 的取值范围为1≤k≤5.
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）把点 ， 点 代入 y=ax2+bx-2中，建立关于a、b的方程组并解之即可；
（2）把m=4代入函数关系式中即可求出n值；
（3）分别求出抛物线与线段AB有一个交点和两个交点时的k值，从而得出k的范围.
20．【答案】（1）解：将点B（3，0），点C（0，3）代入y= ﹣x2+bx +c得：

（2）解：，
对称轴为，
轴，
，
，
点，点
的直线解析式为，
设，
交线段于点，
∴S四边形ECFD=S△CDE+S△CDF=×2×（－m2+2m）+×2×3m=－（m－）2+
∴当m=时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；
此时E（，）；
（3）解：设P（n，－n2+2n+3），
①当CP⊥CB时，
∵∠CBO=45°，
∴∠PCD=45°，
∴n=－n2+2n，
∴n1=1，n2=0(舍去)
∴P点横坐标为1；
②当时，
点横坐标为.
综上所述：点横坐标为或1.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用B、C的坐标结合待定系数法求解即可；
（2）先求出BC的直线解析式为，再设，则，所以，即可求面积的最大值；
（3）设P（n，－n2+2n+3），分两种情况：①当时，根据构建方程求解；②当时，，可求点横坐标．
21．【答案】（1）对于抛物线，
令，得，解得或．
∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）①∵抛物线，
可得顶点，且顶点在直线上．
又∵抛物线为抛物线沿直线l向左上方平移得到，
∴其顶点D也在直线l上，
将横坐标为m代入，得，
∴顶点D的坐标为．
②由①可得在平移过程中抛物线的解析式为，
当时，，
∵，∴当时，有最小值，
此时点C与原点的距离最大，
此时抛物线的解析式为．
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】（3） 当抛物线在平移停止时
C2：y=x2 ∵ 直线与抛物线交于点M，N
∴x2=n
解得：
∴
∵ 直线与与抛物线交于点P，Q
∴x2-4x-n=0
解得
∴
∴
∵的值是整数
∴
∴
k的最小值为2
∴
故答案为：
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0，代入解析式中，即可；
（2）①因为点D在直线，已知顶点D的横坐标为m，即可求得点D的坐标；
②根据①求得的D的坐标，可得抛物线的解析式为，C是C2与y轴的交点，可得，当m=1时，yc最大，所以C的坐标为（0，-1），即可求出C2解析式；
（3）根据 直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q ，可以用n表示出MN和PQ，，，所以为整数，所以，即可得到n的最大值为.
22．【答案】（1）解：，
坐标为，坐标为，
将，坐标代入得，
得，，
∴；
（2）解：过点作轴交于，
，
∴顶点坐标为，
∴坐标为，
，
设，横坐标分别为，，则，
联立整理得，
∴，，
∴，
，
解得，
，
；
（3）解：过作直线，垂足为，过作轴交直线于，
在中，，，，
设，则，
由得，
，，
∵，即
∴，
轴得，得为等腰直角三角形，
，
将直线向下平移得，
联立得，
点横坐标为或．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由OA=OC=3，得A（0，3），C（-3，0），用待定系数法得抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；
（2）过P作PK∥y轴交DE于K，求出P（-1，4），K（-1，1），PK=4-1=3，由-x2-2x+3=kx+k+1得：x2+（k+2）x+k-2=0，故xD+xE=-k-2，xD xE=k-2，可得|xD-xE|=
=，即得PK |xD-xE|=×3×=，可解得k的值为-；
（3）过M作MT∥x轴，过N作NT∥y轴，交MT于T，设P（m，-m2-2m+3），M（t，t+3），求出直线AC解析式为y=x+3，证明△MNT是等腰直角三角形，可得MT=NT===2，故N（t+2，t+5），由∠MPN=90°，tan∠MNP＝，MN=，可得PM=，PN=，可得
，即可解得满足条件的P点的横坐标为或．
23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）解：在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，则.
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），
∴PM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∵PM＝﹣t2+2t＝-（t﹣2）2+2，﹣＜0，
∴当t＝2时，PM取得最大值2，此时点M的坐标为（2，﹣2）；
（3）解：①如图1，∵P（t，t2﹣t﹣4），M（t，t﹣4），N（t，0），B（4，0），C（0，﹣4），CH⊥PN，
∴BN＝4﹣t，MN＝4﹣t，CH＝t，MH＝t﹣4﹣（﹣4）＝t，
∵S△BMN＝9S△CHM，
∴×（4﹣t）2＝9×t2，
解得：t1＝1，t2＝﹣2，
∵点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，
∴0＜t＜4，
∴t＝1，
∴P（1，﹣）；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），
∵C（0，﹣4），P（1，﹣），
∴CP2＝（1﹣0）2+（﹣+4）2＝，CQ2＝（﹣4﹣m）2，PQ2＝12+（﹣﹣m）2，∠PCQ≠90°，
当∠CQP＝90°时，如图2，PQ⊥y轴，
∴Q（0，﹣）；
当∠CPQ＝90°时，如图3，
在Rt△CPQ中，CP2+PQ2＝CQ2，
∴+12+（﹣﹣m）2＝（﹣4﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；直角三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点A（﹣2，0）和B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，利用待定系数法即可求得解析式；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数的性质求出最值，即可得到答案；
（3）①根据题意S△BMN＝9S△CHM，得×（4﹣t）2＝9×t2，求解即可得出答案；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），根据，分两种情况：当时，当时，分别利用勾股定理求得点Q的坐标即可．
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