浙教版数学八年级上册《第1章 三角形的初步知识》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·荔湾期末）下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·徐闻期中）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．（2020八上·大石桥月考）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．16 B．11 C．3 D．6
4．（2020八上·长丰期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．作角A的平分线 D．内错角相等
5．如图，平分，求证：.以下是排乱的证明过程：
①(已知)，
②平分(已知)，
③(角平分线的定义)，
④(两直线平行，同位角相等)，
⑤(等量代换).
证明步 顺序正确的是（ ）
A．③②①④⑤ B．①④②③⑤
C．①③④②⑤ D．①④③②⑤
6．（2023八上·东阳月考）如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·武昌期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
8．（2024八上·石碣期末）如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果△AOB≌△COD，则只需测出（ ）
A．OD的长度 B．CD的长度 C．OB的长度 D．AC的长度
9．（2020八上·重庆期中）如图，已知 ，再添加一个条件仍不能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023八上·江城期中）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点D和E，再分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，作MN⊥AC于点N．若MN=2，则△ABM的面积为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·浑江期末）等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，它的周长是 .
12．（2023八上·吴兴期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： .
13．（2021八上·乾安期末）如图，若，，，则的长是 ．
14．（2018-2019学年数学人教版八年级上册第11章 三角形 单元检测a卷）如图，电线杆上的横梁下方用三角形的支架支撑的理论根据是 .
15．（2024·荆州模拟）已知：．求作：的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线，射线即为所求（如图）．
从上述作法中可以判断，其依据是 （在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）
16．（2023八上·诸暨月考）如图，①在OA、OB上分别截取线段OD、OE，使OD=OE；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若∠AOB=60°，则 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2024八上·福田期末）已知：如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，
且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
18．（2021·苏州模拟）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
19．（2021·滨海模拟）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.
（1）求证∶DE=DF；
（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度数.
20．（2019八上·灌南月考）如图，已知△ABF≌△CDE.
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD=10，EF=2，求BF的长.
21．（2020·盘龙模拟）如图， 和 中， ， ， ，AB，DE相交于点F，AD，BC相交于点G.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求DG的长.
22．（2018·宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
23．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）作∠BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在（1）的条件下，若∠BAC=28°，求∠ADB的度数.
24．（2023八上·黄陂期中）在中，，过直角顶点作直线于点于点．
（1）如图1，当与边不相交时，判断之间的数量关系，并说明理由；
（2）当与边相交时，请在图2中画出图形，并直接写出之间的数量关系．
25．（2023八上·江城期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD= 度；
②当∠A=x°时，∠CBD= 度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】过点B作AC边上的垂线，B与垂足之间线段长即为高，只有B选项符合，而A、C、D都没有作AC的垂线，故错误.故选B.
【分析】由三角形的高的定义，去一一判断即可得到结果.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两个锐角互余列式计算即可得解。
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
即：4＜x＜10，
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．
故答案为：C．
【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】.
平分，
，
.
故正确的证明步聚是①④②③⑤.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠2=∠3；根据角平分线的性质，可得∠1=∠2；根据等量代换原则，可得∠1=∠3.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，故A选项正确，
∵∠DAE＝∠B，∴AE∥BC，故D选项正确，
∵AE∥BC ，∴∠EAC＝∠C，故B选项正确，
∵∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，由于∠C与∠B大小关系不确定，因此∠DAE与∠EAC大小关系不确定，故C选项错误，
故答案为：C.
【分析】根据图中尺规作图的痕迹，得出是角平分线线的尺规作图，即∠DAE＝∠B，从而可以判定AE∥BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
7．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°.
故答案为：A.
【分析】直接根据全等三角形的对应角相等进行解答.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴要得到 A，B之间的距离， 只需测出的长度.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得，即可得解．
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在 和 中，已知AC=AD，AB=AB
A、当 时，利用HL可以判断两三角形全等，故选项A正确，不符合题意；
B、当 时，利用SAS可以判断两三角形全等，故选项B正确，不符合题意；
C、当 时，利用SSS可以判断两三角形全等，故选项C正确，不符合题意；
D、当 ，不能判定两三角形全等，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的判定SSS，SAS，AAS，ASA，HL逐一分析判断即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点M作AB的垂线交AB与点G，如下图：
由题意可知，AM平分∠BAC；
∵MN⊥AC，MG⊥AB
∴MG＝MN＝2
∴＝＝＝4
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质，可得MG＝MN；根据三角形的面积公式，S=即可算出△ABM的面积.
11．【答案】22
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得，题目未明确哪一条边为腰，则需分情况讨论：
①当腰长为4时，不满足三角形三边关系，构不成三角形，无法求周长；
②当腰长为9时，满足三角形三边关系，所以三角形周长=4+9+9=22。
故答案为：22。
【分析】利用三角形三边关系来分别确定第三边的长度，即可求解。
12．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
【分析】命题“对顶角相等”的条件为：两个角为对顶角，结论为：这两个角相等，然后根据如果后面为条件，那么后面为结论进行解答.
13．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可。
14．【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】电线杆上的横梁下方用三角形的支架支撑运用了三角形的稳定性
【分析】理论根据是：三角形具有稳定性。
15．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作法得OM=ON，PM=PN，
∵OP为公共边，
∴△MOP≌△NOP（SSS）.
故答案为：SSS.
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等三角形即可求解.
16．【答案】30
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可知，是的角平分线，
∴．
故答案为：.
【分析】本题考查角平分线的性质．已知是的角平分线，所以，代入数据即可求出答案．
17．【答案】（1）证明：，
两直线平行，内错角相等 ，
又，
，
同位角相等，两直线平行；
（2）解：∵FE∥OC，
∴∠BFE+∠DOC=180°，
又∵∠BFE=110°，
∴∠DOC=180°-110°=70°，
∴∠AOB=∠DOC=70°，
∵∠A=60°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠C ，然后等量代换得到∠C=∠1，利用平行线的判定，即可得证；
（2）由EF与OC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠DOC=70°，然后通过三角形内角和，即可求出∠B的度数．，
18．【答案】（1）证明：∵EA∥FB，
∴∠A=∠FBD，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
在△EAC与△FBD中，
∴△EAC≌△FBD（SAS）
（2）解：∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA=∠D=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E=180°-40°-80°=60°，
答：∠E的度数为60°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠A=∠FBD，再证明AC=BD，利用SAS可证得结论；
（2）利用全等三角形的性质可求出∠ECA的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠E的度数.
19．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED与△CFD中
∴ ，
∴DE=DF
（2）解：∵
∴∠C=∠B= ，
∴∠BAC=
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BED=∠CFD=90°，由线段中点的概念可得BD=CD，从而利用AAS证明△BED≌△CFD，根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠C=∠B=35°，接下来根据三角形内角和定理进行求解.
20．【答案】（1）解：∵△ABF≌△CDE，
∴∠B=∠D.
∵∠B＝30°，
∴∠D=30°.
∵∠DCF＝40°，
∴∠EFC=∠D+∠DCF=70°
（2）解：∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE
.∵BF=BE+EF，DE=DF+EF，
∴BE=DF.
∵BD=10，EF=2，
∴BE+DF=BD-EF=8，
∴BE=DF=4，
∴BF=BE+EF=6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等得出 ∠B=∠D =30°，进而根据三角形外角定理，由 ∠EFC=∠D+∠DCF 就可算出答案；
（2）根据全等三角形对应边相等得出BF=DE ，根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出 BE=DF ，然后根据 BE+DF=BD-EF 及 BF=BE+EF 就可算出答案.
21．【答案】（1）证明： ，
，即 .
又 ， ，
(ASA).
（2）解： ， .
， .
又 ， .
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先得出 ，再由ASA证明两个三角形全等；（2）由全等得出AB=AD，DG=AD-AG=AB-AG的结果.
22．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°
（2）解：∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和算出∠ABC的度数，再根据邻补角的定义算出∠CBD的度数，根据角平分线的定义即可得出∠CBE的度数；
（2）根据三角形的内角和算出∠CEB的度数，根据二直线平行同位角相等得出∠F的度数。
23．【答案】（1）解：以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两者交于点P，连接AP并延长与BC交于D，即为所求；
（2）∵∠C=90°，∠BAC=28°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=104°.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 （1）以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两者交于点P，连接AP并延长与BC交于D，即为所求；
（2） 利用三角形内角和求出∠B，由角平分线的定义可得∠BAD=∠BAC=14°，再次利用三角形内角和求出∠ADB的度数.
24．【答案】（1）解：证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
；
，
，
；
（2）解：或.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）理由：如图2，与边相交且，
∵于点于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
如图3，与边相交且，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．
【分析】（1）根据等量代换的原则，可得∠BAD=∠ACE；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得AD=CE，BD=AE；根据等量代换原则，可得DE=BD+CE；
（2）根据三角形全等的判定（AAS）和等量代换原则分类讨论即可解题.
25．【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
1 / 1浙教版数学八年级上册《第1章 三角形的初步知识》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·荔湾期末）下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】过点B作AC边上的垂线，B与垂足之间线段长即为高，只有B选项符合，而A、C、D都没有作AC的垂线，故错误.故选B.
【分析】由三角形的高的定义，去一一判断即可得到结果.
2．（2021八上·徐闻期中）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两个锐角互余列式计算即可得解。
3．（2020八上·大石桥月考）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．16 B．11 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
即：4＜x＜10，
故答案为：D.
【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此解答即可.
4．（2020八上·长丰期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．作角A的平分线 D．内错角相等
【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．
故答案为：C．
【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．
5．如图，平分，求证：.以下是排乱的证明过程：
①(已知)，
②平分(已知)，
③(角平分线的定义)，
④(两直线平行，同位角相等)，
⑤(等量代换).
证明步 顺序正确的是（ ）
A．③②①④⑤ B．①④②③⑤
C．①③④②⑤ D．①④③②⑤
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【解答】.
平分，
，
.
故正确的证明步聚是①④②③⑤.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠2=∠3；根据角平分线的性质，可得∠1=∠2；根据等量代换原则，可得∠1=∠3.
6．（2023八上·东阳月考）如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE＝∠B，故A选项正确，
∵∠DAE＝∠B，∴AE∥BC，故D选项正确，
∵AE∥BC ，∴∠EAC＝∠C，故B选项正确，
∵∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，由于∠C与∠B大小关系不确定，因此∠DAE与∠EAC大小关系不确定，故C选项错误，
故答案为：C.
【分析】根据图中尺规作图的痕迹，得出是角平分线线的尺规作图，即∠DAE＝∠B，从而可以判定AE∥BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
7．（2021八上·武昌期中）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α的度数是72°.
故答案为：A.
【分析】直接根据全等三角形的对应角相等进行解答.
8．（2024八上·石碣期末）如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果△AOB≌△COD，则只需测出（ ）
A．OD的长度 B．CD的长度 C．OB的长度 D．AC的长度
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴要得到 A，B之间的距离， 只需测出的长度.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得，即可得解．
9．（2020八上·重庆期中）如图，已知 ，再添加一个条件仍不能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在 和 中，已知AC=AD，AB=AB
A、当 时，利用HL可以判断两三角形全等，故选项A正确，不符合题意；
B、当 时，利用SAS可以判断两三角形全等，故选项B正确，不符合题意；
C、当 时，利用SSS可以判断两三角形全等，故选项C正确，不符合题意；
D、当 ，不能判定两三角形全等，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的判定SSS，SAS，AAS，ASA，HL逐一分析判断即可.
10．（2023八上·江城期中）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点D和E，再分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，作MN⊥AC于点N．若MN=2，则△ABM的面积为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点M作AB的垂线交AB与点G，如下图：
由题意可知，AM平分∠BAC；
∵MN⊥AC，MG⊥AB
∴MG＝MN＝2
∴＝＝＝4
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质，可得MG＝MN；根据三角形的面积公式，S=即可算出△ABM的面积.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024八上·浑江期末）等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，它的周长是 .
【答案】22
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得，题目未明确哪一条边为腰，则需分情况讨论：
①当腰长为4时，不满足三角形三边关系，构不成三角形，无法求周长；
②当腰长为9时，满足三角形三边关系，所以三角形周长=4+9+9=22。
故答案为：22。
【分析】利用三角形三边关系来分别确定第三边的长度，即可求解。
12．（2023八上·吴兴期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： .
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
【分析】命题“对顶角相等”的条件为：两个角为对顶角，结论为：这两个角相等，然后根据如果后面为条件，那么后面为结论进行解答.
13．（2021八上·乾安期末）如图，若，，，则的长是 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可。
14．（2018-2019学年数学人教版八年级上册第11章 三角形 单元检测a卷）如图，电线杆上的横梁下方用三角形的支架支撑的理论根据是 .
【答案】三角形的稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】电线杆上的横梁下方用三角形的支架支撑运用了三角形的稳定性
【分析】理论根据是：三角形具有稳定性。
15．（2024·荆州模拟）已知：．求作：的平分线．
作法：（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；（3）画射线，射线即为所求（如图）．
从上述作法中可以判断，其依据是 （在“SSS”“SAS”“AAS”“ASA”中选填）
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作法得OM=ON，PM=PN，
∵OP为公共边，
∴△MOP≌△NOP（SSS）.
故答案为：SSS.
【分析】根据三条边分别对应相等的两个三角形全等三角形即可求解.
16．（2023八上·诸暨月考）如图，①在OA、OB上分别截取线段OD、OE，使OD=OE；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若∠AOB=60°，则 ．
【答案】30
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可知，是的角平分线，
∴．
故答案为：.
【分析】本题考查角平分线的性质．已知是的角平分线，所以，代入数据即可求出答案．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2024八上·福田期末）已知：如图，，和相交于点，是上一点，是上一点，
且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
两直线平行，内错角相等 ，
又，
，
同位角相等，两直线平行；
（2）解：∵FE∥OC，
∴∠BFE+∠DOC=180°，
又∵∠BFE=110°，
∴∠DOC=180°-110°=70°，
∴∠AOB=∠DOC=70°，
∵∠A=60°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠C ，然后等量代换得到∠C=∠1，利用平行线的判定，即可得证；
（2）由EF与OC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠DOC=70°，然后通过三角形内角和，即可求出∠B的度数．，
18．（2021·苏州模拟）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵EA∥FB，
∴∠A=∠FBD，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
在△EAC与△FBD中，
∴△EAC≌△FBD（SAS）
（2）解：∵△EAC≌△FBD，
∴∠ECA=∠D=80°，
∵∠A=40°，
∴∠E=180°-40°-80°=60°，
答：∠E的度数为60°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠A=∠FBD，再证明AC=BD，利用SAS可证得结论；
（2）利用全等三角形的性质可求出∠ECA的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠E的度数.
19．（2021·滨海模拟）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F.
（1）求证∶DE=DF；
（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度数.
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED与△CFD中
∴ ，
∴DE=DF
（2）解：∵
∴∠C=∠B= ，
∴∠BAC=
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠BED=∠CFD=90°，由线段中点的概念可得BD=CD，从而利用AAS证明△BED≌△CFD，根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠C=∠B=35°，接下来根据三角形内角和定理进行求解.
20．（2019八上·灌南月考）如图，已知△ABF≌△CDE.
（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；
（2）若BD=10，EF=2，求BF的长.
【答案】（1）解：∵△ABF≌△CDE，
∴∠B=∠D.
∵∠B＝30°，
∴∠D=30°.
∵∠DCF＝40°，
∴∠EFC=∠D+∠DCF=70°
（2）解：∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE
.∵BF=BE+EF，DE=DF+EF，
∴BE=DF.
∵BD=10，EF=2，
∴BE+DF=BD-EF=8，
∴BE=DF=4，
∴BF=BE+EF=6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等得出 ∠B=∠D =30°，进而根据三角形外角定理，由 ∠EFC=∠D+∠DCF 就可算出答案；
（2）根据全等三角形对应边相等得出BF=DE ，根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出 BE=DF ，然后根据 BE+DF=BD-EF 及 BF=BE+EF 就可算出答案.
21．（2020·盘龙模拟）如图， 和 中， ， ， ，AB，DE相交于点F，AD，BC相交于点G.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求DG的长.
【答案】（1）证明： ，
，即 .
又 ， ，
(ASA).
（2）解： ， .
， .
又 ， .
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先得出 ，再由ASA证明两个三角形全等；（2）由全等得出AB=AD，DG=AD-AG=AB-AG的结果.
22．（2018·宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE= ∠CBD=65°
（2）解：∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和算出∠ABC的度数，再根据邻补角的定义算出∠CBD的度数，根据角平分线的定义即可得出∠CBE的度数；
（2）根据三角形的内角和算出∠CEB的度数，根据二直线平行同位角相等得出∠F的度数。
23．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）作∠BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在（1）的条件下，若∠BAC=28°，求∠ADB的度数.
【答案】（1）解：以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两者交于点P，连接AP并延长与BC交于D，即为所求；
（2）∵∠C=90°，∠BAC=28°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=104°.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 （1）以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两者交于点P，连接AP并延长与BC交于D，即为所求；
（2） 利用三角形内角和求出∠B，由角平分线的定义可得∠BAD=∠BAC=14°，再次利用三角形内角和求出∠ADB的度数.
24．（2023八上·黄陂期中）在中，，过直角顶点作直线于点于点．
（1）如图1，当与边不相交时，判断之间的数量关系，并说明理由；
（2）当与边相交时，请在图2中画出图形，并直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）解：证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
；
，
，
；
（2）解：或.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）理由：如图2，与边相交且，
∵于点于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
如图3，与边相交且，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．
【分析】（1）根据等量代换的原则，可得∠BAD=∠ACE；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得AD=CE，BD=AE；根据等量代换原则，可得DE=BD+CE；
（2）根据三角形全等的判定（AAS）和等量代换原则分类讨论即可解题.
25．（2023八上·江城期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD= 度；
②当∠A=x°时，∠CBD= 度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
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