浙教版数学八年级上册《第1章 三角形的初步知识》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·惠东模拟）如图，在中，，AE平分，若，，则的度数是（ ）
A．10° B．12° C．13° D．15°
2．（2024·从江模拟）如图，点P是△ABC的AB边上一动点，当S△APC＝S△BPC时，则CP是△ABC的( )
A．高 B．中线 C．角平分线 D．中位线
3．（2024·长沙模拟） 小红同学在一次作业中完成了以下作图步骤：
①在和上分别截取，，使；
②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是
A．且 B．且
C．且 D．且
4．（2016·大庆）如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图 ， 在矩形 中， ， 延长 至点 ， 使， 连结 ， 动点 从点 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿 向终点 运动． 设点 的运动时间为 ，要使 和 全等，则 的值为（ ）
A．1 B．1 或 3 C．1 或 7 D．3 或 7
6．（2024·南山模拟）如上图，点B、F、C、E都在一条直线上，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·阿克苏模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2021八上·雄县期中）为测量一池塘两端A，B间的距离，甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为A，B间的距离，则下列判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行
C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行
9．（2024八上·邵阳期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023八上·拜城期中） 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
12．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
13．（2024八上·新都期末）如图，在中，，，，则的度数是
14．（2024八上·璧山期末）如图，，，，此时点恰好在线段上，则的度数为 ．
15．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，在中，，平分，若，，则 ．
16．（2024八上·汉阳期末）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，保持不变（恒等为），则图中应为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·凤山期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
18．（2023八上·榆树月考）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
（1）如图1，求证：BE＝CD．
（2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形．
19．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
20．（2021八上·乐陵期中）两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
21．（2021八上·沭阳月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC.
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长.
22．（2021八上·景县期末）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题．
（1）由尺规作图可证得 ，依据是 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求∠ACB的度数．
23．（2024八上·双牌期末） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考：
图1 图2 图3
（1）由已知和作图能得到，其理由是什么？
（2）求AD的取值范围．
（3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明．
24．（2024八上·道县期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=44°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-44°-70°=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=33°-20°=13°.
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC=66°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=33°，根据三角形的内角和是180°可得∠CAD=20°，根据∠DAE=∠CAE-∠CAD即可求解.
2．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：设中AB 边上的高为h，
S△APC＝S△BPC ，
，
AP=PB，
点P是AB的中点，
即CP是△ABC的中线.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，OC=OD，CM=DM，
，
∠1=∠2，
且 .
故答案为：A.
【分析】根据作图步骤得出，再根据全等三角形的性质得出∠1=∠2，据此即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：如图所示：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当②∠C=∠D，
故∠4=∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A=∠F，
即 ③；
当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
故可得：∠C=∠D，
即 ②；
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，
则∠4=∠D，
故DB∥EC，
则∠2=∠3，
可得：∠1=∠2，
即 ①，
故正确的有3个．
故选：D．
【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．此题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图(1)BF=CE时，则△ABF≌△DCE，CE=2，故BF=2=2t，t=1；
如图(2)点F在AD上时，AF=EC=2时，则△ABF≌△DCE，此时有2t+2=4+6+6，得t=7
故当t=1或7时，满足题意.
【分析】根据点F所在位置分两种情况讨论，1.点F在BC上；2.点F在AD上，分别求解即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A选项，时，ABC和DEF为直角三角形，故由得(HL)，A正确；
B选项，结合得(SAS)，B正确；
C选项，若，不能判断两三角形全等，为“边边角”；
D选项，，结合，可得(SSS)，D正确；
故答案为：C.
【分析】分别判断每一个选项中的条件，能否证明三角形全等，即可.
7．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意得，PD⊥AB时，PD取最小值，
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°，PD⊥AB，
∴ PD=CD=5.
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短，角平分线的尺规作图和角平分线的性质，即可求得.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：甲：由题意得，AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED；
∴测出DE的长即为A，B间的距离；
乙同学的方案中，没有说明BE与AB是垂直的，则无法判断两个三角形全等，故乙同学的方案不可行
故答案为：A
【分析】利用“ASA”证明△ABC≌△EDC，可得AB＝ED，即可测出DE的长即为A，B间的距离，从而得解。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得 ； 即可得出①正确；假定 ，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
①AD平分∠CDE；
AD平分∠BAC
∠C＝90°， DE⊥AB
(AAS)
即①D平分∠CDE正确
②∠BAC＝∠BDE；
故②∠BAC＝∠BDE正确
③DE平分∠ADB；
假设DE平分∠ADB
DE⊥AB
DB=DA
∠C＝90°
即仅当时，DE平分∠ADB
故③DE平分∠ADB不正确
④BE+AC＝AB，
(AAS)
AE=AC
BE+AC=BE+AE=AB
故④BE+AC＝AB正确
综上，①②④正确
故选：B
【分析】根据角平分线的定义判定角平分线，掌握全等三角形的判定定理及其性质，掌握等腰三角形的三线合一定理，逐一判定即可。
11．【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
12．【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠A=20°，∠2=30°，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC-∠1）+（∠ACB-∠2）=（∠ABC+∠ACB）-（∠1+∠2）=120°-（20°+30°）=70°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°，
故答案为：110°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，再利用角的运算求出∠DBC+∠DCB=70°，最后利用三角形的内角和求出∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°即可.
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ∵∠ABC=66°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-66°-40°=74°，
∵△ABC≌△A'BC'，
∴∠A'=∠BAC=74°，AB=A'B，
∴∠A'=∠BAA'=74°，
∴∠ABA'=180°-74°×2=32°．
故答案为：32°.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再利用全等三角形的性质求得∠A'和AB=A'B，接着利用等腰三角形的性质得出∠A'=∠BAA'=74°，最后利用三角形内角和定理求出∠ABA'.
15．【答案】40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在△ADC中，∠2=30°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-30°-90°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1=2×40°=80°，
在△ABC中，∠C=60°，∠BAC=80°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-60°-80°=40°．
故答案为：40°.
【分析】由AD⊥BC，可得∠ADC=90°，在△ADC中，利用三角形内角和定理，可求出∠C的度数；利用角平分线的定义，可求出∠BAC的度数；在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠B的度数。
16．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【分析】y由邻补角可算出∠DBC=105°，由△内角和定理算出∠BCD=40°，进而由平角定义可算出∠ECF的度数.
17．【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
18．【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC-AD＝AB-AE，
即BE＝DC；
（2）解：△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得： △ABD≌△ACE（AAS）， BE=DC，
∴∠B=∠C，AD=AE，
∵∠BFE=∠CFD，
∴△BEF≌△CDF，
∴BF=CF，EF=DF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS） .
【分析】（1）根据垂直求出 ∠ADB＝∠AEC＝90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠B=∠C，AD=AE，再求出△BEF≌△CDF，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
19．【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD；
（2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC.
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）解：∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABD＝∠EDC，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）由全等三角形的对应边相等可得AB＝DE＝2，BD＝CD，然后根据线段的和差关系进行求解.
22．【答案】（1）SSS
（2）证明：由（1）得 ．
∵AB＝DB，BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（3）解：∵∠BAC＝100°，∠E＝50°，
∴∠ABE＝30°，
∵△MBN≌△FBN，
∴∠ABC=∠DBC，
∴ ，
∴∠ACB＝∠DBC＋∠E＝15°＋50°＝65°．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】（1）根据基本作图，得BM=BF，BN=BN，MN=NF，符合SSS原理，
故应该填SSS；
【分析】(1)根据同圆的半径相等，BM=BN=BF，MN=FN，符合了SSS；(2)根据(1)知，∠ABC=∠DBC，BC是公共边，BA=BD，符合SAS原理； (3)△ABE中，求出∠ABD=30°，从而求得∠ABC=15°，利用三角形外角和定理即可得到答案.
23．【答案】（1）解：由已知和作图能得到，因为：
AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，因此
所以，
（2）解：因为，所以，
在三角形ABE中，根据三边关系可知
，因此：，
所以，AD的取值范围为：．
（3）解：延长AD到M点，使得，
由题意可知
所以，
所以，
又因为
所以，
所以，．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）利用“SAS”证出即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，再将数据代入求出即可；
（3）延长AD到M点，使得，先利用“SAS”证出，可得，再利用等角对等边的性质可得.
24．【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，结合三角形面积即可求出答案.
1 / 1浙教版数学八年级上册《第1章 三角形的初步知识》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·惠东模拟）如图，在中，，AE平分，若，，则的度数是（ ）
A．10° B．12° C．13° D．15°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=44°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-44°-70°=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=33°-20°=13°.
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和是180°可得∠BAC=66°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=33°，根据三角形的内角和是180°可得∠CAD=20°，根据∠DAE=∠CAE-∠CAD即可求解.
2．（2024·从江模拟）如图，点P是△ABC的AB边上一动点，当S△APC＝S△BPC时，则CP是△ABC的( )
A．高 B．中线 C．角平分线 D．中位线
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：设中AB 边上的高为h，
S△APC＝S△BPC ，
，
AP=PB，
点P是AB的中点，
即CP是△ABC的中线.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案.
3．（2024·长沙模拟） 小红同学在一次作业中完成了以下作图步骤：
①在和上分别截取，，使；
②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图步骤可知，OC=OD，CM=DM，
，
∠1=∠2，
且 .
故答案为：A.
【分析】根据作图步骤得出，再根据全等三角形的性质得出∠1=∠2，据此即可得到答案.
4．（2016·大庆）如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：如图所示：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当②∠C=∠D，
故∠4=∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A=∠F，
即 ③；
当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
故可得：∠C=∠D，
即 ②；
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，
则∠4=∠D，
故DB∥EC，
则∠2=∠3，
可得：∠1=∠2，
即 ①，
故正确的有3个．
故选：D．
【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．此题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．
5．如图 ， 在矩形 中， ， 延长 至点 ， 使， 连结 ， 动点 从点 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿 向终点 运动． 设点 的运动时间为 ，要使 和 全等，则 的值为（ ）
A．1 B．1 或 3 C．1 或 7 D．3 或 7
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图(1)BF=CE时，则△ABF≌△DCE，CE=2，故BF=2=2t，t=1；
如图(2)点F在AD上时，AF=EC=2时，则△ABF≌△DCE，此时有2t+2=4+6+6，得t=7
故当t=1或7时，满足题意.
【分析】根据点F所在位置分两种情况讨论，1.点F在BC上；2.点F在AD上，分别求解即可.
6．（2024·南山模拟）如上图，点B、F、C、E都在一条直线上，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A选项，时，ABC和DEF为直角三角形，故由得(HL)，A正确；
B选项，结合得(SAS)，B正确；
C选项，若，不能判断两三角形全等，为“边边角”；
D选项，，结合，可得(SSS)，D正确；
故答案为：C.
【分析】分别判断每一个选项中的条件，能否证明三角形全等，即可.
7．（2024·阿克苏模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意得，PD⊥AB时，PD取最小值，
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°，PD⊥AB，
∴ PD=CD=5.
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短，角平分线的尺规作图和角平分线的性质，即可求得.
8．（2021八上·雄县期中）为测量一池塘两端A，B间的距离，甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为A，B间的距离，则下列判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行
C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：甲：由题意得，AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED；
∴测出DE的长即为A，B间的距离；
乙同学的方案中，没有说明BE与AB是垂直的，则无法判断两个三角形全等，故乙同学的方案不可行
故答案为：A
【分析】利用“ASA”证明△ABC≌△EDC，可得AB＝ED，即可测出DE的长即为A，B间的距离，从而得解。
9．（2024八上·邵阳期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得 ； 即可得出①正确；假定 ，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
10．（2023八上·拜城期中） 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB，其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
①AD平分∠CDE；
AD平分∠BAC
∠C＝90°， DE⊥AB
(AAS)
即①D平分∠CDE正确
②∠BAC＝∠BDE；
故②∠BAC＝∠BDE正确
③DE平分∠ADB；
假设DE平分∠ADB
DE⊥AB
DB=DA
∠C＝90°
即仅当时，DE平分∠ADB
故③DE平分∠ADB不正确
④BE+AC＝AB，
(AAS)
AE=AC
BE+AC=BE+AE=AB
故④BE+AC＝AB正确
综上，①②④正确
故选：B
【分析】根据角平分线的定义判定角平分线，掌握全等三角形的判定定理及其性质，掌握等腰三角形的三线合一定理，逐一判定即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2020八上·北京月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ AB＝12cm，
∵BD＝CP，
∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为1s，
∵△BPD≌△CQP，
∴BP＝CQ＝4cm，
∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC，
∴CQ＝BD＝12cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝8cm，
∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，
∴运动时间为8÷4＝2（s），
∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）．
故答案为：4或6．
【分析】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可.
12．（2021八上·宜兴期中）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 .
【答案】30
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
则∠E＝∠C＝90°，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝DC=4，
∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝ ×BC×CD＋ ×AB×DE＝ ×9×4＋ ×6×4＝30.
故答案为：30.
【分析】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由角平分线的性质可得DE＝DC=4，然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
13．（2024八上·新都期末）如图，在中，，，，则的度数是
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵∠A=20°，∠2=30°，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC-∠1）+（∠ACB-∠2）=（∠ABC+∠ACB）-（∠1+∠2）=120°-（20°+30°）=70°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°，
故答案为：110°.
【分析】先利用三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，再利用角的运算求出∠DBC+∠DCB=70°，最后利用三角形的内角和求出∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-70°=110°即可.
14．（2024八上·璧山期末）如图，，，，此时点恰好在线段上，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ∵∠ABC=66°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-66°-40°=74°，
∵△ABC≌△A'BC'，
∴∠A'=∠BAC=74°，AB=A'B，
∴∠A'=∠BAA'=74°，
∴∠ABA'=180°-74°×2=32°．
故答案为：32°.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再利用全等三角形的性质求得∠A'和AB=A'B，接着利用等腰三角形的性质得出∠A'=∠BAA'=74°，最后利用三角形内角和定理求出∠ABA'.
15．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，在中，，平分，若，，则 ．
【答案】40°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在△ADC中，∠2=30°，∠ADC=90°，
∴∠C=180°-∠2-∠ADC=180°-30°-90°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1=2×40°=80°，
在△ABC中，∠C=60°，∠BAC=80°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=180°-60°-80°=40°．
故答案为：40°.
【分析】由AD⊥BC，可得∠ADC=90°，在△ADC中，利用三角形内角和定理，可求出∠C的度数；利用角平分线的定义，可求出∠BAC的度数；在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠B的度数。
16．（2024八上·汉阳期末）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，保持不变（恒等为），则图中应为 ．
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【分析】y由邻补角可算出∠DBC=105°，由△内角和定理算出∠BCD=40°，进而由平角定义可算出∠ECF的度数.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·凤山期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
（2）解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）过点E作于G，于H，根据三角形内角和定理、余角的性质得出，根据角平分线的判定与性质得，则，即可证明平分；
（2）设，则，根据，列出关于x的方程，解得，然后根据，计算求解即可．
18．（2023八上·榆树月考）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
（1）如图1，求证：BE＝CD．
（2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形．
【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
∵AC＝AB，
∴AC-AD＝AB-AE，
即BE＝DC；
（2）解：△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得： △ABD≌△ACE（AAS）， BE=DC，
∴∠B=∠C，AD=AE，
∵∠BFE=∠CFD，
∴△BEF≌△CDF，
∴BF=CF，EF=DF，
∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS） .
【分析】（1）根据垂直求出 ∠ADB＝∠AEC＝90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠B=∠C，AD=AE，再求出△BEF≌△CDF，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可。
19．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
20．（2021八上·乐陵期中）两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形， 得出 ∠BAE=∠CAD． 利用全等三角形的性质得出 △ABE≌△ACD；
（2） 由（1）中 知： ． 由 和 均为等腰直角三角形，得出 ，根据 ，即 ，得出CE=2， 再根据三角形面积公式求解即可。
21．（2021八上·沭阳月考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC.
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC.
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）解：∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABD＝∠EDC，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）由全等三角形的对应边相等可得AB＝DE＝2，BD＝CD，然后根据线段的和差关系进行求解.
22．（2021八上·景县期末）如图，在 中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．
②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题．
（1）由尺规作图可证得 ，依据是 ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求∠ACB的度数．
【答案】（1）SSS
（2）证明：由（1）得 ．
∵AB＝DB，BC＝BC，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
（3）解：∵∠BAC＝100°，∠E＝50°，
∴∠ABE＝30°，
∵△MBN≌△FBN，
∴∠ABC=∠DBC，
∴ ，
∴∠ACB＝∠DBC＋∠E＝15°＋50°＝65°．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】（1）根据基本作图，得BM=BF，BN=BN，MN=NF，符合SSS原理，
故应该填SSS；
【分析】(1)根据同圆的半径相等，BM=BN=BF，MN=FN，符合了SSS；(2)根据(1)知，∠ABC=∠DBC，BC是公共边，BA=BD，符合SAS原理； (3)△ABE中，求出∠ABD=30°，从而求得∠ABC=15°，利用三角形外角和定理即可得到答案.
23．（2024八上·双牌期末） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考：
图1 图2 图3
（1）由已知和作图能得到，其理由是什么？
（2）求AD的取值范围．
（3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明．
【答案】（1）解：由已知和作图能得到，因为：
AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，因此
所以，
（2）解：因为，所以，
在三角形ABE中，根据三边关系可知
，因此：，
所以，AD的取值范围为：．
（3）解：延长AD到M点，使得，
由题意可知
所以，
所以，
又因为
所以，
所以，．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）利用“SAS”证出即可；
（2）利用三角形三边的关系可得，再将数据代入求出即可；
（3）延长AD到M点，使得，先利用“SAS”证出，可得，再利用等角对等边的性质可得.
24．（2024八上·道县期末）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
（1）【积累经验】
如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
（2）【类比迁移】
如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）【拓展应用】
如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）根据全等三角形判定定理可得，则，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，结合三角形面积即可求出答案.
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