浙教版数学八年级上册《第2章 特殊三角形》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·黄石期末）我市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·北海期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2024八上·舟山期末）如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（ ）
A． B． C． D．6
4．（2023八上·邕宁期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝2AB
C．∠BAD＝∠CAD D．AD⊥BC
5．（2023八上·杭州期中）已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20°或80° B．50°或80° C．80° D．100°
6．（2019八上·昌图月考）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
7．（2021八上·沙坪坝开学考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（ ）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
8．（2018-2019学年数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定（4） 同步练习）如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
9．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，点C在线段上，且，，，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021八上·潍坊月考）如图， 中， ， ， ， 于点D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为 ．
12．（2022八上·青田期中）如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为 .
13．（2017八上·高州月考）若一个三角形的三边满足 ，则这个三角形是 。
14．（2023八上·乐山期末）如图，在中，，，以、为边作正方形，这两个正方形的面积和为 ．
15．（2023八上·蓝田期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为，、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是 。
16．（2020八上·上虞月考）下列命题中逆命题是真命题的是 .（写序号）
（ 1 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（ 2 ）等腰三角形两腰上的高线相等；
（ 3 ）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ；
（ 4 ）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
（ 5 ）全等三角形的面积相等.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2020八上·合江月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（ 1 ）在图中画出与 ABC关于直线y成轴对称的 A1B1C1；
（ 2 ）求 ABC的面积；
（ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
18．（2023八上·师宗期中）如图，已知AD，AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC=90°．
（1）若AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求AD的长；
（2）若∠C＝30°，求∠DAE的度数．
19．如图1，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E，F，H．易证PE+PF=CH．
证明过程如下：
如图1，连结AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP=AB·PE，S△ACP=AC·PF，S△ABC=AB·CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴AB·PE+AC·PF=AB·CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．
如图2，当P为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE，PF，CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
20．（2023八上·舟山月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点E．
（1）已知的周长，求的长；
（2）若，，求的度数．
21．（2024八上·长沙期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
（1）现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条 的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
（2）判断形状，并说明理由．
22．（2023八上·丰城开学考）在综合实践课上，老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动：在等腰三角形纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与A，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角为，斜边交于点．
（1）特例感知
当时，___________°，点从向A运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）；
（2）思维拓展
在点的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角的大小；若不可以，请说明理由．
23．（2016八上·高邮期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
24．（2018八上·泰兴期中）如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，能组成三角形，
它的周长是：；
②若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
能组成三角形，
它的周长是：，
综上所述，它的周长是或．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形两边长为3、5，分类讨论：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，先分别根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的，计算出周长即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图，
∵的面积为28，
∴
∴
∵AB=AC=16，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD=28，结合AB=AC=16，DF=2DE，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为AB=AC，D是BC的中点，
所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，
而AD=2AB不一定成立.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，根据等腰三角形的三线合一可得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，从而即可逐项判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①当等腰三角形的顶角为80°；
②当等腰三角形的底角为80°时，顶角的度数为180°-2×80°=20°，
综上所述， 这个等腰三角形顶角的度数为20°或80° .
故答案为：A.
【分析】 已知等腰三角形一内角的度数对其分两种情况：①顶角为80°；②底角为80°进行分类讨论即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：选项A，22+32=13≠42；选项B，32+42=25≠62；选项C，52+122=169=132；选项D，42+62=52≠72.
【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，故答案为：C.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90°，PF=PE，
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
【分析】根据题意可得：PE=PF，AP=AP，∠AFP=∠AEP=90°，则我们可以根据HL定理得出三角形全等。
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】AD平分∠BAC，DE⊥AB ， DF⊥AC ，
DE=DF，
故①正确，符合题意；
∠BAC=60°， AD平分∠BAC，
DE⊥AB ， DF⊥AC ，
，
故 ② 正确，符合题意；
由题意可得
设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，
∠E=∠BMD=90°，
∠EBM=120°，
∠ABC=60°，
由于不知道∠ABC是否为60°，
不能判定DM平分∠EDF，故③ 错误，不符合题意；
连接BD、DC，如图，
DM垂直平分BC，
BD=CB，
DE=FD，
BE=FC，
AB+AC=AE-BE+AF+FC，
又AE=AF，BE=FC，
AB+AC=2AE，
故④ 正确，符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质可判断①正确，符合题意；由题意结合已知条件可得从而得到，可判断② 正确，符合题意；设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，可得∠ABC=60°，但由于条件不足可判断③ 错误，不符合题意；利用HL证明可得BE=FC，从而判断④ 正确，符合题意；
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△CDE中
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL）
∴∠A=∠ECD，BC=DE
故A，D正确，不符合题意，B符合题意
∵∠A+∠ACB=90°
∴∠ECD+∠ACB=90°
∴∠ACE=180°-(∠ECD+∠ACB)=90°
故C不符合题意
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理可得Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），再根据全等三角形性质即可求出答案.
11．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=6，与EF垂直平分AB，得到点A、B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论。
12．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，
∴，，
又∵AB=13，BC=12，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∴
∴
故答案为：24.
【分析】连接AC，首先利用勾股定理算出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，进而根据三角形的面积计算公式及S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.
13．【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由 得 ，三边符合勾股定理，
故该三角形是以边c为斜边的直角三角形。
【分析】将题意中式子变形得 c2 = a2+ b2，然后再根据勾股定理逆定理我们可得该三角形是直角三角形。类似于这种题，让我们判断一个三角形是什么形状的时候，我们在大脑里应该映射出直角三角形、等腰三角形、等边三角形这几种特殊的形状，然后再根据题意判断。
14．【答案】36
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，BC=6
即两个正方形的面积和为36
故答案为：36
【分析】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解题关键，由勾股定理和∠BAC=90°，BC=6可得：即可得出答案.
15．【答案】25
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图为：
由题意得：AC=20dm，BC=3×3+2×3=15（dm），
在Rt△ABC中，根据勾股定理得： .
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm.
故答案为：25．
【分析】作出展开图，根据勾股定理得，由两点之间线段最短，得到蚂蚁所走的最短路线长度．
16．【答案】（1）、（2）、（4）
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题；（2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题；（3）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ，逆命题是若三条线段 满足 ，则这三条线段是三角形的三边，是假命题；（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题；（5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；
故答案为：（1）（2）（4）
【分析】先分析各命题的题设和结论，再根据逆命题的定义“对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题”写出各个命题的逆命题，再根据已有的知识判断真假即可.
17．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣ ×2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ ；
（3）如图所示，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
18．【答案】（1）解：解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴△ABC的面积，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8cm；
（2）解：∵ADC＝90，∠C＝30°，
∴∠DAC＝90°－∠C＝60°，
∵AE是Rt△ABC的中线，
∴，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝30°．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用三角形面积法得到 ，代入数据即可求解；
（2）根据直角三角形的性质先求出 ∠DAC的度数，再根据直角三角形斜边中线性质定理求得AE=CE，根据等腰三角形的性质求得 ∠CAE＝∠C＝30°， 从而求解.
19．【答案】解：.证明：连结AP（图略）
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【分析】点P在BC上，需分类讨论点P在BC上和在BC的延长线上两种情况；根据三角形的面积公式，S=，分别求出三△ABP、△ACP、△ABC的面积；根据面积相等，可直接求出 PE+PF=CH .
20．【答案】（1）解： 是的垂直平分线，
，
是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
，
的长为；
（2）解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到：再根据三角形的周长计算公式计算并结合线段间的数量关系即可求出的长；
（2）根据等腰三角形的性质知最后根据三角形内角和定理即可求出的度数.
21．【答案】（1）④
（2）解：是直角三角形．
理由：∵，，
∴
∴
∴是直角三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵线段垂直平分线上的点到两边的距离相等，
∴加油站 点一定是三条 垂直平分线的交点，
故答案为：④.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可。
22．【答案】（1），小
（2）可以是等腰三角形，当或时，是等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
23．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中， ，
∴△AEF≌△CEB（AAS）
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，根据同角的余角相等得出∠CFD=∠B，然后由AAS判断出△AEF≌△CEB；
(2)等腰三角形的三线合一得出BC=2CD，根据全等三角形的性质得出AF=BC，从而得出AF=2CD。
24．【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
1 / 1浙教版数学八年级上册《第2章 特殊三角形》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024八上·黄石期末）我市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
2．（2024八上·北海期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，能组成三角形，
它的周长是：；
②若等腰三角形的腰长为，底边长为，
，
能组成三角形，
它的周长是：，
综上所述，它的周长是或．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形两边长为3、5，分类讨论：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，先分别根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的，计算出周长即可．
3．（2024八上·舟山期末）如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图，
∵的面积为28，
∴
∴
∵AB=AC=16，
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD=28，结合AB=AC=16，DF=2DE，即可求解.
4．（2023八上·邕宁期中） 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD＝2AB
C．∠BAD＝∠CAD D．AD⊥BC
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为AB=AC，D是BC的中点，
所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，
而AD=2AB不一定成立.
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠C，根据等腰三角形的三线合一可得∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，从而即可逐项判断得出答案.
5．（2023八上·杭州期中）已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20°或80° B．50°或80° C．80° D．100°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①当等腰三角形的顶角为80°；
②当等腰三角形的底角为80°时，顶角的度数为180°-2×80°=20°，
综上所述， 这个等腰三角形顶角的度数为20°或80° .
故答案为：A.
【分析】 已知等腰三角形一内角的度数对其分两种情况：①顶角为80°；②底角为80°进行分类讨论即可.
6．（2019八上·昌图月考）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：选项A，22+32=13≠42；选项B，32+42=25≠62；选项C，52+122=169=132；选项D，42+62=52≠72.
【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，故答案为：C.
7．（2021八上·沙坪坝开学考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（ ）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
8．（2018-2019学年数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定（4） 同步练习）如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90°，PF=PE，
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
【分析】根据题意可得：PE=PF，AP=AP，∠AFP=∠AEP=90°，则我们可以根据HL定理得出三角形全等。
9．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】AD平分∠BAC，DE⊥AB ， DF⊥AC ，
DE=DF，
故①正确，符合题意；
∠BAC=60°， AD平分∠BAC，
DE⊥AB ， DF⊥AC ，
，
故 ② 正确，符合题意；
由题意可得
设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，
∠E=∠BMD=90°，
∠EBM=120°，
∠ABC=60°，
由于不知道∠ABC是否为60°，
不能判定DM平分∠EDF，故③ 错误，不符合题意；
连接BD、DC，如图，
DM垂直平分BC，
BD=CB，
DE=FD，
BE=FC，
AB+AC=AE-BE+AF+FC，
又AE=AF，BE=FC，
AB+AC=2AE，
故④ 正确，符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质可判断①正确，符合题意；由题意结合已知条件可得从而得到，可判断② 正确，符合题意；设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，可得∠ABC=60°，但由于条件不足可判断③ 错误，不符合题意；利用HL证明可得BE=FC，从而判断④ 正确，符合题意；
10．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，点C在线段上，且，，，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△CDE中
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL）
∴∠A=∠ECD，BC=DE
故A，D正确，不符合题意，B符合题意
∵∠A+∠ACB=90°
∴∠ECD+∠ACB=90°
∴∠ACE=180°-(∠ECD+∠ACB)=90°
故C不符合题意
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理可得Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），再根据全等三角形性质即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021八上·潍坊月考）如图， 中， ， ， ， 于点D， 垂直平分 ，交 于点F，在 上确定一点P，使 最小，则这个最小值为 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB＋PD的最小值，
即PB＋PD的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=6，与EF垂直平分AB，得到点A、B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论。
12．（2022八上·青田期中）如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为 .
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，
∴，，
又∵AB=13，BC=12，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°
∴
∴
故答案为：24.
【分析】连接AC，首先利用勾股定理算出AC的长，再利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，进而根据三角形的面积计算公式及S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.
13．（2017八上·高州月考）若一个三角形的三边满足 ，则这个三角形是 。
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】由 得 ，三边符合勾股定理，
故该三角形是以边c为斜边的直角三角形。
【分析】将题意中式子变形得 c2 = a2+ b2，然后再根据勾股定理逆定理我们可得该三角形是直角三角形。类似于这种题，让我们判断一个三角形是什么形状的时候，我们在大脑里应该映射出直角三角形、等腰三角形、等边三角形这几种特殊的形状，然后再根据题意判断。
14．（2023八上·乐山期末）如图，在中，，，以、为边作正方形，这两个正方形的面积和为 ．
【答案】36
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，BC=6
即两个正方形的面积和为36
故答案为：36
【分析】本题考查勾股定理，熟知勾股定理是解题关键，由勾股定理和∠BAC=90°，BC=6可得：即可得出答案.
15．（2023八上·蓝田期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为，、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是 。
【答案】25
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开图为：
由题意得：AC=20dm，BC=3×3+2×3=15（dm），
在Rt△ABC中，根据勾股定理得： .
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm.
故答案为：25．
【分析】作出展开图，根据勾股定理得，由两点之间线段最短，得到蚂蚁所走的最短路线长度．
16．（2020八上·上虞月考）下列命题中逆命题是真命题的是 .（写序号）
（ 1 ）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（ 2 ）等腰三角形两腰上的高线相等；
（ 3 ）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ；
（ 4 ）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
（ 5 ）全等三角形的面积相等.
【答案】（1）、（2）、（4）
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；角平分线的判定
【解析】【解答】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，逆命题是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，是真命题；（2）等腰三角形两腰上的高线相等，逆命题是两边上的高线相等的三角形是等腰三角形，是真命题；（3）若三条线段 是三角形的三边，则这三条线段满足 ，逆命题是若三条线段 满足 ，则这三条线段是三角形的三边，是假命题；（4）角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，逆命题是在角的平分线上的点到角的两边的距离相等，是真命题；（5）全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；
故答案为：（1）（2）（4）
【分析】先分析各命题的题设和结论，再根据逆命题的定义“对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另外一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题”写出各个命题的逆命题，再根据已有的知识判断真假即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2020八上·合江月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中， ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（ 1 ）在图中画出与 ABC关于直线y成轴对称的 A1B1C1；
（ 2 ）求 ABC的面积；
（ 3 ）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣ ×2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ ；
（3）如图所示，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
18．（2023八上·师宗期中）如图，已知AD，AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC=90°．
（1）若AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求AD的长；
（2）若∠C＝30°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）解：解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴△ABC的面积，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8cm；
（2）解：∵ADC＝90，∠C＝30°，
∴∠DAC＝90°－∠C＝60°，
∵AE是Rt△ABC的中线，
∴，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝30°．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用三角形面积法得到 ，代入数据即可求解；
（2）根据直角三角形的性质先求出 ∠DAC的度数，再根据直角三角形斜边中线性质定理求得AE=CE，根据等腰三角形的性质求得 ∠CAE＝∠C＝30°， 从而求解.
19．如图1，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E，F，H．易证PE+PF=CH．
证明过程如下：
如图1，连结AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP=AB·PE，S△ACP=AC·PF，S△ABC=AB·CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴AB·PE+AC·PF=AB·CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．
如图2，当P为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE，PF，CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】解：.证明：连结AP（图略）
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【分析】点P在BC上，需分类讨论点P在BC上和在BC的延长线上两种情况；根据三角形的面积公式，S=，分别求出三△ABP、△ACP、△ABC的面积；根据面积相等，可直接求出 PE+PF=CH .
20．（2023八上·舟山月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点E．
（1）已知的周长，求的长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解： 是的垂直平分线，
，
是的垂直平分线，
，
的周长，
，
，
，
的长为；
（2）解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到：再根据三角形的周长计算公式计算并结合线段间的数量关系即可求出的长；
（2）根据等腰三角形的性质知最后根据三角形内角和定理即可求出的度数.
21．（2024八上·长沙期末）如图所示，A城与C城的直线距离为60公里，B城与C城的直线距离为80公里，A城与B城的直线距离为100公里．
（1）现需要在A，B，C三座城市所图成的三角形区域内建造一个加油站．使得这个加油站到三座城市A，B，C的距离相等，则加油站点一定是三条 的交点；（请在以下选项中选出正确答案并将对应选项序号填写在横线上：①中线②高线③角平分线④垂直平分线）
（2）判断形状，并说明理由．
【答案】（1）④
（2）解：是直角三角形．
理由：∵，，
∴
∴
∴是直角三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1）∵线段垂直平分线上的点到两边的距离相等，
∴加油站 点一定是三条 垂直平分线的交点，
故答案为：④.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可。
22．（2023八上·丰城开学考）在综合实践课上，老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动：在等腰三角形纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与A，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角为，斜边交于点．
（1）特例感知
当时，___________°，点从向A运动时，逐渐变___________（填“大”或“小”）；
（2）思维拓展
在点的滑动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角的大小；若不可以，请说明理由．
【答案】（1），小
（2）可以是等腰三角形，当或时，是等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
23．（2016八上·高邮期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中， ，
∴△AEF≌△CEB（AAS）
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，根据同角的余角相等得出∠CFD=∠B，然后由AAS判断出△AEF≌△CEB；
(2)等腰三角形的三线合一得出BC=2CD，根据全等三角形的性质得出AF=BC，从而得出AF=2CD。
24．（2018八上·泰兴期中）如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？为什么？
【答案】（1）解：由题意得此时AC=24米，AB=25米，根据AC2+BC2=AB2，可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程，x2+(24 4)2=252，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可求得BC=7m；（2）变化后AC=20米，AB=25米，再利用勾股定理可得BC=15米，从而可知梯子的底部在水平方向滑动了8米.
1 / 1
