浙教版数学八年级上册《第2章 特殊三角形》单元提升测试卷

浙教版数学八年级上册《第2章 特殊三角形》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·深圳）在如图的三个图形中， 根据尺规作图的痕迹， 能判断射线 平分 的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【知识点】角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：观察发现①中，以A为圆心作弧交两边于B、C，以B、C为圆心分别作弧交于点D，故射线AD为∠BAC的平分线；
②作的，以B、C为圆心分别作弧，交于两点，两点连线即为线段BC的垂直平分线；
③中AD，以A为圆心作两段弧，交角两边于四点，连接异侧的点交于点D，由对称性可知，OD也是∠BAC的角平分线，
故①③中AD为角平分线，
故选：B.
【分析】根据作图痕迹，判断痕迹的作法，直接判断即可.
2．（2021八上·日照期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，
此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】先求出∠COD=2∠AOB=80°，再利用SAS证明△CON≌△PON，最后根据全等三角形的判定与性质求解即可。
3．如图，锐角三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，连结BE，CD.下列命题中，假命题是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
若CD=BE，
在△BCD与△CBE中，
CD=BE，BC=CB，∠ABC=∠ACB，
用SSA不能证明出△BCD≌△CBE，
∴也就得不出∠DCB=∠EBC，故A选项是假命题；
B、∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
若∠DCB=∠EBC，
在△BCD与△CBE中，
∠DCB=∠EBC，BC=CB，∠ABC=∠ACB，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴CD=BE，故B选项是真命题；
C、∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
若BD=CE，
在△BCD与△CBE中，
BC=CB，∠ABC=∠ACB，BD=CE
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠DCB=∠EBC，故C选项是真命题；
D、∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
若∠DCB=∠EBC，
在△BCD与△CBE中，
∠DCB=∠EBC，BC=CB，∠ABC=∠ACB，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴BD=CE，故D选项是真命题.
故答案为：A.
【分析】由等边对等角得出∠ABC=∠ACB，而BC=CB，若CD=BE，用SSA不能证明出△BCD≌△CBE，也就得不出∠DCB=∠EBC，据此判断A选项；由等边对等角得出∠ABC=∠ACB，而BC=CB，若∠DCB=∠EBC，可以利用ASA证△BCD≌△CBE，得CD=BE，BD=CE，据此可判断B、D选项；由等边对等角得出∠ABC=∠ACB，而BC=CB，若BD=CE，利用SAS证明△BCD≌△CBE，得∠DCB=∠EBC，据此可判断C选项.
4．（2024·织金模拟）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题可得如图：
这样的点C最多有5个，
故答案为：A.
【分析】根据题意作出图形即可求解.
5．（2024·绵竹模拟）如图，在中，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：A、由作图可知：MQ是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，此选项正确，不符合题意；
B、∵∠BAC=80°，∠ACB=70°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
由A得：DE⊥BC，
∴DE=BD，此选项正确，不符合题意；
C、由作图可知：AQ是∠BAC的平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAQ=∠CAQ=∠BAC=40°，此选项正确，不符合题意；
D、由C可知：∠CAQ=40°，
∴∠AFC=180°-∠QAC-∠ACB=180°-40°-70°=70°≠30°，
∴∠EFQ=∠AFC=70°，
由B可知：∠QEF=∠BED=90°，
∴∠EQF=180°-∠QEF-∠EFQ=180°-90°-70°=20°≠30°，
此选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由作图可知：MQ是线段BC的垂直平分线，AQ是∠BAC的平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和定理、30度角的直角三角形的性质依次判断即可求解.
6．（2020八上·普宁期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝ = ，
∴BB′＝OB OB′＝12 ＜1．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
7．（2020八上·西华期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°，故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=B，.∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD= AD.
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC CD= AC AD.
∴S△ABC= AC BC= AC A D= AC AD.
∴S△DAC：S△ABC 。故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线，可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
8．（2024八上·北海期末）如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，
∵EG∥AC，
∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：D
【分析】作EG∥AC交BC于点G，则，推出是等边三角形，由中点定义及等边三角形性质得，求得，结合，推出，可用AAS证明，由全等三角形的性质得，即可得解．
9．（2024八上·叙州期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD；②BF=CP；③BP=2PF；④PO⊥BE；⑤AC+CD=AB．其中正确的是（　　）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，则，故①正确；
由得，
∵，
∴，
则，
∵平分，
∴，
，
假设，
在和中，，
，
，
，
，
在中，，
又，
，与相矛盾，
则假设不成立，②错误；
在与中，，
∴，
，
即，故⑤正确；
由得，
则，故③正确；
，平分，
为的垂直平分线，
，
为等腰三角形，
，
，
又平分，平分，
，
，
∴，
为等腰直角三角形，且，
即，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质结合题意对①②③④⑤ 逐一判断即可求解。
10．（2024八上·高邑期末）如图：点在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点，，则下列结论，，为等边三角形，正确的有个．（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵、均是等边三角形
∴CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°
∴∠DCE=60°，∠ACE=∠BCD=120°
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，则①正确
在△ACM和△DCN中
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴CM=CN，∠MCN=60°，则②正确
∴△CMN为等边三角形，则③正确
∴∠CMN=60°
∴∠CMN=∠MCA
∴MN∥BC，则④正确
故答案为：D
【分析】根据等边三角形性质可得CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△DCB（SAS），△ACM≌△DCN（ASA），再根据其性质可判断①，②正确，再根据等边三角形判定定理可得③正确，再根据等边三角形性质可判断④正确.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2016八上·个旧期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数 　 　
【答案】25°或65°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：
当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°.
故答案为：D.
【分析】由于此题没有告知等腰三角形是什么三角形，故需要分①当这个三角形是锐角三角形时，②当这个三角形是钝角三角形时，两种情况来讨论，分别画出图形即可算出答案。
12．（2021八上·太和月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，
∴MO=MB，ON=NC，
∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，
故答案为：10.
【分析】由角平分线的定义可得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，再结合平行线的性质可求出∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，由等角对等边可得MO=MB，ON=NC，根据AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC即可求解.
13．（2024八上·汉阳期末）如图，，垂直平分，交于点D，交于点E，若的周长为28，，则的周长为　 　．
【答案】18
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为28，即AB+AC+BC=28
BC=8，AB=AC，
AB=AC=，
DE垂直平分AB，
AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+CE+BE=BC+CE+AE=AC+BC=10+8=18.
故答案为：18.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形周长计算方法可得AB=AC=10，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，最后根据三角形周长计算方法、线段的和差及等量代换可将△BCE的周长转化为AC+BC，此题得解.
14．（2024八上·岳阳楼期末）如图，在中，平分交于点，于点，若，，，则的面积为　 　．
【答案】9
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，DE=3，∠ABC=60°，
∴DF=DE=3，∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°，
在Rt△BDE中，∠DBC=30°，DE=3，
∴BD=2DE=2×3=6，
在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，
∴∠A=180°-60°-45°=75°，
∴∠BDA=180°-30°-75°=75°，
∴∠A=∠BDA，
∴BA=BD=6，
∴S△ABD=AB×DE=×6×3=9，
故答案为：9.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，先求出DF=DE=3，∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BD=2DE=2×3=6，再求出∠A=∠BDA，利用等角对等边的性质可得BA=BD=6，最后利用三角形的面积公式求解即可.
15．（2018八上·佳木斯期中）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2=　 　．
【答案】50
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．
故答案为：50
【分析】由题意可知，AB是直角三角形ABC的斜边，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即AC2+BC2=25，所以AB2+AC2+BC2=50.
16．（2021八上·台安月考）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　 　．
【答案】55°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】先利用HL得出Rt△BDE≌Rt△CFD，再由全等三角形的对应角相等得出∠BED=∠CDF，根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD的度数，得出∠BED的度数，即可求出∠EDF的度数。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024·长沙模拟） 如图，在和中，，，，且点在线段上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：记与交于点O，
∵，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而根据三角形全等的判定（SAS）即可求解；
（2）记与交于点O，进而根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到，再根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解。
18．（2024·长沙模拟）如图，点C在线段上，，．
（1）求证：；
（2）已知，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS即可证明；
（2） 首先根据全等三角形的性质得出， 再根据勾股定理求得AC2=20，然后根据三角形面积计算公式，即可求得的面积．
19．（2021·长沙）如图，在 中， ，垂足为 ， ，延长 至 ，使得 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的周长和面积.
【答案】（1）证明： ，
，
在 和 中， ，
，
（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则 的周长为 ，
的面积为
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意用边角边可证△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应角相等可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得AB=AC，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值；由线段的构成BE=BD+CD+CE，DE=CD+CE可求得BE和DE的值；用勾股定理可求得AE的值；再根据三角形的周长和三角形的面积公式可求解.
20．（2020八上·五莲期末）在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)
（2）解：∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，再证明∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形.
21．（2023八上·长春期中）1876年，菲尔德利用下图验证了勾股定理．
（1）请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简） ：
方法1：　 　
方法2：　 　
（2）利用”等面积法”。推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
【答案】（1）；
（2）解：=
∴ 在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a，b，c之间满足
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
(1)解：如图所示：
间接计算：
直接计算：
【分析】本题考查勾股定理的几何证明。根据面积分割法和直角梯形的公式，可得出面积，根据等面积法，推出勾股定理。
（1）用图形拼凑的方法得，用整体图形的面积得；
（2）等面积法得： =
去括号，移项，合并同类项得，可知在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a，b，c之间满足.
22．（2021八上·秦都月考）如图，射线 于点A、点C、B在 、 上，D为线段 的中点，且 于点E.
（1）若 ，直接写出 的值；
（2）若 ， 的周长为24，求 的面积；
（3）若 ，C点在射线 上移动，问此过程中， 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围.
【答案】（1）100
（2）解：因为 ，所以 是直角三角形.
因为 ， 的周长为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（3）解：在 中， ，在 中， ，
所以 .
因为D为线段 的中点，所以 ，所以 .
在 中， ，
所以 （定值），
故在点C移动的过程中， 的值是定值，其值是 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：（1） .
【分析】(1)直接利用勾股定理计算即可；
(2)由题意得AB=16-BC，然后根据勾股定理构建关于BC的方程求解，则可得出AB和BC的长，然后根据三角形的面积公式计算即可；
(3)在Rt△BDE和Rt△DEC中，分别根据勾股定理列式，推出BE2-EC2=BD2-DC2，
23．（2016八上·江东期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= = =2 （cm）
（2）解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8﹣t，
解得：t= ；
即出发时间为 秒时，△PQB是等腰三角形
（3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= = =4.8（cm）
∴CE= =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
24．（2023八上·鄂州期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
（2）探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
（3）探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示；
（2）解：作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示；
则的周长
点即为所求；
（3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示：
．，，
，
，
，
，
．
即为所求边上的高
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）在直角坐标系中，根据网格分别找到点A、B、C关于直线m对称的带你A'、B'、C'，然后依次连接A'、B'和C'即可；
（2）根据轴对称-两点之间线段最短，找到点A关于直线m的对称点A''，连接CA''与直线m的交点即为点P的位置；
（3）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠CAD=∠FBG；根据对顶角相等得∠BEC=∠ACD；根据三角形内角和定理，可得∠BEC=∠ADC=90°，即可解题.
1 / 1浙教版数学八年级上册《第2章 特殊三角形》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·深圳）在如图的三个图形中， 根据尺规作图的痕迹， 能判断射线 平分 的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
2．（2021八上·日照期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
3．如图，锐角三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，连结BE，CD.下列命题中，假命题是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2024·织金模拟）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．（2024·绵竹模拟）如图，在中，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020八上·普宁期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（　　）
A．小于1m B．大于1m
C．等于1m D．小于或等于1m
7．（2020八上·西华期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024八上·北海期末）如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·叙州期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD；②BF=CP；③BP=2PF；④PO⊥BE；⑤AC+CD=AB．其中正确的是（　　）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
10．（2024八上·高邑期末）如图：点在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点，，则下列结论，，为等边三角形，正确的有个．（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2016八上·个旧期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数 　 　
12．（2021八上·太和月考）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为　 　．
13．（2024八上·汉阳期末）如图，，垂直平分，交于点D，交于点E，若的周长为28，，则的周长为　 　．
14．（2024八上·岳阳楼期末）如图，在中，平分交于点，于点，若，，，则的面积为　 　．
15．（2018八上·佳木斯期中）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2=　 　．
16．（2021八上·台安月考）如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024·长沙模拟） 如图，在和中，，，，且点在线段上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
18．（2024·长沙模拟）如图，点C在线段上，，．
（1）求证：；
（2）已知，求的面积．
19．（2021·长沙）如图，在 中， ，垂足为 ， ，延长 至 ，使得 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的周长和面积.
20．（2020八上·五莲期末）在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
21．（2023八上·长春期中）1876年，菲尔德利用下图验证了勾股定理．
（1）请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简） ：
方法1：　 　
方法2：　 　
（2）利用”等面积法”。推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
22．（2021八上·秦都月考）如图，射线 于点A、点C、B在 、 上，D为线段 的中点，且 于点E.
（1）若 ，直接写出 的值；
（2）若 ， 的周长为24，求 的面积；
（3）若 ，C点在射线 上移动，问此过程中， 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围.
23．（2016八上·江东期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
24．（2023八上·鄂州期末）在如图所示的的网格中，的三个顶点、、均在格点上．
（1）探究一：如图1，作出关于直线对称的．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
（2）探究二：如图2，在直线上作一点，使的周长最小．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）；
（3）探究三：如图3，请尝试运用构造全等三角形法，作出格点边上的高．（不写作法步骤，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：观察发现①中，以A为圆心作弧交两边于B、C，以B、C为圆心分别作弧交于点D，故射线AD为∠BAC的平分线；
②作的，以B、C为圆心分别作弧，交于两点，两点连线即为线段BC的垂直平分线；
③中AD，以A为圆心作两段弧，交角两边于四点，连接异侧的点交于点D，由对称性可知，OD也是∠BAC的角平分线，
故①③中AD为角平分线，
故选：B.
【分析】根据作图痕迹，判断痕迹的作法，直接判断即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，
此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°，即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°，同理可得∠OPM=∠ODM=50°，所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.
故答案为：B.
【分析】先求出∠COD=2∠AOB=80°，再利用SAS证明△CON≌△PON，最后根据全等三角形的判定与性质求解即可。
3．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
若CD=BE，
在△BCD与△CBE中，
CD=BE，BC=CB，∠ABC=∠ACB，
用SSA不能证明出△BCD≌△CBE，
∴也就得不出∠DCB=∠EBC，故A选项是假命题；
B、∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
若∠DCB=∠EBC，
在△BCD与△CBE中，
∠DCB=∠EBC，BC=CB，∠ABC=∠ACB，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴CD=BE，故B选项是真命题；
C、∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
若BD=CE，
在△BCD与△CBE中，
BC=CB，∠ABC=∠ACB，BD=CE
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴∠DCB=∠EBC，故C选项是真命题；
D、∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
若∠DCB=∠EBC，
在△BCD与△CBE中，
∠DCB=∠EBC，BC=CB，∠ABC=∠ACB，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴BD=CE，故D选项是真命题.
故答案为：A.
【分析】由等边对等角得出∠ABC=∠ACB，而BC=CB，若CD=BE，用SSA不能证明出△BCD≌△CBE，也就得不出∠DCB=∠EBC，据此判断A选项；由等边对等角得出∠ABC=∠ACB，而BC=CB，若∠DCB=∠EBC，可以利用ASA证△BCD≌△CBE，得CD=BE，BD=CE，据此可判断B、D选项；由等边对等角得出∠ABC=∠ACB，而BC=CB，若BD=CE，利用SAS证明△BCD≌△CBE，得∠DCB=∠EBC，据此可判断C选项.
4．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题可得如图：
这样的点C最多有5个，
故答案为：A.
【分析】根据题意作出图形即可求解.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：A、由作图可知：MQ是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，此选项正确，不符合题意；
B、∵∠BAC=80°，∠ACB=70°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
由A得：DE⊥BC，
∴DE=BD，此选项正确，不符合题意；
C、由作图可知：AQ是∠BAC的平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAQ=∠CAQ=∠BAC=40°，此选项正确，不符合题意；
D、由C可知：∠CAQ=40°，
∴∠AFC=180°-∠QAC-∠ACB=180°-40°-70°=70°≠30°，
∴∠EFQ=∠AFC=70°，
由B可知：∠QEF=∠BED=90°，
∴∠EQF=180°-∠QEF-∠EFQ=180°-90°-70°=20°≠30°，
此选项不正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由作图可知：MQ是线段BC的垂直平分线，AQ是∠BAC的平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和定理、30度角的直角三角形的性质依次判断即可求解.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，
在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．
∵AB＝A′B′，
∴A′O2＋OB′2＝169，
∴OB′＝ = ，
∴BB′＝OB OB′＝12 ＜1．
故答案为：A．
【分析】在Rt△AOB中依据勾股定理可知AB2＝169，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°，故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，∴AD=B，.∴点D在AB的中垂线上，故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD= AD.
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC CD= AC AD.
∴S△ABC= AC BC= AC A D= AC AD.
∴S△DAC：S△ABC 。故④正确；
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.
故答案为：D.
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线，可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，
∵EG∥AC，
∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：D
【分析】作EG∥AC交BC于点G，则，推出是等边三角形，由中点定义及等边三角形性质得，求得，结合，推出，可用AAS证明，由全等三角形的性质得，即可得解．
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，则，故①正确；
由得，
∵，
∴，
则，
∵平分，
∴，
，
假设，
在和中，，
，
，
，
，
在中，，
又，
，与相矛盾，
则假设不成立，②错误；
在与中，，
∴，
，
即，故⑤正确；
由得，
则，故③正确；
，平分，
为的垂直平分线，
，
为等腰三角形，
，
，
又平分，平分，
，
，
∴，
为等腰直角三角形，且，
即，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质结合题意对①②③④⑤ 逐一判断即可求解。
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵、均是等边三角形
∴CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°
∴∠DCE=60°，∠ACE=∠BCD=120°
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，则①正确
在△ACM和△DCN中
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴CM=CN，∠MCN=60°，则②正确
∴△CMN为等边三角形，则③正确
∴∠CMN=60°
∴∠CMN=∠MCA
∴MN∥BC，则④正确
故答案为：D
【分析】根据等边三角形性质可得CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△DCB（SAS），△ACM≌△DCN（ASA），再根据其性质可判断①，②正确，再根据等边三角形判定定理可得③正确，再根据等边三角形性质可判断④正确.
11．【答案】25°或65°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：
当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°.
故答案为：D.
【分析】由于此题没有告知等腰三角形是什么三角形，故需要分①当这个三角形是锐角三角形时，②当这个三角形是钝角三角形时，两种情况来讨论，分别画出图形即可算出答案。
12．【答案】10
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，
∴MO=MB，ON=NC，
∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，
故答案为：10.
【分析】由角平分线的定义可得∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，再结合平行线的性质可求出∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，由等角对等边可得MO=MB，ON=NC，根据AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC即可求解.
13．【答案】18
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为28，即AB+AC+BC=28
BC=8，AB=AC，
AB=AC=，
DE垂直平分AB，
AE=BE，
∴△BCE的周长为BC+CE+BE=BC+CE+AE=AC+BC=10+8=18.
故答案为：18.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形周长计算方法可得AB=AC=10，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，最后根据三角形周长计算方法、线段的和差及等量代换可将△BCE的周长转化为AC+BC，此题得解.
14．【答案】9
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，DE=3，∠ABC=60°，
∴DF=DE=3，∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°，
在Rt△BDE中，∠DBC=30°，DE=3，
∴BD=2DE=2×3=6，
在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，
∴∠A=180°-60°-45°=75°，
∴∠BDA=180°-30°-75°=75°，
∴∠A=∠BDA，
∴BA=BD=6，
∴S△ABD=AB×DE=×6×3=9，
故答案为：9.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，先求出DF=DE=3，∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求出BD=2DE=2×3=6，再求出∠A=∠BDA，利用等角对等边的性质可得BA=BD=6，最后利用三角形的面积公式求解即可.
15．【答案】50
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．
故答案为：50
【分析】由题意可知，AB是直角三角形ABC的斜边，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即AC2+BC2=25，所以AB2+AC2+BC2=50.
16．【答案】55°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF =180°-90°-35°=55°．
故答案是：55°．
【分析】先利用HL得出Rt△BDE≌Rt△CFD，再由全等三角形的对应角相等得出∠BED=∠CDF，根据∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，求出∠CFD的度数，得出∠BED的度数，即可求出∠EDF的度数。
17．【答案】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：记与交于点O，
∵，，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据题意得到，进而根据三角形全等的判定（SAS）即可求解；
（2）记与交于点O，进而根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到，再根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解。
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据AAS即可证明；
（2） 首先根据全等三角形的性质得出， 再根据勾股定理求得AC2=20，然后根据三角形面积计算公式，即可求得的面积．
19．【答案】（1）证明： ，
，
在 和 中， ，
，
（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则 的周长为 ，
的面积为
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意用边角边可证△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应角相等可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得AB=AC，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值；由线段的构成BE=BD+CD+CE，DE=CD+CE可求得BE和DE的值；用勾股定理可求得AE的值；再根据三角形的周长和三角形的面积公式可求解.
20．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ(SAS)
（2）解：∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，再证明∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形.
21．【答案】（1）；
（2）解：=
∴ 在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a，b，c之间满足
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
(1)解：如图所示：
间接计算：
直接计算：
【分析】本题考查勾股定理的几何证明。根据面积分割法和直角梯形的公式，可得出面积，根据等面积法，推出勾股定理。
（1）用图形拼凑的方法得，用整体图形的面积得；
（2）等面积法得： =
去括号，移项，合并同类项得，可知在直角三角形中，两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a，b，c之间满足.
22．【答案】（1）100
（2）解：因为 ，所以 是直角三角形.
因为 ， 的周长为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（3）解：在 中， ，在 中， ，
所以 .
因为D为线段 的中点，所以 ，所以 .
在 中， ，
所以 （定值），
故在点C移动的过程中， 的值是定值，其值是 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：（1） .
【分析】(1)直接利用勾股定理计算即可；
(2)由题意得AB=16-BC，然后根据勾股定理构建关于BC的方程求解，则可得出AB和BC的长，然后根据三角形的面积公式计算即可；
(3)在Rt△BDE和Rt△DEC中，分别根据勾股定理列式，推出BE2-EC2=BD2-DC2，
23．【答案】（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= = =2 （cm）
（2）解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8﹣t，
解得：t= ；
即出发时间为 秒时，△PQB是等腰三角形
（3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= = =4.8（cm）
∴CE= =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
24．【答案】（1）解：根据题意以及网格的特点直接作出关于直线对称的，如图所示；
（2）解：作点关于直线对称点，连接，交于点，如图所示；
则的周长
点即为所求；
（3）解：延长交于点，则即为所求，如图所示：
．，，
，
，
，
，
．
即为所求边上的高
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）在直角坐标系中，根据网格分别找到点A、B、C关于直线m对称的带你A'、B'、C'，然后依次连接A'、B'和C'即可；
（2）根据轴对称-两点之间线段最短，找到点A关于直线m的对称点A''，连接CA''与直线m的交点即为点P的位置；
（3）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠CAD=∠FBG；根据对顶角相等得∠BEC=∠ACD；根据三角形内角和定理，可得∠BEC=∠ADC=90°，即可解题.
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