【专题精练】浙教七年级上册 一元一次方程有整数解 （含详细解析）

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浙教版七年级上册数学 一元一次方程有整数解 专题训练
1．若关于的方程的解为整数，则非负整数的值为______．
2．已知m为非负整数，若关于x的方程mx=2-x的解为整数，则m的值为________．
3．已知m是整数，当m=_________时，关于的方程的解是整数．
4．已知方程2x+k=6的解为正整数，则k所能取的正整数值为（　　）
A．1 B．2 或 3 C．3 D．2 或 4
5．已知关于的方程的解是正整数，则整数的值为（ ）
A．3 B．5 C．1 D．3或5
6．已知关于x的方程，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是( )
A．12 B．13 C．14 D．15
7．已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值为（ ）
A．3或5 B．5 C．1或3 D．3
8．已知关于的方程的解是正整数，则正整数__________．
9．若关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的和是_________．
10．若关于x的方程9x－3＝kx＋14有正整数解，则k的值为_________．
11．关于的方程解为自然数，当为整数时，则的值为__________．
12．关于x的方程的解是整数，则整数m=____.
13．当a取整数________时，关于x的方程有正整数解．
14．已知关于x的方程kx=5﹣x，有正整数解，则整数k的值为_____．
15．已知关于x的方程2mx-6=(m+2)x有正整数解，则整数m的值是___________.
16．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：★．例如：★．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对★　　；
（2）若有理数对★，则　　；
（3）当满足等式★的是整数时，求整数的值．
17．已知k是不大于10的正整数，试找出一个k的值，使关于x的方程5x－6k＝(x－5k－1)的解也是正整数，并求出此时方程的解．
18．已知m，n是有理数，单项式﹣xny的次数为3，而且方程（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0是关于x的一元一次方程．
（1）若该方程的解是x＝3，求t的值．
（2）若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请求出整数t的值．
19．若关于的一元一次方程的解是正整数，求整数的值．
20．已知关于x的方程有整数解，求满足条件的所有整数k的值．
21．设为整数，且关于的一元一次方程.
（1）当时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求的值.
22．已知关于x的方程2ax=(a+1)x+6,求当a为何整数时,方程的解是正整数.
23．新规定一种运算法则：自然数到的连乘积用表示，例如：，，，，在这种规定下，请你解决下列问题：
（1）计算_____________.
（2）下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
（3）若关于的等式为，求整数的值.
参考答案
1．【答案】0，2
【分析】
先用含m的代数式表示出x，再根据方程的解是整数，m是非负整数求解即可．
【详解】
解：，
移项，得
mx+x=3，
合并同类项，得
(m+1)x=3，
系数化为1，得
x=，
∵方程的解是整数，
∴m+1=-3，-1，1，3，
∴m=-4，-2，0，2，
∵m是非负整数，
∴m=0，2，
故答案为： 0，2．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．
2．
【答案】0或1##1或0
【分析】把方程移项合并同类项， x系数化为1，表示出解，根据解为整数，确定出m的非负整数值即可．
【详解】解∶mx=2-x
(m+1 ) x=2，
当m+1≠0，即m≠-1时，解得∶，
由x为整数，得到m+1=或m+1=，
解得∶ m=0或m=-2或m= l或m=-3，
∴m的非负整数值为0和1，
故答案为∶ 0和1．
【点睛】此题考查了求解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确理解非负整数是解题的关键．
3．
【答案】1，-1,2，-2,4，-4．
【分析】方程整理后，用含m的代数式表示出方程解，根据解为整数，确定出整数m的值即可．
【详解】解：原方程整理，得：
∵原方程的解为整数，得：m为±1，±2，±4，则x为±4，±2，±1
故答案为：m的所有可能值是：1，-1,2，-2,4，-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值
4．
【答案】D
【分析】解方程2x+k=6，得到含有k的x的值，根据“方程的解为正整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之，取正整数k即可．
【详解】2x+k=6，
移项得：2x=6-k，
系数化为1得：x= ，
∵方程2x+k=6的解为正整数，
∴6-k为2的正整数倍，
6-k=2，6-k=4，6-k=6，6-k=8…，
解得：k=4，k=2，k=0，k=-2…，
故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
5．
【答案】D
【分析】首先解关于x的方程，利用k表示出方程的解，然后根据方程的解是正整数即可求得．
【详解】解：移项得：，
合并同类项得：，
由题意可知k-2不等于0，系数化为1得：，
∵方程的解为正整数，
∴k-2=1或3，
解得：k=3或5，
故选D.
【点睛】本题是对一元一次方程的考查，熟练掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键.
6．
【答案】B
【分析】用a表示出x，根据x为整数，即可推知a的值．
【详解】解：，
解得x=28-2a,
为正整数，x也为正整数
，且a为整数
∴a的最大值为13.
故选：B.
【点睛】考查了含字母系数的一元一次方程，用a表示出x，根据“整数”这一条件进行推理是解题的关键．
7．
【答案】A
【分析】求出方程的解，再分析k取何正整数时，方程的解也为正整数即可.
【详解】解：
移项得：


∵方程的解是正整数，也是正整数，而3的因数只有1和3
∴
解得k=3或5.
故选A.
【点睛】此题考查的是利用方程的解取值和参数的取值求参数的问题.
8．
【答案】6.
【分析】方程的解为x= ,根据x是正整数，判定13是7-a的倍数，
从而确定7-a=1或7-a=13，求得a的值，根据正整数a的属性确定取舍即可.
【详解】∵ax+10=7x-3，
∴x=，
∵x是正整数，
∴13是7-a的倍数，
∴7-a=1或7-a=13,
∴a=6或a=-6，
∵a是正整数，
∴a=6，
故答案为：6.
【点睛】本题考查了一元一次方程的特解问题，熟练求得方程的解，并根据正整数的意义把问题转化整除问题是解题的关键.
9．
【答案】-7
【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出a的值，计算即可．
【详解】
去分母得6x 4＋ax＝x＋4 6
移项、合并同类项得（5＋a）x＝2，
x＝，
∵解是正整数，
∴a＝ 4、 3，
则符合条件的所有整数a的和是-7．
故答案为：-7．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
10．
【答案】8或－8
【分析】把k看做已知数表示出方程的解，根据方程解为正整数确定出整数k的值即可．
【详解】方程整理得：x=，
由x为正整数，得到9-k=1或9-k=17，
解得：k=8或-8，
故答案为8或-8
【点睛】此题考查了解二元一次方程，将k看做已知数表示出x是解本题的关键．
11．
【答案】，，，
【详解】解：解方程可得，由解是自然数可知，且为的约数，所以的值为，，，，可分别求得的值为，，，．故答案为，，，．
12．
【答案】0；或-1；或-2；或-3
【详解】解方程可得（2m+3）x=12，，因为x、m都为整数，所以当m=0时，x=4，当m=-1时，x=12，当m=-2时，x=-12，当m=-3时，x=-6，所以m的取值为0，或-1，或-2，或-3.
点睛：本题考查了一元一次方程解得情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
13．
【答案】0
【分析】先用含a的代数式表示x，根据方程的解是正整数，即可求出结果．
【详解】解：﹣=
先去分母，得x﹣4﹣2（ax﹣1）=2，
去括号，得x﹣4﹣2ax+2=2，
移项、合并同类项，得（1﹣2a）x=4，
因为这个方程的解是正整数，
即x=，是正整数，
所以1﹣2a等于4的正约数，
即1﹣2a=1，2，4，
当1﹣2a=1时，a=0；
当1﹣2a=2时，a=﹣（舍去）；
当1﹣2a=4时，a=﹣（舍去）．
故a=0．
故答案为0．
考点：一元一次方程的解．
14．
【答案】0或4．
【详解】试题分析：根据方程的解是正整数，可得5的约数．
解：由kx=5﹣x，得
x=．
由关于x的方程kx=5﹣x，有正整数解，得
5是（k+1）的倍数，
得k+1=1或k+1=5．
解得k=0或k=4，
故答案为0或4．
考点：一元一次方程的解．
15．
【答案】3,4,5,8
【详解】解关于x的方程2mx-6=（m+2）x，
得：x= ．
∵x为正整数，
∴为正整数，
又∵m是整数，
∴m-2是6的正约数，
∴m-2=1，2，3，6，
∴m=3，4，5，8．
16．
【答案】（1）﹣5；（2）1；（3），，，．
【分析】（1）结合题目的规定解答即可；
（2）结合题目的规定列出方程，解方程即可；
（3）结合题目的规定列出方程，化简为，由x为整数，可得可取和，即可求出k的值．
【详解】解：（1）根据题意得：原式；
故答案为：；
（2）根据题意化简得：，
移项合并得：，
解得：；
故答案为：1；
（3）等式★的是整数，
，
，
，
∵x是整数，
或，
，，，．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和新定义的题型，解题的关键是读懂题目给的计算方法并灵活运用．
17．
【答案】x＝3
【分析】根据题意可以用含k的代数式表示出x，然后根据k是不大于10的正整数，关于x的方程5x-6k=（x-5k-1）的解也是正整数可以得到k的值和x的值．
【详解】∵5x-6k=（x-5k-1）
解得，x=，
∵k是不大于10的正整数，关于x的方程5x-6k=（x-5k-1）的解也是正整数，
∴k=4，x=3，
即此方程的解是x=3．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解答本题的关键是明确解一元一次方程的方法，利用题目中条件，求出相应的k和x的值．
18．
【答案】（1）t＝；（2）当x=1时，t=3，当x=4时，t=0，当x=-1时，t=-5，当x=-4时，t=-2，当x=2时，t=1，当x=-2时，t=-3．
【分析】（1）根据单项式的定义和一元一次方程的定义可得n＝2，m＝﹣1，然后将x＝3代入可得t的值；
（2）分别将第一问中的m和n的值代入，根据整数解和整数t的条件可得结论，
【详解】解：（1）由题意得：n＝2，m＝﹣1；
∴﹣x﹣xt+4＝0，
当x＝3时，则﹣3﹣3t+2+2＝0，
∴t＝；
（2）（m+1）x2+mx﹣tx+n+2＝0，
∵n＝2，m＝﹣1，
∴﹣x﹣xt+4＝0，
∴t≠﹣1，x≠0
∵t是整数，x是整数，
∴当x＝1时，t＝3，
当x＝4时，t＝0，
当x＝﹣1时，t＝﹣5，
当x＝﹣4时，t＝﹣2，
当x＝2时，t＝1，
当x＝﹣2时，t＝﹣3．
【点睛】本题考查了单项式的定义和一元一次方程的定义，熟练掌握这些定义是关键，并注意方程有整数解的条件．
19．
【答案】2或4
【分析】解方程，用含m的代数式表示x，再根据x是正整数、m是整数即可求得m的值.
【详解】解：
移项得：
解得：
∵关于的一元一次方程的解是正整数
∴为正整数，且m为整数
∴或
∴或
【点睛】本题考查解一元一次方程以及方程的正整数解，难度较大，熟练掌握解一元一次方程是解题关键.
20．
【答案】k=26，10，8，-8．
【分析】将原式转化，得到，根据x与k均为整数，即可推出k的值．
【详解】，
，
，k都是整数，
，x都是整数，
，，1或17，
，10，8，．
【点睛】本题考查了方程的整数解，根据“整数”这一条件即可将方程的解限制在有限的范围内通过试解即可得到k的值．
21．
【答案】（1）；（2）或，或．
【分析】(1)将m=2代入方程(m-5)x+m-3=0，求出x即可；
(2)首先将方程变形为x=，由方程有整数解，可知m-5≠0，m-5=1或m-5=2，从而求出m的值.
【详解】解：(1)当时，原方程为．
解得，．
(2)当时，方程有解．
．
∵方程有整数解，且是整数．
∴，．
解得，或，或．
故答案为(1)x=-；(2)m=3或4或6或7.
【点睛】本题考查了方程的特殊解，难度较大．
22．
【答案】2,3,4,7.
【详解】试题分析：先解含有a的方程，用a表示x，然后根据解是正整数，求出a的值.
试题解析：2ax=(a+1)x+6,
去括号,得2ax=ax+x+6,
移项、合并同类项,得(a-1)x=6,
两边同除以(a-1),得x=.
因为方程的解是正整数,
所以 是正整数,即(a-1)是6的因数,
所以a-1的值为1,2,3,6,
所以a的值是2,3,4,7.
23
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】(1)根据定义的运算法则进行求解即可；
(2)根据定义的运算法则逐项进行计算，然后进行判断即可；
(3)根据定义的运算进行化简，然后解方程即可.
【详解】(1)，
故答案为：；
(2)
，故A选项错误，B选项错误；
=
=
=
=8！
故C选项正确，D选项错误，
故选C；
(3)，
，
去分母得：，
所以x-1=±10，
x-1=10或x-1=-10，
所以或.
【点睛】本题考查了新定义运算，涉及了有理数的混合运算，解一元一次方程等，正确理解新定义运算的运算法则，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤等是解题的关
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