【专题精练】浙教七年级上册 一元一次方程中的新定义问题 一元一次方程中的新定义问题（含详细解析）

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浙教版七年级上册数学 一元一次方程中的新定义问题 专题训练
1．形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，那么当时，则为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
2．规定：能使等式成立的一对数为“友好数对”．例如当，时能使等式成立，则是“友好数对”．若是“友好数对”，则的值为　　
A． B． C． D．
3．设，为实数，定义如下一种新运算：☆，若关于的方程☆☆无解，则的值是　　
A．4 B． C．4或 D．4或3
4．新定义一种运算“☆”，规定☆．若2☆☆2，则的值为 　　．
5．“”表示一种运算符号，其定义是．例如．如果，那么　　．
6．已知和两个有理数，规定一种新运算“”为：（其中，若，则　　．
7．用“※”定义一种新运算：规定※，如：1※．
（1）求※4的值；
（2）若※，求的值．
8．若规定这样一种新运算法则：．如．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
9．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定※．
例如：1※．
（1）求※5的值；
（2）若※，求的值．
10．规定一种运算“※”，其运算规则是：※
（1）计算3※2的值；
（2）若3※，求的值．
11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆．如：1☆．
（1）☆　　；
（2）若☆☆，求的值；
（3）“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．若2☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小．
12．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足为正数），则称方程与方程是“差解方程”．
（1）请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”；
（2）若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值；
（3）若关于的方程，与关于的方程是“差解方程”，试用含的式子表示．
13．若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”．
（1）请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由；
（2）若关于的方程与关于的方程是“美好方程”，请求出的值；
（3）若无论取任何有理数，关于的方程，为常数）与关于的方程都是“美好方程”，求的值．
14．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”．
（1）已知关于的方程：①，②，
以上哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？
请直接写出正确的序号是 　　．
（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．
（3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值．
15．定义：若整数的值使关于的方程的解为整数，则称为此方程的“友好系数”．
（1）判断，是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；
（2）方程 “友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有“友好系数“；如果是无穷多，说明理由．
16．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：的解为，则该方程是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程　　（回答“是”或“不是” “奇异方程”；
（2）若，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求的值；若没有，请说明理由．
（3）若关于的一元一次方程和都是“奇异方程”，求代数式的值．
17．我们规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为满足，所以方程是“差解方程”．
请根据上边规定解答下列问题：
（1）判断是否是“差解方程”，说明理由；
（2）若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值
参考答案
1．
【答案】D
【分析】
先根据题意得出（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，再根据多项式乘以多项式法则展开，最后求出方程的解即可．
【详解】
解：根据题意，由可得
（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，
m2-1-m2+3m-2m+6=25，
3m-2m=25+1-6，
m=20，
故选：D．
【点睛】
本考查了整式的混合运算和解一元一次方程等知识点．能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
2．
【解答】解：由题意得：
，
，
，
，
，
故选：．
3．
【解答】解：☆，
☆，☆，
原方程就是：
，
去分母得：
，
移项，合并同类项得：
，
解得：．
关于的方程☆☆无解，
原方程有增根3或．
或．
解得：或，
故选：．
二．填空题（共3小题）
4．
【解答】解：☆，2☆☆2，
，
整理，可得：，
解得．
故答案为：2．
5．
【解答】解：，
，
．
．
故答案为：．
6．
【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得：，即
整理得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则．
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
7．
【解答】解：（1）※，
※4
．
（2）※，
，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：．
8．
【解答】解：（1）
；
（2），
，
，
，
，
．
9．
【解答】解：（1）由题意知，※．
（2）由题意知，※，
※，
．
移项得：
，
方程两边都除以得：
．
的值为1．
10．
【解答】解：（1）3※2
；
（2）※，
，
，
．
11．
【解答】解：（1）原式
；
故答案为：．
（2）根据题意得：
整理得，
解得：；
（3）已知等式整理得：，，
，
．
12．
【解答】解：（1）的解为，
的解为，
，
关于的方程与关于的方程是“2差解方程”；
（2）方程的解为，
方程的解为，
两个方程是“差解方程”，
，
，
或；
（3）方程的解为，
方程的解为，
两个方程是“差解方程”，
，
，
或．
13．
【解答】解：（1）的解是，
的解是，
，
方程与方程不是“美好方程”；
（2）的解是，
方程与方程是“美好方程”，
，
或，
当时，；
当时，；
（3）的解为，
方程与方程是“美好方程”，
，
或，
当时，，
，
，
无论取任何有理数都成立，
，，
，，
；
当时，，
，
，
无论取任何有理数都成立，
，，
，，
；
综上所述：的值为20或28．
14．
【解答】解：（1）的解为，
方程的解是，；故不是“友好方程”；
方程的解是或，当时，，故是“友好方程”，
故答案是：②
（2）方程的解是或，一元一次方程的解是，
若，，则，解得；
若，，则，解得；
答：的值为97或95．
（3），解得，
，
；
；
；
即．
分母不能为0；
，即；
；
答：的值为16．
15．
【解答】解：（1）当时，，
解得，
为此方程的“友好系数”；
当时，，
解得，
为此方程的“友好系数”；
（2），
解得，
当是整数时，也是整数，
方程的“友好系数”有无穷多．
16．
【解答】解：（1），
，
，
，
不是奇异方程；
故答案为：不是；
（2）有，理由如下：
，
，
，
，
即时有符合要求的“奇异方程”；
（3）且由题可知：，，
两式相减得，．
17．
【解答】解：（1）的解为，
，
是“差解方程”；
（2）是“差解方程”，
，
解得
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