(共26张PPT)
（浙教版）七年级
上
3.4实数的运算
实数
第3章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：1.掌握实数的运算与实数的近似运算；
2．在实际生活中会用实数进行运算．
新知讲解
问题2：实数包含哪些数？
有理数、无理数．
问题3：有理数中的运算法则、运算律等在实数范围内能否继续使用？
加、减、乘、除、乘方，加法（乘法）交换律、结合律、分配律．
问题1 ：有理数中学过哪些运算及运算律？
新知讲解
新知讲解
新知讲解
议一议
有理数的运算与实数的运算有何相同与不同之处
相同点:有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．
不同点:在实数范围内增加了开方运算;运算顺序为:括号---开方和乘方---乘除---加减．
新知讲解
请同学们总结有理数的运算律和运算法则：
1．交换律 ：加法： a+b=b+a．
乘法：a×b=b×a．
2．结合律： 加法：（a+b)+c=a+(b+c)．
乘法：（a×b）×c=a×（b×c）．
3．分配律：a× (b+c)= a×b+a×c．
注：数从有理数扩充到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用．
新知讲解
提炼概念
实数混合运算的顺序：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号， 则先进行括号里的运算．
典例精析
例1 计算：
解：
．
新知讲解
练一练： ．
解：
．
新知讲解
我们同样可以用计算器进行实数的运算．近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值．
例2 用计算器计算：
（1） （精确到0.001）．
（2） （精确到0.01）．
解：（1）按键顺序为:
8
-
0.915495942
7
=
∴ ．
显示：
新知讲解
（2）按键顺序为:
显示：
∴ ．
新知讲解
例3 俗话说，登高望远．从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为 千米．位于上海中心大厦118层楼的“上海之巅”观光厅高546米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)？
解： （千米）．
答：最多大约能看到82.8千米远．
新知讲解
归纳概念
1．无理数取近似值转化成有理数的运算．
2．运算中间取近似值时，需比预定精确度多取1位．
3．如能化简，则应先化简，最后按要求取近似值．
4．如能运用运算律的运用运算律进行计算．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1、计算 的结果为（ ）
A．-5 B． -15 C． 1 D．9
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.判断下面说法是否正确,并举例说明理由.
(1)两个无理数的和一定是无理数.
(2)两个无理数的积一定是无理数.
（3）写出两个无理数，使它们的和为2.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.计算：
（1） ； （2） ；
（3） ．
解：（1） ；
（2） ；
．
（3）
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.用计算器计算：
（1） ；
（2） （精确到0.0001）；
（3） （精确到0.01）；
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
【综合拓展类作业】
课堂练习
5、某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用公式
来估计其中d（km）是雷雨区域的直径．雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
解：当d=8 km时，
答：这场雷雨大约能持续 小时．
课堂总结
1、实数混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加 减．如果遇到括号， 则先进行括号里的运算．
2、可以利用运算法则和运算律简化运算过程．
3、近似值的取法．
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1. -27的立方根与81的平方根的和是（ ）
A．6 B．0 C．6或-12 D．0或6
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.计算：
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
3.化简： ．
解：∵ ， ，
∴原式＝
．
．
作业布置
【综合拓展类作业】
4、一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用 来估计。当物体经过的距离为15米时，求它下落的时间.(精确到0.1）
答：它下落的时间为1.7秒.中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 浙教版 册、章 七年级上册第3章
课标要求 1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念与表示．2、认识开平（立）方与平（立）方之间的联系，会用平（立）方运算求平（立）方根，会用计算器求平方根和立方根．3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．4、能用有理数估计一个无理数的大致范围．5、了解近似数的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．
内容分析 本章的主要内容是有理数的开方、平方根、立方根、无理数和实数及其运算．从有理数到实数是数的第二次扩展。经过本章的学习，第三学段所应学的数系扩展已完成，从本章开始，今后所遇到的问题（除特别说明）都将在实数范围内讨论，这给教学带来许多方便．数系从有理数扩展到实数后，数的运算法则和运算律都没有发生变化，本章的内容避开涉及二次根式的内容，所有运算都转化为有理数的运算．平方根、立方根的概念对实数概念的建立起了十分重要的作用，而且应用非常普遍．实数与数轴上的点的对应关系直观地反映了数的扩展状况，这种数与点的对应关系，使数轴成为解释和解决许多数学问题的有效工具，也是数形结合的研究方法的重要依据．平方根、立方根的概念，实数与数轴上点的一一对应关系是本章教学中的重点．平方根的概念是通过逆运算来建立的，而且有多种不同情况，这是学生从未经历过的．无理数的概念比较抽象，它是一个确定的数，却不能把它完全直观地表示出来．平方根的概念、无理数的概念是本章教学中的主要难点．
学情分析 对于无理数、实数的认识，强调了让学生经历一个实际的情境，使学生在实际情境中体验、感受和理解有理数的意义，由于实数的有关概念本身具有抽象性，但所反映的内容又十分现实，与人们的生活、生产又十分密切的联系，学生在学习过程中有了现实背景感受，体验有关的知识能形成数感、符号感，认识数学与生活的密切关系．
单元目标 教学目标1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类．2．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．3．数轴与实数的﹣﹣对应关系．（二）教学重点、难点教学重点：实数的教学．教学难点：实数的概念本章教学中的难点．
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （一）.教材特点：(1）教材由实际计算需要引出平方根的概念．随着根号2这些数的出现，就必须建立新的数的概念﹣--﹣无理数。无理数的概念的建立，为数从有理数扩展为实数奠定了基础．(2）立方根也是由于人们生活和生产实践的需要而产生的数的概念．虽然这一节在实数一节之后，但仍起着加深对实数的认识的作用．在实数范围内进行开立方的运算，无论从认知的角度，还是从表述的角度，都较为方便．(3）随着数集的扩展，数的运算也必须随着扩展．这不仅是实际计算的需要，也是数发展自身的需要．没有扩展数的运算，数系的扩展就没有意义．实数部分新增的运算是开方运算，在本章中，开方运算主要是利用计算器来进行，也就是通过近似计算，把实数的运算化归为有理数的运算．（二）.本章教学中应注意的问题：(1）要重视从有理数到实数的发展过程的教学．要充分运用实际例子克服这一数的扩展过程中的抽象性，使学生体验到平方根、无理数、实数等概念是由于人们生活和生产实践的需要而产生的，在我们的周围普遍存在着．通过实际例子帮助学生了解这些抽象概念的实际意义，并学会在实际情境中使用它们．(2）要从全套教材的结构来认识本章的地位，并把握好要求．注意不能增加算术平方根的性质和二次根式方面的内容，这些内容将在八年级下册继续学习．（三）.本章的数学思想方法：数学思想方法是数学知识的主要组成部分，也是数学教学的主要内容，通过分析，本章的数学思想方法主要有：数形结合思想．本章为数与形的转换提供了一个基本支撑点﹣一数轴。有了数轴这个基础，把数与形有机的联系起来了，这样就可以用数形结合思想解决问题了，如解释了"实数与数轴上的点的一一对应关系"及"实数的大小比较"．分类讨论的思想．木章中关于实数的分类，就利用了这一思想．(3）对立统一思想．由于本章引入了无理数、实数的概念，把开方、平方及有理数运算和实数运算统一起来，所以，在这一章中，有利于对学生进行"对立统一"思想方法的教育．(4）转化的思想．本章中，通过"开方"的概念及计算器的应用，把有理数的运算转化为实数的运算．这是非常重要的思想方法，对它的学习不仅解决了实数的运算，而且对进一步学习数学提供了一种重要的思想方法．
课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1平方根 13.2实数13.3立方根13.4实数的运算1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务3.1平方根 1.理解平方根、算术平方根的概念与性质；2．会求一个正数的平方根与算术平方根；3．能运用平方根的概念进行开方运算．1.用类比有理数的计算方法进行实数的运算．2.掌握一个正数有两个平方根，其中正的平方根是它的算术平方根．活动一：思考、讨论、比较中体会算术平方根的含义．活动二：通过对算术平方根、平方根的学习，初步了解数学之间的对立统一的辩证唯物主义思想.3.2实数1. 理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类；2．会求实数的相反数、倒数与绝对值；3．理解实数与数轴的一一对应关系．1.利有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然适用．2.理解实数与数轴的一一对应关系．活动一：用类比思想求实数的相反数、倒数与绝对值．活动二：完成例题学习巩固知识点．活动三：理解无理数和实数的概念，并能按要求对实数进行分类．3.3立方根1. 理解立方根的概念，会求一个数的立方根．2．理解并掌握立方根的性质，能运用立方根进行简单的计算；3．会用计算器求一个数的立方根．1.理解并掌握立方根的性质，能运用立方根进行简单的计算．2．被开方数是带分数，要先化成假分数，再开立方；被开方数是差的形式，先计算出差值，再开立方．活动一：通过类比、讨论、总结得出立方根的概念与性质．活动二：注意其结果的唯一性，不要与平方根相混淆．活动三：会用计算器求一个数的立方根．．3.4实数的运算1.掌握实数的运算与实数的近似运算；2．在实际生活中会用实数进行运算．1.掌握实数运算的法则和顺序．2．让学生认识到有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用．活动一：用类比有理数的计算方法进行实数的运算．活动二：完成例题学习巩固知识点．
《第3章 实数》单元教学设计
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分课时教学设计
第4课时《3.4实数的运算》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 了解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用；会进行简单的实数四则运算，进一步认识近似数的概念；通过对实数的运算过程的反思，培养学生观察、比较、分析、计算的能力．
学习者分析 让学生认识到有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用．掌握实数运算的法则和顺序．
教学目标 1.掌握实数的运算与实数的近似运算； 2．在实际生活中会用实数进行运算．
教学重点 掌握实数运算的法则和顺序．
教学难点 用计算器将实数按要求对结果取近似值．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 复习回顾 问题1 ：有理数中学过哪些运算及运算律？ 加、减、乘、除、乘方，加法（乘法）交换律、结合律、分配律． 问题2：实数包含哪些数？ 有理数、无理数． 问题3：有理数中的运算法则、运算律等在实数范围内能否继续使用？ 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 先自主探究,再小组合作,分析,总结． 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题．从实际出发，回顾有理数的运算律及运算法则. 环节二：教师活动2： 实数的运算律和运算法： 请同学们总结有理数的运算律和运算法则： 1．交换律 ：加法： a+b=b+a． 乘法：a×b=b×a． 2．结合律： 加法：（a+b)+c=a+(b+c)． 乘法：（a×b）×c=a×（b×c）． 3．分配律：a× (b+c)= a×b+ a×c． 注：数从有理数扩充到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用． 实数混合运算的顺序： 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号， 则先进行括号里的运算． 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，让学生认识到有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用． 环节三：教师活动3： 例1 计算：． 针对练习： 计算：． 我们同样可以用计算器进行实数的运算．近似计算时按题目的要求将用计算器算得的结果取近似值． 例2 用计算器计算： （1）（精确到0.001）． （2）（精确到0.01）． 归纳： 1．无理数取近似值转化成有理数的运算． 2．运算中间取近似值时，需比预定精确度多取1位． 3．如能化简，则应先化简，最后按要求取近似值． 例3俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为d=112 ×千米。位于上海中心大厦118层楼的“上海之巅”观光厅高546米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)？ 解： （千米）． 答：最多大约能看到82.8千米远． 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，会进行实数的四则混合运算．会用计算器进行实数的运算，并按要求对结果取近似值．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、计算 的结果为（ ） A．-5 B． -15 C． 1 D．9 2.判断下面说法是否正确,并举例说明理由.
(1)两个无理数的和一定是无理数.
(2)两个无理数的积一定是无理数. （3）写出两个无理数，使它们的和为2. 选做题： 【综合拓展类作业】 5、某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计其中d（km）是雷雨区域的直径．雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： -27的立方根与81的平方根的和是（ ） A．6 B．0 C．6或-12 D．0或6 2.计算： 选做题： 3.化简： 【综合拓展类作业】 4、一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用 来估计。当物体经过的距离为15米时，求它下落的时间.(精确到0.1）.
教学反思 1、实数混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号， 则先进行括号里的运算． 2、可以利用运算法则和运算律简化运算过程． 3、近似值的取法．
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 3.4实数的运算
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1.掌握实数的运算与实数的近似运算； 2．在实际生活中会用实数进行运算．
课前学习任务
复习引入 问题1 ：有理数中学过哪些运算及运算律？ 问题2：实数包含哪些数？ 问题3：有理数中的运算法则、运算律等在实数范围内能否继续使用？
课上学习任务
【学习任务一】 数从有理数扩展到实数后，有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用。 总结实数的运算法则： ， 。 【学习任务二】 例1、 2×(3+)+4-2 【学习任务三】 例2 用计算器计算 （1）（精确到0.001） （2）3π-2×(4+)（精确到0.01） 注意：在使用计算器的情况下，一般先算出最终结果后，再将显示的数据按预定精确度取 。 归纳： 1．无理数取近似值转化成有理数的运算． 2．运算中间取近似值时，需比预定精确度多取1位． 3．如能化简，则应先化简，最后按要求取近似值． 例3俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为d=112 ×千米。位于上海中心大厦118层楼的“上海之巅”观光厅高546米，人在观光厅里最多能看多远(精确到0.1千米)？ 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1、计算 的结果为（ ） A．-5 B． -15 C． 1 D．9 2.判断下面说法是否正确,并举例说明理由.
(1)两个无理数的和一定是无理数.
(2)两个无理数的积一定是无理数. （3）写出两个无理数，使它们的和为2. 选做题： 【综合拓展类作业】 5、某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计其中d（km）是雷雨区域的直径．雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ 【知识技能类作业】 必做题： -27的立方根与81的平方根的和是（ ） A．6 B．0 C．6或-12 D．0或6 2.计算： 选做题： 3.化简： 【综合拓展类作业】 4、一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用 来估计。当物体经过的距离为15米时，求它下落的时间.(精确到0.1）.
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