2024-2025学年浙教版 九年级上册数学第四章 相似三角形单元培优测试卷（含答案）

相似三角形培优卷2
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）．
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
3．如图，中，E为的中点．已知的面积为1，则的面积为（　　）
A．9 B． C． D．
4．如图，在中，，，连结AC交DF于点G．若，则FG的长是（　　）
A． B．2 C． D．1
5．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　）
A．(，2) B．(2，2) C．(，2) D．(4，2)
8．如图，是正方形的一边延长线上一点，分别连接，，与交于点，设的面积为，四边形的面积为，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰中，分别在边上，，，若已知的长，则能求出下列哪个量（　　）
A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的面积
10．如图，已知中，，于D，E是上一点（不与C，D重合），点E作于G，交于F，过E作于H，交于K，连结，．则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图，在平行四边形中，，，，求线段　 　．
12．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是　 　平方厘米．
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为　 　.
14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，，M是的中点，连接，，且，则的长是　 　．
15．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为　 　.
16．如图1，在中，，是上一点，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置，若，，则线段的长为　 　.
三、综合题（17题8分，18题10分，19-22每题12分,共66分）
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E， 且∠EDB＝∠C.
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长.
18．如图，矩形 中， 为 上一点， 于点 ．
（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 的长．
19．在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长.
20．如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O.
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积.
21．如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在上，平行于y轴的直线从点A出发，以3个单位每秒的速度在射线上匀速运动，交直线于点P，交x轴于点Q，运动的时间为秒．
（1）若，①求点C的坐标；②当时，求的长度；
（2）当时，直接写出直线运动的过程中，与相似时（不包含重合时）t的值．
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．
（1）求证：∠ADG＝∠F；
（2）已知AE＝CD，BE＝2．
①求⊙O的半径长；
②若点G是AF的中点，求DF的长．
答案解析部分
1-5．【答案】ACBCD
6-10．【答案】CBBAD
11．【答案】6
12．【答案】或
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】15
16．【答案】6
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴ ，
∵DC＝10cm，BE＝18cm，
∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB＋ BE ＝28cm，
即
∴DE＝6 cm.
18．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ， ，
，
由（1）已证： ，
∴ ，即 ，
解得 ．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵E为DC中点，
∴
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴.
21．【答案】（1）解：∵抛物线经过点A（2，0），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，
设直线AB的解析式为 ，
把A（2，0），，代入得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为；
（2）解：如图，连接BD，AD，
∵，
∴点D的坐标为 ，
∵A（2，0），，
∴ ，
∴ ，
∴△ABD为直角三角形，
∴
（3）解：设直线BD的解析式为 ，
把点，代入得：
，解得： ，
∴直线BD的解析式为 ，
当 时， ，
∴点P的坐标为 ，
当△ABP∽△ABC时，∠ABC=∠APB，
如图，过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ=3，OQ=1，
∵△ABP∽△ABC，
∴∠ABD=∠BCQ，
由（2）知，
∴，
∴ ，
∴CQ=9，
∴OC=OQ+CQ=10，
∴点C的坐标为 ；
当△ABP∽△ABC时，∠APB=∠ACB，此时点C与点P重合，
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
22．【答案】（1）解：①由题可得B(0，6)，A(18，0)，
∵∠OBC=∠OAB，∠BOC=∠AOB=90°
∴△OBC∽△OAB
∴=，即=
解得OC=2
∴C点坐标为（2，0）
②由题可得Q(18-3t，0)，P(18-3t，t)
∴BP=
BC==
又∵BP=BC
∴=40
解得t=4或8
∴AQ为12或24
（2）解：分类讨论
①当△OBC∽△QCP
有=，即=
解得t=3或15
②当△OBC∽△QPC
有=，=
解得t=或6（舍去）
综上所述t为3s或15s或s
23．【答案】（1）证明：连接BG，
∵AB是圆的直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠F+∠BAG＝90°，
∴∠F＝∠ABG，
∵∠ADG＝∠ABG，
∴∠ADG＝∠F；
（2）解：①连接OC，设圆的半径是r，
∵BE＝2，
∴OE＝r﹣2，DC＝AE＝2r﹣2，
∵直径AB⊥CD，
∴EC＝CD＝r﹣1，
∵CO2＝OE2+EC2，
∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣1）2，
∴r2﹣6r+5＝0，
∴r＝5或r＝1（舍），
∴⊙O的半径长是5；
②∵AE＝AB﹣BE，
∴AE＝10﹣2＝8，
∴CD＝AE＝8，
∵AB⊥DC，
∴DE＝EC＝4，
∵∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠DAF，
∴△DAG∽△FAD，
∴AD：FA＝AG：AD，
AD2＝FA AG，
∵G是AF中点，
∴AG＝AF，
∴AD2＝AF2，
∵AD2＝AE2+DE2＝80，
∴AF2＝160，
∵∠AEF＝90°，
∴EF＝＝，
∴DF＝DE+EF＝+4．