第一章 二次函数单元培优测试卷2（含答案）2024-2025学年浙教版九年级上册数学

二次函数培优卷2
一、选择题（每题3分，共30分）
1．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，下列结论正确的是（　　）
A．函数图象过点
B．函数图象与 轴无交点
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时， 随 的增大而减小
3．二次函数 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． 且
C． D． 且
4．抛物线y＝ x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝ （x+1）2﹣2 B．y＝ （x﹣1）2+2
C．y＝ （x﹣1）2﹣2 D．y＝ （x+1）2+2
5．已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（　　）
A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4
7．设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（　　）
A． B．
C． D． 且
8．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（　　）
A． B．或 C．或 D．
9．对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（　　）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共24分）
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为直线x＝1，若点A（2，y1）与B（3，y2）是此抛物线上的两点，则y1　 　y2（填“＞”或“＜“）．
12．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为　 　
13．若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是　 　．
14．飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是　 　秒．
15．如图，正方形的边长为2，为边上一动点，连接，，以为边向右侧作正方形．
（1）若，则正方形的面积为　 　．
（2）连接，，则面积的最小值为　 　．
16．已知二次函数，当时，.
（1）若，，则　 　.
（2）若抛物线经过点和点，则的取值范围是　 　.
三、综合题（17-18每题8分，19-21每题12分，22题14分，共66分）
17．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
18．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天所需支付的各种费用2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800件，那么该公司应该把销售单价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
19．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．
（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．
20．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
21．直线yx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A，B．M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M在线段OA上运动，
①求线段PN的最大长度．
②连接AN，求△ABN面积的最大值．
22．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线 上，过点作轴于点 ，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处.
（1）求抛物线解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1-5．【答案】ADDDB
6-10．【答案】CDDDC
11．【答案】＞
12．【答案】-3
13．【答案】或0
14．【答案】
15．【答案】5；
16．【答案】（1）
（2）或
17．【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为，
设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
∴抛物线为： ．
（2）解：不能，理由如下：
当时，，
∴水流不会碰到这棵果树．
18．【答案】（1）解：设花边的宽度为xcm，根据题意得：
（60﹣2x）（40﹣x）=60×40﹣650，
解得：x=5或x=65（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为5cm
（2）解：设每件工艺品定价x元出售，获利y元，则根据题意可得：
y=（x﹣40）[200+20（100﹣x）]﹣2000=﹣20（x﹣75）2+22500；
∵销售件数至少为800件，故40＜x≤70
∴当x=70时，有最大值，y=22000
当售价为70元时有最大利润22000元
19．【答案】（1）解：根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式；
（2）解：∵运动员与小山坡的竖直距离为米，
∴，
解得：（不合题意，舍去）， ，
故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
（3）解：∵点A（0，4），
∴抛物线，
∵抛物线，
∴坡顶坐标为 ，
∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，
∴，
解得：．
20．【答案】（1）解：将点代入中，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点C的坐标为，
当时，，
解得：，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为，
将点，点代入解析式，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（3）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，
∴抛物线的对称轴为x=，
假设存在点P，设P（2，t），
则AC==，
AP==，
CP==，
∵△ACP为等腰三角形，
故可分三种情况：
①当AC=AP时，，
解得：t=±2，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）；
②当AC=CP时，，
解得：t=0或t=8，
∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
将点A（-2，0）、C（0，4）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y=2x+4，
当x=2时，y=4+4=8，
∴点（2，8）在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；
③当AP=CP时，，
解得：t=，
∴点P的坐标为（2，）；
综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，-2）或（2，0）或（2，）．
21．【答案】（1）解：将A（3，0）代入yx+c，得c＝2，
∴直线解析式为yx+2，
当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2）；
（2）解：将A（3，0），B（0，2）代入yx2+bx+c，
∴，
解得，
∴yx2x+2；
（3）解：①∵M（m，0），
∴N（m，m2m+2），P（m，m+2），
∴PNm2m+2﹣（m+2）（m）2+3，
∵0＜m＜3，
∴m时，PN有最大值3；
②△ABN的面积3PN＝﹣2（m）2，
∴△ABN面积的最大值为．
22．（1）解：沿所在直线翻折，点落在点处，
点、点都在抛物线上
，解得
抛物线的解析式为
（2）解：抛物线与轴交于点
当时， 设直线的解析式为
把两点的坐标代入得，解得
直线的解析式为
点在直线上，轴于点
当时，
，，
答：的面积为2.
（3）解：抛物线上存在一点，使，
为等腰直角三角形，则有
点在抛物线上
设点的坐标为
①当点在轴上方时记为，过做轴于点
在中，
，即，
解得：（舍去）
当时，
点的坐标为
②当点在轴下方时记为过做轴于点
在中，即
，即，
解得：（舍去）
当时，
点的坐标为
综上，符合条件的点坐标是或.