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第一章 有理数
1.1 从自然数到有理数
1.1.1 自然数和分数
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.了解自然数与分数的概念；
2.理解和应用分数和小数之间的互化，利用数的运算分析、判断和解决实际问题（重点）
02
新知导入
我国的长城始建于公元前7世纪前后修造了2000余年。明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，总长度为8852千米。人们称其为万里长城。
03
新知讲解
在小学，我们已经学过自然数0,1,2,3,4,5，…。
自然数在计数和测量中应用广泛，如节前语中，我国长城“修造了2000余年”“总长度为8852千米”等。
人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮政编码、身份证号码,节前语中的“我国的长城始建于公元前7世纪“等。
03
新知讲解
我们还学习过分数和小数，
它们是由于测量和分配等实际需要而产生的。
做一做
1.小华和她的7名朋友一起过生日，平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？
2.小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？
03
新知讲解
1.小华和她的7名朋友一起过生日，平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？
小华和7位朋友共8人，要平均分享一块蛋糕，每人可得蛋糕的份额是整个蛋糕的
2.小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？
小明的身高是168厘米，要转换成米，由于1米=100厘米，将小数点后移两位得到1.68米
1.68一个是分数一个是小数，他们之间有什么联系吗？
03
新知讲解
分数可以看作两个整数相除，例如
=3÷5=0.6,=0.，
因此分数都可以化为小数。
分数化成小数的结果可能是有限小数，也有可能是无限循环小数。反过来，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数形式，例如，
1.31=1，0.0062==。
伴随着数的概念而来的是数的运算，数的运算是人们分析、判断和解决实际问题的重要手段。
03
新知讲解
大家好，我是小慧，我要去北京参加夏令营。
我打算先乘汽车从宁波到杭州与同学会合，然后乘坐13:00出发的火车去北京。
1.小慧要去北京参加夏令营，行程信息如下图所示她该如何合理安排行程？你能帮小慧列出算式吗
与同学会合后，市内交通和检票进站要40~50分钟。
小慧最迟什么时候从宁波出发，才能赶上火车
宁波
杭州13：00出发
路程160千米
车速度90千米/时
北京
03
新知讲解
乘汽车从宁波到杭州的时间 =小时
候车检票时间50分钟=小时=小时
出发时间：13--=10
才能赶上火车
03
新知讲解
2.夏令营结束后，小慧要买一张从北京直达宁波的回程票，原打算买火车票，这样她还剩160元钱，后来想改买飞机票，票价如下表。若不考虑其他费用，小慧的钱够吗？
交通工具 出发——到达 发时——到时 运行时间 参考票价
火车 北京南——宁波 8:12-14:54 6时42分 676元
(二等座)
飞机 北京首都国际机场——宁波栎社国际机场 16:00-18:25 2时25分 900元
03
新知讲解
根据我们已经学过的知识，上述问题2可以列下面的算式求解：
676+160-900=836-900=
算式中，被减数小于减数，在这种情况下，能否进行运算？
运算的结果是什么？这需要我们进一步学习探索。
04
课堂练习
【例1】
下列分数中，能化为有限小数的是( )
A. B. C. D.
B
04
课堂练习
【例2】
下列各题:① 6天看完一本300页的书，求平均每天看书的页数;②小明的身高是146cm，请问小明的身高为多少米;③2个人均分14支铅笔，求每个人分得的铅笔数占铅笔总数的比例，其中需要用分数表示的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
C ①③需要用分数表示
04
课堂练习
【例3】
(1)3个苹果6个小朋友平分,每人能分到多少个苹果
(2)一节课40分钟,如果改用小时作单位,应怎样表示
(3)小刚家买了一辆新型家庭轿车,价格为106800元,如果改用“万元”作单位,应怎样表示
解:(1)每人能分到个苹果.
(2)60分钟为1小时,所以40分钟为1小时的,即小时
(3)106800=10.68×10000,所以106800元=10.683万元.
04
课堂练习
【例4】
某商场在销售旺季时将某种商品的价格上调10%,旺季过后又将其下调10%,则下调后的商品比上调前贵了还是便宜了
解:(1+10%)x(1-10%)=110%x90%=99%.
因为99%<1，
所以下调后的商品比上调前便宜了.
04
课堂练习
【选做】
5.小刚100元钱去购买钢笔和圆珠笔,若钢笔每支12元，圆珠笔每支2元；则小刚最多能买 支钢笔，剩余的钱还够买 支圆珠笔。
若100元都用来买钢笔，则==8
最多可买8支钢笔
钢笔花费12×8=96元
剩余4元买圆珠笔，可以买=2支
∴最多能买8支钢笔，剩余的钱还够买2支圆珠笔
04
课堂练习
【选做】
6.国家规定存款利息的纳税方法是:利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为1.98%，今小王取出一年到期的本钱及利息时，缴纳了利息税19.8元，问小王1年前存入银行多少钱。
利息税计算公式为利息税=利息×20%。
小王取出一年到期的本钱及利息时缴纳了19.8元利息税，
本金=19.8÷1.98%÷20%。计算得出本金为5000元。
因此，小王1年前存入银行的金额是5000元。
05
课堂小结
分数是可以看作两个整数相除；
因此分数都是可以化为小数的。
分数化成小数的结果可能是有限小数，也有可能是无限循环小数
反过来说，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数形式
06
作业布置
【必做】1.填空
(1)分数化为小数为 ；
(2)小数0.125化为分数为 ；
(3)折扣:七折化为百分数为 。
(1)0.4
(2)
(3)70%
06
作业布置
【必做】2.某商店有两个进价不同的物品都卖了100元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%.在这次买卖中，这家商店( )
A.不赔不赚 B.赚了 C.赔了 D.与卖的价钱有关，无法确定
解析：盈利 20%的物品的进价为100÷(1+20%)=(元)
亏损 20%的物品的进价为100÷(1-20%)=125(元)，
∴总进价为+125=(元)
∵总售价为100+100=200(元)，>200,
∴所以这家商店赔了，故选C
06
作业布置
【必做】3.按一定规律排列的列数依次为，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数为
解析：因为第1个数的分母为2=1x1+1，第2个数的分母为3=2x2-1，第3个数的分母为10=3x3+1，第4个数的分母为 15=4x4-1，第5个数的分母为26=5x5+1，…，
所以当n为奇数时，第n个数的分母为+1;
当n为偶数时，第n个数的分母为-1.
所以第20个数的分母为20x20-1=399.
所以第 20 个数为
06
作业布置
【必做】4.同样的大米有两种不同规格的包装，有每袋10千克的,有每袋5千克的。10千克的每袋32元，5千克的每袋17元，你觉得消费者买哪一种合算
答：10干克装的单价:=3.2(元/干克)，
5千克装的单价:=3.4(元/干克)
因为3.2<3.4，所以买10千克装的合算
06
作业布置
【选做】5.希望小学购买60个足球，现有甲乙,丙三个商店可以选择三个商店同品牌足球的单价都是20元，但各个商店的优惠方法不同:
甲店:买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送
乙店:一律“七五”折优惠.
丙店:购物满200元，返还现金30元
为节省费用，希望小学应到哪个商店去购买 请通过计算
06
作业布置
【答案】
甲店:60÷(10+2)×10×20=60÷12×10×20=1000(元)，
乙店:20×75%×60=900(元)
丙店:20×60-20×60÷200×30=1200-180=1020(元)
900元<1000元<1020元，
所以去乙店购买最为优惠
06
作业布置
【选做】6.假日公司的西湖一日游价格如下:
A种:成人每位160元，儿童每位40元
B种:5人以上团体，每位100元
现有三对夫妇各带1个小孩，共9人，参加西湖一日游，最少要多少钱
06
作业布置
【选做】6.解析：
方案A:6位成人和3位儿童分别按照A种价格计算
即6x160元(成人)+3x40元(儿童)=960元+120元=1080元
方案B:9位游客全部按照团体价格计算，即9x100元=900元
方案C:5位成人购买团体票，其余1位成人和3位儿童购买A种票，
即5x100元(团体)+1x160元(成人)+3x40元(儿童)=500元+160元+120元=780元
方案D:6位成人购买团体票，3位儿童购买A种票
即6x100元(团体)+3x40元(儿童)=600元+120元=720元
比较上述四种方案的费用，我们可以看出方案D的费用最少，为720元。
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有理数
1.1 从自然数到有理数
学习目标：
了解自然数与分数的概念；
理解和应用分数和小数之间的互化，利用数的运算分析、判断和解决实际问题（重点）
核心素养目标：利用数的运算解决实际问题
学习重点：理解分数和小数的意义，能正确地对两者互化，利用数的运算解决实际问题
学习难点：理解和应用分数和小数之间的互化
一、知识链接
1.分数可以看作____________________，因此分数都可以化作______。
2.分数化成小数的结果可能是__________________，也可能是__________________；反之________________________也都可以化成分数。
二、自学自测
1.把1.56化成分数是（）。
A.156/100 B.156/10 C.156/1000 D.156/10000
2.将分数5/8转换为小数，结果是（）。
A.0.625 B.0.75 C.0.875 D.0.9
一、创设情境、导入新课
我国的长城始建于公元前7世纪前后修造了2000余年。明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，总长度为8852千米。人们称其为万里长城。
在小学，我们已经学过自然数0,1,2,3,4,5，…。自然数在计数和测量中应用广泛，如节前语中，我国长城“修造了2000余年”“总长度为8852千米”等。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮政编码、身份证号码,节前语中的“我国的长城始建于公元前7世纪“等。
我们还学习过分数和小数，它们是由于测量和分配等实际需要而产生的。
现实生活中，像这样的例子还有很多，你还能说出一些来吗？（学生回答，教师总结）
二、合作交流、新知探究
探究一：引入概念
教材第7页
小华和她的7名朋友一起过生日，平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？
小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？
分数可以看作两个整数相除，例如
=3÷5=0.6，=0.3 ，
因此分数都可以化为小数。
分数化成小数的结果可能是有限小数，也有可能是无限循环小数。反过来，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数形式，例如，
1.31=1，0.0062=。
伴随着数的概念而来的是数的运算，数的运算是人们分析、判断和解决实际问题的重要手段。
探究二：例题讲解
教材第7页：
例1.小慧要去北京参加夏令营，行程信息如下图所示她该如何合理安排行程？你能帮小慧列出算式吗
大家好，我是小慧，我要去北京参加夏令营
我打算先乘汽车从宁波到杭州与同学会合，然后乘坐13:00出发的火车去北京。
与同学会合后，市内交通和检票进站要40~50分钟。
宁波到杭州路程160千米，车速度90千米/时
小慧最迟什么时候从宁波出发，才能赶上火车
例2.夏令营结束后，小慧要买一张从北京直达宁波的回程票，原打算买火车票，这样她还剩160元钱，后来想改买飞机票，票价如下表。若不考虑其他费用，小慧的钱够吗？
算式中，被减数小于减数，在这种情况下，能否进行运算？运算的结果是什么？这需要我们进一步学习探索。
提炼概念（本节课主要内容提炼）
分数是可以看作两个整数相除；因此分数都是可以化为小数的。
分数化成小数的结果可能是有限小数，也有可能是无限循环小数；反过来说，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数形式
【强调】：分数可以化成有限小数或无限循环小数，所以有限小数或无限循环小数都是分数
【例1】下列分数中，能化为有限小数的是( )
B. C. D.
【例2】下列各题:① 6天看完一本300页的书，求平均每天看书的页数;②小明的身高是146cm，请问小明的身高为多少米;③2个人均分14支铅笔，求每个人分得的铅笔数占铅笔总数的比例，其中需要用分数表示的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【例3】(1)3个苹果6个小朋友平分,每人能分到多少个苹果
(2)一节课40分钟,如果改用小时作单位,应怎样表示
(3)小刚家买了一辆新型家庭轿车,价格为106800元,如果改用“万元”作单位,应怎样表示
【例4】某商场在销售旺季时将某种商品的价格上调10%,旺季过后又将其下调10%,则下调后的商品比上调前贵了还是便宜了
【选做】5.小刚100元钱去购买钢笔和圆珠笔,若钢笔每支12元，圆珠笔每支2元；则小刚最多能买 支钢笔，剩余的钱还够买 支圆珠笔。
【选做】6.国家规定存款利息的纳税方法是:利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为1.98%，今小王取出一年到期的本钱及利息时，缴纳了利息税19.8元，问小王1年前存入银行多少钱。
分数是可以看作两个整数相除；
因此分数都是可以化为小数的。
分数化成小数的结果可能是有限小数，也有可能是无限循环小数；
反过来说，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数形式
必做题：
1.填空
(1)分数 化为小数为0.4
(2)小数0.125化为分数为
(3)折扣:七折化为百分数为70%
2.某商店有两个进价不同的物品都卖了100元，其中一个盈利20%，另一个亏损20%.在这次买卖中，这家商店(C)
A.不赔不赚 B.赚了 C.赔了 D.与卖的价钱有关，无法确定
盈利 20%的物品的进价为100÷(1+20%)=(元)
亏损 20%的物品的进价为100÷(1-20%)=125(元)，
∴总进价为+125=(元)
∵总售价为100+100=200(元)，>200,
∴所以这家商店赔了.
按一定规律排列的列数依次为，，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数为
因为第1个数的分母为2-1x1+1，第2个数的分母为3=2x2-1，第3个数的分母为10=3x3+1，第4个数的分母为 15=4x4-1，第5个数的分母为26=5x5+1，…，
所以当n为奇数时，第n个数的分母为+1;
当n为偶数时，第n个数的分母为-1.
所以第20个数的分母为20x20-1=399.
所以第 20 个数为
4.同样的大米有两种不同规格的包装，有每袋10千克的,有每袋5千克的。10千克的每袋32元，5千克的每袋17元，你觉得消费者买哪一种合算
答：10干克装的单价:=3.2(元/干克)，
5千克装的单价:=3.4(元/干克)
因为3.2<3.4，所以买10千克装的合算
选做题：
5.希望小学购买60个足球，现有甲乙,丙三个商店可以选择三个商店同品牌足球的单价都是20元，但各个商店的优惠方法不同:
甲店:买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送
乙店:一律“七五”折优惠.
丙店:购物满200元，返还现金30元
为节省费用，希望小学应到哪个商店去购买 请通过计算
【答案】
甲店:60÷(10+2)x10x20=60÷12x10x20=1000(元)，
乙店:20x75%x60=900(元)
丙店:20x60-20x60÷200x30=1200-180=1020(元)
900元<1000元<1020元，
所以去乙店购买最为优惠
6.假日公司的西湖一日游价格如下:
A种:成人每位160元，儿童每位40元
B种:5人以上团体，每位100元
现有三对夫妇各带1个小孩，共9人，参加西湖一日游，最少要多少钱
方案A:6位成人和3位儿童分别按照A种价格计算
即6x160元(成人)+3x40元(儿童)=960元+120元=1080元
方案B:9位游客全部按照团体价格计算，即9x100元=900元
方案C:5位成人购买团体票，其余1位成人和3位儿童购买A种票，
即5x100元(团体)+1x160元(成人)+3x40元(儿童)=500元+160元+120元=780元
方案D:6位成人购买团体票，3位儿童购买A种票
即6x100元(团体)+3x40元(儿童)=600元+120元=720元
比较上述四种方案的费用，我们可以看出方案D的费用最少，为720元。
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1.1自然数和分数教学设计
课题 1.1.1自然数和分数 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级（上）
教材分析 本节是学生从小学到初中的过渡阶段的第一节课，学生对数有了一定的认识，通过学习本节课自然数和分数的运算，同时解决一些简单的实际问题，认识数的发展过程。
核心素养 能力培养 1.经历分数与小数的互化，强化学生的运算能力； 2.经历各式各样的生活情境，体会数的运算与生活的紧密联系，培养学生的应用意识
教学目标 1.了解自然数与分数的概念； 2.理解和应用分数和小数之间的互化，利用数的运算分析、判断和解决实际问题
教学重点 理解和应用分数和小数之间的互化，利用数的运算分析、判断和解决实际问题
教学难点 分数和小数之间的互化，实际问题的解决
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 我国的长城始建于公元前7世纪前后修造了2000余年。明长城东起辽宁虎山，西至甘肃嘉峪关，总长度为8852千米。人们称其为万里长城。 你在这段报道中看到了哪些数 它们分别属于哪一类数？作用相同吗？分别起着什么作用？ 在小学，我们已经学过自然数0,1,2,3,4,5，…。 自然数在计数和测量中应用广泛，如节前语中，我国长城“修造了2000余年”“总长度为8852千米”等。 人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮政编码、身份证号码,节前语中的“我国的长城始建于公元前7世纪“等。 先自主探究，再小组合作，分析，总结. 回顾小学学过的数. 阅读报道体会生活中的数.通过具体事例了解自然数的作用. 激发学生兴趣，引入新课主题，通过复习，引出新问题，通过自然数和分数的运算，解决一些简单实际问题，认识数的发展过程，感受由于生活与生产实践的需要，数还需从自然数和分数进一步的扩展
新知探究 我们还学习过分数和小数，它们是由于测量和分配等实际需要而产生的。 1.小华和她的7名朋友一起过生日，平均分享一块生日蛋糕，每人可得多少蛋糕？ 小华和7位朋友共8人，要平均分享一块蛋糕，每人可得蛋糕的份额是整个蛋糕的1/8 2.小明的身高是168厘米，如果改用米作单位，应怎样表示？ 小明的身高是168厘米，要转换成米，由于1米=100厘米，将小数点后移两位得到1.68米 分数可以看作两个整数相除，例如 =3÷5=0.6,=0.3 ， 因此分数都可以化为小数。 分数化成小数的结果可能是有限小数，也有可能是无限循环小数。反过来，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数形式，例如， 1.31=1，0.0062=。 伴随着数的概念而来的是数的运算，数的运算是人们分析、判断和解决实际问题的重要手段。 合作学习 探究一 小慧要去北京参加夏令营，行程信息如下图所示她该如何合理安排行程？你能帮小慧列出算式吗 大家好，我是小慧，我要去北京参加夏令营 我打算先乘汽车从宁波到杭州与同学会合，然后乘坐13:00出发的火车去北京。 与同学会合后，市内交通和检票进站要40~50分钟。 宁波到杭州路程160千米，车速度90千米/时 小慧最迟什么时候从宁波出发，才能赶上火车 首先要预留市内交通和检票进站40~50分钟，其次是从宁波到杭州乘汽车所需要的时间，两地距离是160千米，车速90千米每小时，可以得出乘汽车从宁波到杭州的时间 小时，候车检票时间50分钟=小时=小时 出发时间：13-=10 才能赶上火车 探究二 夏令营结束后，小慧要买一张从北京直达宁波的回程票，原打算买火车票，这样她还剩160元钱，后来想改买飞机票，票价如下表。若不考虑其他费用，小慧的钱够吗？ 根据我们已经学过的知识，上述问题2可以列下面的算式求解： 676+160-900=836-900= 算式中，被减数小于减数，在这种情况下，能否进行运算？ 运算的结果是什么？这需要我们进一步学习探索。 教师总结： 分数是可以看作两个整数相除； 因此分数都是可以化为小数的。 分数化成小数的结果可能是有限小数，也有可能是无限循环小数 反过来说，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数形式 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 引导学生掌握自然数常用来计数、测量、排序、标号等,分数常用来测量、分配等。 认识数的发展过程，感受由于生活与生产实践的需要，数还需从自然数和分数进一步的扩展. 阅读教材，理解实际问题的解决 从旧知识出发，呼应新课问题，学生通过自己解决问题，用分配等实际问题说明自然数还不能满足实际需要，使学生了解分数产生的必要性和必然性
课堂练习 【例1】下列分数中，能化为有限小数的是( ) B. C. D. B 【例2】下列各题:① 6天看完一本300页的书，求平均每天看书的页数;②小明的身高是146cm，请问小明的身高为多少米;③2个人均分14支铅笔，求每个人分得的铅笔数占铅笔总数的比例，其中需要用分数表示的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C ①③需要用分数表示 【例3】(1)3个苹果6个小朋友平分,每人能分到多少个苹果 (2)一节课40分钟,如果改用小时作单位,应怎样表示 (3)小刚家买了一辆新型家庭轿车,价格为106800元,如果改用“万元”作单位,应怎样表示 解:(1)每人能分到个苹果. (2)60分钟为1小时,所以40分钟为1小时的40/60,即小时 (3)106800=10.68 x10000,所以106800元=10.683元. 【例4】某商场在销售旺季时将某种商品的价格上调10%,旺季过后又将其下调10%,则下调后的商品比上调前贵了还是便宜了 解:(1+10%)x(1-10%)=110%x90%=99%. 因为99%<1， 所以下调后的商品比上调前便宜了. 【选做】5.小刚100元钱去购买钢笔和圆珠笔,若钢笔每支12元，圆珠笔每支2元；则小刚最多能买 支钢笔，剩余的钱还够买 支圆珠笔。 若100元都用来买钢笔，则==8 最多可买8支钢笔 钢笔花费12×8=96元 剩余4元买圆珠笔，可以买=2支 ∴最多能买8支钢笔，剩余的钱还够买2支圆珠笔 【选做】6.国家规定存款利息的纳税方法是:利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为1.98%，今小王取出一年到期的本钱及利息时，缴纳了利息税19.8元，问小王1年前存入银行多少钱。 利息税计算公式为利息税=利息×20%。 小王取出一年到期的本钱及利息时缴纳了19.8元利息税， 本金=19.8÷1.98%÷20%。计算得出本金为5000元。 因此，小王1年前存入银行的金额是5000元。 学生参与教师分析和讲例题。 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 激发学生兴趣，贴近新课主题，通过自然数和分数的运算，解决简单实际问题，认识数的发展过程，感受由于生活与生产实践的需要，数还需从自然数和分数进一步的扩展.
课堂小结 分数是可以看作两个整数相除； 因此分数都是可以化为小数的。 分数化成小数的结果可能是有限小数，也有可能是无限循环小数 反过来说，有限小数、无限循环小数也都可以化为分数形式 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力
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