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第3章 圆的基本性质 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 京山市期中）下列现象中，不属于旋转变换的是
A．钟摆的运动 B．行驶中的汽车车轮
C．方向盘的转动 D．电梯的升降运动
【答案】
【解析】根据旋转的概念，知
、、都是旋转变换；
、是平移变换．
故选．
2．（2023秋 台州期中）已知的半径是，则中最长的弦长是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】圆的直径为圆中最长的弦，
中最长的弦长为．
故选．
3．（2023秋 江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定
【答案】
【解析】的半径分别是3，点到圆心的距离为4，
，
点与的位置关系是：点在圆外．
故选．
4．（2024 浙江模拟）如图，四边形内接于，若所对圆心角的度数为，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，连接，
所对圆心角的度数为，
，
由圆周角定理得：，
四边形内接于，
，
，
故选．
5．（2023 鄞州区开学）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【解析】连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数．
故选．
6．（2024 宁海县校级自主招生）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作于，于，于，
，
，
由题意得，，
，
，，，
平分，平分，
，，
，
，
故选．
7．（2024 拱墅区二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为
A．120平方步 B．240平方步 C．平方步 D．平方步
【答案】
【解析】扇形所在圆的直径是16步，
扇形所在圆的半径是8步，
弧长是30步，
扇形的面积弧长半径（平方步），
即这块田地的面积为120平方步，
故选．
8．（2023秋 仙居县期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，使点落在边上，，相交于点．设，．则下列关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
由旋转得，，，
，
，
，且，
，
整理得，
故选．
9．（2024 柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，，过圆心，连接，，
，
，纸条的宽为，，，
，
，，
设 ，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选．
10．（2024 定海区三模）如图所示，的半径是3，直线与相交于，两点，点，在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是
A．9 B． C．18 D．
【答案】
【解析】如图，过点作于，交于，两点，连结，，，，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，
即点运动到点，点运动到点，
此时四边形面积的最大值
．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋 西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点、、 能 确定一个圆（填“能”或“不能” ．
【解析】、，
轴，
而点在轴上，
点、、不共线，
三个点、、能确定一个圆．
故答案为：能．
12．（2023秋 丽水期中）如图，若圆心角，则弧的度数是 40或320 度．
【答案】40或320．
【解析】根据圆周角定理得，劣弧的度数，
则优弧的度数，
故答案为：40或320．
13．（2024 鄞州区模拟）为减少安全隐患，某学校将一批方角型书桌更换为圆角型书桌．已知此书桌桌角所在圆的半径为，所对的圆心角为，则一个桌角的弧长为 ．
【答案】．
【解析】．
故答案为：．
14．（2023秋 下城区校级月考）如图，四边形内接于半圆（点，，，在半圆上），为的直径，且，则的度数为 20 度．
【答案】20．
【解析】四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
为的直径，
，
，
故答案为：20．
15．（2023秋 慈溪市期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 1 米．
【答案】1．
【解析】根据题意和圆的性质知点为的中点，
连接交于，
则，米，
在中，米，米，
（米，
（米，
即点到弦所在直线的距离是1米，
故答案为：1．
16．（2024 西湖区校级二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 或 ．
【答案】或．
【解析】如图，连接，，，
正方形是的内接正方形，
，
正六边形是的正六边形，
，
，
弦所对劣弧所对应圆周角的度数为．
弦所对优弧所对应圆周角的度数为．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 绍兴期中）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆的面积．
【解析】（1）如图所示，点即为所求；
（2）连接，
由勾股定理得：，
外接圆的面积为：．
18．（2024 临平区开学）如图所示长方形，已知，，为半圆的圆心，阴影部分的面积是，求长方形面积．
【解析】连接、．
，，
，
点是的中点．
设，则．
四边形是长方形，
，，
阴影部分弓形的面积为，
，
，
．
19．（2023秋 襄城区校级期中）如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
20．（2023 婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点旋转或后，能与自身重合（如图，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
．矩形
．正五边形
．菱形
．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有 个；
．0
．1
．2
．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．
【解析】（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，
故选．
（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．
故答案为（1）（3）（5）．
（3）命题中①③正确，
故选．
（4）图形如图所示：
21．（2023秋 拱墅区期末）如图，在中，为半径上一点．过作弦，交于，两点．连接并延长，交于点，连接交于点．已知．
（1）求证：；
（2）探究线段，长度之间的数量关系，并证明．
【解析】证明：（1）如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．（2023秋 江北区期末）古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点为中心，共有内外两圈，均可以绕着点旋转，外圈有，，，，，，，个点将圆八等分，内圈仅有，两个点，且点，，，四点共线，连结，．
（1）求的度数；
（2）固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？
【解析】（1）由题意得，将圆8等分，占其中的3份，
；
（2）由题意得，外圈转动速度为，
分类讨论可得：①当时，点在右侧半圆上，时间，
点在左侧半圆上，时间，
②当时，点在右侧半圆上，时间，
点在左侧半圆上，时间，
综上所述，外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或．
23．（2024 浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
【解析】（1）解：为直径，
，
，
，
；
（2）证明：①如图，延长，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
；
②过点作交于点，连接，，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
24．（2023秋 绍兴期中）在中，，，点为内一点，连接、．
（1）把逆时针旋转得到了，如图1，旋转中心是点 ，旋转角是 ；
（2）在（1）的条件下，延长交于，求证：；
（3）在图1中，若，把绕点旋转得到，如图2，若旋转一周，当旋转角是多少度时，，直接写出结果．
【解析】（1）解：在图1中，点是的旋转中心，旋转角为；
故答案为：，．
（2）证明：由逆时针旋转得到了可知，，
在中，，
在中，，
而，
，
即．
（3）解：如图，依题意得，
当点在内部时，
，
，
当点在外部时，
，
，
△绕点旋转，
综上所述，当旋转角是或时，．
故答案为：或．
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第3章 圆的基本性质 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 京山市期中）下列现象中，不属于旋转变换的是
A．钟摆的运动 B．行驶中的汽车车轮
C．方向盘的转动 D．电梯的升降运动
2．（2023秋 台州期中）已知的半径是，则中最长的弦长是
A． B． C． D．
3．（2023秋 江夏区校级期末）已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定
4．（2024 浙江模拟）如图，四边形内接于，若所对圆心角的度数为，则
A． B． C． D．
5．（2023 鄞州区开学）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2024 宁海县校级自主招生）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2024 拱墅区二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，比如扇形面积的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为
A．120平方步 B．240平方步 C．平方步 D．平方步
8．（2023秋 仙居县期末）如图，在中，，将绕点旋转得到，使点落在边上，，相交于点．设，．则下列关系正确的是
A． B． C． D．
9．（2024 柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为
A． B． C． D．
10．（2024 定海区三模）如图所示，的半径是3，直线与相交于，两点，点，在直线的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是
A．9 B． C．18 D．
二．填空题（共6小题）
11．（2022秋 西湖区校级月考）平面直角坐标系内的三个点、、
确定一个圆（填“能”或“不能” ．
12．（2023秋 丽水期中）如图，若圆心角，则弧的度数是 度．
13．（2024 鄞州区模拟）为减少安全隐患，某学校将一批方角型书桌更换为圆角型书桌．已知此书桌桌角所在圆的半径为，所对的圆心角为，则一个桌角的弧长为 ．
14．（2023秋 下城区校级月考）如图，四边形内接于半圆（点，，，在半圆上），为的直径，且，则的度数为 度．
15．（2023秋 慈溪市期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米．
16．（2024 西湖区校级二模）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 绍兴期中）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出的外心点；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆的面积．
18．（2024 临平区开学）如图所示长方形，已知，，为半圆的圆心，阴影部分的面积是，求长方形面积．
19．（2023秋 襄城区校级期中）如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
20．（2023 婺城区模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点旋转或后，能与自身重合（如图，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
．矩形
．正五边形
．菱形
．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．
其中真命题的个数有 个；
．0
．1
．2
．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．
21．（2023秋 拱墅区期末）如图，在中，为半径上一点．过作弦，交于，两点．连接并延长，交于点，连接交于点．已知．
（1）求证：；
（2）探究线段，长度之间的数量关系，并证明．
22．（2023秋 江北区期末）古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点为中心，共有内外两圈，均可以绕着点旋转，外圈有，，，，，，，个点将圆八等分，内圈仅有，两个点，且点，，，四点共线，连结，．
（1）求的度数；
（2）固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？
23．（2024 浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
24．（2023秋 绍兴期中）在中，，，点为内一点，连接、．
（1）把逆时针旋转得到了，如图1，旋转中心是点 ，旋转角是 ；
（2）在（1）的条件下，延长交于，求证：；
（3）在图1中，若，把绕点旋转得到，如图2，若旋转一周，当旋转角是多少度时，，直接写出结果．
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