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浙教版2024-2025学年八年级上数学第2章特殊三角形 能力评估测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1， ， B．7，24，25
C．4，5，6 D． ， ，1
3．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
4．如图，已知 AB⊥CD，△ABD，△BCE 都是等腰直角三角形， 如果 CD=8，BE=3，则 AC 等于（ ）
A．8 B．5 C．3 D．
5．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．对顶角相等
C．等边三角形的三个内角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
6．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC，可证得△ABC △DCB，则证明全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
（第4题） （第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB=7.5，则CD的长度是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
8．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，连接CD、BE相交于点M，连接BC、AM．
①△ABE≌△ADC；②AE∥BC；③∠BMC＝120°；④AM平分∠DME．
其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在四边形中，平分于点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数
13．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 .
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为 ．
16．如图，∠MON=90°，长方形ABCD的顶点B、 C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动.若CD=3，BC=8，运动过程中，点D到点O的最大距离为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请用无刻度的直尺在图1、图2中画出与成轴对称的格点三角形（不重复画）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
19．如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积.
图1 图2
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，BC的中点，连结AE，在AE上取点F，使得EF＝AD，延长DF交AC于点G.
（1）当∠BAC＝60°时，求∠AGD的度数．
（2）设∠BAC＝α，∠AGD＝β，探究α，β之间的关系．
22．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．
求证：
（1）．
（2）平分．
23．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
（2）如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”；
（3）在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．
24．已知，与都是等腰直角三角形，，，，如图，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D在内，B、D、E三点在同一直线上．
①过点A作的高，证明：；
②如图3，若平分，交于点G，，求的长．
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浙教版2024-2025学年八年级上数学第2章特殊三角形 能力评估测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，故D符合题意．
故答案为：D.
2．下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A．1， ， B．7，24，25
C．4，5，6 D． ， ，1
【答案】C
【解析】A、12+（ ）2＝（ ）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（ ）2+（ ）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
3．等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【答案】C
【解析】∵等腰三角形的顶角是50°，
∴底角为：（180°-50°）÷2=65°.
故答案为：C.
4．如图，已知 AB⊥CD，△ABD，△BCE 都是等腰直角三角形， 如果 CD=8，BE=3，则 AC 等于（ ）
A．8 B．5 C．3 D．
【答案】D
【解析】因为CB=BE=3，所以 BD=BA=8-3=5，所以AC= .
故答案为：D
5．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．对顶角相等
C．等边三角形的三个内角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【答案】B
【解析】A、有两个角相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形的两底角相等，此逆命题为真命题，A不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，B符合题意；
C、等边三角形的三个内角相等的逆命题为：三个内角相等的三角形为等边三角形，此逆命题为真命题，C不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，此逆命题为真命题，D不符合题意.
故答案为：B.
6．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB=DC，可证得△ABC △DCB，则证明全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故答案为：D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．连接CD，若CD+AB=7.5，则CD的长度是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【解析】∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD=AB，
又∵CD+AB=7.5，
∴3CD=7.5，
∴CD=2.5.
故答案为：C.
8．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD＝1，BC＝6，那么CE等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝30°，
∵AD＝1，
∴AE＝2，
∵BC＝6，
∴AC＝BC＝6，
∴CE＝AC﹣AE＝6﹣2＝4，
故答案为：B．
9．如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，连接CD、BE相交于点M，连接BC、AM．
①△ABE≌△ADC；②AE∥BC；③∠BMC＝120°；④AM平分∠DME．
其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】设AB交CD于点G，如图：
∵△ABD和△AEC都是等边三角形，
∴
∴
在和中，
∴
故③正确，
过点A作AF⊥DC，AN⊥BE，如图：
∵
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
又∵
∴AM平分∠DME
故④正确，
根据题意无法证明则②错误，
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故答案为：C.
10．如图，在四边形中，平分于点，则面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】B
【解析】分别延长BA与CD交于点G，过点G作交AC的延长线于点H，如图，
平分
BC=BG，CD=GD(等腰三角形“三线合一”性质)，
，
AG=2，
∴
，
当点A、H重合时，GH最大，最大值为2，
∴
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 ．
【答案】
【解析】由勾股定理可以求出直角边长分别为5和12的斜边为：13，
设斜边上的高为x，由题意，得
，
解得：x= .
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数
【答案】25°或65°
【解析】当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：
当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°.
故答案为：D.
13．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
【答案】10
【解析】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，
∴MO=MB，ON=NC，
∴AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AB+AC=4+6=10，
故答案为：10.
14．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 .
【答案】1
【解析】过点P作PF∥BC交AC于点F
∵△ABC是等边三角形 ∴△APF也是等边三角形 ∴PA=PF
∵PA=CQ ∴PF=CQ
∵PE⊥AC ∴EF=AF
∵PF∥BC ∴∠PFD=∠DCQ
在△PFD和△QCD中
∠PFD=∠DCQ，∠PDF=∠CDF，PF=CQ
∴△PFD≌△QCD
∴FD=DC=FC
∴DE=EF+FD=AF+FC=AC=1
故答案为：1
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为 ．
【答案】8
【解析】如图所示，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
∵BA⊥AD，∴∠DAB=90°，
∵∠BAC=120°，∴∠CAE=∠BAC-∠DAB=30°，
∵D为BC的中点，∴BD=CD，
在△BAD和△CED中， ，∴△BAD≌△CED（SAS），
∴∠DEC=∠DAB=90°，CE=AB=4，
∴AC=2CE=8，
故答案为：8．
16．如图，∠MON=90°，长方形ABCD的顶点B、 C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动.若CD=3，BC=8，运动过程中，点D到点O的最大距离为 .
【答案】
【解析】如图，取BC的中点E，连接OE、DE、OD，
∵ ，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵CD=3，BC=8，∠DCB=90°，
∴OE=EC= BC=4，
DE= ，
∴OD的最大值为：4+5=9.
故答案为9.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请用无刻度的直尺在图1、图2中画出与成轴对称的格点三角形（不重复画）．
【答案】解：如图所示，、、即为所求．
【解析】根据轴对称的定义和性质，可以把AB当作对称轴，C到AB的距离是2个格，故C向右数4格找到C1，连接AC1，得到与成轴对称的格点三角形ABC1；同理，可以把BC当作对称轴，也可以把其他网格线当作对称轴，答案不唯一。
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴M是BC的中点，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝4，
∴△ABC的面积＝BC AM＝×6×4＝12；
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示：
∵BD＝AB，
∴AN＝DN＝AD，
∵△ABC的面积＝AC BN＝×5 BN＝12；
∴BN＝，
AN＝
∴AD＝2AN＝．
19．如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【答案】（1）证明：∵，点D是的中点，∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长为24．
图1 图2
（1）如图1，在中，，，，，求的面积；
（2）如图2，在中，，，，求的面积.
【答案】（1）解：，，，
，.
...
由勾股定理得.
.
.
（2）解：如图，过点作，交的延长线于点.设，则.
在和中，由勾股定理得，，
.，
解得，即.
.
.
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，BC的中点，连结AE，在AE上取点F，使得EF＝AD，延长DF交AC于点G.
（1）当∠BAC＝60°时，求∠AGD的度数．
（2）设∠BAC＝α，∠AGD＝β，探究α，β之间的关系．
【答案】（1）解：∵AB=AC，E为BC中点，∠BAC＝60°，
∴∠EAB=∠EAC=∠BAC=30°，AE⊥BC.
又∵D为AB中点，∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=30°.
又∵EF=AD，∴EF=DE.
∴∠DFE=∠FDE=75°。
∴∠AFG=∠DFE=75°，
又∵∠FAG+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AGD=75°；
（2）解：∵AB=AC，E为BC中点，
∴∠EAB=∠EAC=∠BAC=α，AE⊥BC
又∵D为AB中点，
∴AD=DE
∴∠DAE=∠DEA=α
又∵EF=AD，
∴EF=DE
∴∠DFE=∠FDE=90-α.
∴∠AFG=∠DFE=90-α，
又∵∠FAG+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AGD=180-（90-α）- α=90—α.
22．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．
求证：
（1）．
（2）平分．
【答案】（1）证明：，
，
，，
又，
．
（2）证明：在和中，，≌，
．
，，
，即为中点
，
，
平分．
23．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
（2）如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”；
（3）在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．
【答案】（1）解： ， ，
，
，
， ，
与 ； 与 ； 与 是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角形”即可）
（2）解：证明：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 为角平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 是“等角三角形”，
∴ 为 的等角分割线．
（3）解：由题意，分以下四种情况：
①当 是等腰三角形， 时， ，
∴ ；
②当 是等腰三角形， 时， ， ，
∴ ；
③当 是等腰三角形， 时， ，
∴ ；
④当 是等腰三角形， 时， ，
设 ，则 ，
，
由三角形的外角性质得： ，即 ，
解得 ，
∴ ；
综上， 的度数为 或 或 或 ．
24．已知，与都是等腰直角三角形，，，，如图，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D在内，B、D、E三点在同一直线上．
①过点A作的高，证明：；
②如图3，若平分，交于点G，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，，
；
（2）解：①证明：由（1）知：，
，，
点是的中点，
，
，即，
B，D，E三点在同一直线上，
；
②解：如图，延长A交于点K，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是平分线，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
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