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浙教版2024-2025学年七年级上数学专题二：绝对值（压轴题）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：则代数式化简后的结果为（ ）
A．b B． C． D．
【答案】B
【解析】由图可得：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，
∴a+c＜0，a-b＜0，b-c＜0，
∴|a+c|-2|a-b|+|b-c|
=-（a+c）-2（-a+b）+（-b+c）
=-a-c+2a-2b-b+c
=a-3b；
故答案为：B.
2．已知，，且，则的值等于（ ）
A．或1 B．5或 C．5或 D．或1
【答案】B
【解析】∵xy＜0，
∴x、y异号，
∵，，
∴x=±3，y=±2，
∴当x=3时，y=-2，此时x-y=3-（-2）=5，
当x=-3时，y=2，此时x-y=-3-2=-5，
∴x-y=5或-5。
故答案为：B.
3．已知有理数满足，则的值是（ ）
A． B．0或2 C． D．或
【答案】C
【解析】因为abc ＜0
所以a、b、c三数中要不三个数都是负数，要不其中两个数为正数
所以：a＜ 0， b＜0， c＜ 0或a＞0， b＞0， c<0
a=-|a|， b=-|b|，c=-|c|，abc=-|abc|或a=|a|， b=|b|， c=-|c|， abc=-|abc|
所以：
故答案为：C
4．已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当a，b，c都为正数时，因为a+b+c=0，所以a+b=-c<0，这是不可能的；
当a，b，c中有两个为负数一个为正数时，
（1）当a<0，b<0，c>0时，因为a+b+c=0，所以a+b=-c<0，a+c=-b>0，b+c=-a>0，所以；
当a<0，b>0，c<0时，因为a+b+c=0，所以a+b=-c>0，a+c=-b<0，b+c=-a>0，所以；
当a>0，b<0，c<0时，因为a+b+c=0，所以a+b=-c>0，a+c=-b>0，b+c=-a<0，所以.
所以共有3个不同的值，最大值为0，所以x=3，y=0，所以x+y=3+0=3.
故答案为：B.
5．代数式的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】①当x＜-9时，x+9<0，x-5＜0，∴；
②当-9≤x≤5时，x+9≥0，x-5≤0，∴；
③当x＞5时，x+9＞0，x-5＞0，∴。
综上，的最小值是14，
故答案为：C.
6．数轴上依次排列的四个点，它们表示的数分别为a，b，c，d，若|a-c|=6，|a-d|=10，|b-d|=5，则|b-c|的值为（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．1
【答案】D
【解析】不妨假设 ，
∵ ，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴
∴
∴
故答案为：D.
7．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝-|a1+1|．a3＝-|a2+2|，a4＝-|a3+3|，…依此类推，则a2022的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．-1011 D．1011
【答案】C
【解析】 ∵a1=0，
∴a2=-|a1+1|=-1，
∴a3=-|a2+2|=-1，
∴a4=-|a3+3|=-2，
∴a5=-|a4+4|=-2，
∴a6=-|a5+5|=-3，
∴a7=-|a6+6|-3，
…，
∴a2022=-（2022）÷2=-1011，
故答案为：C.
8．已知，对于多项式，任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值，绝对值中不含有绝对值），称这种操作为一种“绝对操作”，例如：，，等．对多项式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．
下列相关说法正确的个数是（ ）
①存在八种“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同的运算结果．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当不添加绝对值时，结果与原多项式相等，
当任意一个添加绝对值时，因为结果均与原多项式不相等，所以有3种情况，
当任意两个添加绝对值时，因为结果均与原多项式不相等，所以有3种情况，
当都三个添加绝对值时，因为结果均与原多项式不相等，所以有1种情况，
所以有八种，故①正确，符合题意；
当添加绝对值后，所得结果为非负数，因为与原多项式之和不可能为0，所以②正确，符合题意；
当添加绝对值后，所得结果可能为：，所以有6种情况，故③不正确；
故选：C．
9．有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：
①当，时，；
②当，时，；
③当，，时，；
④当，（，为整数）时，．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】当，时，
∴，
，故①不符合题意；
当，时，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴
故②符合题意，
当，，时，
∴，
，
，
解得：或；故③不符合题意，
当，（，为整数）时，
∴，
，
，
，
，
，
∴
∴．故④符合题意，
故答案为：B.
10．绝对值的几何意义：一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离．若点A、在数轴上表示的数为、，则A、两点之间的距离，给出下列说法：
①若，点A表示的数是1，则点表示的数是5；②当时，代数式的最小值为3；③若、、满足，则的最小值为2.以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】 ①若，点A表示的数是1，则点表示的数是5。描述不正确，B还可能是-3
②当时，代数式的最小值为3。描述正确
③若、、满足，
则的最小值为2。
描述不正确，根据题意m是到0和-2的距离，n是到1和4的距离，p是到-1和-5的距离。
乘积24一定，因数越接近（234），它们的和越小。
据此思路，m=-2，n=1，p=-5，m+n+2p=-2+1-10=-11，故最小值为2错误
以上描述，只有2正确
故答案为：1
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若，则a= ．
【答案】或
【解析】根据题意得当时，，
解得，
当时，，
则无解，
当时，，
解得，
故答案为：或．
12．实数a，b满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】∵，
∴，
表示a到-1，2的距离与b到-3，-8的距离之和为8，
∵时，
时，，
∴，
∴.
故答案为：.
13．m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是 .
【答案】或7
【解析】∵可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且的最小值是6，
①当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
②当时，则时，原式有最小值，
此时，
此时方程无解；
③当时，则时，原式有最小值，
此时，
解得：；
综上，m的值为或7，
故答案为：-1或7.
14．式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+|x﹣6|+|x﹣7|+|x﹣8|+|x﹣9|+|x﹣10|的最小值是 ．
【答案】25
【解析】∵原式的值为x与1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的距离之和，
∴当5≤x≤6时，原式值最小，
∴原式的最小值=4+3+2+1+0+1+2+3+4+5=25.
故答案为：25.
15．已知有理数 ， ， 满足 ，且 ，则 .
【答案】-8
【解析】当 时，则
，
，
，所以不合题意舍去，
所以 ＜
，
＜
故答案为：-8
16．是双重绝对值运算，运算顺序是先求的，差的绝对值，再求与，差的绝对值的差的绝对值，若随意三个互不相等的正整数2，，输入双重绝对值进行运算，如果最大值为20，则最小值为 .
【答案】16
【解析】根据题意，可有3种情况，，，，
∵2，，是互不相等的正整数，
可设为最大的数，
①当时，则有，，
此时可有
，
，
，
∵，最大值为20，即，
解得，
∴最小值为；
②当时，则有，
此时可有
，
，
，
当时，可有，
则（舍去）或，
∴，
又∵，
∴不合题意；
当时，可有，
则或（舍去），
∴．
综上所述，最小值为16．
故答案为：16．
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知回答下列问题：
（1）由，可得 ，
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴a、b同正，或a、b中正数绝对值大于负数绝对值，
∴或，
∴或，
综上：的值为2或；
（3）解：∵，
∴a、b异号，
∴或，
∴或，
综上：的值为2
【解析】（1）由题意得a=±5，b=±3，
故答案为：±5，±3
18．已知有理数，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）用＜，＞，＝填空：+c 0，c b 0，b+ 0，bc 0；
（2）化简：|+c|+|c b| |b+|．
（3）已知2≤x≤6，求：|2-x|+|x-6|的值.
【答案】（1）＜；＞；＜；＞
（2）解：原式＝ （a+c）+（c b）+（b+a）＝ a c+c b+b+a＝0．
（3）解：∵2≤x≤6，
∴2-x≤0，x-6≤0，
∴|2-x|+|x-6|=x-2+6-x=4.
【解析】（1）由数轴得：且
∴
故答案为：＜，＞，＜，＞；
19． 学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题：
（1） ；
（2）如果有理数，则 ；
（3）请利用你探究的结论计算下面式子：
（4）如图，数轴上有a、b、c三点，化简.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
=
；
（4）解：由数轴可得，
，
.
【解析】（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴a-b<0
∴
故答案为：
20．阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．
例1．已知，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2．
例2．已知，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
（1）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离是 ；当时，的值为 ．
（2）的最小值为 ；当的值最小时，的值为 ．
（3）已知点A在数轴上的对应数为1，点B在数轴上的对应数为，P、Q两点分别从A、B两点同时向右出发，点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，当P、Q运动多少秒时，两点在数轴上的对应数之间的距离为个单位长度？
【答案】（1）4；5或
（2）8；9
（3）7
【解析】（1）解：依题意，
所以在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离是4，
因为在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离为3，
所以一种情况在2的右边且与2之间距离为3的是
另一种情况在2的左边且与2之间距离为3的是；
（2）解：依题意，
因为表示的点与表示的点之间的距离与在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离之和，且的点与的点之间的距离为8，
所以当在的左边时，如图
当在9的右边时，如图
当在1的右边且在9的左边时（包括与1重合或与9重合），如图
综上所示：的最小值为8；
同理，当在的左边时，如图
，
当在1的右边且在9的左边时（包括与1重合），如图
，
当在9的右边且在的左边时（包括与重合），如图
当在的右边时，如图
当与9重合时，如图
，
综上所述：当的值最小时，的值为9；
（3）解：设运动时间为秒，依题意
则点P表示，点Q表示，
因为两点在数轴上的对应数之间的距离为个单位长度
所以
则当点P在点Q的左边时，即，；
则当点P在点Q的右边时，即，（舍去）；
所以当P、Q运动7秒时，两点在数轴上的对应数之间的距离为个单位长度．
21． 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为、3，则 ；
（2）若数轴上两点A、B表示的数为x、，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ；
（3）的最小值为 .
【答案】（1）5
（2）；或1
（3）3
【解析】(1)∵点A、B表示的数为-2、3，
∴|AB|=|3+2|=5.
故答案为： 5；
(2)①∵点A、B表示的数为x、-1，
∴A、B之间的距离表示为|x+1| ；
②∵两点之间的距离为2，
∴|x+1|=2，
∴x+1=-2或x+1=2，
解得x=-3或x=1，
∴x的值为-3或1.
故答案为：|x+1|；-3或1；
(2)当x＜-1时，
∴|x+1|+|x-2|=-x-1+2-x=-2x+1＞3，
当x＞2时，
∴|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1＞3，
当-1≤x≤2时，
∴|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3，
∴|x+1|+|x-2|的最小值为3 .
故答案为： 3.
22．我们知道 的几何意义是表示在数轴上数 对应的点与原点的距离；即 ， 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 、 对应点之间的距离.如图，数轴上数 对应的点为点A，数 对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB= = .
（1） 可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；
（2）请根据上述材料内容解方程 ；
（3）式子 的最小值为
（4）式子 的最大值为
【答案】（1）；
（2）由(1)知，|x+1| 表示数 x对应的点和数-1对应的点之间的距离，
∴|x+1|=1 的解即为到-1对应的点距离为1的点所表示的数，
所以由下图可得x=-2或x=0；
（3）2
（4）3
【解析】（1）∵|x+1| =|x-(-1)|，
∴|x+1| 可以表示数 x对应的点和数-1对应的点之间的距离；
故答案为x，-1；
（ 3 ）∵|x+1|+|x 1| 表示x到-1对应的点和1对应的点的距离和，
又当x表示的点在-1和1表示的点之间(包括-1和1）时，|x+1|+|x 1|取得最小值，最小值即为-1和1表示的点之间的距离，为2；
（ 4 ）∵|x+1| |x 2| 表示x到-1对应的点和2对应的点的距离差，
∴当x -1时，|x+1| |x 2|= -3，
当x 2时，|x+1| |x 2|=3，
当 时，-3<|x+1| |x 2|<3，∴式子 |x+1| |x 2| 的最大值为3.
23．我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为，比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为；可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数-2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时x的取值范围为，
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）的最小值是 ；当 时，的值最小.
（2）当的最小值是5.5时，求出a的值.
（3）若的最小值是b，经探究发现b会随着a的变化而变化，但a在某一范围内变化时，b的值不变，请求出a的这一范围和相应b的值.
【答案】（1）4；0
（2）由（1）知最小值为3，
∴只有当a=2.5或a=-2.5时，的最小值是5.5，
a的值为：2.5或-2.5.
（3）解：由题意可知：的最小值为5，
∴当时，有最小值为5，
∴当，且，
∴此时恒有最小值为5，
则.
【解析】（1）∵可表示为表示数x的点与-2的距离与表示数x的点和2的距离之和最小，
∴其最小值为4，
要求最小值，可先算，
∵，即求表示为表示数x的点与-2的距离与表示数x的点和1的距离之和最小，即为3，
∴当时，有最小值，
故答案为：4，0.
24．同学们都知道，表示7与-1之差的绝对值，实际上也可理解为7与-1两数在数轴上所对的两点之间的距离.如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离.试探索∶
（1）求 ；若，则 ；
（2）的最小值是 ；
（3）当 时，的最小值是 ；
（4）已知则求出的最大值和最小值.
【答案】（1）5；1或-5 （2）4 （3）2；5
（4）解：，，，
，
，
，，，
，，，
的最大值为：，最小值为：，
即的最大值为7，最小值为.
【解析】（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，
；
，
表示x的点与表示的点的距离为3，
，，
或.
故答案为：5，1或-5；
（2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，
当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值，
最小值为：.
故答案为：4；
（3）可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和，
当时，有最小值，最小值为：，
当时，有最小值，最小值为：，
当时，有最小值，最小值为：，
即当时，的最小值是5.
故答案为：2，5；
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浙教版2024-2025学年七年级上数学专题二：绝对值（压轴题）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：则代数式化简后的结果为（ ）
A．b B． C． D．
2．已知，，且，则的值等于（ ）
A．或1 B．5或 C．5或 D．或1
3．已知有理数满足，则的值是（ ）
A． B．0或2 C． D．或
4．已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则（ ）
A． B． C． D．
5．代数式的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．数轴上依次排列的四个点，它们表示的数分别为a，b，c，d，若|a-c|=6，|a-d|=10，|b-d|=5，则|b-c|的值为（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．1
7．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝-|a1+1|．a3＝-|a2+2|，a4＝-|a3+3|，…依此类推，则a2022的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．-1011 D．1011
8．已知，对于多项式，任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值，绝对值中不含有绝对值），称这种操作为一种“绝对操作”，例如：，，等．对多项式进行“绝对操作”后，可进一步对其进行运算．
下列相关说法正确的个数是（ ）
①存在八种“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同的运算结果．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，．某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：
①当，时，；
②当，时，；
③当，，时，；
④当，（，为整数）时，．
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．绝对值的几何意义：一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到原点的距离．若点A、在数轴上表示的数为、，则A、两点之间的距离，给出下列说法：
①若，点A表示的数是1，则点表示的数是5；②当时，代数式的最小值为3；③若、、满足，则的最小值为2.以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若，则a= ．
12．实数a，b满足，则的最小值为 .
13．m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是 .
14．式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+|x﹣6|+|x﹣7|+|x﹣8|+|x﹣9|+|x﹣10|的最小值是 ．
15．已知有理数 ， ， 满足 ，且 ，则 .
16．是双重绝对值运算，运算顺序是先求的，差的绝对值，再求与，差的绝对值的差的绝对值，若随意三个互不相等的正整数2，，输入双重绝对值进行运算，如果最大值为20，则最小值为 .
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知回答下列问题：
（1）由，可得 ，
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
18．已知有理数，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）用＜，＞，＝填空：+c 0，c b 0，b+ 0，bc 0；
（2）化简：|+c|+|c b| |b+|．
（3）已知2≤x≤6，求：|2-x|+|x-6|的值.
19． 学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题：
（1） ；
（2）如果有理数，则 ；
（3）请利用你探究的结论计算下面式子：
计算：
（4）如图，数轴上有a、b、c三点，化简.
20．阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．
例1．已知，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2．
例2．已知，求x的值．
解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和．
依照阅读材料的解法，完成下列各题：
（1）在数轴上的意义是表示的点与表示的点之间的距离是 ；当时，的值为 ．
（2）的最小值为 ；当的值最小时，的值为 ．
（3）已知点A在数轴上的对应数为1，点B在数轴上的对应数为，P、Q两点分别从A、B两点同时向右出发，点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，当P、Q运动多少秒时，两点在数轴上的对应数之间的距离为个单位长度？
21． 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为根据以上知识解题：
（1）若数轴上两点A、B表示的数为、3，则 ；
（2）若数轴上两点A、B表示的数为x、，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为 ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为 ；
（3）的最小值为 .
22．我们知道 的几何意义是表示在数轴上数 对应的点与原点的距离；即 ， 这个结论可以推广为： 表示在数轴上数 、 对应点之间的距离.如图，数轴上数 对应的点为点A，数 对应的点为点B，则A，B两点之间的距离AB= = .
（1） 可以表示数 对应的点和数 对应的点之间的距离；
（2）请根据上述材料内容解方程 ；
（3）式子 的最小值为
（4）式子 的最大值为
23．我们知道在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为，比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为；可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数-2的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示数x的点在点A和点B之间（包含点A和点B）时，表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时x的取值范围为，
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）的最小值是 ；当 时，的值最小.
（2）当的最小值是5.5时，求出a的值.
（3）若的最小值是b，经探究发现b会随着a的变化而变化，但a在某一范围内变化时，b的值不变，请求出a的这一范围和相应b的值.
24．同学们都知道，表示7与-1之差的绝对值，实际上也可理解为7与-1两数在数轴上所对的两点之间的距离.如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离.试探索∶
（1）求 ；若，则 ；
（2）的最小值是 ；
（3）当 时，的最小值是 ；
（4）已知则求出的最大值和最小值.
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