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专题1.5.数轴中的八类动态问题（章节重难点）
数轴中的动态问题属于浙教版（2024）七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.动态规律之左右跳跃 2
考点2.单（多）动点匀速模型 5
考点3.单（多）动点变速模型 7
考点4.动点往返运动模型 11
考点5.动态中点与n等分点模型 13
考点6.动态定值（无参型）模型 16
考点7.动态定值（含参型）模型 20
考点8.数轴折叠（翻折）模型 22
模块3：能力培优 26
①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。
②数轴动点问题主要步骤：
1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：
（1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
（2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。
考点1.动态规律之左右跳跃
【解题方法】规律（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可；
规律（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。
例1．（2023·山东·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
例2．（2023·广西·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
变式1．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
变式2．（2023·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（ ）次移动到的点到原点的距离为20.
A．7 B．10 C．14 D．19
考点2.单（多）动点匀速模型
【解题方法】
规律（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。
规律（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。
例1．（2023·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离= ；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离= ；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？
变式1．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？
(3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．
变式2．（22-23七年级上·重庆江北·阶段练习）如图，A，B（A在B的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为﹣4，且，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P，Q的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒．
(1)当P，Q重合时，求t的值；(2)当时，求t的值；
(3)当时，点P，Q停止运动，此时点M，N也随之停止运动，将线段沿数轴以每秒2个单位长度的速度滑动，从此刻开始，经过t秒后满足时，求t的值．
考点3.单（多）动点变速模型
例1．（2023·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F在数轴上对应的数为： ．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）．
变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为．(1)______，______，______；
(2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数；(3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值．
变式2．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
考点4.动点往返运动模型
例1．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
变式1．（22-23七年级上·重庆·期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么：(1)当时，M在数轴上对应的数可以表示为 ；
(2)小杨同学发现：当时，始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．(3)在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写答案．
变式2．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
考点5.动态中点与n等分点模型
【解题方法】
例1．（2023·河北唐山·七年级期末）如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．（1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇；
（2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；（3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长．
变式1．（23-24七年级·云南昭通·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
变式2．（2023·吉林·七年级期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝ ；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．
考点6.动态定值（无参型）模型
【解题方法】设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。
例1．（2023·福建·七年级校考期末）点在数轴上对应的数分别为，且满足．
(1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．
变式1.（2023·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.
(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.
变式2．（2023·山东·七年级统考期中）问题一：如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得，我们记为．(1)现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点C就能使之成立？(2)若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点C？(3)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使成立，应该怎样移动点C？②为使成立，应该怎样移动点B？
问题二：如图3，数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5，易得，我们记为．
(4)现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，还成立吗？请说明理由．
(5)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使成立？
考点7.动态定值（含参型）模型
例1．（2023·江苏·七年级期末）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 ．（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．）
变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C．
(1)则______，______，______．(2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；
(3)若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动请问：是否存在一个常数m使得不随运动时间t的改变而改变若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．
考点8.数轴折叠（翻折）模型
例1．（2023·江苏·七年级专题练移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：
（一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为 1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位．
（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．
（4）若折叠纸条，表示 3的点与表示1的点重合，则表示 4的点与表示 的点重合；
（5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示 1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ．
变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合；
（2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
变式2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·河南洛阳·七年级校考阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（ ）个单位长度．
A．0 B．100 C．50 D．－50
2．（2023·四川乐山·七年级期末）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
4．（2023·浙江宁波·七年级期末）如图，数轴上点表示的数分别为现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动当时，运动的时间为 ( )
A．15秒 B．20秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒
5．（2023·浙江邵外七年级阶段练习）如图所示，A、B是数轴上的两点，O是原点，AO=10，OB=15，点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，设运动的时间为t（t≥0） 秒，M、Q两点到原点O的距离相等时，t的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7．（2023·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________．
8．（2024·浙江七年级课时练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
9．（2023春·河北保定·七年级专题练习）如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 ___________个．
10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点C的距离相等．
11．（23-24七年级·上海浦东新·期末）两点在数轴上对应的数分别为，40，在两点处各放一个挡板，两个电子小球同时从原点出发，以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，设两个小球运动的时间为，那么当时，的值为 ．
12．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等．
13．（2023·江苏·七年级专题练习）我们规定：数轴上的点到原点的距离为，如果数轴上存在某点，到点的距离是的整数倍，就把点称作点的倍关联点．当点所表示的数是时，
(1)如果存在点的倍关联点，则_______；点所表示的数是_______；
(2)如果点在数轴上所表示的两点之间运动，若存在点最大的倍关联点，则_______．
14．（23-24七年级·广东·期中）数轴上有一动点，从原点出发沿着数轴移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位．
15．（2023·江苏·盐城市七年级阶段练习）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过__秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．
16．（2023·浙江·七年级期末）如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，10，点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（23-24七年级上·陕西·阶段练习）如图，已知点是数轴上三点，为原点，点表示的数为．(1)点表示的数为__________，点对应的数为__________．(2)动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动．点为线段的中点，点在线段上，且，若运动时间为秒．请用含的代数式分别表示点、点所表示的数．
18．（2023·浙江杭州·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？
（3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？
19．（2023·江苏扬州·七年级统考期末）如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s．(1)OA=__________cm，OB=__________cm；(2)当Q从O向A运动时，若，求t的值．(3)当时，直接写出t的值．
20．（2023·浙江杭州·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．（1）请写出中点所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚊从点出发，以6单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
21．（2023·四川师范大学附属中学七年级阶段练习）已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为 1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值．
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由．
（3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
22．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
23．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，在数轴上有A、B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A、B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段、的中点．
(1)如果点A表示，点B表示8，则线段____________；
(2)如果点A表示数a，点B表示数b，①点C在线段上运动时，求线段的长度（用含a和b的代数式表示）；②点C在点B右侧运动时，请直接写出线段的长度：________（用含a和b的代数式表示）．
24．（2024·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．
（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等．
25．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：
(1)填空： ， ．
(2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）．
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专题1.5.数轴中的八类动态问题（章节重难点）
数轴中的动态问题属于浙教版（2024）七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.动态规律之左右跳跃 2
考点2.单（多）动点匀速模型 5
考点3.单（多）动点变速模型 7
考点4.动点往返运动模型 11
考点5.动态中点与n等分点模型 13
考点6.动态定值（无参型）模型 16
考点7.动态定值（含参型）模型 20
考点8.数轴折叠（翻折）模型 22
模块3：能力培优 26
①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。
②数轴动点问题主要步骤：
1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：
（1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
（2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。
考点1.动态规律之左右跳跃
【解题方法】规律（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可；
规律（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。
例1．（2023·山东·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．
∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，
∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意；
∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，
故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
例2．（2023·广西·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29
【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；
(2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；
(3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x= 16或0，再根据点P的移动规律可得答案．
(1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12；
(2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；
(3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，
根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，
它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．
故答案为：2或29．
【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
变式1．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第2022次后到达的点在数轴上表示的数为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【分析】分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由2022÷4=505……2，可得，即为在数轴上表示的数．
【详解】解：∵表示的数为+1，表示的数为+3，表示的数为0，表示的数为，表示的数为+1，.....，
∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度，
∵2022÷4=505……2，∴，
∴在数轴上表示的数为2023，故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出点表示的数的循环规律是解题的关键．
变式2．（2023·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（ ）次移动到的点到原点的距离为20.
A．7 B．10 C．14 D．19
【答案】C
【分析】次数的序号为奇数的点在点A的右边，各点所表示的数依次增加3，序号为偶数的点在点A的左侧，各点所表示的数依次减少3，用n的代数式表示出一般规律，即可解答．
【详解】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1+3=4；
第2次从点B向左移动6个单位长度至点C，则C表示的数为46=2；
第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为2+9=7；
第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为712=5；
第5次移动后表示的数为5+15=10；第6次移动后表示的数为1018=8；…；
当移动次数为奇数时，对应的数是4，7，10，…，第n次移动后表示的数是，
当时，解得，n=（不符合题意，舍去）．
当移动次数为偶数时，对应的数是2，5，8，…，
第n次移动后表示的数是，当时，解得，n=14．故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给点的运动关系，探索出对应点所表示数的一般规律是解题的关键．
考点2.单（多）动点匀速模型
【解题方法】
规律（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。
规律（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。
例1．（2023·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离= ；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离= ；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）①；②2或4
【分析】直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答案；
用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离；
根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答案；
①分别用含t的代数式表示出P，Q表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可；
②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可．
【详解】如图，
之间的距离为，B，C两点间距离为；
两点之间的距离为；
①设点表示的数为，点表示的数为，令解得，
②间的为，令解得．
【点睛】本题考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键．
变式1．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？
(3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（）根据数轴两点间的距离即可求解；（）根据数轴两点间的距离即可求解；
（）根据数轴上点的运动特征即可求解；此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的特点．
【详解】（1）设表示的数为，
∵点到点、点的距离相等，∴，解得：，
∴点表示的数为，故答案为：；
（2）∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为，
∴，∴运动时间，故答案为：；
（3）∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴运动过程中点表示的数是，故答案为：．
变式2．（22-23七年级上·重庆江北·阶段练习）如图，A，B（A在B的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为﹣4，且，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P，Q的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒．
(1)当P，Q重合时，求t的值；(2)当时，求t的值；
(3)当时，点P，Q停止运动，此时点M，N也随之停止运动，将线段沿数轴以每秒2个单位长度的速度滑动，从此刻开始，经过t秒后满足时，求t的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）由题意得P表示的数为，Q表示的数为，当P、Q重合时，，解得即可；（2）分别表示出M表示的数为，N表示的数为，则，当时，，解得即可；（3）分别表示此时M、N所表示的数，线段沿数轴向左或向右滑动时，分别列出等式解得即可．
【详解】（1）P表示的数为：，B表示的数为,Q表示的数为，
当P、Q重合时，，解得；
（2）M，N始终为，的中点，
M表示的数为：，N表示的数为，，
当时，即，当时，（舍）；当时，；
当时，；
（3），，这时，M表示的数为-14，N表示的数为，
当线段沿数轴向左滑动时，M表示的数为，N表示的数为，
此时， ，当时，，此时舍去；
当线段沿数轴向右滑动时，M表示的数为，N表示的数为，
这时 ，，当时，，
化简得：当时，；当时，；
综上所述，当或时，．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用以及数轴的表示，解题的关键是读懂题意找出等量关系正确列出一元一次方程．
考点3.单（多）动点变速模型
例1．（2023·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F在数轴上对应的数为： ．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）．
【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒
【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b；
（2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解；
（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可．
【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，
∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3）
＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15，
∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12；
（2）设运动时间为t秒．由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t，
故答案为：12﹣6t，﹣20+2t；
（3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝；
相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），相遇点为﹣20+2×4＝﹣12，
点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝；
由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，
点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t．
当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝；
当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝．
答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒
【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键．
变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为．(1)______，______，______；
(2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数；(3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值．
【答案】(1)，，(2)点C表示的有理数为或；(3)t的值为2或或17．
【分析】（1）根据平方与绝对值的和等于0，则每一项都等于0，求出a、b，从而求出线段的长；
（2）设出点C表示的有理数为c，根据位置不同进行分类讨论，根据题意中给出的等式运算，得出结果；
（3）根据题意分情况讨论，结合，列出每种情况下的等式，并对t的取值范围进行说明，从而进行判断取舍，最终得出所有满足的结果．
【详解】（1）解：∵，∴，解得：，
；故答案为：，，；
（2）解：设点C表示的有理数为c，根据题意得：，
当点C在点A的左侧时，，∴，解得：；
∵，，∴点C不可能在A、B之间，
当点C在点A的右侧时，，∴，解得：；
综上，点C表示的有理数为或；
（3）解：由（1）得，，
∵，∴当时，点P到达点O，当时，点Q到达点O，由题意得：，
当点P、Q都在点O左侧时，，
，，∴，解得：；
当点P点O右侧，点Q在点O左侧时，，
，，∴，解得：(舍)；
当点P点O右侧，点Q在点O与点M之间时，，
，，∴，解得：；
当点P点O右侧，点Q在点M右侧时，，
，，∴，解得：；
当点P点O重合时，，，不合题意；
当点Q点O重合时，，，不合题意；
当点Q点M重合时，，，不合题意；综上，t的值为2或或17．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值与一元一次方程的应用，是一个综合问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，进而求解．
变式2．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．
【答案】(1)2.5(2)15(3)
【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间；
（2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，∴BC=1-(-9)=10(个单位)，
∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒，
∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)；
（2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)，
∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，
∴动点P从点A运动至D点需要的时间为6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)；
（3）设运动时间为t秒，①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等；
②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)，
∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在；
③当3∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的数是或；
④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t，
∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合题意，舍去)，
综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或．
【点睛】考查数轴上的动点问题，解题关键是用含t的代数式表示动点表示的数，据运动过程分类讨论．
考点4.动点往返运动模型
例1．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度
【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等．
（2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．
【详解】（1）∵，2的绝对值是2，，的绝对值是2，∴点P对应的数是1．
（2）当P在之间，（不可能有）
当P在A的左侧，，得
当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则．
答：点P所经过的总路程是个单位长度．
【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解．
变式1．（22-23七年级上·重庆·期末）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为、40，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动．设两个小球运动的时间为t，那么：(1)当时，M在数轴上对应的数可以表示为 ；
(2)小杨同学发现：当时，始终为定值．小杨的发现是否正确？若正确，请求出这个定值；若不正确，请说明理由．(3)在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6？请直接写答案．
【答案】(1)(2)为定值，定值为60，理由见解析(3)或时，两个小球间距离为6
【分析】（1）根据判断出M未碰到挡板，又M向负轴运动，则找到M对应数轴上的数．（2）用t表示、，作差即可得到定值60．（3）按碰到挡板后和未碰到挡板分类讨论，列一元一次方程．
【详解】（1）M、N碰到挡板所需时间均为，
∴时M未碰到挡板运动距离为，又M向负轴运动，则M对应数轴上的数为，故答案为．
（2）时，设O点在数轴上对应的数为0，
则，，
故为定值，定值为60．
（3）时，，令，则；
时，；
令，则．故或时，两个小球间距离为6．
【点睛】此题考查了整式加减的应用，一元一次方程解应用，数轴上的动点问题的求解等知识与方法，在做（3）时需进行分类讨论．
变式2．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度
【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等．
（2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．
【详解】（1）∵，2的绝对值是2，
，的绝对值是2，∴点P对应的数是1．
（2）当P在之间，（不可能有）
当P在A的左侧，，得
当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4；
（3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则．
答：点P所经过的总路程是个单位长度．
【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解．
考点5.动态中点与n等分点模型
【解题方法】
例1．（2023·河北唐山·七年级期末）如图，已知在数轴上有、两点，点表示的数是，点表示的数是．点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点在数轴上从点出发，以每秒个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒．（1）_______；时，点表示的数是_______；当_______时，、两点相遇；
（2）如图，若点为线段的中点，点为线段中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长；（3）如图，若点为线段的中点．点为线段中点，则直接写出用含的代数式表示的线段的长．
【答案】（1）15；；3；（2）不变化，=7.5；（3）．
【分析】（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可；
（2）根据线段的中点定义，可得MN=MP+NP= （AP+BP）= AB；
（3）由题意根据线段的中点定义，线段和差定义计算即可.
【详解】解：（1）AB=9-（-6）=15，t=1时，BQ=3，OQ=6，
设t秒后相遇，由题意（2+3）t=15，t=3，故答案为：15，6，3.
（2）答：MN长度不变，理由如下：∵M为AP中点，N为BP中点∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7.5．
（3）根据题意分别得到点M表示的数为t-6；点T表示的数为9-1.5t；
根据两点间距离的定义可得MT= 9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.故答案为：.
【点睛】本题考查实数与数轴，线段中点定义，线段的和差定义等知识，解题关键是掌握相关基本知识．
变式1．（23-24七年级·云南昭通·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；
③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；
④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为4，且 ，∴ ，∴ ，∴点B对应的数是-2，故①错误；
由题意得：6÷2=3（秒），∴点P到达点B时，t=3，故②正确；
分两种情况：当点P在点B的右侧，
∵AB=6，BP=2，∴，∴4÷2=2（秒），∴BP=2时，t=2，
当点P在点B的左侧，∵AB=6，BP=2，∴，∴8÷2=4（秒），∴BP=2时，t=4，
综上所述，BP=2时，t=2或4，故③错误；
分两种情况：当点P在点B的右侧，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴，，
∴，
当点P在点B的左侧，∵M，N分别为AP，BP的中点，，，
∴，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确．所以，上列结论中正确的是②④．故选：D．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
变式2．（2023·吉林·七年级期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝ ；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．
【答案】（1）d＝3；（2）d的值为3或；（3）所求d的值为0或4；（4）所求t的值为或5．
【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；
（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；
（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝AB；②AP＝AB两种情况进行讨论；
（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．
【详解】（1）当t＝1时，AP＝1，BQ＝2，
∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝3，即d＝3．故答案为3；
（2）线段AB的中点表示的数是：＝1．
①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，
BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，此时d＝PQ＝PA＝3；
②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1×＝，
则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值为3或；
（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：
①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，则d＝PQ＝0；
②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，
∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，
∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值为0或4；
（4）当d＝5时，分两种情况：
①P与Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；
②P与Q相遇之后，∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，
∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值为或5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，理解题意，分清动点P与动点Q的运动方向、运动速度与运动时间，从而正确进行分类讨论是解题的关键．
考点6.动态定值（无参型）模型
【解题方法】设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当代数式的计算结果中不含有未知数t，则代数式为定值。
例1．（2023·福建·七年级校考期末）点在数轴上对应的数分别为，且满足．
(1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．
【答案】(1)4(2)或(3)正确的结论为①的值不变，其值为2
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由确定出P位置，即可做出判断；（3）设P点所表示的数为n，就有，，根据条件就可以表示出， ，再分别代入①和②求出其值即可．
【详解】（1）解：∵，∴，，
∴，∴．答：的长为4；
（2）∵，∴，∴BC==5．设点P在数轴上对应的数是m，
∵，∴，令，，∴或．
①当时，，；②当时，，（舍去）；
③当时，，．∴当点P表示的数为或时，；
（3）解：设P点所表示的数为n，∴，．
∵PA的中点为M，∴．∵N为的四等分点且靠近于B点，∴B，
∴①=2（不变），②（随点P的变化而变化），∴正确的结论为①，且．
【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式．
变式1.（2023·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.
(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇
(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;
(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.
【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2.
【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；
（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.
【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，
∵cm，cm，cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm，
∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇；
（2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70，
∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，由，可分两种情况：
①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10，
点P运动的时间为s，∴点Q的运动速度=cm/s；
②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50，
点P的运动时间是s，∴点Q的运动速度=cm/s，
综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s；
（3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40，
∵点E是OP的中点，∴OE=a，∵点F是AB的中点，AB=30，∴BF=15，
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，∴=.
【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法.
变式2．（2023·山东·七年级统考期中）问题一：如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得，我们记为．
(1)现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点C就能使之成立？(2)若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点C？
(3)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使成立，应该怎样移动点C？②为使成立，应该怎样移动点B？
问题二：如图3，数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5，易得，我们记为．
(4)现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，还成立吗？请说明理由．
(5)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使成立？
【答案】(1)不成立，把点C向右移动一个单位长度时，成立(2)把点C向右移动x个单位长度
(3)①将点C向右移动x个单位长度，②点B应该向左移动x个单位长度(4)成立，见解析(5)
【分析】（1）根据将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点A表示3，点B表示6，点C表示8即可解答；
（2）根据（1）中各数值的变化即可得出结论；（3）①根据原点向左移动就是数轴向左移动解答；
②根据（2）中的结论即可解答．（4）当数轴的原点向左拖动x个单位长度时，则点A表示，点B表示，点C表示，再代入检验即可；（5）由（4）可知，当时，都能使成立．即可得出结论．
【详解】（1）不成立．∵将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点A表示3，点B表示6，点C表示8，
∴不成立．把点C向右移动一个单位长度时，成立；
（2）由（1）可知，将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该把点C向右移动x个单位长度；
（3）①∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，．
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，，，
∴，∴若成立，则将点C向右移动x个单位长度；
②∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，．
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，，，，
当时：，
即：点B应该向左移动x个单位长度时，成立．
（4）成立．∵数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5，
∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，点A表示，点B表示，点C表示，
∴，与，∴成立；
（5）由（4）可知，点A表示m，点B表示n，点C表示t，当时，都能使成立．
【点睛】本题考查的是数轴上点的平移，熟练掌握点在数轴上的平移规律：左减右加，是解答此题的关键．注意原点移动时，等同于数轴上的点相对于原点往相反的方向移动．
考点7.动态定值（含参型）模型
例1．（2023·江苏·七年级期末）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 ．（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．）
【答案】（1），；（2）①9秒；②点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，；（3）当时，为定值，定值为：
【分析】（1）结合题意，根据数轴、代数式的性质分析，即可得到答案；
（2）①根据题意，列方程并求解，即可得到答案；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析，结合题意，通过列方程并求解，即可得到；再结合数轴和代数式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意得：运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，；且＜＜；结合数轴的性质列代数式，得当时，为定值，从而完成求解．
【详解】（1）∵已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边
∴B表示的数为：；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒
∴点P表示的数为： 故答案为：，；
（2）①根据题意，得： ∴，即点P运动9秒时追上点Q；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析；
相遇前相距6个单位长度，依题意得： ∴ ∴此时点P表示的数为：；
相遇后相距6个单位长度，依题意得： ∴ ∴此时点P表示的数为：；
∴点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，；
（3）运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，；
根据题意得：＜＜∴，，
∴
当，即时，为定值，定值为：．
【点睛】本题考查了数轴、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、代数式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C．
(1)则______，______，______．(2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；
(3)若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动请问：是否存在一个常数m使得不随运动时间t的改变而改变若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2；；(2)线段的长度不发生变化，其值为
(3)存在常数m，，这个不变化的值为26
【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可；
（2）根据中点的定义得到，，再根据即可求解；
（3）求出和的值，然后求出的值即可．
【详解】（1）解：、b满足，
且．解得，．
．故答案为：2；；
（2）如图，由（1）得，
当点D运动时，线段的长度不发生变化，理由如下：
点E、点F分别为中点，，，
，
当点D运动时，线段的长度不发生变化，其值为；
（3）假设存在常数m使得不随运动时间t的改变而改变．
由（1）得，，
则依题意得：，．
所以与t的值无关，
即，解得，所以存在常数m，，
这个不变化的值为26．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
考点8.数轴折叠（翻折）模型
例1．（2023·江苏·七年级专题练移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：
（一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．
（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为 1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位．
（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．
（4）若折叠纸条，表示 3的点与表示1的点重合，则表示 4的点与表示 的点重合；
（5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示 1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ．
【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或
【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可；
（2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可；
（3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可；
（4）求得对称中心，然后求解即可；（5）求得对称中心，由题意可得A点在表示 1的点的左侧5个单位，求解即可；（6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为；
（2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为
机器人向左移动两次，则B点表示的数为
机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或
（3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ，
由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10
（4）由题意可得：对称中心为，则表示 4的点与表示2的点重合 故答案为2
（5）由题意可得，A点在表示 1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6
（6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8
当在左侧时，，点N表示的数为-4
当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或
【点睛】此题考查数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．
变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面．
（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合；
（2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009
【分析】（1）由表示1的点与表示-1的点重合，即可找出与表示-5的点重合的点表示的数；
（2）①由表示1的点与表示-5的点重合，即可找出与表示13的点重合的点表示的数；
②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，根据重合两点表示的数之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合，
∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5．
（2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，
∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17．
②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，
根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009．
答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009．
【点睛】本题考查了数轴、折叠的性质以及一元一次方程的应用，根据折叠的性质找出重合两点表示的数之和相等是解题的关键．
变式2．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③
【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．
（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．
（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．
【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，
它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；
它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；
它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…，
由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n，
它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是；
当，即 时，，
所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是；
当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；
故答案为： ，1012．
（2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1．
因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：．
②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1．
又因为，
所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013．
③由折叠可知，，
因为点M、N表示的数分别是、8，所以 ．
又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以．
因为，，所以点P表示的数为．故答案为：．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·河南洛阳·七年级校考阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（ ）个单位长度．
A．0 B．100 C．50 D．－50
【答案】C
【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位．
故答案为：C．
【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．（2023·四川乐山·七年级期末）如图，点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5．则满足条件的P点对应的整数有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据数轴上两点之间的距离为丨a-b丨求解即可．
【详解】解：∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2，∴AB＝丨2﹣（﹣3）丨＝5，
∵点P在数轴上对应的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，∴P在A，B之间，
∴满足条件的P点对应的整数有：﹣2，﹣1，0，1，共4个．故选：D．
【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上两点间距离的表示是解答的关键．
3．（2023·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．
【详解】解：∵，，且，
∴，，解得，，故①正确；
当点与点重合时，∵，，∴，故②错误；
设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2，
，，，∴，故③正确；
设点B表示的数是，则点C表示的数是，∵M是OB的中点，∴点M表示的数是，
∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，则，故④正确．故选：D．
【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．
4．（2023·浙江宁波·七年级期末）如图，数轴上点表示的数分别为现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动当时，运动的时间为 ( )
A．15秒 B．20秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒
【答案】D
【详解】试题解析：设运动的时间为t 秒，
P、Q相遇前，依题意有50-（-40）-3t=3[50-（-40）-2t-3t]，解得t=15；
P、Q相遇后，依题意有50-（-40）-3t=3t=3[2t+3t-50+（-40）]，解得t=20．
故运动的时间为15秒或20秒．故选D．
5．（2023·浙江邵外七年级阶段练习）如图所示，A、B是数轴上的两点，O是原点，AO=10，OB=15，点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，设运动的时间为t（t≥0） 秒，M、Q两点到原点O的距离相等时，t的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据AO和OB的出可得点A和点B表示的数，根据绝对值的定义，利用数轴上两点间的距离，可用t表示出点M、Q到原点的距离，根据M、Q两点到原点O的距离相等列方程求出t值即可得答案．
【详解】∵O是原点，AO=10，OB=15，
∴点A表示的数是-10，点B表示的数是15，
∵点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，∴OM=|-10-t|，
∵点Q以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴OQ=|15-4t|，
∵M、Q两点到原点O的距离相等，∴|-10-t|=|15-4t|，
∴-10-t=15-4t或-10-t=-（15-4t），解得：t=或t=1，故选：C．
【点睛】本题考查绝对值的定义及数轴上两点间的距离，正确表示出OM、OQ的长是解题关键．
6．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】数轴上点的移动规律是“左加右减”，依据规律计算即可．
【详解】解：由题可得：==，故答案选：B．
【点睛】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左加右减”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7．（2023·浙江七年级课时练习）如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________．
【答案】5或3.5
【分析】随着点B的运动，分别讨论点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【详解】解：设运动时间为t秒，
①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，∴PC=1，∴PD=PC+BD=5；
②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC，∴PC=1，∴PD=PC+CD=5；
当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
③当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
④当＜t＜时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵，∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5；
综上，线段的长为5或3.5，故答案为：5或3.5
【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解．
8．（2024·浙江七年级课时练习）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，故答案为：或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
9．（2023春·河北保定·七年级专题练习）如图，数轴上标出的所有点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示，点表示8．点为数轴上一点，且表示的数是整数，点到A点的距离与到点的距离之和为24，则这样的点有 ___________个．
【答案】25
【分析】由题意可计算出点A到点G的长度为24，即得出点在线段上，再根据点表示的数是整数，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
∴点在线段上，即点P所表示的数的取值范围为是，
∵点表示的数是整数，∴或或或…或7或8，共25个．故答案为：25．
【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题．判断出点在线段上是解题关键．
10．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点C的距离相等．
【答案】11或40
【分析】设运动时间为秒，分，，和，四种情况分类讨论，求解即可。
【详解】解：由题意，得：，，，
点从点运动到点所用的时间为：秒；
从点运动到点所用的时间为：秒；
从点运动到点所用的时间为：秒；
点从点运动到点所用的时间为：秒；
从点运动到点所用的时间为：秒；
从点运动到点所用的时间为：秒；
设运动时间为秒时，P、Q两点到点C的距离相等，
①当时，依题意，得：，解得（舍去）；
②当时，依题意，得： ，解得；
③当时，依题意，得：，解得（舍去）；
④当时，依题意，得：，解得．
故运动时间为11或40秒时，P、Q两点到点C的距离相等．故答案为：11或40．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，正确的列出方程，是解题的关键．
11．（23-24七年级·上海浦东新·期末）两点在数轴上对应的数分别为，40，在两点处各放一个挡板，两个电子小球同时从原点出发，以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，设两个小球运动的时间为，那么当时，的值为 ．
【答案】60
【分析】根据题意可得时，未碰到挡板，运动距离为，未碰到挡板，运动距离为，从而可得到在数轴上表示的数，再根据数轴上两点间的距离，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：碰到挡板所需时间均为，
时，未碰到挡板，运动距离为，未碰到挡板，运动距离为，
以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，
对应数轴上的数为，对应数轴上的数为，
，故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，读懂题意，得出对应数轴上的数为，对应数轴上的数为，是解题的关键．
12．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等．
【答案】或
【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用；
根据非负数的性质求出，，设运动时间为t，然后分两种情况：①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时，②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时，分别判断出P、Q的位置，列方程求解即可．
【详解】解：∵，∴，，∴，，
∴B表示的数是9，C表示的数是5，设运动时间为t，
①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时，
由题意得，P、Q在上，∴，解得：；
②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时，
由题意得：，解得：，故答案为：或．
13．（2023·江苏·七年级专题练习）我们规定：数轴上的点到原点的距离为，如果数轴上存在某点，到点的距离是的整数倍，就把点称作点的倍关联点．当点所表示的数是时，
(1)如果存在点的倍关联点，则_______；点所表示的数是_______；
(2)如果点在数轴上所表示的两点之间运动，若存在点最大的倍关联点，则_______．
【答案】(1)，或(2)
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可；（2）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可．
(1)∵点所表示的数是，数轴上的点到原点的距离为，∴，
∵存在点的倍关联点，∴，∴或，
∴点所表示的数是或，故答案为：，或；
(2)∵点在数轴上所表示的两点之间运动，
∴，或，∴点到点的最大距离为：，
∵，∴，故答案为：；
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离是解本题的关键．
14．（23-24七年级·广东·期中）数轴上有一动点，从原点出发沿着数轴移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位．
【答案】
【分析】本题考查了数轴上的动点问题中的规律探究．根据题意得出当运动次数为奇数时，对应点在数轴上表示的数为当运动次数为偶数时，对应点在数轴上表示的数为是解题关键．
【详解】解：由题意得：在数轴上表示的数为，在数轴上表示的数为；
在数轴上表示的数为，在数轴上表示的数为……
当运动次数为奇数时，对应点在数轴上表示的数为
当运动次数为偶数时，对应点在数轴上表示的数为
当时，∵∴在数轴上表示的数为
点与原点的距离是个单位．故答案为：
15．（2023·江苏·盐城市七年级阶段练习）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过__秒后，M、N两点间的距离为8个单位长度．
【答案】14或
【分析】已知运动时间为t秒，根据题意建立含有t的一元一次方程，解出t的值即可．
【详解】解：已知运动时间为t秒，根据题意M、N两点间的距离为8个单位长度，分析N点的两种移动方向分别建立一元一次方程可得：
当N向左运动，则有，解得t=，
当N向右运动，则有，解得t=14．故答案为14或．
【点睛】本题考查线段的动点和数轴问题，根据题意分情况列出含有t的一元一次方程是解决本题的关键．
16．（2023·浙江·七年级期末）如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，10，点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是______．
【答案】1
【分析】根据点A、B表示的数可得出线段AB的长度，利用时间＝路程÷速度可求出当点P到达点B时点P、Q运动的时间，再由点Q的出发点、速度及运动时间可得出当点P到达点B时点Q在数轴上表示的数．
【详解】解：∵点A表示的数为 8，点B表示的数为10，
∴线段AB的长度为10 （ 8）＝18，
∴当点P到达点B时，点P、Q运动的时间为18÷2＝9（秒），
∴当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为 8＋（3×9－18）＝1．故答案为：1．
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，掌握求数轴上两点间距离以及准确利用行程问题的数量关系求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（23-24七年级上·陕西·阶段练习）如图，已知点是数轴上三点，为原点，点表示的数为．(1)点表示的数为__________，点对应的数为__________．
(2)动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动．点为线段的中点，点在线段上，且，若运动时间为秒．请用含的代数式分别表示点、点所表示的数．
【答案】(1)(2)点M表示的数是，点N表示的数是
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式解答；（2）由（1）知，点A表示的数是，点C表示的数是2，根据点运动的速度及方向得到，，即可得到、点所表示的数．
【详解】（1）∵点表示的数为，
∴点B表示的数是，点A表示的数是，故答案为：；
（2）由（1）知，点A表示的数是，点C表示的数是2，
∵动点分别同时从点出发，分别以每秒6个单位长度和每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动．
∴，∵点为线段的中点，∴，即点M表示的数是，
∵点在线段上，且，∴∴点N表示的数是．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，正确理解点运动的方向及速度与路程、时间的关系是解题的关键．
18．（2023·浙江杭州·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．
（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
（2）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？
（3）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？
【答案】（1）40；（2）-260；（3）24或32．
【分析】（1）与A、B两点距离相等的点是它们的中点，即（-20+100）÷2结果是M；
（2）此题是追及问题，可先求出P追上Q所需的时间，然后可求出Q所走的路程，根据左减右加的原则，可求出点D所对应的数；（3）此题是相遇问题，先求出相距10单位时所需的时间，相距10单位，分相遇前和相遇后计算，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出-20向右运动到C地点所对应的数．
【详解】（1）根据题意可知，点M为A、B的中点，
∴（-20+100）÷2=40，答：点M对应的数为40，故答案为：40；
（2）点P追到Q点的时间为120÷（6-4）=60，即此时Q点经过的路程为4×60=240，
即-20-240=-260，答：点D对应的数是-260，故答案为：-260；
（3）分相遇前和相遇后两种情况讨论：
他们相遇前相距10单位时，（120-10）÷（6+4）=11，
及相同时间Q点运动路程为：11×4=44，即-20+44=24；
他们相遇后相距10单位时，（120+10）÷（6+4）=13，
及相同时间Q点运动路程为：13×4=52，即-20+52=32，
答：点C对应的数是24或32，故答案为：24或32．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，相遇和追及问题，有理数的运算，掌握数轴上的动点问题是解题的关键．
19．（2023·江苏扬州·七年级统考期末）如图，已知线段，点O为线段AB上一点，且．动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，运动到点B停止；点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止．设P的运动时间为t s．(1)OA=__________cm，OB=__________cm；(2)当Q从O向A运动时，若，求t的值．(3)当时，直接写出t的值．
【答案】(1)；(2)(3)
【分析】（1）直接按比例求解即可；（2）根据数量关系列方程即可；
（3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可．
【详解】（1），点O为线段AB上一点，且，
那么．故答案为：；
（2）动点P以1cm/s的速度，从点O出发，沿OB方向运动，则，
点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止，则从到时，，从到时，．
因为当Q从O向A运动时，若，所以，解得．
（3）当则从到时，，
，可得，解得，
从到时，在左侧时，．
，可得，解得，
从到时，在右侧时，．
，可得，解得．
综上所述：
【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段长，用速度表示点的路程，后找出等量关系列方程．
∵M为中点，∴点M对应的数为：，
t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：，
∵N为中点，∴点N对应的数为：，故答案为：；；
②线段的长为定值，
∵点M对应的数为，点N对应的数为；
∴，∴线段的长为定值．
【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系．
20．（2023·浙江杭州·七年级期末）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100．（1）请写出中点所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚊从点出发，以6单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点对应的数．
【答案】（1）40；（2）28；（3）-260．
【分析】(1)直接根据中点坐标公式求出M点对应的数;
(2)①先求出AB的长,再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程, 求出t的值即可; ②由①中t的值可求出P、Q相遇时点P移动的距离,进而可得出C点对应的数;
(3)此题是追及问题,可先求出P追上Q所需的时间, 然后可求出Q所走的路程,根据左减右加的原则,可求出点D所对应的数．
【详解】法一:（1）,点表示的数为：,
（2）它们的相遇时间是（秒）,即相遇时点运动的路程为：,
因此点表示的数为：.
（3）两只蚂蚁相遇时的运动时间为：（秒）,
即相遇时点运动的路程为：,
因此点表示的数为：,
方法二:（1）,
（2）动点,,相遇,则,,, ,
（3）动点;,
相遇，则,,,．
【点睛】本题主要考查的是数轴上点的运动,还有相遇问题与追及问题,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题的等量关系.
21．（2023·四川师范大学附属中学七年级阶段练习）已知，数轴上有两点A、 B对应的数分别为 1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值．
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由．
（3）点A、 B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【答案】（1） 1，5，2；（2）存在，最小值为6，x可以取的整数值有 1、0、1、2、3、4、5；（3）48
【分析】（1）根据数轴上的两点距离公式和中点公式列式求解即可；
（2）分类讨论点P分别在点A左侧、点A、点B之间、点B右侧时分别求出，进行比较即可求出最小值；
（3）设经过t分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多6，列出方程，求出t的值，即为点P的运动时间，再乘以点P运动的速度，即可得点P所经过的总路程．
【详解】解：（1）∵点A、 B对应的数分别为 1，5，
∴，即点A、B的距离为6；
∵点P到点A、B的距离相等，则P为AB中点，则有：，所以；
（2）数轴上存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小，
当点P在点A左侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PA+AB=2PA+6，
当点P在点A、点B之间时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=AB=6，
当点P在点B右侧时，点P到点A、B的距离之和为：PA+PB=2PB+AB=2PA+6，
所以当点P在点A、点B之间时（含点A、点B），点P到点A、B的距离之和最小，最小值为6，
点A、点B之间的整数值有 1、0、1、2、3、4、5，即为x可以取的整数值；
（3）设经过t分钟点A与点B重合，依题意得： 1+3t=5+2t+6，解得：t=12，所以4t=4×12=48，
所以点P所经过的总路程是48个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离和中点、路程问题；题目较长，比较复杂，读题是一个难点，所以解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（2023·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形的长是4个单位长度，长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为12．
（1）填空:点在数轴上表示的数是_________ ，点在数轴上表示的数是_________．
（2）若线段的中点为，线段EH上有一点，， 以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，求当多少秒时，．
（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形运动的时间．
【答案】（1）13， 11；（2）x＝2或x＝；（3）当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6．
【分析】（1）根据已知条件可先求出点H表示的数为13，然后再进一步求解即可；
（2）根据题意先得出点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7，然后分当M、N在点O两侧或当N、M在点O同侧两种情况进一步分析讨论即可；
（3）设长方形ABCD运动的时间为y秒，分重叠部分为长方形EFCD或重叠部分为长方形CDHG两种情况进一步分析讨论即可.
【详解】（1）∵长方形的长是8个单位长度，点在数轴上表示的数是5，
∴点H表示的数为：，
∵两点之间的距离为12，∴点D表示的数为：，
∵长方形的长是4个单位长度，∴点A表示的数为：，故答案为：；
（2）由题意可知：点M表示的数为﹣9，点N表示的数为7；，经过x秒后，M点表示的数为﹣9+4x，N点表示的数为7﹣3x；
①当M、N在点O两侧时，点O为M、N的中点，则有，解得x＝2 ；
②当N、M在点O同侧时，即点N、M相遇，则有7﹣3x＝﹣9+4x解得：x＝
综上，当x＝2或x＝时，OM=ON ；
（3）设长方形ABCD运动的时间y为秒，
①当重叠部分为长方形EFCD时，
DE= 7+2y 5= 2y 12∴ 2(2y 12) = 6，解得：y = 7.5；
②当重叠部分为长方形CDHG时，
HD=4- ( 7+2y-13)= 24 2y，∴ 2(24 2y) = 6，解得：y =10.5；
综上，当长方形ABCD运动的时间7.5秒或10.5秒时，重叠部分的面积为6.
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关方法是解题关键.
23．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，在数轴上有A、B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A、B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段、的中点．
(1)如果点A表示，点B表示8，则线段____________；
(2)如果点A表示数a，点B表示数b，①点C在线段上运动时，求线段的长度（用含a和b的代数式表示）；②点C在点B右侧运动时，请直接写出线段的长度：________（用含a和b的代数式表示）．
【答案】(1)12；(2)①②．
【分析】（1）由数轴上两点间的距离公式计算即可；
（2）①根据中点的定义，由数轴上两点间的距离公式计算即可；②点C在点B右侧运动时，可得，再根据中点的定义，由数轴上两点间的距离公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意，可知线段．故答案为：12；
（2）解：如果点表示数，点表示数b，则
①如图，点在线段上时，点、分别是线段、的中点，∴，，
又∵，∴；
②如图，点在点右侧运动时， ∴，，
又∵，∴．
【点睛】本题考查的是数轴的知识，熟练掌握两点间的距离公式是解题关键．
24．（2024·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．
（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等．
【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等．
【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解；
（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，∴，∴，
∴A、C两点距离为：；故答案为9，20，32；
（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：，
点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，
∴点P从点A到点C的时间为：；
②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，
∴，∴5+1×1=6，∴相遇点所表示的数为6；
（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，如图所示：
则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，
∵BP=BQ，∴，解得：（不符合题意，舍去）；
②当时，如图所示：
∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，
∴，BQ=11-t，
∵PB=BQ，∴，方程无解；
③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示：
∴PB=15-t，，
∵PB=BQ，∴，解得t=12，
④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示：
∴，，
∵PB=BQ，∴，解得：；
综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；故答案为12或25．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．
25．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：
(1)填空： ， ．
(2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）．
【答案】(1)，；
(2)不变，理由见解析；
(3)或或．
【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可；
（）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边；
本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【详解】（1），，
故答案为：，；
（2）不变，理由：
因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，，
所以：，，
∵，
∴，，
∴，，
所以：，
所以的值不会随着时间的变化而改变；
（3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，，
当点追上点时，，
解得：，
当时，点在还点处，
所以：，
当时，点在点的右边，
所以：，
当时，点在点的右边，
所以：，
综上所述，、两点间的距离为或或．
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