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专题1.6.绝对值中的五类最值问题（章节重难点）
最值问题一直都是浙教版（2024）七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.的最小值模型 2
考点2.的最小值和最大值模型 6
考点3.的最小值模型 8
考点4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12
考点5.型或型最值模型 16
模块3：能力培优 18
①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。
考点1.的最小值模型
【解题方法】的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。
分类情况（的取值范围） 图示 取值情况
当时 （在点a的左侧） 的值大于
当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为
当 （在点b的左侧） 的值大于
结论：在时，取得最小值为。
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
例1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______；
(2)点A、B在数轴上分别表示实数x和．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果，求x的值；(3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围．
变式1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
变式2．（2023·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ．
（3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）最小值是 ，的最小值是 ．
变式3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过∶“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．
(1)【发现问题】①若代数式的值等于2021，求x的值；
②已知代数式与代数式的值相等，求x的的值；
(2)【探究问题】③求代数式的最小值；④代数式是否有最大值？并说明理由
(3)【解决问题】⑤当a为何值时，代数式的最小值是2．
考点2.的最小值和最大值模型
【解题方法】的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。
的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。
分类情况（的取值范围） 图示 取值情况
当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为—
当时 （在点a、b之间）
当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为
结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ．(2)若，则 ．
(3)最大值为 ，最小值为 ．
变式1．（2023·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
变式2．（2023·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为________，数x与-1所对应的点的距离为________；
（2）求的最大值；
（3）直接写出的最大值为______．
考点3.的最小值模型
【解题方法】①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③的最小值的分析：
找到上述式子中的 零点，按从小到大 排序（不妨假设） ，借助数轴容易得到：
当n 奇数 时 ，则x取 中间数 时 取得 最小值 ；
当n 偶数时 ， 则 x取 中间 段 时 取得 最小值 。
规律可总结为：“奇中点，偶中段”
例1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．
回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________．
(2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________．
(3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________．
(4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值．
变式1．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）（1）阅读：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为．
（2）理解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示1和的两点之间的距离是_________；②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_________，如果，那么_________；
（3）运用：③当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_________；
④当代数式取最小值时，相应的x的值是_________．
变式2．（2023·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________；
(2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________；
【拓展应用】(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
(4)结合几何意义，求最小值.
变式3．（2023·福建七年级期中）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．（2）若，则的值是 ．
（3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值；
（4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由；
（5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？
考点4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型
【解题方法】系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1”
①绝对值系数不为“1”：
例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜
解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。
②x系数不为“1”：
例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。
解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先 第一步 想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。
第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开 ，然后 利用“奇中点 ，偶中段”来求了 。解 得 当x=-1时 取得 最小值，最小值 为 6。
另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。
例1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________．
(2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________；
(3)若，求；(4)求的最小值．
变式1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝ ．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
③当x＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
变式2．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离：
①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离；
②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
综上，原式＝
结合以上材料，回答以下问题：(1)若，则 ．(2)当代数式取最小值时，x的取值范围是 ．(3)代数式有最大值，这个值是 ．
考点5.型或型最值模型
【解题方法】
类型1：：当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b；
类型2：：当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b；
例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ．
变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ．
变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2．
A．1 B．2 C．3 D．4
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广东·七年级期末）的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2023·山东·七年级校联考期中）设，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
4．（2023·广东·七年级课时练习）的最小值是（ ）
A．1 B．1010 C．1021110 D．2020
5．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2023·陕西西安·七年级校考期末）已知，那么设，则的最大值为_______，最小值为_______．
7．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ．
8．（2023·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________．
9．（23-24七年级上·四川内江·期中）的最小值为 ．
10．（2023·江苏·七年级期末）若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是_____．
11．（2023·广东·七年级课时练习）利用数轴解决下面的问题：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是 ；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是 ；（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时，相应的x的取值范围或值是 ，最小值是 ．
12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）当满足 条件时，有最小值，这个最小值是 ．
13．（2023 雁塔区校级期中）若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是 ，|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是 ．
14．（2023·成都市七年级期末）的最小值为__________．
15．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)________；(2)表示与________之间的距离；表示与_________之间的距离；
(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）
(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．
16．（2023·浙江宁波·七年级期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，请你利用数轴回答下列问题：
（1）数轴上表示2和4两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离AB＝ ，如果AB＝2，则x的值为 ；
（3）|x＋1|＋|x＋2|＋|x﹣3|＋|x﹣4|的最小值为 ；（4）|x＋π|﹣|x﹣2|的最大值为 ．
17．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）设是一个四位数，，，，是阿拉伯数字，且，则式子的最大值是 ．
18．（2024七年级·成都市·培优）已知，，代数式的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值．
(2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值．
20．（2023·浙江·七年级专题练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程)
（1）若，则x =________；若，则x =___________
（2）若，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________
（3）当取最小值时，则x的值为____________
（4）当取最大值时，则x的取值范围是____________
21．（23-24七年级上·河南南阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题：
(1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______；
②若数轴上表示点的数满足，那么______．
(2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______；
②是否存在的值，使得等式成立 并说明理由．
(3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少 不需说明理由，请直接写出你的结果．
22．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由．
23．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 ___．
24．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是 ．
（二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是 ．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有 个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是 ．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是 ．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是 ．
25．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题：(1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______；
②在①的情况下，如果，那么x为______．
(2)探究问题：代数式的最小值是多少？
如图，点A、B、P分别表示数、2、x，，
∵的几何意义是线段与的长度之和，
∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，，
∴的最小值是3，
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
解决问题：①直接写出式子的最小值是______；
②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米．
(3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
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专题1.6.绝对值中的五类最值问题（章节重难点）
最值问题一直都是浙教版（2024）七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.的最小值模型 2
考点2.的最小值和最大值模型 6
考点3.的最小值模型 8
考点4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12
考点5.型或型最值模型 16
模块3：能力培优 18
①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。
考点1.的最小值模型
【解题方法】的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。
分类情况（的取值范围） 图示 取值情况
当时 （在点a的左侧） 的值大于
当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为
当 （在点b的左侧） 的值大于
结论：在时，取得最小值为。
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
例1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离，即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：，根据以上信息，回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______；
(2)点A、B在数轴上分别表示实数x和．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果，求x的值；(3)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围．
【答案】(1)3，3(2)①；②或(3)5，
【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；数轴上表示和的两点之间的距离是：．（2）①根据点、在数轴上分别表示实数和，可得表示、两点之间的距离是．②如果，则，据此求出的值是多少即可．（3）根据题意，可得代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，所以当时，代数式的最小值是表示4的点与表示的点之间的距离，即代数式的最小值是5．
【详解】（1）解：根据分析，可得 数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；
数轴上表示和的两点之间的距离是：．
（2）①．②如果，则，或，解得或．
（3）代数式表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，
当时，代数式的最小值是：，
即代数式的最小值是5，的取值范围是．
【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
变式1．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】以和3为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【详解】解：如图，
当时，，，
；
当时，，，；
当时，，，；
综上所述，当时，取得最小值，
所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和3为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
变式2．（2023·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ．
（3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）最小值是 ，的最小值是 ．
【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝对值的意义可得；（4）根据绝对值的意义可得；
（5）分别得出和的意义，再根据数轴的性质可得．
【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或-3；
（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离；
（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，
|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；
（5）由（4）可知：当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，
当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．
【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解．
变式3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过∶“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．
(1)【发现问题】①若代数式的值等于2021，求x的值；
②已知代数式与代数式的值相等，求x的的值；
(2)【探究问题】③求代数式的最小值；④代数式是否有最大值？并说明理由
(3)【解决问题】⑤当a为何值时，代数式的最小值是2．
【答案】(1)①或2020，②1 (2)③4，④没有最大值，见解析(3)⑤或
【分析】（1）①根据的几何意义，找出与对应的点距离为2021个单位长度的点即可；③找出与数轴上到对应的点距离与到3表示的点的距离相等的点即可；（2）根据的几何意义即可进行解答；（3）根据的几何意义，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵，
∴数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离为2021个单位长度，∴或．
②∵，如图：
∴到对应的点距离与到3表示的点的距离相等的点只有一个，即为1对应的点，∴．
（2）③∵表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和，
如图：当x对应的点在和3之间时，距离和最小，最小为4，
∴最小值为4；
④∵表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和，
∴没有最大值．
（3）⑤∵最小值为2，
∴表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和最小为2，如图：
当或时最小值为2，∴或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离和绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，明确数轴上的点和有理数的一一对应关系，以及具有数形结合的思想．
考点2.的最小值和最大值模型
【解题方法】的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。
的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。
分类情况（的取值范围） 图示 取值情况
当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为—
当时 （在点a、b之间）
当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为
结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ．(2)若，则 ．
(3)最大值为 ，最小值为 ．
【答案】(1)(2)1或(3)5，
【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答；（2）直接解绝对值方程即可解答；
（3）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答．
【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．故答案为：
（2）解： 或 或 故答案为： 1或
（3）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，
∴当时，有最大值；
当时，有最小值； 故答案为：5，．
【点睛】本题考查数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
变式1．（2023·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
【答案】2
【详解】试题解析：|x-1|-|x+6|的最大值为1-（-6）=1+6=7，
则代数式的最大值为7-5=2．
点睛：|x-1|-|x+6|表示数轴上表示x的点到1与-6之差，最大值为1-（-6）.
变式2．（2023·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为________，数x与-1所对应的点的距离为________；
（2）求的最大值；
（3）直接写出的最大值为______．
【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【分析】（1）据题意即可列式解答；（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，
数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ；
（2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离，
①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；
②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；
③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2
（3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4，
的最大值是6，的最大值是8，
∴的最大值是2+4+6+8=20
【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．
考点3.的最小值模型
【解题方法】①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③的最小值的分析：
找到上述式子中的 零点，按从小到大 排序（不妨假设） ，借助数轴容易得到：
当n 奇数 时 ，则x取 中间数 时 取得 最小值 ；
当n 偶数时 ， 则 x取 中间 段 时 取得 最小值 。
规律可总结为：“奇中点，偶中段”
例1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．
回答下列问题：
(1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________．
(2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________．
(3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________．
(4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值．
【答案】(1)3(2)(3)3或(4)
【分析】本题考查了绝对值的性质，关键掌握数轴上两点间距离的表示方法、理解绝对值的几何意义和绝对值非负的性质．（1）根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得出结论；
（2）根据数轴上两点的距离等于这两个数的差的绝对值列式即可得出结论；
（3）根据绝对值的性质化简即可得出结论；
（4）结合数轴，根据绝对值几何意义可得最小值．
【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：3；
（2）解：数轴上表示x与的两点之间的距离是，故答案为：；
（3）解：，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，；故答案为：3或；
（4）解：表示x到点的点距离之和，
当时，的值最小是：
．
变式1．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）（1）阅读：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为．
（2）理解：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示1和的两点之间的距离是_________；
②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_________，如果，那么_________；
（3）运用：
③当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_________；
④当代数式取最小值时，相应的x的值是_________．
【答案】（2）①3；4；②；1或（3）③；④2
【分析】（2）①根据数轴上两点之间的距离公式计算可得；
②根据数轴上两点之间的距离公式即可解答；
（3）③的最小值，意思是表示x和的点之间的距离与表示x和2的点之间的距离之和最小，那么表示x的点应在表示和2的两点之间的线段上，据此求解；
④与③同理可得：当时，取最小值5，结合“当时，取最小值0”，即可得到答案．
【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，
数轴上表示1和的两点之间的距离是，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是，
如果，那么，所以或故答案为：，1或；
（3）③取最小值，意思是表示x和的点之间的距离与表示x和2的点之间的距离之和最小，那么表示x的点应在表示和2的两点之间的线段上，且最小值是和2的两点之间的距离3，否则到表示的点或到表示2的点距离超过与2的距离.
所以，．故答案为：．
④同理可得：当时，取最小值5，
又∵，当且仅当时，取最小值0，
∴当时，取最小值5，故答案为：2．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义和两点间的距离公式．
变式2．（2023·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或；
若点A，B表示的数分别是，4则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或．
【知识迁移】(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________；
(2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________；
【拓展应用】(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路.
(4)结合几何意义，求最小值.
【答案】(1)或 (2) 10；30 (3)村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁
(4)的最小值为6
【分析】（1）根据题意可得，求出b的值即可；
（2）由题意可得，再分别求出，即可；
（3）设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，得出，然后分别求出结果即可；
（4）由绝对值的几何意义可得，当时，的值最小．
【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，b，
∴，解得或，故答案为：或；
（2）解：∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，∴，∴，，故答案为： 10，30；
（3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：，，，
∴，∴，，
答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁．
（4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和，
∴当时，的值最小，
∴，
∴的最小值为6．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
变式3．（2023·福建七年级期中）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．（2）若，则的值是 ．
（3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值；
（4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由；
（5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）当时，最小值为；（5）当时，最小值为
【分析】（1）根据题目中的方法确定出的长即可；（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出的值；
（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简即可；（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．
【详解】解：（1），则；
（2）∵，∴，故或，故答案为：或；
（3）∵数轴上表示数的点位于－4和2之间，∴；
（4）∵，代表点到和到之间的距离之和，
当时，取得最小值，最小值为；
（5）当时，有最小值，
最小值为====20．
【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．
考点4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型
【解题方法】系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1”
①绝对值系数不为“1”：
例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜
解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。
②x系数不为“1”：
例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。
解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先 第一步 想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。
第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开 ，然后 利用“奇中点 ，偶中段”来求了 。解 得 当x=-1时 取得 最小值，最小值 为 6。
另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。
例1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________．
(2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________；
(3)若，求；(4)求的最小值．
【答案】(1)；或(2)(3)或(4)
【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在；根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；根据题意对去绝对值即可求解；根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答；
根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答．
【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：，
，或，或．故答案为：；或．
（2）数轴上表示数的点位于与之间，
，故答案为：．
（3），数的点位于的左边或的右边，或；
（4）表示一点到，，三点的距离的和，
当时，，当时，取得最小值为；
当时，，当时，取得最小值为；
当时，，当接近时，取得最小值接近为；
当时，，当接近时，取得最小值接近；综上可得，式子的最小值为．故答案为：．
变式1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝ ．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
③当x＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为
【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值．
【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，故答案为：﹣2，6；
（2）解：∵折叠后点B和点C重合，∴BC的中点为折痕点，
∴折痕点对应的数是2，∴点A与数字9重合，故答案为：9；
（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，
∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，故答案为：3；
②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，
∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，
∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴，∴满足条件的所有整数x的和是4，故答案为：4；
③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，
∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，
∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案为：4；
④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，
表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和，
∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，
∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键．
变式2．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道，世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离：
①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离；
②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式．
例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
综上，原式＝
结合以上材料，回答以下问题：(1)若，则 ．(2)当代数式取最小值时，x的取值范围是 ．(3)代数式有最大值，这个值是 ．
【答案】(1)3或(2)(3)2
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；（2）若代数式取最小值时，表示在数轴上找一点到和2的距离之和最小，据此可解；（3）法1：先将原式转化为|x﹣1|﹣|x+1|﹣|x+1|，当|x﹣1|﹣|x+1|取最大值，同时|x+1|取最小值时，取最大值。法2：分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．
【详解】（1）解：由绝对值的几何意义知：表示在数轴上表示的点到1的距离等于2，
，，或；
（2）解：若代数式取最小值时，
表示在数轴上找一点，到和2的距离之和最小，显然这个点在和2之间，
当时，有最小值3．
（3）法1：∵|=|x﹣1|﹣|x+1|﹣|x+1|，
∴若要取最大值，即|x﹣1|﹣|x+1|取最大值，同时|x+1|取最小值。
根据绝对值的几何意义得到|x﹣1|﹣|x+1|最大值为2，且此时x≤﹣1。
而当x≤﹣1时，|x+1|取最小值为0。则的最大值为2．故答案为：2．
法2：当时，原式，
当时，原式，，
当时，原式，则的最大值为2．
【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键．
考点5.型或型最值模型
【解题方法】
类型1：：当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b；
类型2：：当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b；
例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ．
【答案】 1 3
【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处；
【详解】解：由数形结合得，若 取最小值那么表示 的点在1处，
所以 时，取最小值为3；故答案为，最小值为3；
【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值
变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ．
【答案】 2022 2021
【分析】要求的最大值，则需要求出的最小值，根据绝对值的非负性即可进行解答．
【详解】解：要求的最大值，则需要求出的最小值，
∵，∴=0，解得x=2021，
∴最大值为2022．故答案为：2022，2021．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握“正实数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”．
变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（ ）
（1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可.
【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确；
∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0；
当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确；
的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B.
【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点.
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广东·七年级期末）的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和，当x在-1和3之间的1时距离的和最小．
【详解】解：表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和，
当x在-1和3之间的1时距离的和最小，是4．故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，是解决本题的关键．
2．（2023·山东·七年级校联考期中）设，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】表示在数轴上，数到，，的距离之和，则可知当时，取得最小值为，则问题随之得解.
【详解】∵表示在数轴上，数到，，的距离之和，且设该值为a，
结合数轴可知：当数x在1的左侧，此时a的值必然大于2；当数x在3的右侧，此时a的值也必然大于2；当数x在1和3之间时，此时数x到1和3距离之和为定值2，此时若数x与数2重合，即数x到数2距离为0，则a的值取最小，为2；
即当时，取得最小值，为，∴，
∴，∴，
即，∴的最大值为．故选：．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，理解表示在数轴上数到，，的距离之和，是解答本题的关键．
3．（2023·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
【答案】C
【分析】由|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|所表示的意义，得出当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可．
【详解】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，
当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．
【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键．
4．（2023·广东·七年级课时练习）的最小值是（ ）
A．1 B．1010 C．1021110 D．2020
【答案】C
【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可．
【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；
所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；
当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…
当x=1011时，|x-1011|有最小值0．
综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值，
最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|
=1010+1009+…+0+1+2+…+1010=1011×1010=1021110．故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键．
5．（2023·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．
【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，共有12种不同的结果，故②错误；
③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
∴当，，都取最小值时，
，
此时，的最小值为，故③正确；故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2023·陕西西安·七年级校考期末）已知，那么设，则的最大值为_______，最小值为_______．
【答案】 4 －3
【分析】分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去绝对值符号，判断出的最大值和最小值，即可得解．
【详解】解：①当时，，此时；
②当时，，此时；
③当时，，此时；
综上所述，的最大值为4，最小值为－3．故答案为：4，－3．
【点睛】本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解．
7．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ．
【答案】105
【分析】利用绝对值的意义判断即可．
【详解】解：表示数轴上一个动点到三个点之间的距离之和，
当时，最小，此时最小值为，
故答案为：105．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律以及绝对值的几何意义是解题的关键．
8．（2023·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________．
【答案】 6
【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可；
【详解】当时，，∵，∴；
当时，；
当时，，∵，∴；
综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．
故答案是：6；．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键．
9．（23-24七年级上·四川内江·期中）的最小值为 ．
【答案】2022
【分析】根据绝对值的意义判断即可．
【详解】解：∵表示数轴上一个动点到、、三个点的距离之和，
∴当时最小，此时最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律及绝对值的几何意义是解题的关键．
10．（2023·江苏·七年级期末）若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是_____．
【答案】511060
【分析】根据绝对值的几何意义即可得出答案．
【详解】解：|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值，就是求数轴上某点到2、4、6、…、2022的距离和的最小值；根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2022之间时，到2和2022距离和最小；当点在4与2020之间时，到4和2020距离和最小；…，
∴当x＝1012时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2022|的值最小，
最小值是：2|x﹣2|+2|x﹣4|+2|x﹣6|+…+2|x﹣1012|
＝2020+2016+2012+…+0＝（2020+0）×506÷2＝2020×506÷2＝511060．故答案为：511060．
【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x﹣a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．
11．（2023·广东·七年级课时练习）利用数轴解决下面的问题：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是 ；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是 ；（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时，相应的x的取值范围或值是 ，最小值是 ．
【答案】（1）3；（2）2；（3）1010，1019090
【分析】（1）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x应在﹣1和2之间的线段上；
（2）求|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值，x为中间点时有最小值，依此即可求解；
（3）找到中间点即可求得最小值．
【详解】（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是2﹣(﹣1)=3；
（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是4﹣2=2；
（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时，
相应的x的取值范围或值是：=1010，
最小值是(1009+1)×1009÷2×2=1019090．
故答案为：3；2；1010，1019090．
【点睛】本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．绝对值是正数的数有2个．找到中间点即可求得最小值．
12．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）当满足 条件时，有最小值，这个最小值是 ．
【答案】 5
【分析】分，，三种情况计算．
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
故当时，有最小值，且最小值为5，
故答案为：，5．
【点睛】本题考查了分类思想，绝对值的化简，熟练掌握化简绝对值是解题的关键．
13．（2023 雁塔区校级期中）若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是 ，|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是 ．
解：（1）当a＞3时，|a﹣3|+|a+4|＝a﹣3+a+4＝2a+1＞7，
当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|＝3﹣a+a+4＝7，
当a＜﹣4时，|a﹣3|+|a+4|＝﹣a+3﹣a﹣4＝﹣2a﹣1＞7，
由上可得，当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|有最小值，最小值是7．
（2）当a＞1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2﹣a+1＝3，
当﹣2≤a≤1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2+a﹣1＝2a+1≤3，
当a＜﹣2时，|a+2|﹣|a﹣1|＝﹣a﹣2+a﹣1＝﹣3，
由上可得，当a≥1时，|a+2|﹣|a﹣1|有最大值，最大值是3．
14．（2023·成都市七年级期末）的最小值为__________．
【答案】4
【分析】由绝对值的几何意义可知的值最小表示的就是数轴上的点到1，2，3，4这四个点的距离和最小，然后利用数轴进行讨论求解即可．
【详解】解：由绝对值的几何意义可知的值最小表示的就是数轴上的点到1，2，3，4这四个点的距离和最小，
如图当x在1的左边时，此时四个距离的和大于1+2+3=6，
同理当x在4的右边时，会得到相同的结论；
如图当x在1和2之间时，此时四个距离的和大于1+1+2=4，
同理当x在3和4之间时，会得到相同的结论；
如图当x在2和3之间时，此时四个距离的和等于1+3=4，
∴综上所述，的值最小为4，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)________；(2)表示与________之间的距离；表示与_________之间的距离；
(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）
(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．
【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（3）利用绝对值及数轴求解即可；（4）根据数轴及绝对值，即可解答．
【详解】（1）解：表示数轴上表示3的点到表示的点的距离，即为5．故答案为5．
（2）解：表示与2之间的距离；表示与之间的距离．故答案为：2，．
（3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到2和所对应的点的距离之和为5，
∴当x在与2之间的线段上（即），
∴可取整数．故答案为：2（答案不唯一）．
（4）解：∵理解为：在数轴上表示x到和6的距离之和，
∴当x在与6之间的线段上（即）时，即的值有最小值，最小值为．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值等知识点，掌握整式加减、去绝对值符号以及数轴的特点是解答本题的关键．
16．（2023·浙江宁波·七年级期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，请你利用数轴回答下列问题：
（1）数轴上表示2和4两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离AB＝ ，如果AB＝2，则x的值为 ；
（3）|x＋1|＋|x＋2|＋|x﹣3|＋|x﹣4|的最小值为 ；（4）|x＋π|﹣|x﹣2|的最大值为 ．
【答案】（1）2；3；（2）|x+3|，﹣1或﹣5；（3）10；（4）2+π．
【分析】（1）根据题意得出|4﹣2|＝2，|﹣1﹣2|＝3即可；
（2）得到方程|x+3|＝2，求解即可；
（3）由|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|所表示的意义可得答案；
（4）由|x+π|﹣|x﹣2|所表示的意义，结合数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．
【详解】解：（1） |4﹣2|＝2，|﹣1﹣2|＝3，故答案为：2，3；
（2）AB＝|x+3|，当AB＝2，即|x+3|＝2，解得x＝﹣1或x＝﹣5，故答案为：|x+3|，﹣1或﹣5；
（3）|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示﹣1，﹣2，3，4四个点距离之和，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为1+2+3+4＝10，故答案为：10；
（4）|x+π|﹣|x﹣2|所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示﹣π，2两点距离之差，
当x≥2时，这个距离之差最大，最大值为2+π，故答案为：2+π．
【点睛】本题考查数轴上两点距离，解绝对值方程，绝对值的几何意义，掌握两点之间的距离是解题关键．
17．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）设是一个四位数，，，，是阿拉伯数字，且，则式子的最大值是 ．
【答案】16
【分析】若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为，再代入计算即可求解．
【详解】解：若使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小即可，同时为使式子最大，则应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故，此时只能为1，所以此数为，
的最大值．故答案为：16．
【点睛】此题考查了绝对值，要使的值最大，则最低位数字最大，最高位数字最小，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答．
18．（2024七年级·成都市·培优）已知，，代数式的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和是解题关键．
根据的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，结合，计算求值．
【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和，
∵，，
∴当时，的最小是，故答案为：5．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值．
(2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值．
【答案】(1)(2)a的最大值为7
【分析】（1）直接化简绝对值即可得到答案；
（2）分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，∴；
（2）解：当时，；
当时，
当时，；
当时，；
∴要使得无论p取何值都成立，a的最大值为7．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键．
20．（2023·浙江·七年级专题练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程)
（1）若，则x =________；若，则x =___________
（2）若，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________
（3）当取最小值时，则x的值为____________
（4）当取最大值时，则x的取值范围是____________
【答案】（1）0，；（2），2；（3）；（3）．
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）表示的意义，得到的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）根据最小值为3，可以得到答案；（4）根据，当取最大值时，表示的点在点的左边或在点上，据此求解即可．
【详解】解：如图示：
（1）表示数轴上表示的点到表示1和的距离相等，因此到1和距离相等的点表示的数为，表示数轴上表示的点到表示2和的距离相等，因此到2和距离相等的点表示的数为，故答案为：0，；
（2）表示的意义是数轴上表示的点到表示2和两点的距离之和为3，可得，
因此 的最大值为2，最小值为；故答案为：，2；
（3）表示的意义是数轴上表示的点到表示2，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知，
∴当取最小值时，并，故答案为：；
（4）式子表示的意义是数轴上表示的点到表示2和两点的距离之差，由数轴直观可得，，当取最大值时，表示的点在点的左边或在点上，
因此，故答案为：．
【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
21．（23-24七年级上·河南南阳·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示数轴上与两点间的距离．请利用数形结合思想回答下列问题：
(1)观察发现：①数轴上表示和两点之间的距离为_______；
②若数轴上表示点的数满足，那么______．
(2)拓展探究：①若数轴上表示点x的数满足，则______；
②是否存在的值，使得等式成立 并说明理由．
(3)迁移应用：当满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少 不需说明理由，请直接写出你的结果．
【答案】(1)①3； ②或3
(2)①7；②不存在，理由见解析
(3)当的值等于时，取得最小值，最小值是
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值，熟练掌握绝对值的意义，根据“数形结合”的基础是解题的关键，由题意中定义逐一分析即可得到答案．
（1）①根据材料提示，数轴上两点之间距离的计算方法即可求解；②根据两点之间距离的计算，绝对值的性质即可求解；
（2）①根据材料提示，运用数轴上两点之间距离的计算方法，绝对值的性质进行计算即可；②根据两点之间距离的计算方法即可判定；
（3）根据材料提示，运用两点之间距离的计算方法，绝对值的性质化简计算即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
①和两点之间的距离为，
②∵，或，解得或，故答案为：①3；②或3．
（2）解：①∵，∴，，
∴，故答案为：．
②不存在x的值，使得等式成立．
理由如下：由数形结合思想得，当数轴上表示点x的数满足大于或等于，且小于或等于1时，的值最小，最小值为5，∴不成立．
∴不存在x的值，使得等式成立．
（3）解：根据题意可得：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述：当x的值等于时，取得最小值，最小值是11．
22．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由．
【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7．
【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得；
（2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得；
（3）由（2）的方法去绝对值，即可得．
【详解】（1）解：，故答案为：7；
（2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在；
当时，，
此时，使得的整数是、、、、、0、1、2；
当时，，解得（舍去），故此种情况不存在；
故答案为：、、、、、0、1、2；
（3）解：有最小值，最小值是7，
由（2）的探索可得，当时，，
故有最小值，最小值是7．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
23．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 ___．
【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54
【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案；
（3）由题意得到，，则，即可得到答案；
（4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和，
∵，∴，故答案为：7；
（3）∵，，
∴，故答案为：4
（4）∵，
∴
，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取，当时，有最小值，
此时原式＝＝54，故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
24．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是 ．
（二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是 ．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有 个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是 ．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是 ．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是 ．
【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15．
【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得；
（二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得；
（2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可；
（4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可．
【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11．
（二）（1）解：，，或，故答案为8或．
（2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
，是整数，共6个；故答案为：6．
（3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，
当时，有最小值，
最小值为：=2025；故答案为：2025．
（4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，
当时，取最小值，
即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031．
（5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，
当时有最小值，
即最小值==15，故答案为：15．
【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键．
25．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题：(1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是______；
②在①的情况下，如果，那么x为______．
(2)探究问题：代数式的最小值是多少？
如图，点A、B、P分别表示数、2、x，，
∵的几何意义是线段与的长度之和，
∴当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，，
∴的最小值是3，
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
解决问题：①直接写出式子的最小值是______；
②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是______米．
(3)若点A、B、C在数轴上分别表示数、1、5，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)；或5(2)2．C，12(3)的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2
【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离：
（1）根据两点间距离公式可得结论；
（2）①根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12；
（3）根据两点间的距离公式分别表示，代入计算可得答案．
【详解】（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是；
②∵，∴，∴，
∴或，∴或5．故答案为：；或5．
（2）①当时，则有：，∴的最小值是 2；
②设C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，则工作人员取配件所走的路程为，当时，有最小值12，
即：一只配件箱应该放在工作C处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是 12米．
故答案为：2．C，12．
（3）根据题意得：，，∴．
∴的值是不随着时间t的变化而改变，其值为2．
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