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第4章 相似三角形 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 金华期中）若，则
A． B． C． D．
2．（2024春 温州月考）若线段，，则线段，的比例中项为
A． B． C．6 D．
3．（2024 西湖区校级开学）两个相似三角形的相似比是，则其对应中线之比是
A． B． C． D．
4．（2024 钱塘区三模）如图，已知，若，，，则线段的长为
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2024 金华一模）已知，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2024 金华三模）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度为
A． B． C． D．
7．（2023秋 西湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是
A． B．
C．或 D．或
8．（2024 镇海区校级模拟）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
9．（2024 宁波模拟）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，．若，则的面积一定可以表示为
A． B．
C． D．
10．（2022 绍兴）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是
A． B． C．10 D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 江干区校级二模）已知与△是位似图形，位似比是，则与△的面积比 ．
12．（2022 镇海区校级开学）如图，已知，若，，，则的长为 ．
13．（2024 宁波模拟）已知、是线段的两个黄金分割点，且，则长为
．
14．（2023秋 西湖区校级期中）两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，若它们的面积之和为，则较小五边形的面积是 ．
15．（2023秋 西湖区校级期中）如图，某校宣传栏后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 棵树．（不计宣传栏的厚度）．
16．（2024春 宁波月考）如图，在正方形中，延长至点，以为边向下画正方形，联结交于点，，联结，．若的面积为30，则的长为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 西湖区校级月考）如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）；
（2）在图2中的线段上找一个点，使．
18．（2023秋 西湖区校级期中）如图，．
（1）若平分，，求的度数；
（2）若，，求的长．
19．（2024 海宁市校级模拟）如图，在中，，是边上的高线，点，分别在，上，且．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
20．（2024春 西湖区校级月考）已知线段，点是线段的黄金分割点．
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
21．（2024 玉环市模拟）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．求证：
（1）；
（2）．
22．（2022秋 镇海区校级期中）阅读理解：
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线．
（2）在中，，为的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数．
23．（2023 义乌市校级开学）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为，连接．
（1）若和相似，求的值；
（2）连接，，若，求的值．
24．（2024 桐乡市一模）如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，连结，，．
（1）求的度数．
（2）求证：．
（3）令，若，，求的值．
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第4章 相似三角形 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 金华期中）若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
．
故选．
2．（2024春 温州月考）若线段，，则线段，的比例中项为
A． B． C．6 D．
【答案】
【解析】设线段，的比例中项为，
则，
解得：
又因为为线段，
所以．
故选．
3．（2024 西湖区校级开学）两个相似三角形的相似比是，则其对应中线之比是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】两个相似三角形对应边之比，
两个相似三角形的相似比为，
它们的对应中线之比是，
故选．
4．（2024 钱塘区三模）如图，已知，若，，，则线段的长为
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【解析】连接交于，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
5．（2024 金华一模）已知，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】
【解析】由①作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项符合题意；
由②作图无法判断，故本选项符合题意；
由③作图可知：，，故，故本选项符合题意；
①③符合题意；
故选．
6．（2024 金华三模）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
，
，
，
外径为，
，
．
故选．
7．（2023秋 西湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是
A． B．
C．或 D．或
【答案】
【解析】点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标是或，
故选．
8．（2024 镇海区校级模拟）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，，
，正确；
，
，错误；
，
，错误；
，
，错误，
故选．
9．（2024 宁波模拟）如图，已知中，点，，，分别为，，，上的点，且，，分别与，相交于点，．若，则的面积一定可以表示为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设，
，
可设，，则，，
所以，
，
，
，即，
，
，
．
故选．
10．（2022 绍兴）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是
A． B． C．10 D．
【答案】
【解析】如图1所示，
由已知可得，，
则，
设，，
则，
解得，
，故选项不符合题意；
，故选项不符合题意；
如图2所示，
由已知可得，，
则，
设，，
则，
解得，
，故选项不符合题意；
；
如图3所示：
此时两个直角三角形的斜边长为6和7；
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024 江干区校级二模）已知与△是位似图形，位似比是，则与△的面积比 ．
【答案】．
【解析】与△是位似图形，位似比是，
△，且相似比为，
与△的面积比为：；
故答案为：．
12．（2022 镇海区校级开学）如图，已知，若，，，则的长为 4 ．
【答案】4．
【解析】，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：4．
13．（2024 宁波模拟）已知、是线段的两个黄金分割点，且，则长为 ．
【答案】．
【解析】根据黄金分割点的概念，可知．
则．
故本题答案为：．
14．（2023秋 西湖区校级期中）两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，若它们的面积之和为，则较小五边形的面积是 ．
【答案】．
【解析】设较小五边形与较大五边形的面积分别是，．
则，因而．
根据面积之和是，得到，
解得：，
则．
即较小五边形的面积分别是．
故答案为：．
15．（2023秋 西湖区校级期中）如图，某校宣传栏后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 26 棵树．（不计宣传栏的厚度）．
【答案】26．
【解析】如图，设的延长线交于点，
，，
，，
，
又米，，米，
米，
，
（米，
，
，
即处共有26棵树，
故答案为：26．
16．（2024春 宁波月考）如图，在正方形中，延长至点，以为边向下画正方形，联结交于点，，联结，．若的面积为30，则的长为 ．
【答案】．
【解析】四边形和四边形是正方形，
，
，
，
设，，
，
，，
，
，
，
四边形和四边形是正方形，
，，，
的面积为30，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．（2023秋 西湖区校级月考）如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）；
（2）在图2中的线段上找一个点，使．
【解析】（1）如图，，，，
，
，，
即为所求；
（2）如图，构造相似比为的相似三角形，此时，则点即为所求．
18．（2023秋 西湖区校级期中）如图，．
（1）若平分，，求的度数；
（2）若，，求的长．
【解析】（1），
，
又平分，
，
；
（2），
，
，
，
（负值舍去）．
19．（2024 海宁市校级模拟）如图，在中，，是边上的高线，点，分别在，上，且．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
【解答】（1）证明：，是边上的高线，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
解得：，
，
．
20．（2024春 西湖区校级月考）已知线段，点是线段的黄金分割点．
（1）求线段的长；
（2）以为三角形的一边作，使得，连接，若平分，求的长．
【解析】（1）点是线段的黄金分割点，，
．
（2）平分，
到、的距离相等．
．
又由（1），
，
．
．
21．（2024 玉环市模拟）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．求证：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），，，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
．
，
，
，
．
22．（2022秋 镇海区校级期中）阅读理解：
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线．
（2）在中，，为的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数．
【解答】（1）证明：，，
，
，
不是等腰三角形．
平分，
，
，
为等腰三角形．
，
，
，
是的完美分割线．
（2）解：①如图3所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得，
，则．
②如图4所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得，
，
．
③如图5所示，
当时，．
，
，
根据完美分割线的定义，可得，
，
这与矛盾，
所以图5的情况不符合题意．
综上所述，的度数为或．
23．（2023 义乌市校级开学）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为，连接．
（1）若和相似，求的值；
（2）连接，，若，求的值．
【解析】（1），，，
，
分两种情况讨论：
①当时，，
，，，，
，
解得，，
②当时，，
，
解得，，
或时，；
（2）过作于点，，交于点，如图所示，
则，，，
，，
，
，
，
，
，
解得．
24．（2024 桐乡市一模）如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，连结，，．
（1）求的度数．
（2）求证：．
（3）令，若，，求的值．
【解答】（1）解：连结，，如图，
是的直径，弦于点，
，
，
．
，，
；
（2）证明：连结，如图．
由（1）可得：是等边三角形，
，
，，
．
又，
，
，即，
；
（3）解：，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
令，，则，
，
，
，即，
（舍去），
，
．
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