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浙教版八年级上册数学同步练习卷
2.7 探索勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_______．
A． B． C． D．
(2)求该金属丝的长．
2．在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1, B．9，40，41 C．2，3， D．
3．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点P（P在A左侧），则点P所表示的数介于（ ）
A．0和﹣1之间 B．﹣1和﹣2之间 C．﹣2和﹣3之间 D．﹣3和﹣4之间
4．由线段，，组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．的周长为60，三条边之比为，则这个三角形的面积为（ ）
A．30 B．90 C．60 D．120
6．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25
7．如图，数轴上点A、B分别对应1、2，过点B作PQ⊥AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的两直角边分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边为1画第二个，再以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第三个；……，以此类推，第个直角三角形的斜边长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在长方形ABCD中,AB= 4,BC= 8，将长方形纸片ABCD折叠，使点C恰好与A点重合,则折痕EF的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是射线上一动点，为线段中点，以为斜边做等腰直角，连结，当最短时，的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则长为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．cm
12．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
13．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，CD交AB于点F，若AE＝ ，AD＝2，则△ACF的面积为 ．
14．如图，是的角平分线，点是上的动点，已知，，，则（1） ；（2）的最小值是 ．
15．已知在三角形纸片ABC中，∠C=90度，BC=1，AC=2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A与点B重合，折痕交AC于点M，那么AM= ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，CD平分△ABC的周长，点E在BC上，且2∠BDE＝∠A，若AC＝15，BE＝3，则CE的长为 ．
17．如图，Rt△OAB的直角边OA=2，AB=1，OA在数轴上，在OB上.截取BC=BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交边OA于点P，则点P对应的实数是 ．
18．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为 ．
19．学习了勾股定理后，我们知道很多的无理数的长度就可以通过下图构造出来，如：，，等．第1个直角三角形两直角分别是1和1，以第1个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第2个直角三角形；以第2个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第3个直角三角形，…，依此类推．
（1）第7个三角形的斜边长是 ；
（2）若第1个三角形的面积用表示，第2个三角形的面积用表示，…，则 ．
20．直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
21．如图，在每个小正方形边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上．
计算线段 ；
、为、边上的动点，连接、，使的值最小，请用无刻度直尺，画出点和点的位置，并简要说明点、点的位置是如何找到的不要求证明 ．
22．如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂．
(1)设，请用的代数式表示的长______；（结果保留根号）
(2)为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？
23．有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
24．如图1，中，，于点，于点，，与交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，将沿折叠得到，问与有何位置关系？请说明理由．
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浙教版八年级上册数学同步练习卷
2.7 探索勾股定理
一、单选题
1．如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_______．
A． B． C． D．
(2)求该金属丝的长．
【答案】(1)C(2)26
【详解】（1）因为圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点C．
（2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
∵圆柱底面的周长为10，圆柱的高，
∴，
∴该长度最短的金属丝的长为．
2．在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1, B．9，40，41 C．2，3， D．
【答案】D
【详解】解：A、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，根据勾股定理，不是直角三角形，故本选符合题意．
3．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点P（P在A左侧），则点P所表示的数介于（ ）
A．0和﹣1之间 B．﹣1和﹣2之间 C．﹣2和﹣3之间 D．﹣3和﹣4之间
【答案】D
【详解】解：由勾股定理得，OB＝＝，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵P在A左侧，
∴该点P所表示的数在数轴上介于﹣3和﹣4之间．
4．由线段，，组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【详解】A．，不能组成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B．，不能组成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C．，不能组成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
D．，能组成直角三角形，故该选项正确，符合题意；
5．的周长为60，三条边之比为，则这个三角形的面积为（ ）
A．30 B．90 C．60 D．120
【答案】D
【详解】解：∵三条边之比为13：12：5，
∴122+52=132，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC的周长为60，
∴三边长分别是：26，24，10，
∴这个三角形的面积是：24×10÷2=120，
故选：D．
6．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25
【答案】A
【详解】解：A、不是正整数，故不是勾股数，符合题意；
B、，故是勾股数，不符合题意；
C、，故是勾股数，不符合题意；
D、，故是勾股数，不符合题意；
7．如图，数轴上点A、B分别对应1、2，过点B作PQ⊥AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得：OB=2，BC=1，连接OC，如图，
∵∠OBC=90°，
∴，
∴点M对应的数是；
8．如图，的两直角边分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边为1画第二个，再以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第三个；……，以此类推，第个直角三角形的斜边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】】解：在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
依此类推，第个直角三角形的斜边长为．
9．如图，在长方形ABCD中,AB= 4,BC= 8，将长方形纸片ABCD折叠，使点C恰好与A点重合,则折痕EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设BE=x，则CE=BC-BE=8-x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE=CE=8-x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
即42+x2=（8-x）2
解得x=3，
∴AE=8-3=5，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=5，
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=4，
AH=BE=3，
∴FH=AF-AH=5-3=2，
在Rt△EFH中，EF= ．
10．如图，是射线上一动点，为线段中点，以为斜边做等腰直角，连结，当最短时，的面积为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【详解】解：当时，的值最小，
∵，
∴，
∵D为线段中点，
∴，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴
∴，
∴，
11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则长为（ ）
A．2cm B．cm C．3cm D．cm
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴．
由折叠的性质知，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，即，
解得．
12．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】解：，
，
，
这个三角形一定是直角三角形．
二、填空题
13．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，CD交AB于点F，若AE＝ ，AD＝2，则△ACF的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接BD，作FM⊥ED，FN⊥BD，分别交ED和BD于M、N，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=45°，
∴∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE =∠BCD，
∴△ACE≌△BDC（SAS），
∴∠BDC=∠E=45°，BD=AE= ，
∵AD＝2，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
∴，
∵,
∴,，
∵∠BDC=∠ADC=45°，FM⊥ED，FN⊥BD，
∴FM=FN，
∴，
∴，即，
．
故答案为：．
14．如图，是的角平分线，点是上的动点，已知，，，则（1） ；（2）的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）如图所示，作E点关于BD的对称点G，连接EG，AG，GF，
∵BD是的平分线，
∴点G在线段BC上，
∴根据对称性可得EF=GF，BG=BE=2，
∴EF+AF=GF+AF≥AG，
∴当点A，F，G三点共线时，GF+AF的长度最短，即EF+AF的最小值为AG的长度．
∴GC=BC-BG=4-2=2，
又∵，，
∴，
又∵AC=2，
∴是等边三角形，
∴AG=AC=2．
∴的最小值是2．
15．已知在三角形纸片ABC中，∠C=90度，BC=1，AC=2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A与点B重合，折痕交AC于点M，那么AM= ．
【答案】
【详解】如图，连接BM，由题意知：MN是线段AB的垂直平分线，∴BM=AM，
设AM=x，则BM=x，CM=AC－AM=2－x，
∵∠C=90°，∴，即1+（2－x）2=x2，解得：x=，即AM=.
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，CD平分△ABC的周长，点E在BC上，且2∠BDE＝∠A，若AC＝15，BE＝3，则CE的长为 ．
【答案】5
【详解】解：延长CA，ED相交于点F，延长AB至G，使BG＝BC，连接CG，
设∠CAB＝2α，则∠ADF=∠BDE＝α，∠CBA＝90°﹣2α，
又∵∠CAB=∠F+∠ADF，
∴∠F=α，
∴∠F=∠ADF，
∴AF＝AD，
∴∠CEF＝90°﹣α，∠BGC＝∠BCG＝45°﹣α，
延长DE交CG于H，
∴∠CHD＝∠HDG+∠HGD＝45°，
∵AC+AD＝BC+BD，
∴AC+AF＝BG+BD，即CF＝DG，
在EF取一点K，使FK＝DH，连接CK，
则△CFK≌△GDH，
∴∠FKC＝∠DHG，
∴∠CKH＝∠CHK＝45°，
∴CK＝CH，∠KCH＝90°，
过点C作CM⊥FH于M，过点A作AN⊥DF于N，
则，，
∠DAN＝∠FAN＝90°﹣α＝∠CEM，
∵FK﹣DK＝DH﹣DK，
∴FD＝KH，DN＝CM，
在△AND和△EMC中，
，
∴△AND≌△EMC（AAS），
∴AD＝CE，
设AD＝x，则BC＝3+x，
BD＝AD+AC﹣BC＝12，
∴AB＝x+12，
在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
即152+（x+3）2＝（x+12）2，
解得x＝5，
∴AD＝5，
17．如图，Rt△OAB的直角边OA=2，AB=1，OA在数轴上，在OB上.截取BC=BA，以原点O为圆心，OC为半径画弧，交边OA于点P，则点P对应的实数是 ．
【答案】﹣1/
【详解】解：∵Rt△OAB的直角边OA＝2，AB＝1，
∴OB＝＝＝，
又∵BA＝BC，
∴OC＝OB﹣BC＝﹣1＝OP，
即点P所表示的数为：﹣1，
18．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，则以，为边的三角形的形状为 ．
【答案】直角三角形
【详解】解：由网格可得：，，
，
，
以为边的三角形的形状为直角三角形，
19．学习了勾股定理后，我们知道很多的无理数的长度就可以通过下图构造出来，如：，，等．第1个直角三角形两直角分别是1和1，以第1个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第2个直角三角形；以第2个直角三角形的斜边作为直角边，另一条外侧的直角边为1，画出第3个直角三角形，…，依此类推．
（1）第7个三角形的斜边长是 ；
（2）若第1个三角形的面积用表示，第2个三角形的面积用表示，…，则 ．
【答案】
【详解】解：（1）第1个三角形斜边长是：，
第2个三角形斜边长是：，
第3个三角形斜边长是：，
依次类推，第个三角形斜边长：，
第7个三角形的斜边长是：，
故答案是：．
（2）
，
20．直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】120
【详解】解：在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
三、解答题
21．如图，在每个小正方形边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上．
计算线段 ；
、为、边上的动点，连接、，使的值最小，请用无刻度直尺，画出点和点的位置，并简要说明点、点的位置是如何找到的不要求证明 ．
【答案】 作线段关于的对称线段，作于交于，作于，此时的值最小．
【详解】解：，
故答案为：；
解：作线段关于的对称线段，作于交于，作于，此时的值最小．
故答案为：作线段关于的对称线段，作于交于，作于，此时的值最小．
22．如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂．
(1)设，请用的代数式表示的长______；（结果保留根号）
(2)为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？
【答案】(1)+；
(2)污水厂位置见解析，排污管道最短长度为10km；
(3)13
【详解】（1）解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝，
∴AE+BE＝+；
（2）解：根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置，如图：
过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，
∴AF＝AC＋CF＝6，
在Rt△ABF中，BA＝＝＝10，
∴排污管道最短长度10km；
（3）解：根据以上推理，可作出下图：
设ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．
当A、E、B共线时，＝＝13，
即其最小值为13．
23．有一块四边形草地（如图），测得，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形草地的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
，
四边形草地的面积，
答：四边形草地的面积为．
24．如图1，中，，于点，于点，，与交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，将沿折叠得到，问与有何位置关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)(3)，见解析
【详解】（1）证明：，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2），
，
在中，，
，
，
；
（3），理由如下：
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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