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浙教版八年级上册数学同步练习卷
2.8 直角三角形全等的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角，在边OA，OB上分别取，使两个三角形的一直角边分别与OA，OB重合，移动 三角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直线边相交于点C，作射线 OC，可证得，从而得OC是的平分线．在上述过程中，判定两三角形全等的方法是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
3．如图，△ABC中，点D是BC边上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，且BD=FC，BE=DC，∠AFD=155°，则∠EDF的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．6 B．4.5 C．4 D．5
5．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点是的外角平分线上一点，且满足，过点作于点E，交的延长线于点，则下列结论中，其中正确的结论有（ ）①；②平分；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（ ）时， 和全等．
A．3 B．6 C．3或 D．3或6
8．根据下列条件，能画出唯一确定的的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
9．如图，中，，为的角平分线，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
10．如图AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积（ ）
A．6 B．12 C．8 D．3
11．如图所示，中，，点D在上，交于点E，的周长为14，的周长为8，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
13．在中，，，，为直线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 ．
14．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC= ．
15．如图，已知，是的两条高线，，，则 度．
16．等腰直角三角形中，，，平分交于点，于，则的周长为 ．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 ．
18．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为CD边的中点，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
19．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接分别与相交于点．若，则的值为 .
20．判别两个直角三角形全等的方法是 ．
三、解答题
21．如图，已知在中，，点在外，且点在的垂直平分线上，连接，与相交于点，若，，求的度数．
22．如图，在中，，，．
(1)尺规作图，作CD平分交AB于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求AD的长．
23．如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求的值．
24．如图，，E是的中点，平分．
(1)求证：是的平分线：
(2)求证：．
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2.8 直角三角形全等的判定
一、单选题
1．如图，直角三角形ABC中，AC＝BC，AD是△ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，①AE平分△ABC的周长，②AE是△ABD的角平分线，③AE是△ABD的中线．以上结论正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，
∵动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿A→C→B和A→B→C方向运动，并在边BC上的点E相遇，
∴AC+CE=AB+BE，
∴AE平分△ABC的周长，故①正确；
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DC⊥AC，
∴DF=DC，
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴AF=AC，
∵∠B=45°，∠DFB=90°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF=BF，
∴AB=AF+FB=AC+CD，
∵AC+CE=AB+BE，
∴AB+BE=AC+CD+DE，
∴BE=DE，
∴AE是△ABD的中线，故③正确，
∵BE=DE，若AE是△ABD的角平分线，则AE⊥BC，
而AE不垂直BC，
∴AE不是△ABD的角平分线，故②错误．
综上所述，结论正确的有①③．
2．人们常用两个三角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角，在边OA，OB上分别取，使两个三角形的一直角边分别与OA，OB重合，移动 三角尺使两个直角顶点分别与M，N重合，三角尺的另两条直线边相交于点C，作射线 OC，可证得，从而得OC是的平分线．在上述过程中，判定两三角形全等的方法是（ ）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
【答案】A
【详解】解：由题意知：∠CMO=∠CNO=90°，
在Rt△MOC和Rt'△NOC中，，
∴Rt△MOC≌Rt△NOC（HL），
∴∠MOC=∠NOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，
3．如图，△ABC中，点D是BC边上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，且BD=FC，BE=DC，∠AFD=155°，则∠EDF的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【详解】解：∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠DEB＝90°，
在Rt△FDC和Rt△DEB中，，
∴Rt△FDC≌Rt△DEB（HL），
∴∠DFC＝∠EDB＝25°，
∴∠EDF＝180° ∠BDE ∠FDC＝180° 25° 90°＝65°．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，BC=9，AC=12，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．6 B．4.5 C．4 D．5
【答案】C
【详解】解：作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH=DC，
∵AD=AD，∠C=∠AHD=90°，
∴△ACD≌△AHD（HL），
∴AH=AC=12，
∵，
∴BH=1512=3，
∵BD=，
∴，
∴，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为4．
5．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点．若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由作图法得平分，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
6．如图，点是的外角平分线上一点，且满足，过点作于点E，交的延长线于点，则下列结论中，其中正确的结论有（ ）①；②平分；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：如图，设交于点．
∵，，
∴，
∵平分，
∴，，故①正确，
在和中，
∴（）
∴，，
∴平分，故②正确，
∵，
∴（），
∴，
∴，故③正确，
∵，，
∴，故④正确．
7．如图，中，，，，，点P与点Q分别在和的垂线上移动，则当（ ）时， 和全等．
A．3 B．6 C．3或 D．3或6
【答案】D
【详解】解：，
，
①当时，
在和中
，
（）；
②当时，
同理可证：（）；
3或6时，和全等；
8．根据下列条件，能画出唯一确定的的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，
【答案】C
【详解】A.，，不能构成三角形，不能画出，故本选项不符合题意；
B.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项不符合题意；
C.，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故本选项符合题意；
D.，，不符合全等直角三角形的判定定理，不能画出唯一的，故本选项不符合题意；
9．如图，中，，为的角平分线，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【详解】解：如图，过点D作于点E．
∵，
∴．
∴是，．
∵于E，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
设，则．
在中，．
∴．
∴．
∴．
∴的面积为．
10．如图AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积（ ）
A．6 B．12 C．8 D．3
【答案】A
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH，
即38+S=50-S，
解得S=6．
11．如图所示，中，，点D在上，交于点E，的周长为14，的周长为8，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】解：连接，
设，
，，
，
，
，
，
的周长为14，
，
的周长为8，
，
，
解得：，
∴．
12．如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】解：由题意知
在和中：
∵
∴(HL)
∴，
∴（1）、（3）正确
∵，
∴
∴（2）正确
二、填空题
13．在中，，，，为直线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 ．
【答案】或4或或
【详解】在△ABC中，∠ABC=90，CA=3，CB=1，
∴AB=，
①当AC=AD时，△ACD为等腰三角形，如图，
∵AC=AD，AB=AB，∠ABC=∠ABD=90，
∴Rt△ABDRt△ABC(HL)，
∴BD=BC=1，
∴；
②当BA=BD时，△ABD为等腰三角形，如图，
∵BA=BD=，
∴；
③当DA=DC时，△ACD为等腰三角形，如图，
作DE⊥AC于E，设BD=，
∵DA=DC，
∴DA=DC=，
∵∠ABD=∠ABC=90，
∴，即，
解得：，即BD=，
∴；
④当AC=CD时，如图，
14．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC= ．
【答案】110°
【详解】过O分别作 ,垂足分别为
则
在和中，,
,
同理： ,
，∠BCO+∠CBO=，
.
15．如图，已知，是的两条高线，，，则 度．
【答案】40
【详解】解：∵，是的两条高线，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
16．等腰直角三角形中，，，平分交于点，于，则的周长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB
设AB=x，则2x2=BC2=36，解得，x=，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD=DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵AD=DE，BD=BD，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD，
∴AB=BE=
∴CE=6-
∴△CDE的周长为：CD+DE+CE=AC+CE=+6-=6cm，
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是 ．
【答案】8cm
【详解】解：，平分，，
，
在和中，，
，
，
的周长，
，
，
，
，
，
，
的周长是．
18．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E为CD边的中点，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 cm．
【答案】1.5或2.5
【详解】①过P作PN⊥BC，交BC于点N，如图所示：
则∠PNQ=∠APN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，边长为4cm，E为CD边的中点，
∴AD=DC=PN=4，∠D=90°，DE＝2
∴AE= ，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴∠DAE=∠NPQ，
∵∠APQ+∠NPQ=90°，
∴∠APQ+∠DAE=90°，
∴∠AMP=90°，
连接PE，
∵M为AE的中点，
∴PM是AE的垂直平分线，
∴AP=PE，
设AP=x，则PE=x，PD=4-x，
∵，
∴，
解得x=2.5，
∴AP=2.5．
②根据对称性得：PD=2.5
AP=AD-PD=4-2.5＝1.5，
19．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连接分别与相交于点．若，则的值为 .
【答案】/
【详解】解：在和中 ，
，
，
，
，
，
，
设，则，，，，
；
在和中，
，
，
，
．
20．判别两个直角三角形全等的方法是 ．
【答案】斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等或HL
【详解】判定两个直角三角形全等的方法是斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等或HL．
三、解答题
21．如图，已知在中，，点在外，且点在的垂直平分线上，连接，与相交于点，若，，求的度数．
【答案】
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，于点，连接．
，
．
，
，
∵点在的垂直平分线上，
，
，
(HL)，
，
，
．
22．如图，在中，，，．
(1)尺规作图，作CD平分交AB于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求AD的长．
【答案】(1)作图见解析(2)AD的长为3
【详解】（1）解：如图1，在线段上取点使，分别以为圆心，大于为半径画弧，交点为，连接与的交点即为．
（2）解：如图2，作于
由角平分线的性质可知
在和中
∵
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴的长为3．
23．如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：如图，取的中点H，连接，
∵，，
，，
，点H是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点E作于，于点G，
又，
，
平分，，，
，
∵，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：，，
，
，，
，
，
．
24．如图，，E是的中点，平分．
(1)求证：是的平分线：
(2)求证：．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
，平分，，
，
是的中点，
，
，
又，，
平分；
（2）证明：，
，
在和中，
，
，
，
同理，
，
．
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