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浙教版八年级上册数学同步练习卷
第2章 单元测试
一、单选题
1．若等腰三角形的两条边的长分别为5cm和8cm，则它的周长是（ ）
A．13cm B．18cm C．21cm D．18cm或21cm
【答案】D
【详解】试题解析：①当腰是5cm，底边是8cm时，能构成三角形，则其周长=5+5+8=18cm；
②当底边是5cm，腰长是8cm时，能构成三角形，则其周长=5+8+8=21cm．故选D．
2．等腰三角形的顶角为36°，则底角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵等腰三角形的顶角为36°，则底角=（180°-36°）2=72°
3．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【详解】设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2-2ab=0，（a-b）2=0
∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°．故选C．
点睛：本题考查了的是勾股定理，解答此题的关键是熟知勾股定理、直角三角形的性质及完全平方公式．
4．如果一个等腰三角形的周长为15cm，一边长为3cm，那么腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．5cm D．3cm或6cm
【答案】B
【详解】当腰为3时，三边为3，3，9不能构成三角形；
当底为3时，腰为6，6，能构成三角形．
所以这个等腰三角形的腰长为6cm.
5．已知点A和直线MN，过点A用尺规作出直线MN的垂线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、由作图可知AD⊥MN，该选项不符合题意；
B、根据等腰三角形的三线合一的性质可知AD⊥MN，该选项不符合题意；
C、根据线段垂直平分的性质可知AD⊥MN，该选项不符合题意；
D、不能得出AD与MN垂直，该选项符合题意；
6．下列关于直角三角形的说法中错误的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等
C．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
D．直角三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方
【答案】C
【详解】A选项：直角三角形的两个锐角互余，A说法正确，不符合题意；
B选项：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等，B说法正确，不符合题意；
C选项：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，C说法错误，符合题意；
D选项：直角三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方，D说法正确，不符合题意；
7．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．
A．12 B．10 C．6 D．8
【答案】A
【详解】试题解析：
根据题意得：
根据勾股定理得：
8．王师傅手中拿着一根长12 cm的木条，则该木条不能与下列所给木条组成直角三角形的是（ ）
A．5 cm和13 cm B．9 cm和15 cm C．16 cm和20 cm D．9 cm和13 cm
【答案】D
【详解】分析：根据勾股定理的逆定理判定即可. 看较小两边的平方和是否等于最大边的平方.
详解：
选项A，因为52+122=132，能构成直角三角形；选项B，因为92+122=152，能构成直角三角形；选项C，因为122+162=202，能构成直角三角形；选项D，因为92+122≠132，不能构成直角三角形．故选D．
9．△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则共有等腰三角形( ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【详解】∵等腰三角形有两个角相等，
∴只要能判断出有两个角相等就行了，
将原图各角标上后显示如左下：
因此，所有三角形都是等腰三角形，
只要判断出有哪几个三角形就可以了.
如右上图，三角形有如下几个：
①，②，③；①+②，③+②，①+④，③+④；①+②+③+④；共计8个.
故选：B.
10．如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD=1，
∴ ∠ACD=∠A=45°，
∴∠ADC=90°，
∴AC=，
∴AB=AC=，
∴BD=AB-AD=-1，
二、填空题
11．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 .
【答案】(2，4)或（3，4）
【详解】解：∵A（7，0），C（0，4），
∴AB=OC=4 OA=7，
∵D的坐标为（5，0），
∴OD=5，
∴AD=2，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠A=90°，
∴ＢＤ＝＝２＜５＝ＯＤ，
故有三种情况： OD=PD或OD=OP或者OP=PD，
①当OD=PD时，p（2，4）或P（8，4）（舍去）
②当OD=OP时，PC=
=
=3.
故此时点P的坐标为（3，4）.
③当OP=PD时，P(,4)（舍去）.
12．如图，有一无盖的长方体盒子，高为9cm，底面是边长为12cm的正方形，现在有一只蚂蚁（A点）在盒子外部距离下底面2cm的一条高上，而在盒子内部距离上底面3cm处有一饼干屑（B点），A点和B点在不相邻的两条高上，若蚂蚁能吃到饼干屑，则爬行的最短路程为 cm．
【答案】26
【详解】试题分析：根据题意及图形特征根据勾股定理求解即可.
由题意得爬行的最短路程.
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=13.5，BC=9，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段CN的长为 ．
【答案】6
【详解】由题意可得：CD=BC=×9=4.5，DN=AN，
∵AC=AN+NC，∴DN =AN=AC-CN=13.5-CN，
∵∠C=90°，∴DN2=CN2+CD2，
即：（13.5-CN）2=CN2+4.52，
∴CN=6，
14．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需要用 根．
【答案】25．
【详解】根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量．
解：∵两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒∴斜边需用=25．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝ ．
【答案】30°
【详解】试题解析：∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是中线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°.
16．如图所示，AB⊥BC，，CD=5，AD=3，BC=2，则∠A= 度.
【答案】60
【详解】解：连接AC，∵AB⊥BC，
∴AC===4，
∴∠BAC=30°．
∵==25=，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=90°-30°=60°．
故答案为60．
三、解答题
17．学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统．在对系统进行测试中(如图)，小明从路口A处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号．若小明步行速度为39米/分，小华步行速度为52米/分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰．
(1)你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？(以信号清晰为界限)
(2)通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻求解决问题的简便算法．
【答案】(1)1950米；(2)详见解析.
【详解】试题分析：
（1）设30分钟时，小明刚好到达C处，小华刚好到达B处，连接BC，则由已知易得AC=，AB=，∠BAC=90°，由勾股定理在Rt△ABC中计算出BC的长就可得收发系统的传送半径；
（2）由（1）可知：数据是一组勾股数，而，由此可知勾股数“3、4、5”的整数倍也是一组“勾股数”，这样我们就可以直接由“”来计算本题第（1）问中的传送半径了.
试题解析：
（1）如图，设30分钟时，小明刚好到达C处，小华刚好到达B处，连接BC，则由已知易得AC=，AB=，∠BAC=90°，
∴BC=（米），即信号传送半径为1950米；
（2）∵小明所走的路程为39×30＝3×13×30，小华所走的路程为52×30＝4×13×30，30分钟时，两人间的距离为：，
∴结合（1）可知勾股数3、4、5的倍数仍能构成一组勾股数，
∴可用5×13×30=1950（米）来计算传送半径，这样比用勾股定理计算要简单一些.
18．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B=90°，
AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
【答案】面积等于36
【详解】试题分析：利用勾股定理求AC,再利用勾股定理逆定理求∠ACB=90°，分别求的面积.
试题解析：
∠B=90°，AB＝3，BC＝4,AC=
=169,
所以∠ACD=90°,
.
19．在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．我们将从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．
（1）在图1中画出边长为的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
（2）在图2中有一只电子小马从格点出发，经过跳马变换到达与其相对的格点，则最少需要跳马变换的次数是 次．
（3）如图3，在的正方形网格中，一只电子小马从格点经过若干次跳马变换到达与其相对的格点，则它跳过的最短路程为 ．
【答案】（1）作图见解析；（2）4；（3）14
【详解】试题分析：（1）.根据题意画出图形即可；（2）.根据题意画出图形解答；（3）根据从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换,计算出按A-C-F的方向连续变换10次后点S的位置,再根据点T的位置进行适当的变换,即可得到变换总次数.
解：（1）如图1，
（2）如图2，最少需要跳马变换的次数是4次.
（3）如图3, ,
两次变换相当于向右移动3格,向上移动3格,
又∵ ,
(不是整数)，
按A-C-F的方向连续变换10次后,相当于向右移动了10÷2×3=15格,向上移动了10÷2×3=15格, 此时S位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处,再按如图所示的方式变换4次即可到达点T处,
从该正方形的顶点S经过跳马变换到达与其相对的顶点T,最少需要跳马变换的次数是14次,
∴它跳过的最短路程为 .
20．图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，线段、的端点都在格点上.
（1）在图①中找到一个格点，画出△和△，使△和△都是等腰三角形.
（2）在图②中找出一个格点E，画出△和△，使△和△全等.
图① 图②
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【详解】【试题分析】（1）分别作AB，BC的中垂线，交点为点D；（2）作矩形ABCE，如图②
【试题解析】（1）答案不唯一，如图①．
（2）如图：
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC,BD、CE是高并交于点O.
求证：(1)BD=CE；（2）OB=OC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）利用面积可建立等式，根据AB=AC即可得出BD=CE；（2）欲证OB=OC，可证∠OBC=∠OCB，只要证明△BEC≌△CDB即可；由已知可得∠BEC=∠CDB=90°，BD=CE，BC是公共边，即可证得.
证明：（1）∵AB=AC,且BD、CE是高,
∴,
∴BD=CE.
（2）∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴△EBC和△DCB都是直角三角形，
在Rt△EBC与Rt△DCB中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL)，
∴∠BCE=∠CBD，
∴OB=OC.
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第2章 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若等腰三角形的两条边的长分别为5cm和8cm，则它的周长是（ ）
A．13cm B．18cm C．21cm D．18cm或21cm
2．等腰三角形的顶角为36°，则底角为（ ）
A． B． C． D．
3．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如果一个等腰三角形的周长为15cm，一边长为3cm，那么腰长为（ ）
A．3cm B．6cm C．5cm D．3cm或6cm
5．已知点A和直线MN，过点A用尺规作出直线MN的垂线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列关于直角三角形的说法中错误的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等
C．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
D．直角三角形中有两条边的平方和等于第三条边的平方
7．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．
A．12 B．10 C．6 D．8
8．王师傅手中拿着一根长12 cm的木条，则该木条不能与下列所给木条组成直角三角形的是（ ）
A．5 cm和13 cm B．9 cm和15 cm C．16 cm和20 cm D．9 cm和13 cm
9．△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则共有等腰三角形( ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
10．如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（7，0），C（0，4），点D的坐标为（5，0），点P在BC边上运动. 当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 .
12．如图，有一无盖的长方体盒子，高为9cm，底面是边长为12cm的正方形，现在有一只蚂蚁（A点）在盒子外部距离下底面2cm的一条高上，而在盒子内部距离上底面3cm处有一饼干屑（B点），A点和B点在不相邻的两条高上，若蚂蚁能吃到饼干屑，则爬行的最短路程为 cm．
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=13.5，BC=9，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段CN的长为 ．
14．现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需要用 根．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝ ．
16．如图所示，AB⊥BC，，CD=5，AD=3，BC=2，则∠A= 度.
三、解答题
17．学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统．在对系统进行测试中(如图)，小明从路口A处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号．若小明步行速度为39米/分，小华步行速度为52米/分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰．
(1)你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？(以信号清晰为界限)
(2)通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻求解决问题的简便算法．
18．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B=90°，
AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
19．在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．我们将从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．
（1）在图1中画出边长为的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
（2）在图2中有一只电子小马从格点出发，经过跳马变换到达与其相对的格点，则最少需要跳马变换的次数是 次．
（3）如图3，在的正方形网格中，一只电子小马从格点经过若干次跳马变换到达与其相对的格点，则它跳过的最短路程为 ．
20．图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，线段、的端点都在格点上.
（1）在图①中找到一个格点，画出△和△，使△和△都是等腰三角形.
（2）在图②中找出一个格点E，画出△和△，使△和△全等.
图① 图②
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC,BD、CE是高并交于点O.
求证：(1)BD=CE；（2）OB=OC.
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