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浙教版八年级上册数学同步练习卷
1.5 三角形全等的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（ ）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
2．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( )
A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上
3．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点N，M．若，，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”．如图所示，四边形是一个筝形，其中，，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．不能判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
6．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为21，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
7．如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，，，且、、在同一直线上，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．不确定
9．如图，在中，，平分，，，
A．8 B．4 C．2 D．1
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝4，AE＝6，则CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，△ABC中，已知∠B=∠C，点E，F，P分别是AB，AC，BC上的点，且BE=CP，BP=CF，若∠A=112°，则∠EPF的度数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
12．在△ABC中，BAC 90°，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC 绕点 A 顺时针旋转90° 得到△AFB， 连接 EF．下列结论：①BE⊥BF；②△ABC 的面积等于四边形 AFBD 的面积；③当 BE CD 时，线段 DE 的长度最短．其中正确的个数（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
二、填空题
13．如图，点P在∠MON的平分线上，点A、B在∠MON的两边上，若要使△AOP≌△BOP，那么需要添加一个条件是 ．
14．在中，的平分线交于点D，且，则D到的距离为 ．
15．如图，已知方格纸中是 4 个相同的正方形，则∠1 与∠2 的度数和为 .
16．如图，平分，为上一点，于，若，则到的距离为 .
17．在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则：
（1）的度数是 ．
（2）若，，则的长是 ．
18．如图，在中，，．的周长为5，则的周长是 ．
19．在△ABC和△DEF中（1）AB＝DE；（2）BC＝EF；（3）AC＝DF；（4）∠A＝∠D；（5）∠B＝∠E；（6）∠C＝∠F从这六个条件中选取三个条件可判定△ABC与△DEF全等的方法共有 种.
20．如图，D在上，E在上，和交于点F，，在不添加辅助线的情况下，添加一个条件，可以推理证明，则添加的条件是 （只填一种情形）．
三、解答题
21．（1）先化简，再求值：，其中x=．
（2）已知：如图，点C、D，在线段AB上，且AC =BD，AE=BF，AE∥BF．试判断FC与DE的关系．
22．（1）先化简，再求值：，其中a=-3，b=0.5．
（2）已知，求证：．
23．（1）化简；
（2）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P， Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D；
③过C作CF∥AB交PQ于点F．
求证：△AED≌△CFD；
24．如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)若平分，求的长．
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浙教版八年级上册数学同步练习卷
1.5 三角形全等的判定
一、单选题
1．如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（ ）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】B
【详解】解：由题意可知，本题判断射线就是的角平分线的依据是“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，
2．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( )
A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上
【答案】D
【详解】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上．
解答：解：∵PB=PC，
∴P在线段BC的垂直平分线上，
3．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点N，M．若，，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【详解】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
4．两组邻边分别相等的四边形叫“筝形”．如图所示，四边形是一个筝形，其中，，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，故①②正确；
∵，，
∴，故③正确；
∴
又∵，
∴，故④正确．
5．不能判定两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．两个锐角对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
【详解】解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
B、符合判定，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定，故本选项正确，不符合题意．
6．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为21，则的长为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长等于21，
∴．
∵中，，
∴．
7．如图，在中，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线与相交于点E．过点C作，垂足为点D，与相交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
∵DE为斜边AC的中线，
∴DE=AE=CE，
∴∠ADE=∠A=34°，
∵BD=CE，
∴BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，
∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．
8．如图，已知，，，且、、在同一直线上，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【详解】∵AC⊥CD，B、C、D在同一直线上，∴∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACB和△DCE中，∵∠A=∠D，∠ACB=∠ECD=90°，AB=DE，∴△ACB≌△DCE（AAS），∴AC=DC=5，BC=EC=2，∴BD=BC+CD=2+5=7（cm）．
9．如图，在中，，平分，，，
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=DE=2，
∵AB+BC=8，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD
=×8×2
=8．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝4，AE＝6，则CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC=∠AEH=∠BEC=90°
∵∠AHE=∠CHD
∴∠BAD=∠BCE，
在△HEA和△BEC中
∴△HEA≌△BEC（AAS）
∴AE=EC
则CH=EC-EH=AE-EH=6-4=2
11．如图，△ABC中，已知∠B=∠C，点E，F，P分别是AB，AC，BC上的点，且BE=CP，BP=CF，若∠A=112°，则∠EPF的度数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
【答案】A
【详解】解：△BAC中，∠B=∠C，∠A=112°，则∠B=∠C=34°，
△EBP和△PCF中：BE=CP，∠EBP=∠PCF，BP=CF，
∴△EBP≌△PCF（SAS），
∴∠EPB=∠PFC，
∵∠BPF=∠EPB+∠EPF=∠C+∠PFC，
∴∠EPF=∠C=34°，
12．在△ABC中，BAC 90°，AB=AC，D、E 是斜边 BC 上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC 绕点 A 顺时针旋转90° 得到△AFB， 连接 EF．下列结论：①BE⊥BF；②△ABC 的面积等于四边形 AFBD 的面积；③当 BE CD 时，线段 DE 的长度最短．其中正确的个数（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【详解】∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，
∴∠ABF=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠ABF+∠ABC=90°，
∴BE⊥BF，故①正确；
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，
∴△ADC≌△ABF，
∴S△ADC=S△AFB，
∴S△ADB+S△ADC=S△ADB+S△ABF，
∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积，故②正确；
∵△AFB≌△ADC，
∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，
即∠FAE=∠DAE=45°，
在△FAE和△DAE中
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴DE=EF，
在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE2+DC2=DE2，
∵（BE-DC）2≥0，
∴BE2+DC2≥2BE DC，
∴BE=DC时，BE2+DC2有最小值，
∴当BE=CD时，线段DE的长度最短，故③正确，
二、填空题
13．如图，点P在∠MON的平分线上，点A、B在∠MON的两边上，若要使△AOP≌△BOP，那么需要添加一个条件是 ．
【答案】AO＝BO或∠OAP＝∠OBP或∠APO＝∠BPO（写出一个即可）．
【详解】解：可以添加的条件有：AO＝BO，∠OAP＝∠OBP，∠APO＝∠BPO，
证明：∵OP为∠MON的平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
若添加的条件为AO＝BO，
在△AOP和△BOP中，
OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP．
所以添加的条件为AO＝BO，能得到△AOP≌△BOP；
若添加的条件为∠OAP＝∠OBP，
在△AOP和△BOP中，
∠OAP＝∠OBP，∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP．
所以添加的条件为∠OAP＝∠OBP，能得到△AOP≌△BOP；
若添加的条件为∠APO＝∠BPO，
在△AOP和△BOP中，
∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠APO＝∠BPO
∴△AOP≌△BOP．
所以添加的条件为∠APO＝∠BPO，能得到△AOP≌△BOP；
故答案为AO＝BO或∠OAP＝∠OBP或∠APO＝∠BPO（写出一个即可）．
14．在中，的平分线交于点D，且，则D到的距离为 ．
【答案】/6厘米
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
15．如图，已知方格纸中是 4 个相同的正方形，则∠1 与∠2 的度数和为 .
【答案】90°
【详解】
解：∵在△ABC和△AED中
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠1=∠AED，
∵∠AED+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
16．如图，平分，为上一点，于，若，则到的距离为 .
【答案】7；
【详解】作DF⊥OA，
∵平分，，，DF⊥OA，
∴DF=DE.
∵，
∴DF=7，
即到的距离为7.
17．在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则：
（1）的度数是 ．
（2）若，，则的长是 ．
【答案】 /60度 9
【详解】解：（1）∵在中，，
∴，
∵的平分线与的平分线相交于点O，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理，
∵，，
∴，即，
∴，
18．如图，在中，，．的周长为5，则的周长是 ．
【答案】7
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵的周长为5，
∴，
∴的周长
．
19．在△ABC和△DEF中（1）AB＝DE；（2）BC＝EF；（3）AC＝DF；（4）∠A＝∠D；（5）∠B＝∠E；（6）∠C＝∠F从这六个条件中选取三个条件可判定△ABC与△DEF全等的方法共有 种.
【答案】13
【详解】“SSS”类型有1种，是①②③；
“ASA”类型有3种，分别是④①⑤、⑤②⑥和④③⑥；
“AAS”类型有6种，分别是④⑤②、④⑤③、④⑥①、④⑥②、⑤⑥①和⑤⑥③；
“SAS”类型有3种，分别是①⑤②、②⑥③和①④③；
综上，判定方法共有13种；
20．如图，D在上，E在上，和交于点F，，在不添加辅助线的情况下，添加一个条件，可以推理证明，则添加的条件是 （只填一种情形）．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：添加的添加是（答案不唯一），理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴添加的条件是（答案不唯一）．
三、解答题
21．（1）先化简，再求值：，其中x=．
（2）已知：如图，点C、D，在线段AB上，且AC =BD，AE=BF，AE∥BF．试判断FC与DE的关系．
【答案】（1）；（2），证明见详解.
【详解】解：（1）
代入原式得.
（2）
在和中
22．（1）先化简，再求值：，其中a=-3，b=0.5．
（2）已知，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析
【详解】解：（1）
=
=
将a=-3，b=代入，
原式=；
证明：（2）∵
∴
∴
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE
∴．
23．（1）化简；
（2）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P， Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D；
③过C作CF∥AB交PQ于点F．
求证：△AED≌△CFD；
【答案】（1）；（2）见解析.
【详解】（1）=；
（2）由作法知，PQ是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD,
∵CF∥AB,
∴∠A=∠DCF, ∠AED=∠CFD,
在△AED和△CFD中,
∵∠A=∠DCF, ∠AED=∠CFD, AD=CD,
∴△AED≌△CFD(AAS),
24．如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．
(1)求证：；
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作，垂足为P，如下图所示，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
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