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浙教版八年级上册数学同步练习卷
2.3 等腰三角形的性质定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形只有一条对称轴
B．若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形
C．等腰三角形的一个底角为，则顶角为
D．两直线平行，同旁内角相等
2．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（ ）
A． B． C． D．
3．一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶相同的距离到达地，则、两地相距（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
4．如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，MN=2，设AM=x，在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中，
①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；
②当P点有8个时，x=2﹣2；
③当△PMN是等边三角形时，P点有4个；
④当0＜x＜4﹣2时，P点最多有9个．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
5．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．下列两个三角形中，一定全等的是( )
A．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
B．两个等腰三角形
C．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
7．如图，在等边△ABC中，D，E分别AC，AB是上的点，且AD=BE，CE与BD交于点P，则∠BPE的度数为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点 A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为（ ）s时，△APQ是直角三角形．
A．2.4 B．3
C．2.4或3 D．3或4.8
9．如图，和都是等边三角形，连接交于点P，与分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图，∠MAN＝65°，进行如下操作：以射线AM上一点B为圆心，线段BA长为半径作弧，交射线AN于点C，连接BC，则∠BCN的度数是（ ）
A．55° B．65° C．115° D．130°
11．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，的度数是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．270°
12．三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AB，AC于D, E，若∠A=40°，则∠EBC=（ ）．
A．15° B．20° C．30° D．无法判断
二、填空题
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为 ．
14．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等：③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中错误的有 个．
15．如图，直线，将等边按如图方式放置，点在直线上，边交直线于点，若，则的度数为 ．
16．如图，在等边中，CP是AB边上的高，Q是BC的中点，O是CP上的一动点，当OB和OQ的和最小时，的度数是 ．
17．如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为 .
18．等边的边长为2，P，Q分别是边AB，BC上的点，连结AQ，CP交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若点P和点Q分别从点A和点C同时出发，以相同的速度向点B运动（到达点B就停止），则点O经过的路径长为，其中正确的是 （序号）．
19．如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延长线上一点，EG∥AB．连接BE交AC于点F，则的值为 ．
20．已知，是等边三角形，于E，于D，若，则图中60度的角有 个．
三、解答题
21．【问题】如图①，在等边中，点D、E在、上，、交于点O，则 度；
【探究】如图②，在等边中，点D、E分别在、的延长线上，求的度数；
【应用】如图③，在中，，点D、E分别在、的延长线上，若，，则 度．
22．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．
(1)当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）．
(2)点N在上时，若为直角三角形，求t的值．
(3)连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值．
23．如图A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米.
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选.
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B 村（即AC+AB）.（如图）
方案2：作A点关于直线CD的对称点，连接交CD 于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM. （即AM+BM） （如图）
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工.请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适.
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q与CD中点G相距多远时，△ABQ为等腰三角形？直接写出答案，不要说明理由.
24．综合与实践
（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积．
（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
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2.3 等腰三角形的性质定理
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形只有一条对称轴
B．若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形
C．等腰三角形的一个底角为，则顶角为
D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】B
【详解】解：A．等边三角形有三条对称轴，故A错误；
B．∵三条线段长度之比为，
∴设三条线段的长度为、、，
∵，
∴它们可以构成三角形，故B正确；
C．等腰三角形的一个底角为，则顶角为，故C错误；
D．两直线平行，同旁内角互补，故D错误．
2．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，是等边三角形，
∴AC=BA=BC，BD=BE，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴AD=CE=3，
∴BC=AC=AD+CD=3+1=4．
3．一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶相同的距离到达地，则、两地相距（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】C
【详解】解：解：如图所示：连接AC．
∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，
∴∠CBA=60°．
又∵BC=BA，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC=AB=35海里．
4．如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，MN=2，设AM=x，在下列关于△PMN是等腰三角形和对应P点个数的说法中，
①当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；
②当P点有8个时，x=2﹣2；
③当△PMN是等边三角形时，P点有4个；
④当0＜x＜4﹣2时，P点最多有9个．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【详解】①如图，当x=0（即M、A两点重合）时，P点有6个；故正确；
②如图，当P点有8个时，0＜x＜4﹣2，故错误；
③如图，当△PMN是等边三角形时，有两个P点关于BD对称的位置，共有4个；故正确；
④当0＜x＜4﹣2时，P点最多有8个．故错误．
5．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
，
，
6．下列两个三角形中，一定全等的是( )
A．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
B．两个等腰三角形
C．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
【答案】C
【详解】解：A. 有一个角是40°的等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形,故错误,
B. 两个等腰三角形,对应角不一定相等,错误,
C. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形,正确,
D. 两个等边三角形,边长不一定相等,错误,
7．如图，在等边△ABC中，D，E分别AC，AB是上的点，且AD=BE，CE与BD交于点P，则∠BPE的度数为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠CBE=60°，
又知BD=CE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠DBA=∠BCE，
∵∠BPE=∠BCE+∠CBP，
∴∠BPE=∠ABD+∠CBP=∠ABC=60°，
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点 A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为（ ）s时，△APQ是直角三角形．
A．2.4 B．3
C．2.4或3 D．3或4.8
【答案】D
【详解】解：设运动的时间为t秒，则BP=2t厘米，AQ=t厘米，
①当∠PQA=90°时，如图1所示，
在Rt△APQ中，∵∠PQA=90°，∠A=60°，AP=（12-2t）cm，
∴
解得t=3，
②当∠QPA=90°时，如图2所示，
在Rt△APQ中，∵∠QPA=90°，∠A=60°，AP=（12-2t）cm，
∴
两点的最长运动时间为，所以都符合题意，
综上所述，运动的时间为3秒或4.8秒，
9．如图，和都是等边三角形，连接交于点P，与分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：∵和为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴
∴,
故②正确；
∵A、C、E三点共线，且
∴
∴，
又
∴，
∴，
故③正确；
过点C作于点G，Q，如图，
∵，
∴
∴
∴,
∴点C在的平分线上，
故④正确，
10．如图，∠MAN＝65°，进行如下操作：以射线AM上一点B为圆心，线段BA长为半径作弧，交射线AN于点C，连接BC，则∠BCN的度数是（ ）
A．55° B．65° C．115° D．130°
【详解】解：由作图可知BA=BC，
∴∠A=∠BCA=65°，
∴∠BCN=180°-65°=115°
11．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，的度数是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．270°
【答案】C
【详解】解：等边三角形的各个内角都是60°，
根据三角形的外角的性质得∠1＝∠3+∠5，∠2＝∠3+∠4，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4+∠3＋∠5=180°+60°
则∠1＋∠2＝240°．
12．三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AB，AC于D, E，若∠A=40°，则∠EBC=（ ）．
A．15° B．20° C．30° D．无法判断
【答案】C
【详解】∵AB=AC,∠A=40°，
∴∠ABC==70°.
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠EBC=∠ABC ∠ABE=70° 40°=30°.
二、填空题
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD的度数为 ．
【答案】32°
【详解】∵△ABC中，∠BAC=64°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×64°=32°.
14．下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等：③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中错误的有 个．
【答案】3
【详解】解：①等腰三角形的顶角平分线、底边的中线和底边上的高重合，故原命题错误，不符合题意；
②等腰三角形两腰上的高相等，正确，符合题意；
③等腰三角形的最短边不一定是底边，故原命题错误，不符合题意；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确，符合题意；
⑤等腰三角形不一定都是锐角三角形，故原命题错误，不符合题意，
错误的有3个，
15．如图，直线，将等边按如图方式放置，点在直线上，边交直线于点，若，则的度数为 ．
【答案】/40度
【详解】解：如图所示，
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
16．如图，在等边中，CP是AB边上的高，Q是BC的中点，O是CP上的一动点，当OB和OQ的和最小时，的度数是 ．
【答案】/度
【详解】解：如图，连接、，设交于，连接，
∵在等边中，CP是AB边上的高，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，当与重合时取等号，此时OB和OQ的和最小，
∵Q是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当OB和OQ的和最小时，的度数是，
17．如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为 .
【答案】
【详解】∵将边长为2cm的等边△ABC沿边BC向右平移1cm得到△DEF，
∴BE＝AD＝1.5cm，EF＝BC＝2cm，DF＝AC＝2cm，
∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BE＋EF＋FD＝1.5＋2＋1.5＋2＋2＝9（cm）．
18．等边的边长为2，P，Q分别是边AB，BC上的点，连结AQ，CP交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若点P和点Q分别从点A和点C同时出发，以相同的速度向点B运动（到达点B就停止），则点O经过的路径长为，其中正确的是 （序号）．
【答案】①③
【详解】解：∵为等边三角形，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
当时可分两种情况，
第一种，如①所证时，且 时，
∵，
∴ ，
第二种如图，时，若 时，则大小无法确定，
故②错误；
由题意知 ,
∵为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴点O运动轨迹为AC边上中线，
∵的边长为2，
∴AC上边中线为 ，
∴点O经过的路径长为，
19．如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，AD＝3BD，∠ACE＝∠ADC，CE＝CD．G是AC延长线上一点，EG∥AB．连接BE交AC于点F，则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵AD＝3BD，
∴设BD＝x，则AD＝3x，
∴AB＝4x，
∵ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4x，∠A＝∠ABC＝60°，
∵，
∴∠A＝∠G＝60°，
∴∠ABC＝∠G＝60°，
∵∠ACE＝∠ADC，
∴∠BDC＝∠GCE，
在BCD和GEC中，
∴BCD≌GEC（AAS），
∴BD＝GC＝x，BC＝GE＝AB，
∴AG＝AC＋CG＝5x，
在ABF和GEF中，
∴ABF≌GEF（AAS），
∴AF＝FG＝x，
∴FC＝x，
∴＝；
20．已知，是等边三角形，于E，于D，若，则图中60度的角有 个．
【答案】5
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，∠CAE=∠BAE=30°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB=60°，
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=60°，
∴60度的角一共有5个，
三、解答题
21．【问题】如图①，在等边中，点D、E在、上，、交于点O，则 度；
【探究】如图②，在等边中，点D、E分别在、的延长线上，求的度数；
【应用】如图③，在中，，点D、E分别在、的延长线上，若，，则 度．
【答案】问题：60；探究：；应用：76
【详解】[问题]解：∵为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
[探究]∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
[应用]∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．
(1)当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）．
(2)点N在上时，若为直角三角形，求t的值．
(3)连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值．
【答案】(1)；(2)或5(3)或或或
【详解】（1）解：当点M在上时，，当点M在上时，．
故答案为：，；
（2）解：由题意，点N的速度为，，
当时，点N落在上，此时点M也在上．
当点M是的中点时，如图1，
当点M是的中点时，
，
是等边三角形，
，
此时，满足题意，
当点N是的中点时，如图2，
，
此时，满足题意，
综上所述，满足条件的t的值为或5；
（3）解：如图3中，当线段的垂直平分线经过点A时，
，
则，
解得．
如图4中，当线段的垂直平分线经过点B时，
，，
，
，
解得．
如图5中，当线段的垂直平分线经过点C时，
，
，
解得．
如图6中，当线段的垂直平分线经过点A时，
，，
，
，
解得．
23．如图A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米.
（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水.有两种方案备选.
方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B 村（即AC+AB）.（如图）
方案2：作A点关于直线CD的对称点，连接交CD 于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM. （即AM+BM） （如图）
从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工.请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适.
（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q与CD中点G相距多远时，△ABQ为等腰三角形？直接写出答案，不要说明理由.
【答案】（1）方案1更合适；（2）QG=时，△ABQ为等腰三角形.
【详解】
（1）过A点作AE⊥BD于E，
∵BD=4，AC=1，
∴BE=3.
∵AE=CD=4，BE=3，
在△ABE中，根据勾股定理得：
AB=，
=5.
过A，作A，H⊥BD于H，
在直角三角形A，HB中，根据勾股定理得：
A，B=，
=，
=，
方案①AC+AB=1+5=6.
方案②AM+MB=A，B=.
∵6＜，
∴方案①路线短，比较合适.
（2）
过A点以AB为半径作圆交CD于E和F点，
图中由勾股定理求得EC=CF=2.所以QG=2-2或2＋2.
过B点为圆心以AB为半径作圆，交CD于G、H.
由勾股定理可求得：GD=DH=3，所以QG=1或5.
做AB的垂直平分线交CD于Q，
求得：QG=.
24．综合与实践
（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积．
（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
【答案】（1）；（2）；（3）的面积为；（4）见解析；
【详解】（1）在和中，
，
故答案为：；
（2），，，，
由（1）得：，，
，，，，
.
（3）如图3，过作于，
由旋转得：，
，，
，；
（4），，，，
，，
在和中，
；
，
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