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浙教版八年级上册数学同步练习卷
2.4 等腰三角形的判定定理
一、单选题
1．如图，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，、分别与、交于点、，和交于点，有如下结论：①是等边三角形；②；③≌；④；⑤平分；⑥；⑦.其中不正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形
∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS）（③正确）；
∴∠AEC=∠DBC
∵∠DCE+∠ACD+∠ECB=180°，∠ACD=∠ECB=60°
∴∠DCE=∠ECB=60°
∵CE=BC，∠DCE=∠ECB=60°，∠AEC=∠DBC
∴△EMC≌△BNC（ASA）
∴CM=CN（②正确）；
∵∠DCE=60°
∴是等边三角形，（①正确）；
∴∠MNC=60°=∠ECB
∴，（⑥正确）；
∵AC=DC 在△DNC中，DC所对的角为∠DNC=∠NCB+∠NBC=60°+∠NBC＞60°，而DN所对的角为60°，根据三角形中等边对等角、大边对大角，小边对小角的规律，则DC＞DN，即是AC＞DN，所以④错误；
∵△ACE≌△DCB
∴∠AEC=∠DBC
∵∠BPE=∠EAC+∠DBC=∠EAC+∠AEC=∠ECB=60°，（⑦正确）；
作CH⊥AE于H，CQ⊥BD于Q．
∵△ACE≌△DCB，
∴CQ=CH，
∵CH⊥AE于H，CQ⊥BD于Q，
在Rt△PCH和Rt△PCN中
∴Rt△PCH≌Rt△PCN
∴∠HPC=∠NPC，
∴CP平分∠MPN，⑤正确；
所以不正确的结论有1个．
2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC AD=×4×AD=16，
解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴MC+MD的最小值为．
3．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）
A．海里 B．30海里 C．45海里 D．海里
【答案】B
【详解】解：由题意得：AB＝30海里，∠BAP＝90°﹣60°＝30°，∠PBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠PBC＝∠BAP+∠BPA，
∴∠BPA＝30°，
∴∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴PB＝AB＝30海里，
4．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【答案】A
【详解】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
5．下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，正确；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，任意等腰三角形的两个底角的外角都相等，不正确；
③已知，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，正确；
④如果把分式中的、都扩大2倍，
，那么分式的值不变，原结论不正确，
故正确的有2个．
6．在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，
∵点D到、距离相等，
∴点D在的平分线上，
∴，
∴为等腰三角形，
7．如图，点A，B，C在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：
①；②；③；④平分
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵、为等边三角形，
∴，，，
∴，，
在和中，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
在和中，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，故③正确；
∵
∴，，
∴点到、的距离相等，
∴点在的平分线上，
即：平分，故④正确；
8．如图，，为的中点，以下结论正确的有几个？（ ）
①；②；③；④是的角平分线．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：∵，为的中点，
∴，
∴，是的角平分线，
在与中，
∵，
∴，
9．如图，在中，，，于点，过点作的平分线分别交，于点，，过点作交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】如图，连接，
在中，，，，
∴，为的垂直平分线，
∴.
∴.
∵是的平分线，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵平分，，
∴.
∴.
∵，
∴.
在和中，，
∴.
∴.
10．如图，在格点中找一点C，使得是等腰三角形，且为其中一条腰，这样的点C个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【详解】解：如图所示：
满足条件的点C有9个，
11．如图，在中，，D，E分别为边上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H，则下列正确的是（ ）
A．线段是的高 B．线段是的中线
C．的面积等于的面积 D．
【答案】D
【详解】解：,
的高是而不是,
选项A不符合题意；
∵为的中点,
不是的中线
选项B不符合题意；
平分
不是等腰三角形，且
的面积不等于的面积
选项C不符合题意
平分,
,
在和中
,
,
,
,
选项D符合题意；
12．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意．
③有两个角为60°的三角形是等边三角形，此选项符合题意．
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选项符合题意．
二、填空题
13．如图，中，分别在的延长线上，连接，且．若，则的长为 ．
【答案】5
【详解】解：如图，在CD上截取CF=BE，并连结BF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴在△BEC和△CFB中，，
∴△BEC≌△CFB，∴BF=CE，∠BFC=∠E，
∵∠BFC+∠BFD=180°，∠E+∠D=180°，
∴∠BFD=∠D，∴BF=BD=5，∴CE=BF=5，
14．如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是 ．
【答案】6
【详解】解：延长交于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
15．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为 ．
【答案】6
【详解】解：如图所示，延长，交的延长线于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵与互补，，
∴，
∴，
∴，
16．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB，AC于点D，E．若△ABC的周长为14，BC=5，则△ADE的周长为 ．
【答案】9
【详解】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠BOD=∠OBC，∠COE=∠OCB，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠COE，
∴BD=OD，CE=OE，
∵△ABC的周长是14，
∴AB+AC+BC=14，
∵BC=5．
∴AB+AC=9
∴△ADE的周长
=AD+DE+AE
=AD+OD+OE+AE
=AD+BD+CE+AE
=AB+AC=9，
17．直线，点是，之间（不在直线，上）的一个动点．
图1 图2
（1）若与都是锐角，如图1， （填“>”，“<”或“=”）；
（2）若把一块三角尺（，）按如图2方式放置，点，，是三角尺的边与平行线的交点，若， °．
【答案】 = 60
【详解】（1）如图，过点作，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图，过点作，
由（1）可得，
∵，
∴,
，，
，
是等边三角形，
，
18．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个．
【答案】3
【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示：
②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示：
③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示：
综上所述，点C的个数有3个，
19．已知：，，，，则AD的长为 ．
【答案】3
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BC=2，
∴BD=BC=1，AB=2BC=2×2=4，
∴AD=AB-BD=4-1=3．
20．如图，在中，为延长线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，连接，交直线于点，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：过作交的延长线于点，如图，
由作图可知，，
，
为直角边在的右侧作等腰直角，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
三、解答题
21．如图1，是等边三角形，点为射线上一动点，连接，作，交射线于点，点是线段，垂直平分线的交点．
（1）当点在边上时，______．
（2）①当点，重合时，作，交的垂直平分线于点，则______．
②当点在线段上，或的延长线上时，的度数是否为定值？若是，请写出这个数，并选择点在线段上时，通过计算进行说明；若不是，请说明理由．
（3）如图2，把等边三角形沿着折叠，得到，且点落在点处，连接．当时，证明平分，并在内确定一点，使点到三边的距离相等（不写作法，只保留作图痕迹）．
【答案】（1）30°；（2）①90°；②，理由见详解；（3）见详解
【详解】解：（1）由题意可得如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∵点是线段，垂直平分线的交点，
∴，
∴△是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴；
故答案为30°；
（2）①由题意可作如图所示：
∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∵垂直平分PE，
∴，
∴，
∴，
故答案为90°；
②的度数是定值，为90°，理由如下：
连接OA、OE、OP，如图所示：
∵点是线段，垂直平分线的交点，
∴，
∴，
设，
∴，
在△中，由三角形内角和定理可得：，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）证明：∵等边三角形沿着折叠，得到，
∴，
∴AC与BD互相垂直且平分，
∴AC平分∠DAB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
若要在内确定一点，使点到三边的距离相等，则可知点是内角的角平分线的交点，如图所示：
22．1.如图1，中，，请用直尺和圆规作一条直线，把分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
2.已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请画出直线并写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）见解析
【详解】（1）如图，直线CE即为所求．
（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，
分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84度．
图3不能分割成两个等腰三角形．
23．（1）图①是折叠凳撑开时的侧面示意图，其中凳腿和的长度相等，O是和的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，求撑开时的凳腿间距；
（2）在（1）题条件下，为了节省空间，凳子不用时可折叠起来摆放，图②是折叠后的侧面示意图，若折叠前凳面与凳腿的夹角为60度，求折叠后凳腿的高度．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）∵O是和的中点，
，，
在和中，
，
，
；
（2）∵，
∴，，
∵和的长相等，
∴，
∵为，
∴是等边三角形，．
∴．
24．（1）如图，在中，已知，，与的平分线交于点，求证：是等腰三角形．
（2）.阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请解答下列问题：
①.写出图2中所表示的数学等式；
②.利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
【答案】（1）见解析；（2）①；②60.
【分析】（1）根据“，”得出∠AFB=∠BED，又∠BED=∠AEF，即可得出答案；
（2）①直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可得出答案；②将，代入①中得到的关系式，然后进行计算即可得出答案.
【详解】（1）证明：∵
∴∠ABF+∠AFB=90°
又∵
∴∠EBD+∠BED=90°
又与的平分线交于点
∴∠ABF=∠EBD
∴∠AFB=∠BED
又∠BED=∠AEF
∴∠AFB=∠AEF
∴△AEF为等腰三角形.
（2）①正方形的面积=
各矩形的面积之和=
∵正方形的面积=各矩形的面积之和
∴
②∵，
由①可知：
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2.4 等腰三角形的判定定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，、分别与、交于点、，和交于点，有如下结论：①是等边三角形；②；③≌；④；⑤平分；⑥；⑦.其中不正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则MC+MD的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（ ）
A．海里 B．30海里 C．45海里 D．海里
4．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
5．下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
7．如图，点A，B，C在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：
①；②；③；④平分
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，，为的中点，以下结论正确的有几个？（ ）
①；②；③；④是的角平分线．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在中，，，于点，过点作的平分线分别交，于点，，过点作交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，在格点中找一点C，使得是等腰三角形，且为其中一条腰，这样的点C个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
11．如图，在中，，D，E分别为边上的点，平分，于点F，G为的中点，延长交于点H，则下列正确的是（ ）
A．线段是的高 B．线段是的中线
C．的面积等于的面积 D．
12．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为60°的三角形是等边三角形；
④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，中，分别在的延长线上，连接，且．若，则的长为 ．
14．如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是 ．
15．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为 ．
16．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB，AC于点D，E．若△ABC的周长为14，BC=5，则△ADE的周长为 ．
17．直线，点是，之间（不在直线，上）的一个动点．
图1 图2
（1）若与都是锐角，如图1， （填“>”，“<”或“=”）；
（2）若把一块三角尺（，）按如图2方式放置，点，，是三角尺的边与平行线的交点，若， °．
18．如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个．
19．已知：，，，，则AD的长为 ．
20．如图，在中，为延长线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，连接，交直线于点，若，则的长为 ．
三、解答题
21．如图1，是等边三角形，点为射线上一动点，连接，作，交射线于点，点是线段，垂直平分线的交点．
（1）当点在边上时，______．
（2）①当点，重合时，作，交的垂直平分线于点，则______．
②当点在线段上，或的延长线上时，的度数是否为定值？若是，请写出这个数，并选择点在线段上时，通过计算进行说明；若不是，请说明理由．
（3）如图2，把等边三角形沿着折叠，得到，且点落在点处，连接．当时，证明平分，并在内确定一点，使点到三边的距离相等（不写作法，只保留作图痕迹）．
22．1.如图1，中，，请用直尺和圆规作一条直线，把分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
2.已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请画出直线并写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
23．（1）图①是折叠凳撑开时的侧面示意图，其中凳腿和的长度相等，O是和的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，求撑开时的凳腿间距；
（2）在（1）题条件下，为了节省空间，凳子不用时可折叠起来摆放，图②是折叠后的侧面示意图，若折叠前凳面与凳腿的夹角为60度，求折叠后凳腿的高度．
24．（1）如图，在中，已知，，与的平分线交于点，求证：是等腰三角形．
（2）.阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请解答下列问题：
①.写出图2中所表示的数学等式；
②.利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
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