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浙教版八年级上册数学同步练习卷
2.6 直角三角形
一、单选题
1．如图，，，．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：过作，如图所示：
，
是的角平分线，且，
，，且，
，
，
，
在中，，，则，
2．ABCD是一块正方形场地，小华和小萌在AB上取一点E，测量得，，这块场地的对角线长是( )
A．10 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【详解】解：由正方形ABCD可知：
在直角三角形EBC中，根据勾股定理得:
，则，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得:
所以这块场地对角线长为40.
3．如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】解：过点P作 于点D，
∵，，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴．
4．如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
【答案】C
【详解】如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，
∵草皮的售价为a元/米2，
∴购买这种草皮的价格：150a元．
5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的度数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形，
∵，，
∴，
此时顶角的度数为．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形，
∵，，
∴．
此时顶角的度数为，
6．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且.有下列结论：①；②为等边三角形；③；④.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
【答案】A
【详解】解：如图，连接，
∵，点是的中点，
∴，，，
∴是的中垂线，
∴，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴而，
∴是等边三角形，故②正确；
如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．故③正确；
过点A作，在上截取，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．故④正确．
7．如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵在中，，
∴与互余．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴与互余．
∴与互余的角有4个．
8．如图，中，由，，要求用圆规和直尺作图，分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、由作法知作图是线段的垂直平分线，
∴，即，
∵中，由，，
∴，
∴，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
B、由作法知所作图是线段的垂直平分线，
不能推出和是等腰三角形，
故此选项符合题意；
C、由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
D、∵，，
∴，
由作法知是的平分线，
，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
9．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角之和是
C．同角的余角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】D
【详解】A. 对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B. 直角三角形的两锐角之和是，正确，是真命题，不符合题意；
C. 同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意；
D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题，符合题意．
10．某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是（ ）
A．南偏东，千米 B．北偏西，千米
C．南偏东，100千米 D．北偏西，100千米
【答案】B
【详解】
解：∵第一艘快艇沿北偏西70°方向，第二艘快艇沿南偏西20°方向，
∴∠BOA＝90°，
∵BO＝AO＝50km，
∴AB＝ km，∠B＝∠OAB＝45°，
∵第二艘快艇沿南偏西20°方向，
∴∠1＝∠CAO＝20°，
∴∠2＝45° 20°＝25°，
∴第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西25°，千米．
11．如图，公路与互相垂直，点M为公路的中点，若的长为2.8千米，则M，C两点间的距离为（ ）
A．1.2千米 B．1.4千米 C．2.8千米 D．5.6千米
【答案】B
【详解】解：，点M为公路的中点，
在直角三角形中有：，
千米，
千米，
12．如图，为等边三角形，相交于点于的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中
，
，，
，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
二、填空题
13．如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝ 度．
【答案】120
【详解】是斜边的中点，
，
，
，
，
，
．
14．直角梯形的两腰的比为1∶2，则它的内角中锐角的度数为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作DE⊥BC于点E，
∵梯形ABCD是直角梯形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，△CDE是直角三角，
∴DE＝AB，
∵AB：CD＝1：2，
∴DE：DC＝1：2，
即
∴∠DCE＝30°，
∴∠DCB＝30°，
∴直角梯形的内角中锐角的度数为30°，
15．如图，在中，．若点在直线上（不与点重合），且，则的长为 ．
【答案】或
【详解】解：∵，，，
∴，，
①点在线段上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②点在线段延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③点在线段延长线上时，
此时，即，故不符合题意，舍去；
综上，的长为或，
16．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为 .
【答案】11
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
∴，
，
．
作，交的延长线于，．
，
在和中，
，
∴，
，，
在中，，
，
，，
，
，
在中，，
，
．
17．如图，在直角三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使边与边重合，则的长为 ．
【答案】/10度
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠的性质可知，
∴；
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°.CD为AB边上的中线，若∠A=α，则∠BCD的度数为 (用含α的代数式表示).
【答案】(90° α)
【详解】解：∠B＝90° ∠A＝90° α，
∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝90° α，
19．如图，在中，点在边上，，点、点分别是、的中点，．则的长为 ．
【答案】3
【详解】解：连接，由题意可得，
∵，点是的中点，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
20．如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动 s后，可得到．
【答案】2或10或3.2
【详解】①如图1，P在上，Q在上，且，
解得
（图1）
②如图2，P在上，Q在上，且，
则
解得
（图2）
③如图3，P、Q都在上，且，
则
解得
（图3）
三、解答题
21．已知：如图，线段长为定值，点，分别在、上滑动，将绕点逆时针旋转到，连接，取中点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若；
①当时，求的长．
②求的最大值．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于，于，
则，
∵绕点旋转得到，
∴为等腰直角三角形，
∵为中点，
∴且，即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）①解：∵，
∴，
∵为中点，
∴，
∵，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴；
②解：取中点，连接，，，
∵，
∴，
，
∴，
当三点共线时，取最大值，
此时．
22．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“角的变化与全等三角形”为主题开展数学探究活动．
(1)操作判断
如图1，已知．
操作一：以直角顶点为圆心，适当长为半径画弧，与的两边分别交于点，．
操作二：在的内部任意画射线，过点作于点，过点作于点．请用直尺和三角板按操作二将图1补充完整，并直接写出与的数量关系：________．
(2)类比探究
将由直角换成锐角，继续探究，过程如下：
按（1）中操作一的方式操作，如图2，点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上， ，分别是，的外角，且满足．请判断（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)拓展应用
最后，老师根据课堂探究的内容编制了一道数学题，请你解答．
如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上， ，若的面积为，请直接写出和面积的和．
【答案】(1)作图见解析，(2)成立，理由见解析(3)10
【详解】（1）解：图1补充完整如下图，
与的数量关系：．
理由：由操作一可知：，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立．
理由：由操作一可知：，
∵，分别是，的外角，且满足，
∴，
，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）∵，的面积为，
∴的面积为，即和面积的和为，
由（2）中的结论知：，
∴，
∴和面积的和为．
23．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点，
∵ 在中，，
∴，
同理可得，，
又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为，
∴
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
24．如图，在中，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，连接，，并延长交于点，如果，求的度数（用含的式子表示）；
(3)在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
在和中
，
；
（2）过点分别作于点，如图
为的中点，，
，
又，
，
又，
，
，
在和中
，
，
平分，
，
，
，
由（1）可知，
；
（3）由（2）可知，
，
，
又，
，
．
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2.6 直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，，．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．ABCD是一块正方形场地，小华和小萌在AB上取一点E，测量得，，这块场地的对角线长是( )
A．10 B．30 C．40 D．50
3．如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
5．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的度数是（ ）
A． B． C． D．或
6．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且.有下列结论：①；②为等边三角形；③；④.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④
7．如图，已知直线，在中，，则图中与互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，中，由，，要求用圆规和直尺作图，分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．直角三角形的两锐角之和是
C．同角的余角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角
10．某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是（ ）
A．南偏东，千米 B．北偏西，千米
C．南偏东，100千米 D．北偏西，100千米
11．如图，公路与互相垂直，点M为公路的中点，若的长为2.8千米，则M，C两点间的距离为（ ）
A．1.2千米 B．1.4千米 C．2.8千米 D．5.6千米
12．如图，为等边三角形，相交于点于的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝ 度．
14．直角梯形的两腰的比为1∶2，则它的内角中锐角的度数为 ．
15．如图，在中，．若点在直线上（不与点重合），且，则的长为 ．
16．如图，在等边中，、两点分别在边、上，，连接、，并延长至点，连接，，若，时，则的长为 .
17．如图，在直角三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使边与边重合，则的长为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°.CD为AB边上的中线，若∠A=α，则∠BCD的度数为 (用含α的代数式表示).
19．如图，在中，点在边上，，点、点分别是、的中点，．则的长为 ．
20．如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动 s后，可得到．
三、解答题
21．已知：如图，线段长为定值，点，分别在、上滑动，将绕点逆时针旋转到，连接，取中点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若；
①当时，求的长．
②求的最大值．
22．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“角的变化与全等三角形”为主题开展数学探究活动．
(1)操作判断
如图1，已知．
操作一：以直角顶点为圆心，适当长为半径画弧，与的两边分别交于点，．
操作二：在的内部任意画射线，过点作于点，过点作于点．请用直尺和三角板按操作二将图1补充完整，并直接写出与的数量关系：________．
(2)类比探究
将由直角换成锐角，继续探究，过程如下：
按（1）中操作一的方式操作，如图2，点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上， ，分别是，的外角，且满足．请判断（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)拓展应用
最后，老师根据课堂探究的内容编制了一道数学题，请你解答．
如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上， ，若的面积为，请直接写出和面积的和．
23．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
24．如图，在中，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，连接，，并延长交于点，如果，求的度数（用含的式子表示）；
(3)在（2）的条件下，若，求的面积与的面积之比．
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