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浙教版九年级上册数学同步练习卷
1.2 二次函数的图象
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知二次函数，若当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不存在
4．已知点都在函数图像上，则( )
A． B． C． D．
5．适合解析式的一对值是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线：与抛物线：关于x轴对称，则抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的图像如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
8．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（ ）
A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线y=－1 D．直线y=1
10．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．抛物线y＝（x－4） 2－3的顶点坐标是（ ）
A．（－4，3） B．（－4，－3） C．（4，3） D．（4，－3）
12．二次函数y=2(x+1)2-3的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线x=1 C．直线x=-3 D．直线x=3
二、填空题
13．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是 ．
14．若点A(2，m)在函数的图象上，则点A关于轴的对称点的坐标是 .
15．已知点M（-1，m）在二次函数图象上，则m的值为 ．
16．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
17．二次函数的顶点坐标是 ．
18．抛物线的顶点坐标为 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线都经过轴正半轴上的点.过点作轴的平行线，分别与这两条抛物线交于、两点，以为边向下作等边，则的周长为 ．
20．抛物线的顶点坐标是 ．
三、解答题
21．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
22．校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数的有关图象和性质”．探究过程如下：
（1）列表：问______．
x … 0 1 2 …
y … 6 2 0 0 0 2 m …
（2）请在平面直角坐标系中画出图象．
（3）若方程（p为常数）有三个实数根，则______．
（4）试写出方程（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是______．
23．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
24．已知二次函数（是实数）．
(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
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浙教版九年级上册数学同步练习卷
1.2 二次函数的图象
一、单选题
1．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A.当时，，图象过点，选项A不合题意；
B.当时，，图象过点，选项B合题意；
C.当时，，图象过点，选项C不合题意；
D.当时，无意义，选项D不合题意．
2．已知二次函数，若当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，对称轴为：，
∵，
∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∴；
3．若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【详解】解：∵，
∴顶点为，
∵顶点在第二象限，
∴，解得：．
∴．
4．已知点都在函数图像上，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，
函数图像的对称轴是轴，图像的开口向上，
当时，随的增大而减小，
点关于对称轴的对称点的坐标是，且，
，
5．适合解析式的一对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：当，，
当，，
适合解析式的一对值是A，
6．抛物线：与抛物线：关于x轴对称，则抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】抛物线的顶点坐标为，而关于x轴对称的点的坐标为，所以所求抛物线的解析式为
7．已知二次函数的图像如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②④
【答案】D
【详解】解： 抛物线的开口向上，
＞
抛物线的对称轴：
＞
＜
抛物线与轴交于负半轴，
＜
＞ 故①正确；
当时，
如图，是直线与抛物线的交点，在第四象限，
＜ 故②正确；
当时，，如图，
在第二象限，
＞
＞
＞ 故③错误；
当时，函数有最小值
当时，
当时，有＜
＜ 故④正确；
综上：①②④正确．
8．二次函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为，
9．抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（ ）
A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线y=－1 D．直线y=1
【答案】A
【详解】y=（x+1）2+2，
对称轴是x=-1．
10．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
11．抛物线y＝（x－4） 2－3的顶点坐标是（ ）
A．（－4，3） B．（－4，－3） C．（4，3） D．（4，－3）
【答案】D
【详解】抛物线顶点式，顶点坐标为()，
抛物线的顶点坐标为()，
12．二次函数y=2(x+1)2-3的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线x=1 C．直线x=-3 D．直线x=3
【答案】A
【详解】试题分析：二次函数的顶点式为：y=a（x﹣h）2+k，其中a的正负确定抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．二次函数y=2（x+1）2﹣3，是二次函数的顶点式，对称轴是直线x=﹣1．
二、填空题
13．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是 ．
【答案】﹣3
【详解】∵二次函数y=（x-1）2-3的图像开口向上，其顶点坐标为（1，-3），
∴该函数有最小值，最小值是-3．
14．若点A(2，m)在函数的图象上，则点A关于轴的对称点的坐标是 .
【答案】（2，-3）
【详解】解：把点A（2，m）代入y=x2-1中，得m=4-1=3，即A（2，3），
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知：
点A关于x轴的对称点的坐标是（2，-3）．
15．已知点M（-1，m）在二次函数图象上，则m的值为 ．
【答案】3
【详解】解：∵点M（-1，m）在二次函数图象上，
∴．
16．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
【答案】24
【详解】抛物线的对称轴是
过点作于点，如下图所示
则，则
则以为边的等边的周长为．
17．二次函数的顶点坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵二次函数的表达形式是顶点式，
∴顶点坐标为，
18．抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线都经过轴正半轴上的点.过点作轴的平行线，分别与这两条抛物线交于、两点，以为边向下作等边，则的周长为 ．
【答案】6
【详解】解：抛物线的对称轴为x=1，则B点横坐标为1×2=2；
抛物线 的对称轴为x=2，则C点横坐标为2×2=4；
则BC=4-2=2，则等边的周长为2×3=6.
20．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
三、解答题
21．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
【答案】（1）y=．y=x2+3x；（2）15；（3）（3，18）．理由见解析．
【详解】试题解析：（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=，
得：-2=，
∴k=4．
即双曲线的解析式为：y=．
设A点的坐标为（m，n）．
∵A点在双曲线上，
∴mn=4．①
又∵tan∠AOx=4，
∴=4，即n=4m．②
由①②，得：m2=1，
∴m=±1．
∵A点在第一象限，
∴m=1，n=4，
∴A点的坐标为（1，4）
把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得：
，
解得a=1，b=3．
∴抛物线的解析式为：y=x2+3x；
（2）∵AC∥x轴，
∴点C的纵坐标y=4，
代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0，
解得x1=-4，x2=1（舍去）．
∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5，
又∵△ABC的高为6，
∴△ABC的面积=×5×6=15；
（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积．
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D．
∵△ABD与△ABC同底等高，
∴△ABD的面积等于△ABC的面积，
因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB，
所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12．
解方程组，
∴x2+3x=2x+12，
即x=3或x=-4，
当x=3时，y=18，
当x=-4时，y=4，
∴或（不合题意，舍去），
所以点D的坐标是（3，18）．
22．校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数的有关图象和性质”．探究过程如下：
（1）列表：问______．
x … 0 1 2 …
y … 6 2 0 0 0 2 m …
（2）请在平面直角坐标系中画出图象．
（3）若方程（p为常数）有三个实数根，则______．
（4）试写出方程（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是______．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）或．
【详解】1）当x=时，
=
=，
∴；
（2）画图像如下；
（3）当x≥0时，函数为；当x＜0时，函数为；
∵方程（p为常数）有三个实数根，
∴两个方程有一个公共根，设这个根为a，
则，
解得a=0，
当a=0时，p=0，
故答案为：p=0；
（4）∵方程（p为常数）有两个实数根，
∴p＞0；
或△=0
即1+4p=0，
解得．
综上所述，p的取值范围是或．
23．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
【答案】(1)
(2)当售价定为元时，每天的利润为140元
(3)当售价为 元时，利润最大为．
【详解】（1）解：设售价单价提高元，则
；
（2）解：由题可知售价为元，
即，
解得，，
故售价为：或，
需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，
当售价定为元时，每天的利润为140元；
（3）解：，
当时，最大值为，
故售价为，
当售价为 元时，利润最大为．
24．已知二次函数（是实数）．
(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？
(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
【答案】
【详解】（1）解：设顶点坐标为（x，y）
∵已知二次函数（是实数），
∴x=2m，y=3-4m，
∴2x+y=3，
即y=-2x+3，
∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线y=-2x+3上运动，
故小明的说法是对的．
（2）证明：点，都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴a=1，
∴点P坐标为（-4，c）
代入，得
∴c≤15．
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