浙教版数学九年级上册《第3章 圆的基本性质》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·绍兴月考）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若和的度数相等，则下列命题中，正确的是（ ）
A．=
B．与的长度相等
C．所对的弦和所对的弦相等
D．所对的圆心角与所对的圆心角相等
3．（2019九上·沙河口期末）如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（ ）
A．3cm B．3 cm C．4cm D．3 cm
4．（2023九上·期末）如图所示，AB是的弦，于点，交于点.下列说法中，错误的是（ ）.
A． B． C． D．
5．（2022九上·义乌期中）如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．（2019九上·海淀期中）如图，在⊙O中， ， . 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，延长圆内接四边形ABCD的边AB，DC，相交于点E，延长边AD，BC，相交于点F．若∠E=30°，∠F=50° ，则∠A的度数为（ ）．
A．20° B．30° C．50° D．60°
8．（2023九上·杭州期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OC，OD，则∠COD＝（ ）
A．72° B．60 C．54 D．48°
9．（2023九上·拱墅月考）若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为（ ）
A． B．π C． D．2π
10．（2023九上·鸡西月考）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2019九上·钦州港期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC= .
12．（2024九上·苍溪期末）如图，以点O为圆心，AB为直径的半圆过点C，若C为的中点，，则阴影部分的面积是 ．
13．（2023九上·拱墅月考）如图，PA交⊙O于点B，PB=4，AB=4，⊙O的半径为5，则OP的长为 ．
14．（2021九上·潍城期中）如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数 ．
15．（2019九上·西城期中）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是 ．
16．（2022九上·顺庆期末）如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023九上·拱墅月考）如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
18．（2024九下·南山开学考）如图，在中，弦与相交于点，，连接，，求证：
（1）；
（2）．
19．（2018九上·衢州期中）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
20．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长
21．（2024·雁塔模拟） 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
22．（2024九上·嘉兴期末）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
23．（2024·拱墅模拟）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知.
（1）求证：；
（2）若直线AE过圆心，设的度数为的度数为.
①当时，求的值；
②探索和满足的等量关系.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．
故答案为：A.
【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．根据圆心角的定义作答即可．
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：若 和所在圆的半径不同，虽然和的度数相等，但是它们的长度不相等，它们所对的弦也不相等，它们所对的圆心角度数等于弧的度数，所以它们所对的圆心角相等，所以A、B、C均错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据和的度数相等不能推出半径相等，只能推出圆心角相等，逐一判断正误.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图所示，
由题意知 ，且 ，
，
，
则 .
故答案为： .
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解.
4．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AD=BD，，故A，C不符合题意；
∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，
∵，
∴∠ACB=∠AOB，
∴∠ACB=∠AOE，故B不符合题意；
不能证明OD=DE，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用垂径定理可证得AD=BD，，可对A，C作出判断；再利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可证得∠AOE=∠BOE，利用圆周角定理可证得∠ACB=∠AOB，由此可证得∠ACB=∠AOE，可对B作出判断；利用已知不能证明OD=DE，可对D作出判断.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD.
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=65°，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵BC⊥OA，
∴
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°
【分析】先根据垂径定理得到
，然后根据圆周角定理求解．
7．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ADC分别是三角形BCE、三角形DCF的外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，∠ADC=∠F+∠DCF，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABCE+∠ADC=180°，
∴∠E+∠BCE+∠F+∠DCF=180°，
而∠BCE=∠DCF，∠E=30°，∠F=50°，
∴2∠BCE+30°+50°=180°，解得：∠BCE=50°，
∴∠A=∠BCE=50°.
故答案为：C.
【分析】由三角形外角的性质可得∠ABC=∠E+∠BCE，∠ADC=∠F+∠DCF，由圆内接四边形的对角互补可得关于∠BCE的方程，解方程求出∠BCE的度数，然后根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可求解.
8．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵该五边形ABCDE是正五边形∴∠COD=
故答案为：A.
【分析】由于周角等于360°，正五边形ABCDE内接于⊙O，因此，∠COD是该圆的五等分角，即可求得该角度数.
9．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长==.
故答案为：C.
【分析】根据弧长公式l=，其中n指弧所对的圆心角的度数，r指圆的半径.
10．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据，代数求解即可．
11．【答案】4
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 为 的内接三角形， 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由垂径定理可得：AD=BD，AE=CE，所以DE是三角形ABC的中位线，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得BC=2DE可求解。
12．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：半圆的面积为：，
∴阴影部分的面积是 ：.
故答案为：。
【分析】根据拼割法可得出阴影部分的面积为半圆面积的一半，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA和OP，作OC⊥AP交AP于点C，如下图：
∵PA交⊙O于点B ，OC⊥AP；
∴AC=BC=2
∴OC=，CP=2+4=6；
∴OP=
故答案为：.
【分析】根据垂径定理，可得AC=BC=2；根据勾股定理，可得OC和OP的值.
14．【答案】18°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=36°，
∴∠A=90°-∠B=54°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=54°，
∴∠ACD=180°-54°-54°=72°，
∴∠DCE=90°-∠ACD=18°，
故答案为：18°．
【分析】连接CD，先证明∠CDA=∠A=54°，再利用三角形的内角和求出∠ACD=180°-54°-54°=72°，最后利用角的运算可得∠DCE=90°-∠ACD=18°。
15．【答案】130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵∠AOB=100°
∴∠D= ∠AOB=50°
∴∠ACB=180°﹣∠D=130°．
【分析】根据圆周角定理，可知∠D= ∠AOB=50°，根据圆内接四边形对角互补，即可求解.
16．【答案】π-2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵⊙O的周长为4π，
∴⊙O的直径是4，
∴⊙O的半径是2，
∵的长为π，
∴的长等于⊙O的周长的，
∴∠AOB=90°，
∴π-2.
故答案为：π-2.
【分析】根据弧长与圆的周长可得的长等于⊙O的周长的，根据圆心角、弧、弦的关系可得∠AOB=90°，进而根据扇形面积计算公式，利用阴影部分的面积=扇形AOB的面积-△AOB的面积即可算出答案.
17．【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF5，
∴r2＝25+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF，AF=BF；根据等量关系列代数式，可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理列等式，即可求出圆的半径.
18．【答案】（1）证明：，
，
，
．
（2）证明：，
，
，，
，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等弦所对的弧相等得到：，进而得到：，即可求解；
（2）根据等弧所对的弦相等得到：，进而利用"AAS"证明，即可求解.
19．【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
20．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°-90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴，即BD=2BC=8，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得 ∠ADB＝∠CDB ，根据圆的内接四边的性质可得 ∠ABC+∠ADC＝180° ，结合四边形的内角和计算；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。
21．【答案】（1）证明：∵∠P＝∠C，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD.
（2）解：连接OC，如图，
∵∠1＝30°，
∴∠P＝30°，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠BOC＝2∠P＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理推论和∠1＝∠C，得到∠1=∠P，结论可证；
（2）连接OC，根据垂径定理得到，从而有∠BOC＝2∠P=2∠1＝60°，得等边三角形OBC，于是可得半径和直径.
22．【答案】（1）解：如图：
作交于，连结
∴OB=12cm.
是圆心，，
cm，
(cm)，
（cm），
cm．
即弦AB长cm.
（2）解：连结
，，
，
(cm2)．
即截面中有水部分弓形的面积为cm2．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，作交于，于是OB=12，OC=6，AC=BC.利用勾股定理可求出BC长，从而可得AB长；
（2）根据OB=2OC可得到∠BOC度数，从而得∠AOB.弓形面积=对应圆心角的扇形面积－三角形面积.
23．【答案】（1）证明：在优弧AD上任取一点F，
连接AE，AF，DF，
在四边形ABDF和四边形ABCE中，
∴∠F+∠ABD=180°，∠BCE+∠BAE=180°
又∵，
∴∠F=∠BAE，
∴在同弧中，由圆心角与圆周角的倍数关系，
则AD与BE所对 圆心角相等，
故，
∴AD=BE.
（2）①由直线AE过圆心O，连接BO，CO，DO，
由(1)得，∠A=180°-∠BCE=180°-α，
又∵AO=BO
∴∠A=∠ABO=180°-α，
故，即，
又∵
∴∠AOB=∠BOC=∠DOE=180°-∠A-∠ABO=2α-180°，
∴∠COD=180°-∠AOB-∠BOC-∠DOE=180°-3(2α-180°)=720°-6α，
又∵的度数为.
即∠COD=β=720°-6α，
①若则，解得α=110；
②由上述可知，β=720°-6α.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由圆内角四边形可将先转换到BE与AD的圆周角相等，进而得圆心角相等，推出弧相等及弦相等；
(2)在(1)同弧基础上推出，从而得出对应圆心角相等，根据对应关系逐一表示即可.
1 / 1浙教版数学九年级上册《第3章 圆的基本性质》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·绍兴月考）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上，
所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．
故答案为：A.
【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键．根据圆心角的定义作答即可．
2．若和的度数相等，则下列命题中，正确的是（ ）
A．=
B．与的长度相等
C．所对的弦和所对的弦相等
D．所对的圆心角与所对的圆心角相等
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：若 和所在圆的半径不同，虽然和的度数相等，但是它们的长度不相等，它们所对的弦也不相等，它们所对的圆心角度数等于弧的度数，所以它们所对的圆心角相等，所以A、B、C均错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据和的度数相等不能推出半径相等，只能推出圆心角相等，逐一判断正误.
3．（2019九上·沙河口期末）如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（ ）
A．3cm B．3 cm C．4cm D．3 cm
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】如图所示，
由题意知 ，且 ，
，
，
则 .
故答案为： .
【分析】先根据垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理即可求解.
4．（2023九上·期末）如图所示，AB是的弦，于点，交于点.下列说法中，错误的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AD=BD，，故A，C不符合题意；
∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，
∵，
∴∠ACB=∠AOB，
∴∠ACB=∠AOE，故B不符合题意；
不能证明OD=DE，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用垂径定理可证得AD=BD，，可对A，C作出判断；再利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可证得∠AOE=∠BOE，利用圆周角定理可证得∠ACB=∠AOB，由此可证得∠ACB=∠AOE，可对B作出判断；利用已知不能证明OD=DE，可对D作出判断.
5．（2022九上·义乌期中）如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD.
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=65°，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.
6．（2019九上·海淀期中）如图，在⊙O中， ， . 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】∵BC⊥OA，
∴
∴∠AOC=2∠ADB=2×25°=50°
【分析】先根据垂径定理得到
，然后根据圆周角定理求解．
7．如图，延长圆内接四边形ABCD的边AB，DC，相交于点E，延长边AD，BC，相交于点F．若∠E=30°，∠F=50° ，则∠A的度数为（ ）．
A．20° B．30° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC、∠ADC分别是三角形BCE、三角形DCF的外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，∠ADC=∠F+∠DCF，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABCE+∠ADC=180°，
∴∠E+∠BCE+∠F+∠DCF=180°，
而∠BCE=∠DCF，∠E=30°，∠F=50°，
∴2∠BCE+30°+50°=180°，解得：∠BCE=50°，
∴∠A=∠BCE=50°.
故答案为：C.
【分析】由三角形外角的性质可得∠ABC=∠E+∠BCE，∠ADC=∠F+∠DCF，由圆内接四边形的对角互补可得关于∠BCE的方程，解方程求出∠BCE的度数，然后根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可求解.
8．（2023九上·杭州期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OC，OD，则∠COD＝（ ）
A．72° B．60 C．54 D．48°
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵该五边形ABCDE是正五边形∴∠COD=
故答案为：A.
【分析】由于周角等于360°，正五边形ABCDE内接于⊙O，因此，∠COD是该圆的五等分角，即可求得该角度数.
9．（2023九上·拱墅月考）若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则这条弧长为（ ）
A． B．π C． D．2π
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：弧长==.
故答案为：C.
【分析】根据弧长公式l=，其中n指弧所对的圆心角的度数，r指圆的半径.
10．（2023九上·鸡西月考）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据，代数求解即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2019九上·钦州港期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC= .
【答案】4
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 为 的内接三角形， 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由垂径定理可得：AD=BD，AE=CE，所以DE是三角形ABC的中位线，由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得BC=2DE可求解。
12．（2024九上·苍溪期末）如图，以点O为圆心，AB为直径的半圆过点C，若C为的中点，，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：半圆的面积为：，
∴阴影部分的面积是 ：.
故答案为：。
【分析】根据拼割法可得出阴影部分的面积为半圆面积的一半，即可得出答案。
13．（2023九上·拱墅月考）如图，PA交⊙O于点B，PB=4，AB=4，⊙O的半径为5，则OP的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA和OP，作OC⊥AP交AP于点C，如下图：
∵PA交⊙O于点B ，OC⊥AP；
∴AC=BC=2
∴OC=，CP=2+4=6；
∴OP=
故答案为：.
【分析】根据垂径定理，可得AC=BC=2；根据勾股定理，可得OC和OP的值.
14．（2021九上·潍城期中）如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数 ．
【答案】18°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠ACB=90°，∠B=36°，
∴∠A=90°-∠B=54°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=54°，
∴∠ACD=180°-54°-54°=72°，
∴∠DCE=90°-∠ACD=18°，
故答案为：18°．
【分析】连接CD，先证明∠CDA=∠A=54°，再利用三角形的内角和求出∠ACD=180°-54°-54°=72°，最后利用角的运算可得∠DCE=90°-∠ACD=18°。
15．（2019九上·西城期中）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是 ．
【答案】130°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵∠AOB=100°
∴∠D= ∠AOB=50°
∴∠ACB=180°﹣∠D=130°．
【分析】根据圆周角定理，可知∠D= ∠AOB=50°，根据圆内接四边形对角互补，即可求解.
16．（2022九上·顺庆期末）如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】π-2
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵⊙O的周长为4π，
∴⊙O的直径是4，
∴⊙O的半径是2，
∵的长为π，
∴的长等于⊙O的周长的，
∴∠AOB=90°，
∴π-2.
故答案为：π-2.
【分析】根据弧长与圆的周长可得的长等于⊙O的周长的，根据圆心角、弧、弦的关系可得∠AOB=90°，进而根据扇形面积计算公式，利用阴影部分的面积=扇形AOB的面积-△AOB的面积即可算出答案.
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023九上·拱墅月考）如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD．
（2）若CD＝4，EF＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：∵OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，
∴
设⊙O的半径是r，
∵CO2＝CF2+OF5，
∴r2＝25+（r﹣1）2，
∴，
∴⊙O的半径是．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得CF=DF，AF=BF；根据等量关系列代数式，可得AC=BD；
（2）根据垂径定理，可得CF=CD；根据勾股定理列等式，即可求出圆的半径.
18．（2024九下·南山开学考）如图，在中，弦与相交于点，，连接，，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：，
，
，
．
（2）证明：，
，
，，
，
．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等弦所对的弧相等得到：，进而得到：，即可求解；
（2）根据等弧所对的弦相等得到：，进而利用"AAS"证明，即可求解.
19．（2018九上·衢州期中）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长
【答案】（1）证明：过点O作 OE⊥AB于 E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD
（2）解：由(1)知 OE=6，OA=10，∴AE=8，∵OE=6，OC=8∴ CE =
∴AC=AE-CE=8-2
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作 OE⊥AB于 E，根据垂径定理得出AE=BE，CE=DE，再根据等式的性质，将两个等式相减即可得出答案；
（2）连接OA，OC，根据勾股定理分别算出AE，CE，再根据线段的和差即可算出答案。
20．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2求此圆半径的长
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°-90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴，即BD=2BC=8，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得 ∠ADB＝∠CDB ，根据圆的内接四边的性质可得 ∠ABC+∠ADC＝180° ，结合四边形的内角和计算；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出∠F＝90°，△ACD是等边三角形，进而得出∠BDC＝30°，由BD是直径得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求解。
21．（2024·雁塔模拟） 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵∠P＝∠C，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD.
（2）解：连接OC，如图，
∵∠1＝30°，
∴∠P＝30°，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠BOC＝2∠P＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理推论和∠1＝∠C，得到∠1=∠P，结论可证；
（2）连接OC，根据垂径定理得到，从而有∠BOC＝2∠P=2∠1＝60°，得等边三角形OBC，于是可得半径和直径.
22．（2024九上·嘉兴期末）如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为．
（1）求截面中弦的长；
（2）求截面中有水部分弓形的面积．
【答案】（1）解：如图：
作交于，连结
∴OB=12cm.
是圆心，，
cm，
(cm)，
（cm），
cm．
即弦AB长cm.
（2）解：连结
，，
，
(cm2)．
即截面中有水部分弓形的面积为cm2．
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，作交于，于是OB=12，OC=6，AC=BC.利用勾股定理可求出BC长，从而可得AB长；
（2）根据OB=2OC可得到∠BOC度数，从而得∠AOB.弓形面积=对应圆心角的扇形面积－三角形面积.
23．（2024·拱墅模拟）如图，点A，B，C，D，E在上顺次排列，已知.
（1）求证：；
（2）若直线AE过圆心，设的度数为的度数为.
①当时，求的值；
②探索和满足的等量关系.
【答案】（1）证明：在优弧AD上任取一点F，
连接AE，AF，DF，
在四边形ABDF和四边形ABCE中，
∴∠F+∠ABD=180°，∠BCE+∠BAE=180°
又∵，
∴∠F=∠BAE，
∴在同弧中，由圆心角与圆周角的倍数关系，
则AD与BE所对 圆心角相等，
故，
∴AD=BE.
（2）①由直线AE过圆心O，连接BO，CO，DO，
由(1)得，∠A=180°-∠BCE=180°-α，
又∵AO=BO
∴∠A=∠ABO=180°-α，
故，即，
又∵
∴∠AOB=∠BOC=∠DOE=180°-∠A-∠ABO=2α-180°，
∴∠COD=180°-∠AOB-∠BOC-∠DOE=180°-3(2α-180°)=720°-6α，
又∵的度数为.
即∠COD=β=720°-6α，
①若则，解得α=110；
②由上述可知，β=720°-6α.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由圆内角四边形可将先转换到BE与AD的圆周角相等，进而得圆心角相等，推出弧相等及弦相等；
(2)在(1)同弧基础上推出，从而得出对应圆心角相等，根据对应关系逐一表示即可.
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