浙教版数学九年级上册《第3章 圆的基本性质》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
2．（2024·市中区模拟） 如图， 在⊙O中， 弦AB⊥弦CD， 垂足为E， 若AE=2， BE=6， DE=3， 则⊙O的面积是（ ）
A．20π B．13π C． D．
3．（2024·惠东模拟）如图，A、B、C、P是上的四个点，，且平分，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
4．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28° B．34° C．56° D．62°
5．（2022九上·海陵月考）如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG＝BC；②+＝；③∠DOE+∠FOG＝∠BOC；④∠DEO+∠FGO＝∠BAC．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
6．（2024·重庆市模拟）如图，半圆的直径，两弦相交于点，弦，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·滨海期中）如图，AB是 的直径，C，D是 上的两点，连接AC，CD，AD，若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
8．（2024·牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
9．（2024·包头）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD．若BD⊥OC，则的长为（ ）
A． B． C． D．π
10．（2024·重庆）如图，在矩形中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 ．
12．（2024·吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
13．（2024·揭东模拟）如图，在中，，则下列结论中：；；；，正确的是 填序号．
14．（2024·连云港）如图，AB是圆的直径，的顶点均在AB上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则 .
15．如图，四边形ABCD内接于，延长AD至点，已知，那么 °.
16．（2024·怀集模拟）如图，中，，，，以为圆心，为半径的圆弧分别交、于点、，则图中阴影部分面积之和为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·延边期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．
18．（2024·揭东模拟）如图，是的弦，半径，垂足为，点在上，连接，，．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的半径长．
19．（2024九上·桐乡市期末）如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
20．（2024九上·凤山期末）如图，AB是的直径，，于点E，连接BD交CE于点F.
（1）求证：.
（2）若，，求弦BD的长.
21．如图，⊙O半径为2，弦BC=3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连结CO并延长交⊙O于点M，连结AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：BE//AM.
（2）过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长.
22．（2023·武汉）如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，延长AB至点E，使得BE=AD，连结AC，CE.
（1）求证：AC=CE.
（2）若AD=4，AB=6，∠BCD=120°，求BC的长。
24．（2024·通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.
（1）【模型建立】
如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.，.求证：.
（2）【模型应用】
如图2，中，的平分线交于点D.请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）
（3）【拓展提升】
如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接.求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆形工件的圆心为点E，连接BE，如图：
∴CE=BE=r.
∵CD垂直平分AB，AB=40cm，
∴直线CD经过圆心E.
∴AD=BD=20cm.
∵CD=10cm，
∴ED=r－10（cm）.
在Rt△BDE中，DE2+DB2=BE2，
∴(r－10)2+202=r2.
解得r=25.
故答案为：C.
【分析】证明点E在直线CD上，于是可利用垂径定理求出DB长，设半径BE=r，可表示DE，在Rt△BDE中利用勾股定理，即可求得工件半径.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，连接AD，BC，过点O作OG⊥CD，垂足为点G，作OF⊥AB，垂足为点F，
AE=2， BE=6， DE=3，
CE=4，
OF⊥AB，
F为AB的中点，
AB=AE+BE=2+6=8，
AF=4，
EF=AF-AE=4-2=2，
OG⊥CD，OF⊥AB，CD⊥AB，
四边形OGEF为矩形，
OG=EF=2，
CD=CE+ED=4+3=7，
OG=2，
在Rt△OCG中，由勾股定理得，
⊙O的面积为
故答案为：C.
【分析】连接AD，BC，过点O作OG⊥CD，垂足为点G，作OF⊥AB，垂足为点F，先证明由相似三角形的性质求得CE=4，再利用垂径定理求得CG的值，再证明四边形OGEF为矩形，进而得到OG=2，利用勾股定理求出OC的值，由圆的面积公式即可求解.
3．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵PC平分∠APB，
∴∠BPC=∠APC.
∴.
∴BC=AC，
又∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义及同圆中相等的圆周角所对的弧相等得，由等弧所对的弦相等得BC=AC，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论.
4．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理求出∠COB度数，再利用垂径定理求出∠AOB的度数，结合等腰三角形的性质即可知道∠OAB的度数.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB+AC＞BC，AB＝DE，FG＝AC，
∴DE+FG＞BC．
∴①错误；
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴，．
∴，
∴．
∴②正确；
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图，
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG．
∴∠AOB+∠AOC＝∠DOE+∠FOG．
即∠DOE+∠FOG＝∠BOC．
∴③正确；
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝90°﹣∠AOB．
同理可得：
∠OAC＝90°﹣∠AOC，
∠DEO＝90°﹣∠DOE，
∠FGO＝90°﹣∠FOG．
∴∠OAB+∠OAC＝180°﹣（∠AOB+∠AOC）＝180°﹣∠BOC，
∠DEO+∠FGO＝180°﹣（∠DOE+∠FOG）．
由③知：∠DOE+∠FOG＝∠BOC，
∴∠OAB+∠OAC＝∠DEO+∠FGO．
即：∠DEO+∠FGO＝∠BAC．
∴④正确；
∴正确的序号为：②③④.
故答案为：D.
【分析】由三角形的三边关系可得AB+AC＞BC，由已知条件可知AB＝DE，FG＝AC，则DE+FG＞BC，据此判断①；根据弦、弧的关系可判断②；连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，由圆周角定理可得∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG，两式相加可判断③；根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAB＝∠OBA＝90°﹣∠AOB，∠OAC＝90°﹣∠AOC，∠DEO＝90°﹣∠DOE，∠FGO＝90°﹣∠FOG，则∠OAB+∠OAC＝180°﹣∠BOC，∠DEO+∠FGO＝180°﹣(∠DOE+∠FOG)，由③知∠DOE+∠FOG＝∠BOC，进而判断④.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵半圆O的直径，
∴半圆O的半径为3，
又，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接OD和OC，可得等边三角形，则∠COD=60°，根据圆周角定理即可求解．
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BC，
∵AB是 的直径，
，
∵∠ABC=∠ADC=75°，
，
故答案为：A．
【分析】连结BC，根据圆周角定理得出即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，则∠BAC=∠BEC=20°，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°，
故答案为：B.
【分析】连接AC，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BEC=20°，由AB 是⊙O的直径，可得
∠ACB=90°，利用直角三角形性质可求∠ABC=90°-∠BAC=70°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵OD=DC，且BD⊥OC，
∴BD是线段OC的垂直平分线，
∴BC=OB，
又∵OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=20°，
∴.
故答案为：B.
【分析】由题意易得BD是线段OC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=OB，结合同圆半径相等可由三边相等得三角形是等边三角形判断出△OBC就是等边三角形，得∠BOC=60°，进而由角的和差算出∠AOC的度数，最后根据弧长计算公式“”可算出答案.
10．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】
解：如图，连接AC
由题知：AC=2AD=8
∵ 矩形ABCD
∴ AD=BC=4，∠A=∠D=∠ADC=90°
∴ AB=
∴ S矩形ABCD=AB×BC=16，2S扇形==
∴ 图中阴影面积= S矩形ABCD-2S扇形=
故答案为：D
【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形性质，勾股定理等知识，根据题意得AC，结合矩形性质，勾股定理得AB，计算矩形面积，扇形面积，可得阴影面积。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵ 直径AB⊥CD， CD＝6，
∴CE=DE=3，
设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，
∵OE2+ED2=OD2，
∴（r-1）2+32=r2，
解得r=5，
∴OA=5，OE=4，
∴AE=OA+OE=9，
在Rt△AEC中，AC===.
故答案为：.
【分析】由垂径定理可得CE=DE=3，设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，在Rt△OED中，利用勾股定理建立方程，求出r=5，从而求出AE=9，在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC即可.
12．【答案】11π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形BOC-S扇形AOD =40π×102360-40π×12360=100π9-π9=99π9=11π
故答案为：11π.
【分析】根据扇形面积计算公式“”及S阴影=S扇形BOC-S扇形AOD列式计算即可.
13．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=CD.①正确；
∵，
∴，
即，
∴AC=BD.②正确；④正确；
∵，
∴∠AOC=∠BOD.③正确；
故答案为：.
【分析】根据弦，弧，圆心角的关系判断即可.
14．【答案】90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ AB是圆的直径 ，
∴∠ACB=90°，
又∵，
∴∠DCE=∠2，
同理，∠ECF=∠3，∠BCF=∠4，
∴
故答案为：90°.
【分析】利用圆的性质将圆上角进行转移聚集，进而由直径所对圆周角得出结论.
15．【答案】70
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠AOC=140°，
∴ ∠ABC=∠AOC=70°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ∠ADC=110°，
∵ ∠CDE+∠ADC=180°，
∴ ∠CDE=70°.
故答案为：70.
【分析】根据圆周角定理得∠ABC=∠AOC，再根据圆的内接四边形的性质得∠ADC=180°-∠ABC，再根据邻补角得∠CDE=180°-∠ADC，即可求得.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=，∴AB=，BC=，∠A=60°。
如图，连接CD，过点C作CM⊥AB，垂足为M，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵以点C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB，CB与点D、E，∴CD=CE=AC=，
∵∠A=60°，∴为等边三角形，∴AD=，∠ACD=60°，
∴BD=AB-AD=，∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°，
∵∠B=30°，∴，，
∴，，
，，
∴图中阴影部分面积之和为=
故答案为：.
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积的求解。根据∠C=90°，∠B=30°，AC=，求出AB、BC、∠A；再通过做辅助线求出，，扇形ACD和扇形ECD的面积，由图中阴影部分面积之和为即可求解。
17．【答案】（1）
（2）解：设主桥拱半径为，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可求出答案.
（2）设主桥拱半径为，则，，在中，由勾股定理可得，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：，
，
．
，
，
；
（2）解：设的半径为，则，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可证得，再利用圆周角定理即可求得∠AOD的度数．
（2）设的半径为，根据垂径定理可得AC=BC=4，在中利用勾股定理即可求得r.
19．【答案】（1）解：如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，
根据题意，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到：，即可得到：，，进而利用割补法即可求出阴影部分面积；
（2）连接，由题意得：，，进而求出CE的长度，最后根据勾股定理即可求解.
20．【答案】（1）证明：∵AB是的直径，
∴，∴
∵，∴，
∴，
∴
又∵，∴，
∴，
∴，∴；
（2）解：连接OC，交BD于点G，
∵，∴，，
∵，，，
∴，
∴的半径为10，
设，则，
由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)根据∠ACB=90°，∠CEB=90°，可推出∠ECB=∠A，再根据等弧所对的圆周角相等可知∠DBC=∠A，从而可求证；
（2）根据垂径定理和勾股定理可求解.
21．【答案】（1）证明：∵ MC是 ⊙O 的直径，
∴ ∠MAC=90°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠BEC=90°，
∴ BE∥AM；
（2）解：连接MB，如图，
∵ MC是 ⊙O 的直径，
∴ ∠MBC=90°，
∵ AD⊥BC，
∴ MB∥AD，
∵ BE∥AM，
∴ 四边形AHBM为平行四边形，
∴ AH=MB，
∵ ⊙O半径为2 ，
∴ MC=4，
∵ 弦BC=3，
∴ MB==，
∴ AH=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到 AD⊥BC，且 BE⊥AC ，即可求得 BE//AM；
（2）连接MB，证明四边形AHBM为平行四边形推出 AH=MB，再根据勾股定理求得MB，即可求得AH.
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点E，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可证得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；再根据∠ACB=2∠BAC，可证得结论.
（2）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证得AE=BE，同时可证得∠BOD=∠BOC，利用在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可证得BC=BD，可求出BD的长，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理可得到关于OB的方程，解方程求出OB的长，即可得到圆O的半径.
23．【答案】（1）解：，
，
点C是的中点，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C是的中点，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得，通过补角的性质证得，再利用圆心角定理得到CD=BC，通过SAS判定，即可得到AC=CE.
(2)作，利用等腰三角形的性质得到AF的长度，由圆内接四边形的性质可得，再通过圆心角定理得到，再利用直角三角形的求得CF的长度，进而通过勾股定理计算出BC的长度.
24．【答案】（1）在和中，
，，，
，
；
（2）选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
的平分线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；角平分线的概念
1 / 1浙教版数学九年级上册《第3章 圆的基本性质》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆形工件的圆心为点E，连接BE，如图：
∴CE=BE=r.
∵CD垂直平分AB，AB=40cm，
∴直线CD经过圆心E.
∴AD=BD=20cm.
∵CD=10cm，
∴ED=r－10（cm）.
在Rt△BDE中，DE2+DB2=BE2，
∴(r－10)2+202=r2.
解得r=25.
故答案为：C.
【分析】证明点E在直线CD上，于是可利用垂径定理求出DB长，设半径BE=r，可表示DE，在Rt△BDE中利用勾股定理，即可求得工件半径.
2．（2024·市中区模拟） 如图， 在⊙O中， 弦AB⊥弦CD， 垂足为E， 若AE=2， BE=6， DE=3， 则⊙O的面积是（ ）
A．20π B．13π C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，连接AD，BC，过点O作OG⊥CD，垂足为点G，作OF⊥AB，垂足为点F，
AE=2， BE=6， DE=3，
CE=4，
OF⊥AB，
F为AB的中点，
AB=AE+BE=2+6=8，
AF=4，
EF=AF-AE=4-2=2，
OG⊥CD，OF⊥AB，CD⊥AB，
四边形OGEF为矩形，
OG=EF=2，
CD=CE+ED=4+3=7，
OG=2，
在Rt△OCG中，由勾股定理得，
⊙O的面积为
故答案为：C.
【分析】连接AD，BC，过点O作OG⊥CD，垂足为点G，作OF⊥AB，垂足为点F，先证明由相似三角形的性质求得CE=4，再利用垂径定理求得CG的值，再证明四边形OGEF为矩形，进而得到OG=2，利用勾股定理求出OC的值，由圆的面积公式即可求解.
3．（2024·惠东模拟）如图，A、B、C、P是上的四个点，，且平分，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵PC平分∠APB，
∴∠BPC=∠APC.
∴.
∴BC=AC，
又∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的定义及同圆中相等的圆周角所对的弧相等得，由等弧所对的弦相等得BC=AC，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论.
4．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28° B．34° C．56° D．62°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理求出∠COB度数，再利用垂径定理求出∠AOB的度数，结合等腰三角形的性质即可知道∠OAB的度数.
5．（2022九上·海陵月考）如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG＝BC；②+＝；③∠DOE+∠FOG＝∠BOC；④∠DEO+∠FGO＝∠BAC．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB+AC＞BC，AB＝DE，FG＝AC，
∴DE+FG＞BC．
∴①错误；
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴，．
∴，
∴．
∴②正确；
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图，
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG．
∴∠AOB+∠AOC＝∠DOE+∠FOG．
即∠DOE+∠FOG＝∠BOC．
∴③正确；
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝90°﹣∠AOB．
同理可得：
∠OAC＝90°﹣∠AOC，
∠DEO＝90°﹣∠DOE，
∠FGO＝90°﹣∠FOG．
∴∠OAB+∠OAC＝180°﹣（∠AOB+∠AOC）＝180°﹣∠BOC，
∠DEO+∠FGO＝180°﹣（∠DOE+∠FOG）．
由③知：∠DOE+∠FOG＝∠BOC，
∴∠OAB+∠OAC＝∠DEO+∠FGO．
即：∠DEO+∠FGO＝∠BAC．
∴④正确；
∴正确的序号为：②③④.
故答案为：D.
【分析】由三角形的三边关系可得AB+AC＞BC，由已知条件可知AB＝DE，FG＝AC，则DE+FG＞BC，据此判断①；根据弦、弧的关系可判断②；连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，由圆周角定理可得∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG，两式相加可判断③；根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAB＝∠OBA＝90°﹣∠AOB，∠OAC＝90°﹣∠AOC，∠DEO＝90°﹣∠DOE，∠FGO＝90°﹣∠FOG，则∠OAB+∠OAC＝180°﹣∠BOC，∠DEO+∠FGO＝180°﹣(∠DOE+∠FOG)，由③知∠DOE+∠FOG＝∠BOC，进而判断④.
6．（2024·重庆市模拟）如图，半圆的直径，两弦相交于点，弦，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵半圆O的直径，
∴半圆O的半径为3，
又，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接OD和OC，可得等边三角形，则∠COD=60°，根据圆周角定理即可求解．
7．（2021九上·滨海期中）如图，AB是 的直径，C，D是 上的两点，连接AC，CD，AD，若 ，则 的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BC，
∵AB是 的直径，
，
∵∠ABC=∠ADC=75°，
，
故答案为：A．
【分析】连结BC，根据圆周角定理得出即可得出答案。
8．（2024·牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，则∠BAC=∠BEC=20°，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=70°，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°，
故答案为：B.
【分析】连接AC，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BEC=20°，由AB 是⊙O的直径，可得
∠ACB=90°，利用直角三角形性质可求∠ABC=90°-∠BAC=70°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.
9．（2024·包头）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝80°，半径OA＝3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD＝DC，连接BD．若BD⊥OC，则的长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵OD=DC，且BD⊥OC，
∴BD是线段OC的垂直平分线，
∴BC=OB，
又∵OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=20°，
∴.
故答案为：B.
【分析】由题意易得BD是线段OC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BC=OB，结合同圆半径相等可由三边相等得三角形是等边三角形判断出△OBC就是等边三角形，得∠BOC=60°，进而由角的和差算出∠AOC的度数，最后根据弧长计算公式“”可算出答案.
10．（2024·重庆）如图，在矩形中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】
解：如图，连接AC
由题知：AC=2AD=8
∵ 矩形ABCD
∴ AD=BC=4，∠A=∠D=∠ADC=90°
∴ AB=
∴ S矩形ABCD=AB×BC=16，2S扇形==
∴ 图中阴影面积= S矩形ABCD-2S扇形=
故答案为：D
【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形性质，勾股定理等知识，根据题意得AC，结合矩形性质，勾股定理得AB，计算矩形面积，扇形面积，可得阴影面积。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵ 直径AB⊥CD， CD＝6，
∴CE=DE=3，
设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，
∵OE2+ED2=OD2，
∴（r-1）2+32=r2，
解得r=5，
∴OA=5，OE=4，
∴AE=OA+OE=9，
在Rt△AEC中，AC===.
故答案为：.
【分析】由垂径定理可得CE=DE=3，设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，在Rt△OED中，利用勾股定理建立方程，求出r=5，从而求出AE=9，在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC即可.
12．（2024·吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
【答案】11π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影=S扇形BOC-S扇形AOD =40π×102360-40π×12360=100π9-π9=99π9=11π
故答案为：11π.
【分析】根据扇形面积计算公式“”及S阴影=S扇形BOC-S扇形AOD列式计算即可.
13．（2024·揭东模拟）如图，在中，，则下列结论中：；；；，正确的是 填序号．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴AB=CD.①正确；
∵，
∴，
即，
∴AC=BD.②正确；④正确；
∵，
∴∠AOC=∠BOD.③正确；
故答案为：.
【分析】根据弦，弧，圆心角的关系判断即可.
14．（2024·连云港）如图，AB是圆的直径，的顶点均在AB上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则 .
【答案】90°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ AB是圆的直径 ，
∴∠ACB=90°，
又∵，
∴∠DCE=∠2，
同理，∠ECF=∠3，∠BCF=∠4，
∴
故答案为：90°.
【分析】利用圆的性质将圆上角进行转移聚集，进而由直径所对圆周角得出结论.
15．如图，四边形ABCD内接于，延长AD至点，已知，那么 °.
【答案】70
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠AOC=140°，
∴ ∠ABC=∠AOC=70°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ∠ADC=110°，
∵ ∠CDE+∠ADC=180°，
∴ ∠CDE=70°.
故答案为：70.
【分析】根据圆周角定理得∠ABC=∠AOC，再根据圆的内接四边形的性质得∠ADC=180°-∠ABC，再根据邻补角得∠CDE=180°-∠ADC，即可求得.
16．（2024·怀集模拟）如图，中，，，，以为圆心，为半径的圆弧分别交、于点、，则图中阴影部分面积之和为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AC=，∴AB=，BC=，∠A=60°。
如图，连接CD，过点C作CM⊥AB，垂足为M，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
∵以点C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB，CB与点D、E，∴CD=CE=AC=，
∵∠A=60°，∴为等边三角形，∴AD=，∠ACD=60°，
∴BD=AB-AD=，∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°，
∵∠B=30°，∴，，
∴，，
，，
∴图中阴影部分面积之和为=
故答案为：.
【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积的求解。根据∠C=90°，∠B=30°，AC=，求出AB、BC、∠A；再通过做辅助线求出，，扇形ACD和扇形ECD的面积，由图中阴影部分面积之和为即可求解。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024九上·延边期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．
【答案】（1）
（2）解：设主桥拱半径为，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可求出答案.
（2）设主桥拱半径为，则，，在中，由勾股定理可得，解方程即可求出答案.
18．（2024·揭东模拟）如图，是的弦，半径，垂足为，点在上，连接，，．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）解：，
，
．
，
，
；
（2）解：设的半径为，则，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的半径长为．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可证得，再利用圆周角定理即可求得∠AOD的度数．
（2）设的半径为，根据垂径定理可得AC=BC=4，在中利用勾股定理即可求得r.
19．（2024九上·桐乡市期末）如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，
根据题意，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到：，即可得到：，，进而利用割补法即可求出阴影部分面积；
（2）连接，由题意得：，，进而求出CE的长度，最后根据勾股定理即可求解.
20．（2024九上·凤山期末）如图，AB是的直径，，于点E，连接BD交CE于点F.
（1）求证：.
（2）若，，求弦BD的长.
【答案】（1）证明：∵AB是的直径，
∴，∴
∵，∴，
∴，
∴
又∵，∴，
∴，
∴，∴；
（2）解：连接OC，交BD于点G，
∵，∴，，
∵，，，
∴，
∴的半径为10，
设，则，
由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)根据∠ACB=90°，∠CEB=90°，可推出∠ECB=∠A，再根据等弧所对的圆周角相等可知∠DBC=∠A，从而可求证；
（2）根据垂径定理和勾股定理可求解.
21．如图，⊙O半径为2，弦BC=3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连结CO并延长交⊙O于点M，连结AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E.
（1）求证：BE//AM.
（2）过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长.
【答案】（1）证明：∵ MC是 ⊙O 的直径，
∴ ∠MAC=90°，
∵ BE⊥AC，
∴ ∠BEC=90°，
∴ BE∥AM；
（2）解：连接MB，如图，
∵ MC是 ⊙O 的直径，
∴ ∠MBC=90°，
∵ AD⊥BC，
∴ MB∥AD，
∵ BE∥AM，
∴ 四边形AHBM为平行四边形，
∴ AH=MB，
∵ ⊙O半径为2 ，
∴ MC=4，
∵ 弦BC=3，
∴ MB==，
∴ AH=.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到 AD⊥BC，且 BE⊥AC ，即可求得 BE//AM；
（2）连接MB，证明四边形AHBM为平行四边形推出 AH=MB，再根据勾股定理求得MB，即可求得AH.
22．（2023·武汉）如图，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
（2）解：过点作半径于点E，则，
，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可证得∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC；再根据∠ACB=2∠BAC，可证得结论.
（2）过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证得AE=BE，同时可证得∠BOD=∠BOC，利用在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可证得BC=BD，可求出BD的长，利用勾股定理求出DE的长；在Rt△BOE中，利用勾股定理可得到关于OB的方程，解方程求出OB的长，即可得到圆O的半径.
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，C是的中点，延长AB至点E，使得BE=AD，连结AC，CE.
（1）求证：AC=CE.
（2）若AD=4，AB=6，∠BCD=120°，求BC的长。
【答案】（1）解：，
，
点C是的中点，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C是的中点，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得，通过补角的性质证得，再利用圆心角定理得到CD=BC，通过SAS判定，即可得到AC=CE.
(2)作，利用等腰三角形的性质得到AF的长度，由圆内接四边形的性质可得，再通过圆心角定理得到，再利用直角三角形的求得CF的长度，进而通过勾股定理计算出BC的长度.
24．（2024·通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.
（1）【模型建立】
如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.，.求证：.
（2）【模型应用】
如图2，中，的平分线交于点D.请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）
（3）【拓展提升】
如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接.求证：.
【答案】（1）在和中，
，，，
，
；
（2）选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
的平分线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；角平分线的概念
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