浙教版数学九年级上册《第4章 相似三角形》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·威海）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（ ）
A．若，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
A、∵，
∴，
∵∠ECF=∠BCD，
∴，
∴∠CEF=∠CBD，
∴EF∥BD，A正确；
B、∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，
∴AC平分∠BCD，∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACD=∠DAC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
在和中，
，
∴，
∴CE=CF，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴∠OGF=90°，
∴∠OGF=∠AOD，
∴EF∥BD，B正确；
C、∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵EF∥BD，
∴∠CBD=∠CEF，∠CDB=∠CFE，∠AOD=∠OGF，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠OGF=90°，
又∵CE=CF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF，
∴∠EAC=∠FAC，C正确；
D、∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，
∴要使EF∥BD，则需添加条件CE=CF，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形性质得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC.根据相似三角形的判定定理得，从而有∠CEF=∠CBD，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对A作出判断；根据角平分线的判定定理得AC平分∠BCD，然后结合平行线的性质证出∠ACD=∠DAC，从而有DA=DC，进而得到四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质有∠AOD=90°，接下来利用证，得CE=CF，从而有AC垂直平分EF，得∠OGF=∠AOD=90°，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对B作出判断；根据等腰三角形性质、平行线性质得∠CBD=∠CDB，∠AOD=∠OGF，从而有CB=CD，证出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得∠AOD=∠OGF=90°，从而有AC垂直平分EF，得AE=AF，进而求出∠EAC=∠FAC，可对C作出判断；
先证四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，所以要使EF∥BD，需添加条件”CE=CF“，可对D作出判断.
2．（2024·杭州模拟） 如图，在 中，，，的平分线分别交于点，，与交于点若，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，∠CFB=∠FBA，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAE=∠EAB，∠CBF=∠FBA，
∴∠DAE=∠DEA，∠CBF=∠CFB，
∴DE=AD，BC=CF，
∴DE=AD=CF=DF+EF=3+2=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△EFG
∴=4，
∴AG=4GE，
∴k=4.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，利用平行线的性质及角平分线的定义可推出∠DAE=∠DEA，∠CBF=∠CFB，可得DE=AD=5，BC=CF=5，从而得出AB=CD=8，由平行线可证△ABG∽△EFG，可得=4，继而得解.
3．（2019九上·滦南期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似形的判定定理逐一进行判断即可。
4．（2024·巴东模拟）如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE，
∵BD//AC，
∴∠BDA=∠DAC，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BA=BD，
∵BE⊥AD，
∴AE=ED=，
∵CD⊥AC，
∴∠BED=∠DCA=90°，
∴△BED∽△DCA，
∴，
∴，
解得：BD=，
故答案为：A.
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，先证出△BED∽△DCA，可得，再将数据代入求出BD的长即可.
5．（2024·邵阳模拟）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质证明，，根据相似三角形的性质求解．
6．（2024·广西） 如图， 边长为 5 的正方形 分别为各边中点. 连接 ， 交点分别为 ， 那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD边长为5，
∴AB=BC=BD=AD=5.∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，AD//BC.
∵G，F分别为CD，CB边中点，
∴，
∴△ADG≌△DCF（SAS）.
∴∠AGD=∠DFC.
∵∠DQA=∠AGD+∠CDF=∠DFC+∠CDF=90°=∠MQP.
同理可证：∠QPN=∠PNM=90°，
∴四边形MNPQ是矩形.
又∵∠DQA=∠QPN=90°，
∴AG//CE.
∴△DQG∽△DPC，
∴.
∴QP=DQ.
∵CD=5，，
∴.
∵∠PDC=∠CDF，∠DPC=∠DCF=90°，
∴△DPC∽△DCF，
∴.
∴.
∴
同理可证：.
所以四边形MNPQ的面积为
∴答案为：C.
.
【分析】通过正方形的性质和中点定义可证得△ADG≌△DCF，于是有∠AGD=∠DFC，再利用直角三角形性质可得∠DQA=90°=∠MQP. 同理可得∠QPN=∠PNM=90°，即可证明四边形MNPQ是矩形. 证明△DQG∽△DPC，可得DQ=PQ；证明△DPC∽△DCF，勾股定理求出DF长，即可求得DP和QP的长；同理可得QM的长，根据矩形的面积公式即可得到四边形 的面积.
7．如图所示为一张矩形纸片ABCD，E为AD的中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，A'E与BC相交于点G，B'A'的延长线过点C.若的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，
令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得：EH2+HG2=EG2，
则EH2+x2=(3x)2，
解得EH=x， EH=-x(舍)，
∴AB=x，
∴．
故选：A．
【分析】过点E作EH⊥BC于点H，令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，根据相似三角形的判定得，得出，进而得出y=3x，则AE=4x，AD=8x，在Rt△EGH中，根据勾股定理得EH2+HG2=EG2，求出EH=x，最后求出的值．
8．（2024九上·蓬溪期末）如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故答案为：A
【分析】先根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质即可判断①；先根据正方形的性质得到，，，进而根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断②；结合题意运用角平分线的性质得到，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）得到，从而即可判断③；根据三角形全等的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意代入化简即可判定④.
9．（2023九上·呈贡月考）如图，已知平行四边形，点E是延长线上一点，与分别相交于点．则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，故D错误；
又，，
，，故B 错误；
又，
，故A正确；
，
，故C错误.
故答案为：A.
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形可得，再根据平行易得，，，可得相似三角形的对应边成比例，可知A正确，在根据相似三角形的对应边成比例一一判断即可.
10．（2022九上·拱墅期末）如图，在矩形中，，点分别在边上，且与关于直线对称.点在边上，分别与交于两点.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】连接FQ，由矩形的性质可得AB∥CD，∠BAF=90°，BC=AD，由已知条件可设AB=4a，则BC=5a，由轴对称的性质可得BF=BC=5a，CQ=FQ，CE=FE，利用勾股定理可得AF=3a，则DF=AD-AF=2a，易得四边形CQFE为菱形，则AB∥FQ∥CE，由平行线分线段成比例的性质可得，设CQ=2k，则GQ=3k，由等腰三角形的性质可得∠CQE=∠CEQ，由平行线的性质可得∠ABQ=∠CEQ，结合对顶角的性质可推出BG=QG，易证△GBP∽△QFP，根据相似三角形的性质可得GP，据此求解.
二、填空题 （每题3分，共18分）
11．（2024·乐山）如图，在梯形ABCD中，，对角线AC和BD交于点O，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵，
，
∴（）2= 19
故答案为：.
【分析】首先根据等高三角形的性质，得出，再根据相似三角形的性质，即可求解.
12．（2019九上·宝安期中）已知＝＝＝k，则k的值是 ．
【答案】2或-1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】1.当a+b+c=0时，k=-1；
2. 当a+b+c≠0时，a+b=ck，a+c=ak，b+c=ak，把这三个式子相加得：2（a+b+c）=（a+b+c）k
∴k=2
综上所述：k=2或-1.
【分析】分两种情况：（1）当a+b+c=0时，k=-1；（2）当a+b+c≠0时，可求出k的值.
13．（2024·五华模拟）如图所示，要使得，需要补充一个条件可以是 。（只需要填写一个即可）
【答案】或或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或
【分析】根据相似三角形的判定结合题意即可求解。
14．（2024·市中区模拟） 如图， 在边长为6的等边△ABC中， D是BC边上动点， ∠EDF=60°， E、F分别在AB、AC边上. 若BD=2， FC=3，则BE= .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】△ABC是等边三角形，
∠EDF=60°，
BD=2， BC=6，
CD=6-2=4，
故答案为：.
【分析】利用等边三角形的性质先证明再利用相似三角形的性质得到代入数据计算即可求解.
15．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是 ．
【答案】（3，1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且，
∴位似比为3：1.
∵A（9，3），
∴A1（9÷3，3÷3），即为（3，1）.
故答案为：（3，1）.
【分析】由题意可得：位似比为3：1，给点A的横纵坐标分别除以3就可得到点A1的坐标.
16．（2024·深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作交BC于点F，对角线AC分别交DE，DF于点G，H，当DH⊥AC时，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，设AD=a，AB=b.
∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=BC=a，AB=DC=b，AB//CD，.
∵E是AB的中点，
∴.
∴.
∵AE//CD，
∴△AEG∽△CDG.
∴.
∴.
∵∠ADC=∠DCF=90°，DH⊥AC
∴∠ADF+∠FDC=∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠FDC=∠DAC，
∴△FDC∽△CAD.
∴.
∴
∵∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°=∠AED+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF.
∴.
∴.
∴.
∴.
解得：.
∴，，
∵ ，DH⊥AC ，
∴∠DHG=∠DEF=90°，
∵∠HDG=∠EDF，
∴△HDG∽△EDF.
∴.
【分析】利用矩形性质得∠ABC=∠DBC=∠ADC=∠DAB=90°，AB//CD.根据E是AB的中点得AE=BE.设AD=a，AB=b，表示出ED的长，证明△AEG∽△CDG.得，可表示出DG；证明△FDC∽△CAD，得，可表示出FC，证明△ADE∽△BEF，得，可表示出BF，从而得CF，联立，得到a与b的数量关系，从而可表示用b表示出DG，FC，DF，最后证明△HDG∽△EDF，得，代入DG和DF即可得到结果.
三、解答题（共8题，共72分
17．（2024·拱墅模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD.点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.
（1）求证：.
（2）当，求的值.
【答案】（1）证明：，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，进而等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据题意得到，进而根据相似三角形的性质得到，再结合题意等量代换即可求解。
18．（2024·杭州二模） 如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE=CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若BD=1，GB=2，BC=3，求AB的长．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：，
∽，
，
，，，
，
，
，
≌，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出，由全等三角形全等的判定定理即可得解；
（2）证明∽，根据相似三角形的性质可得，求出，由（1） △ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质得，由，即可求解.
19．（2024·甘孜州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1＝∠ABC．
（1）求证：∠2＝∠3；
（2）若∠4＝45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC＝13，AD＝5，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°＝∠A，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠ABC＝90°，
∵∠1＝∠ABC，
∴∠2＝∠3；
（2）解：①BC＝BD，理由如下：设∠2＝∠3＝x，
∴∠BFE＝90°﹣x＝∠DFC，
∵∠4＝45°，
∴∠CDB＝180°﹣45°﹣（90°﹣x）＝45°+x，
∵∠BCD＝∠4+∠2＝45°+x，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BC＝BD；
②∵BC＝BD＝13，AD＝5，
∴AB12，
∵BC＝BD，∠A＝∠CEB，∠2＝∠3，
∴△ADB≌△EBC（AAS），
∴BE＝AD＝5，
∵∠A＝∠CEB，∠3＝∠3，
∴△EFB∽△ADB，
∴，
∴，
∴EF．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠CEB＝90°＝∠A，进而等量代换即可求解；
（2）①设∠2＝∠3＝x，则∠BFE＝90°﹣x＝∠DFC，进而进行角的运算即可得到∠BCD＝∠BDC，从而根据等腰三角形的性质即可求解；
②根据勾股定理求出AB，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ADB≌△EBC（AAS）得到BE＝AD＝5，再根据相似三角形的判定与性质证明△EFB∽△ADB得到，代入数值即可求解.
20．（2024·浙江模拟）正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．
【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
即：
解得：
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）可得：
∴
∴
∵，
∴
解得：
（3）解：由（1）得：
即：
解得：
∵，
∴
∴
即：
∴
整理得：
∵
∴，
又
∴
故：
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意证明，可得，根据勾股定理求出AC的长，即可求出CF的值；
（2）根据，可得，进一步根据同高三角形的面积之比等于底之比得到，进而得到答案；
（3）由（1）得：，即可得到，根据条件证明，得到，即可得到y与x的函数关系 .
21．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 ； ；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
22．（2024·自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为 m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
【答案】（1）11.3
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）依题意，DE=EF，即△DEF是等腰直角三角形，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE=45°，
∴△ABC也是等腰直角三角形，
∴AB=BC=11.3
【分析】（1）根据已知条件信息结合光照射角度平行推出特殊直角三角形，即求得旗杆高度；
（2）根据题意，由镜面反射原理推出两直角三角形相似，进而利用相似性质求边，即旗杆高度；
（3）同相似原理，利用两组已知信息的小三角形与目标AB边构成相似三角形建立等量关系，为便于表达关系可以设BG，并以公共边AB建立等量关系求出边长即可求得AB高.
23．（2024·贵州）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为 度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
【答案】（1）90
（2）证明：如图，过作于点．
点在的平分线上，，，
，
矩形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
，
．
（3）解：①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G．
由（2）知，
设，则，．
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G．
由（2）知，四边形是正方形，
，，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵AP⊥OA，PC⊥OB，
∴∠A=∠PCO=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴四边形OACP是矩形，
∴∠APC=90°.
故答案为：90°；
【分析】（1）由垂直的定义得∠A=∠PCO=90°，结合∠AOB=90°，根据有三个角是直角的 四边形是矩形得出四边形OACP是矩形，进而根据矩形的四个角都是直角可得∠APC的度数；
（2）过点P作PC⊥OB于点C，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PA=PC，由有一组邻边相等得矩形是正方形得四边形OAPC是正方形，由正方形四边相等得OA=AP=PC=OC，由同角的余角相等推出∠APM=∠CPN，由ASA判断出△APM≌△CPN，得AM=CN，最后根据线段的和差及等量代换可得结论；
（3）分类讨论：①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G，设OM=x，则ON=3x，OA=AP=2x，结合（2）得结论可推出AM=OM=x，从而用ASA证△MON≌△MAG，由全等三角形的性质得AG=ON=3x；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ONF∽△PGF，由相似三角形对应边成比例可求出答案；②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G，由正方形四边相等得OA=AP=PC=OC，由同角的余角相等推出∠APM=∠CPN，由ASA判断出△APM≌△CPN，得AM=CN，由线段和差推出ON-OM=2OA，由ON=3OM推出AO=x，CN=AM=x；由平行于三角形一边的直线截其它两边所截三角形与原三角形相似得△CGN∽△OMN，由相似三角形对应边成比例可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边所截三角形与原三角形相似得△OMF∽△PGF，由相似三角形对应边成比例可求出，从而得出，综上即可得出答案.
24．（2022九上·襄汾期中）
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再结合，可得；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得；
（3）延长交于点M，连接，作，垂足为N，先求出，再利用解直角三角形的方法求出，最后利用线段的和差求出即可。
1 / 1浙教版数学九年级上册《第4章 相似三角形》单元提升测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·威海）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（ ）
A．若，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
2．（2024·杭州模拟） 如图，在 中，，，的平分线分别交于点，，与交于点若，，，则( )
A． B． C． D．
3．（2019九上·滦南期中）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·巴东模拟）如图，已知钝角，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作，垂足为点，过点作，交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
5．（2024·邵阳模拟）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广西） 如图， 边长为 5 的正方形 分别为各边中点. 连接 ， 交点分别为 ， 那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
7．如图所示为一张矩形纸片ABCD，E为AD的中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，A'E与BC相交于点G，B'A'的延长线过点C.若的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2024九上·蓬溪期末）如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
9．（2023九上·呈贡月考）如图，已知平行四边形，点E是延长线上一点，与分别相交于点．则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022九上·拱墅期末）如图，在矩形中，，点分别在边上，且与关于直线对称.点在边上，分别与交于两点.若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题 （每题3分，共18分）
11．（2024·乐山）如图，在梯形ABCD中，，对角线AC和BD交于点O，若，则 ．
12．（2019九上·宝安期中）已知＝＝＝k，则k的值是 ．
13．（2024·五华模拟）如图所示，要使得，需要补充一个条件可以是 。（只需要填写一个即可）
14．（2024·市中区模拟） 如图， 在边长为6的等边△ABC中， D是BC边上动点， ∠EDF=60°， E、F分别在AB、AC边上. 若BD=2， FC=3，则BE= .
15．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是 ．
16．（2024·深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作交BC于点F，对角线AC分别交DE，DF于点G，H，当DH⊥AC时，则的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分
17．（2024·拱墅模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD.点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.
（1）求证：.
（2）当，求的值.
18．（2024·杭州二模） 如图，D，E为△GCF中GF边上两点，过D作AB∥CF交CE的延长线于点A，AE=CE．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若BD=1，GB=2，BC=3，求AB的长．
19．（2024·甘孜州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1＝∠ABC．
（1）求证：∠2＝∠3；
（2）若∠4＝45°．
①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；
②若BC＝13，AD＝5，求EF的长．
20．（2024·浙江模拟）正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F．
（1）如图1，若，求的值；
（2）如图1，，若，求m的值．
（3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系．
21．（2024·深圳）垂中平行四边形的定义如下： 在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边， 若交点是这条边的中点， 则该平行四边形是 “垂中平行四边形”.
（1） 如图所示， 四边形 为 “垂中平行四边形”， ， 则 ； ；
（2） 如图 2， 若四边形 为 “垂中平行四边形”， 且 ， 猜想 与 的关系，并说明理由；
（3）①如图 3 所示， 在 中， 交 于点 ， 请画出以 为边的垂中平行四边形， 要求： 点 在垂中平行四边形的一条边上 (温馨提示： 不限作图工具)；
②若 关于直线 对称得到 ， 连接 ， 作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ， 连接 ， 请直接写出 的值.
22．（2024·自贡）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为 m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
23．（2024·贵州）综合与探究：如图，，点在的平分线上，于点．
（1）【操作判断】
如图①，过点作于点，根据题意在图①中画出，图中的度数为 度；
（2）【问题探究】
如图②，点在线段上，连接，过点作交射线于点，求证：；
（3）【拓展延伸】
点在射线上，连接，过点作交射线于点，射线与射线相交于点，若，求的值．
24．（2022九上·襄汾期中）
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
A、∵，
∴，
∵∠ECF=∠BCD，
∴，
∴∠CEF=∠CBD，
∴EF∥BD，A正确；
B、∵AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，
∴AC平分∠BCD，∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠ACD=∠DAC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
在和中，
，
∴，
∴CE=CF，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴∠OGF=90°，
∴∠OGF=∠AOD，
∴EF∥BD，B正确；
C、∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵EF∥BD，
∴∠CBD=∠CEF，∠CDB=∠CFE，∠AOD=∠OGF，
∴∠CBD=∠CDB，
∴CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠OGF=90°，
又∵CE=CF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF，
∴∠EAC=∠FAC，C正确；
D、∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，
∴要使EF∥BD，则需添加条件CE=CF，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形性质得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC.根据相似三角形的判定定理得，从而有∠CEF=∠CBD，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对A作出判断；根据角平分线的判定定理得AC平分∠BCD，然后结合平行线的性质证出∠ACD=∠DAC，从而有DA=DC，进而得到四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质有∠AOD=90°，接下来利用证，得CE=CF，从而有AC垂直平分EF，得∠OGF=∠AOD=90°，由“同位角相等，两直线平行”证得EF∥BD，可对B作出判断；根据等腰三角形性质、平行线性质得∠CBD=∠CDB，∠AOD=∠OGF，从而有CB=CD，证出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得∠AOD=∠OGF=90°，从而有AC垂直平分EF，得AE=AF，进而求出∠EAC=∠FAC，可对C作出判断；
先证四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，当AE=AF，且CE=CF时，有AC垂直平分EF，所以要使EF∥BD，需添加条件”CE=CF“，可对D作出判断.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，∠CFB=∠FBA，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAE=∠EAB，∠CBF=∠FBA，
∴∠DAE=∠DEA，∠CBF=∠CFB，
∴DE=AD，BC=CF，
∴DE=AD=CF=DF+EF=3+2=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△EFG
∴=4，
∴AG=4GE，
∴k=4.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，利用平行线的性质及角平分线的定义可推出∠DAE=∠DEA，∠CBF=∠CFB，可得DE=AD=5，BC=CF=5，从而得出AB=CD=8，由平行线可证△ABG∽△EFG，可得=4，继而得解.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似形的判定定理逐一进行判断即可。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC=∠BAE，
∵BD//AC，
∴∠BDA=∠DAC，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BA=BD，
∵BE⊥AD，
∴AE=ED=，
∵CD⊥AC，
∴∠BED=∠DCA=90°，
∴△BED∽△DCA，
∴，
∴，
解得：BD=，
故答案为：A.
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，先证出△BED∽△DCA，可得，再将数据代入求出BD的长即可.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质证明，，根据相似三角形的性质求解．
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD边长为5，
∴AB=BC=BD=AD=5.∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，AD//BC.
∵G，F分别为CD，CB边中点，
∴，
∴△ADG≌△DCF（SAS）.
∴∠AGD=∠DFC.
∵∠DQA=∠AGD+∠CDF=∠DFC+∠CDF=90°=∠MQP.
同理可证：∠QPN=∠PNM=90°，
∴四边形MNPQ是矩形.
又∵∠DQA=∠QPN=90°，
∴AG//CE.
∴△DQG∽△DPC，
∴.
∴QP=DQ.
∵CD=5，，
∴.
∵∠PDC=∠CDF，∠DPC=∠DCF=90°，
∴△DPC∽△DCF，
∴.
∴.
∴
同理可证：.
所以四边形MNPQ的面积为
∴答案为：C.
.
【分析】通过正方形的性质和中点定义可证得△ADG≌△DCF，于是有∠AGD=∠DFC，再利用直角三角形性质可得∠DQA=90°=∠MQP. 同理可得∠QPN=∠PNM=90°，即可证明四边形MNPQ是矩形. 证明△DQG∽△DPC，可得DQ=PQ；证明△DPC∽△DCF，勾股定理求出DF长，即可求得DP和QP的长；同理可得QM的长，根据矩形的面积公式即可得到四边形 的面积.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，
令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得：EH2+HG2=EG2，
则EH2+x2=(3x)2，
解得EH=x， EH=-x(舍)，
∴AB=x，
∴．
故选：A．
【分析】过点E作EH⊥BC于点H，令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，根据相似三角形的判定得，得出，进而得出y=3x，则AE=4x，AD=8x，在Rt△EGH中，根据勾股定理得EH2+HG2=EG2，求出EH=x，最后求出的值．
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故答案为：A
【分析】先根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质即可判断①；先根据正方形的性质得到，，，进而根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断②；结合题意运用角平分线的性质得到，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）得到，从而即可判断③；根据三角形全等的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意代入化简即可判定④.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，故D错误；
又，，
，，故B 错误；
又，
，故A正确；
，
，故C错误.
故答案为：A.
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形可得，再根据平行易得，，，可得相似三角形的对应边成比例，可知A正确，在根据相似三角形的对应边成比例一一判断即可.
10．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】连接FQ，由矩形的性质可得AB∥CD，∠BAF=90°，BC=AD，由已知条件可设AB=4a，则BC=5a，由轴对称的性质可得BF=BC=5a，CQ=FQ，CE=FE，利用勾股定理可得AF=3a，则DF=AD-AF=2a，易得四边形CQFE为菱形，则AB∥FQ∥CE，由平行线分线段成比例的性质可得，设CQ=2k，则GQ=3k，由等腰三角形的性质可得∠CQE=∠CEQ，由平行线的性质可得∠ABQ=∠CEQ，结合对顶角的性质可推出BG=QG，易证△GBP∽△QFP，根据相似三角形的性质可得GP，据此求解.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵，
，
∴（）2= 19
故答案为：.
【分析】首先根据等高三角形的性质，得出，再根据相似三角形的性质，即可求解.
12．【答案】2或-1
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】1.当a+b+c=0时，k=-1；
2. 当a+b+c≠0时，a+b=ck，a+c=ak，b+c=ak，把这三个式子相加得：2（a+b+c）=（a+b+c）k
∴k=2
综上所述：k=2或-1.
【分析】分两种情况：（1）当a+b+c=0时，k=-1；（2）当a+b+c≠0时，可求出k的值.
13．【答案】或或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴当或或时，．
故答案为：或或
【分析】根据相似三角形的判定结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】△ABC是等边三角形，
∠EDF=60°，
BD=2， BC=6，
CD=6-2=4，
故答案为：.
【分析】利用等边三角形的性质先证明再利用相似三角形的性质得到代入数据计算即可求解.
15．【答案】（3，1）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且，
∴位似比为3：1.
∵A（9，3），
∴A1（9÷3，3÷3），即为（3，1）.
故答案为：（3，1）.
【分析】由题意可得：位似比为3：1，给点A的横纵坐标分别除以3就可得到点A1的坐标.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，设AD=a，AB=b.
∴∠DAE=∠EBF=90°，AD=BC=a，AB=DC=b，AB//CD，.
∵E是AB的中点，
∴.
∴.
∵AE//CD，
∴△AEG∽△CDG.
∴.
∴.
∵∠ADC=∠DCF=90°，DH⊥AC
∴∠ADF+∠FDC=∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠FDC=∠DAC，
∴△FDC∽△CAD.
∴.
∴
∵∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°=∠AED+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF.
∴.
∴.
∴.
∴.
解得：.
∴，，
∵ ，DH⊥AC ，
∴∠DHG=∠DEF=90°，
∵∠HDG=∠EDF，
∴△HDG∽△EDF.
∴.
【分析】利用矩形性质得∠ABC=∠DBC=∠ADC=∠DAB=90°，AB//CD.根据E是AB的中点得AE=BE.设AD=a，AB=b，表示出ED的长，证明△AEG∽△CDG.得，可表示出DG；证明△FDC∽△CAD，得，可表示出FC，证明△ADE∽△BEF，得，可表示出BF，从而得CF，联立，得到a与b的数量关系，从而可表示用b表示出DG，FC，DF，最后证明△HDG∽△EDF，得，代入DG和DF即可得到结果.
17．【答案】（1）证明：，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，进而等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据题意得到，进而根据相似三角形的性质得到，再结合题意等量代换即可求解。
18．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：，
∽，
，
，，，
，
，
，
≌，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出，由全等三角形全等的判定定理即可得解；
（2）证明∽，根据相似三角形的性质可得，求出，由（1） △ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质得，由，即可求解.
19．【答案】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°＝∠A，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠ABC＝90°，
∵∠1＝∠ABC，
∴∠2＝∠3；
（2）解：①BC＝BD，理由如下：设∠2＝∠3＝x，
∴∠BFE＝90°﹣x＝∠DFC，
∵∠4＝45°，
∴∠CDB＝180°﹣45°﹣（90°﹣x）＝45°+x，
∵∠BCD＝∠4+∠2＝45°+x，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BC＝BD；
②∵BC＝BD＝13，AD＝5，
∴AB12，
∵BC＝BD，∠A＝∠CEB，∠2＝∠3，
∴△ADB≌△EBC（AAS），
∴BE＝AD＝5，
∵∠A＝∠CEB，∠3＝∠3，
∴△EFB∽△ADB，
∴，
∴，
∴EF．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠CEB＝90°＝∠A，进而等量代换即可求解；
（2）①设∠2＝∠3＝x，则∠BFE＝90°﹣x＝∠DFC，进而进行角的运算即可得到∠BCD＝∠BDC，从而根据等腰三角形的性质即可求解；
②根据勾股定理求出AB，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ADB≌△EBC（AAS）得到BE＝AD＝5，再根据相似三角形的判定与性质证明△EFB∽△ADB得到，代入数值即可求解.
20．【答案】（1）解：由题意得：
∴
∴
即：
解得：
（2）解：∵，
∴
∴
由（1）可得：
∴
∴
∵，
∴
解得：
（3）解：由（1）得：
即：
解得：
∵，
∴
∴
即：
∴
整理得：
∵
∴，
又
∴
故：
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意证明，可得，根据勾股定理求出AC的长，即可求出CF的值；
（2）根据，可得，进一步根据同高三角形的面积之比等于底之比得到，进而得到答案；
（3）由（1）得：，即可得到，根据条件证明，得到，即可得到y与x的函数关系 .
21．【答案】（1）；
（2）解：， 理由如下：
设
（3）解：①如图所示
②或.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)∵平行四边形ABCD，
∴AB//BC，
∴AF||BC
∴△AEF∽△CEB，
∴AE：CE=AF：BC=EF：BE=1：2，
∵，
得AE=1，BC=2，
由勾股定理得BE=，
同理AB=
故答案为：1；.
(3)或
如下图所示，再作 ，
∵B、B'关于AC对称
∴BE=B'E
∴
∵PM||BC
∴
又∵PH||B'E
∴
而B'E=5，故PH=，EH=3，故PE=
若按照图 下作图， 则；
∵AB||CM
∴
∵PM||BC
∴
∴P为MN的中点
连接PA，则PA为△NBM的中位线
∴AP||BM，PA=
∴PA⊥AC
AE=6，故PE=
若按照图 3 作图， 则： 没有交点， 不存在 （不符合慜意， 不建议）
综上所述，PE的长为或
【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BC=2，AE=1，由勾股定理可得BE=4，AB=；
(2)根据比例设线段长，用勾股定理可得其它线段长，即可求出AF与CD的数量关系；
(3)①由垂中平行四边形的定义画出图像即可，如图1，BE延长线恰好经过BC所对另一条边中点；如图2，点A恰好为一边的中点，过点C作另一条边出来；如图3，点A为BC所对边的中点，过点A作BC的平行线；(作法不唯一)；
②结合①中的作图，进行分类讨论，讨论过程中，要注意平行线分线段成比例，利用比例求出线段长即可求出PE的长.
22．【答案】（1）11.3
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）依题意，DE=EF，即△DEF是等腰直角三角形，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE=45°，
∴△ABC也是等腰直角三角形，
∴AB=BC=11.3
【分析】（1）根据已知条件信息结合光照射角度平行推出特殊直角三角形，即求得旗杆高度；
（2）根据题意，由镜面反射原理推出两直角三角形相似，进而利用相似性质求边，即旗杆高度；
（3）同相似原理，利用两组已知信息的小三角形与目标AB边构成相似三角形建立等量关系，为便于表达关系可以设BG，并以公共边AB建立等量关系求出边长即可求得AB高.
23．【答案】（1）90
（2）证明：如图，过作于点．
点在的平分线上，，，
，
矩形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
，
．
（3）解：①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G．
由（2）知，
设，则，．
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G．
由（2）知，四边形是正方形，
，，，
，
，
又，，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的值为或．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）如图，
∵AP⊥OA，PC⊥OB，
∴∠A=∠PCO=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴四边形OACP是矩形，
∴∠APC=90°.
故答案为：90°；
【分析】（1）由垂直的定义得∠A=∠PCO=90°，结合∠AOB=90°，根据有三个角是直角的 四边形是矩形得出四边形OACP是矩形，进而根据矩形的四个角都是直角可得∠APC的度数；
（2）过点P作PC⊥OB于点C，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PA=PC，由有一组邻边相等得矩形是正方形得四边形OAPC是正方形，由正方形四边相等得OA=AP=PC=OC，由同角的余角相等推出∠APM=∠CPN，由ASA判断出△APM≌△CPN，得AM=CN，最后根据线段的和差及等量代换可得结论；
（3）分类讨论：①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G，设OM=x，则ON=3x，OA=AP=2x，结合（2）得结论可推出AM=OM=x，从而用ASA证△MON≌△MAG，由全等三角形的性质得AG=ON=3x；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△ONF∽△PGF，由相似三角形对应边成比例可求出答案；②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G，由正方形四边相等得OA=AP=PC=OC，由同角的余角相等推出∠APM=∠CPN，由ASA判断出△APM≌△CPN，得AM=CN，由线段和差推出ON-OM=2OA，由ON=3OM推出AO=x，CN=AM=x；由平行于三角形一边的直线截其它两边所截三角形与原三角形相似得△CGN∽△OMN，由相似三角形对应边成比例可求出；由平行于三角形一边的直线截其它两边所截三角形与原三角形相似得△OMF∽△PGF，由相似三角形对应边成比例可求出，从而得出，综上即可得出答案.
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，可得，再结合，可得；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质可得；
（3）延长交于点M，连接，作，垂足为N，先求出，再利用解直角三角形的方法求出，最后利用线段的和差求出即可。
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