浙教版数学九年级上册《第4章 相似三角形》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020九上·鄞州期末）已知2x=5y(y≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°
C．AM＝CM D．OMAB
3．（2023·嘉定模拟） 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·埇桥期中）如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
6．下列各组三角形中，根据所给条件不能判断与相似的是（ ）.
A． B．
C． D．
7．（2024·南充模拟）中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有笔不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问华长几何 ”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺=10寸），问竹竿长多少 若设竹竿长尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·贺州）如图，在 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·大名月考）如图，在中，，，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·寿阳月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（-4，-4）
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023九上·禅城月考）如图，，请你添加一个条件： ，使，（只需写出一个满足题目要求的条件即可）.
12．（2020九上·北部湾月考）如图， ， ，则图中相似三角形有 对.
13．（2023九上·海曙期中）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连结、交于点.若，则 .
14．如图所示，已知在中，是边AB上的一点，的平分线AQ分别与CD，BC交于点P，Q，那么的值为 .
15．（2023九上·来宾期中）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B=60°，∠C=80°，∠A'=100°，则∠D= ．
16．（2023九上·期末）如图所示，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为 .
三、解答题（共9题，共72分）
17．已知，求值：
（1）
（2）
18．（2023九上·兰溪月考）如图，正方形ABCD中，AB=9，E是BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF.
（1）证明：ΔABE∽ΔECF.
（2）当BE=3时，求CF的长.
19．（2021·南县模拟）如图，在 中， 为 上一点， .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的长.
20．（2020九上·亳州期中）如图，在 中， ， ， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求证： ．
21．（2019·顺德模拟）如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
22．（2018·泸县模拟）如图，AE为△ABC外接圆⊙O的直径，AD为△ABC的高．
求证：
（1）∠BAD=∠EAC；
（2）AB AC=AD AE
23．（2017九上·台州月考）矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，AE=10，求DF的长．
24．（2017·西湖模拟）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ADF∽△CEF；
（2）若AD=4，AB=6，求 的值．
25．（2016·抚顺模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得△A1B1C1，画出△A1B1C1并直接写出点C1的坐标为 ；
（2）以原点O为位似中心，在第四象限画一个△A2B2C2，使它与△ABC位似，并且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由比例式得5x=2y，故A不符合题意；
B、由比例式得5x=2y，故B不符合题意；
C、由比例式得5y=2x，故C符合题意；
D、由比例式得xy=10，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：A．根据作图可得：，故选项A一定成立，不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，故选项B一定成立，不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
即：，故选项C一定成立，不符合题意；
D．不一定成立，故选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】先根据作图可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵：：， EF=DF-DE，
∴：：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出：：，再根据平行线分线段成比例可得，最后计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵对于A选项：，则，故A选项不符合题意；对于B选项：∵，则，故B选项不符合题意；对于C选项：根据不能判定，则C选项符合题意；对于D选项：∵，∴，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据已知条件再根据选项条件进行逐项判定即可.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①，且，∴，①符合题意．
②且，∴，②符合题意．
③，但比一定与相等，故与不一定相似，③不符合题意．
④且，∴，④符合题意．
⑤由，得无法确定出，故不能证明与相似，⑤不符合题意．
符合题意的有： ①②④ 。
故答案为：A.
【分析】相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=70°，在△ABC与△DEF中，∵∠E=∠B，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF，故此选项不符合题意；
B、△ABC与△DEF中，虽然∠A=∠D=25°，但判断不出夹∠A与∠D的两边对应成比例，∴不能判断出△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
C、△ABC与△DEF中，∵，∴△ABC∽△DEF，故此选项不符合题意；
D、△ABC与△DEF中，∵，∠B=∠E=65°，∴△ABC∽△DEF，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断A选项；由三边对应成比例的两个三角形相似可判断C选项；由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断B、D选项.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意，得：.
故答案为：B．
【分析】根据同一时刻物高与影长成比例，列出方程即可．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
9．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ EG∥BD
∴，
∴，即，选项A错误；
∵ FG∥AC
∴，，选项B错误；
∴则，选项C错误；
∴.选项D正确；
故答案为：D.
【分析】本题考查平行线分线段成比例和三角形相似的判定与性质。根据平i行线，可得线段成比，三角形相似，得到对应线段成比。熟悉三角形相似的性质和判定是解题关键。
10．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】
解：如图所示
∵ 点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大
∴ OA'：OA=2：1
∴ A'（4，4）或（-4，-4）
故答案为B
【分析】本题考查位似变换的性质，根据各点到位似中心的距离之比等于相似比是解题的关键。
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件为，证明如下：
∵，
∴，
即，
又∵，
∴
故答案为： .
【分析】先根据等量代换得出，再由即可证明.
12．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵ ， ，
∴可直接得出 ， ，
由 ， ，可得： ， ，
∴ ，共有3对相似三角形，
故答案为：3.
【分析】根据相似三角形的判定定理分析即可.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，AB=CD
∵
设AE=2x，BE=3x
则AB=CD=5x
∵
∴∠ACD=∠AED
又∵∠AFE=∠CFD
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题只需证明进一步得出便可求出的值.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AQ平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAQ，
又∵∠ACD=∠B，
∴△ACP∽△ABQ，
∴.
故答案为：.
【分析】由角平分线的定义得∠CAP=∠BAQ，结合已知，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACP∽△ABQ，由相似三角形对应边成比例即可得出答案.
15．【答案】120°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
∴∠B=∠ B' ，∠C=∠ C' ，∠A= ∠A'，∠D=∠D' ；
∴∠D=∠D'=360°-60°-80°-100°=120°
故答案为：120°.
【分析】根据多边形相似，对应的角相等，可得∠B=∠ B' ，∠C=∠ C' ，∠A= ∠A'，∠D=∠D'；根据四边形的内角和是360°，即可求出∠D的度数.
16．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接DB，OA并延长交于点E
∴点M是位似中心，
∴点M（4，2）.
故答案为：（4，2）.
【分析】利用位似图形的性质可知。对应点的连线或延长线相交于一点（位似中心），因此连接DB，OA并延长交于点E，可得到位似中心点E的坐标.
17．【答案】（1）解：∵，
原式=；
（2）解：∵
∴
∴原式= .
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】等比的性质：如果， 那么(b+d+f≠0），
（1）根据等比性质直接求解；
（2）利用分式的基本性质可得，再利用等比性质求解即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
（1）先根据是正方形，得出，再根据和可得出：，根据相似三角形的判定方法即可求证；
（2）由（1）可知，列出，代入数据可求出的长．
19．【答案】（1）证明：如图所示：
，
∴
（2）解： ，
，即 ，
解得： ，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
(2)由相似三角形对应边成比例列出方程可求出BC，从而可得到CD的值.
20．【答案】（1）解：设 ，则
∵ ，
∴
解得
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴
即 ．
∴ ．
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例进行解答即可。
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由于 ∠EBC＝∠ECB ，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根据“两个角对应相等且一角所对的边对应相等的两个三角形全等”这一定理可推出△ABE≌△DCE，则AE=DE；
（2）由于AD//BC，BD与CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。
22．【答案】（1）证明：如图，连接CE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠E=90°，
又∵∠B=∠E，
∴∠BAD=∠EAC
（2）在△ABD与△AEC中，
，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴AB AC=AD AE
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连结CE，由AD为△ABC的高可知∠ADB=90°，所以∠BAD+∠B=90°，再由AE是⊙O的直径可知∠ACE=90°，所以∠EAC+∠E=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠E，根据等角的余角相等得出∠BAD=∠EAC；
（2）根据两角对应相等的两三角形相似得出△ABD∽△AEC，再根据相似三角形对应边成比例即可证明AB AC=AD AE.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：由（1）可知△ABE∽△DFA，
∴AB：DF=AE：AD，
∵AB=6，AD=12，AE=10，
解得DF=7.2.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行内错角相等得出∠AEB=∠DAF，根据垂直的定义及矩形的四个角都是直角得出∠B=∠AFD=90°，根据有两组角对应相等的三角形相似得出△ABE∽△DFA；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出AB：DF=AE：AD，根据比例式建立方程，求解即可。
24．【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）解：∵E为AB的中点，∴CE= AB=AE，∴∠EAC=∠ECA；∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF；
∵CE= AB=3，AD=4，∴ = = ，∴ =
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义证明∠DAC=∠CAB，从而得出△ADC∽△ACB；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等量代换证明∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；进而得到△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质得出AD：CE=AF：CF；进而得出答案。
25．【答案】（1）（2，3）
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；（2）利用关于原点中心对称的点的特征特征，把A、B、C点的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2．
1 / 1浙教版数学九年级上册《第4章 相似三角形》单元同步测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2020九上·鄞州期末）已知2x=5y(y≠0)，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由比例式得5x=2y，故A不符合题意；
B、由比例式得5x=2y，故B不符合题意；
C、由比例式得5y=2x，故C符合题意；
D、由比例式得xy=10，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积，即可得出答案。
2．（2024·长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°
C．AM＝CM D．OMAB
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：A．根据作图可得：，故选项A一定成立，不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，故选项B一定成立，不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
即：，故选项C一定成立，不符合题意；
D．不一定成立，故选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】先根据作图可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
3．（2023·嘉定模拟） 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵：：， EF=DF-DE，
∴：：，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出：：，再根据平行线分线段成比例可得，最后计算求解即可。
4．（2023九上·郑州经济技术开发月考）如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵对于A选项：，则，故A选项不符合题意；对于B选项：∵，则，故B选项不符合题意；对于C选项：根据不能判定，则C选项符合题意；对于D选项：∵，∴，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据已知条件再根据选项条件进行逐项判定即可.
5．（2023九上·埇桥期中）如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（ ）
A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①，且，∴，①符合题意．
②且，∴，②符合题意．
③，但比一定与相等，故与不一定相似，③不符合题意．
④且，∴，④符合题意．
⑤由，得无法确定出，故不能证明与相似，⑤不符合题意．
符合题意的有： ①②④ 。
故答案为：A.
【分析】相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似；(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
6．下列各组三角形中，根据所给条件不能判断与相似的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=70°，在△ABC与△DEF中，∵∠E=∠B，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF，故此选项不符合题意；
B、△ABC与△DEF中，虽然∠A=∠D=25°，但判断不出夹∠A与∠D的两边对应成比例，∴不能判断出△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
C、△ABC与△DEF中，∵，∴△ABC∽△DEF，故此选项不符合题意；
D、△ABC与△DEF中，∵，∠B=∠E=65°，∴△ABC∽△DEF，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断A选项；由三边对应成比例的两个三角形相似可判断C选项；由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断B、D选项.
7．（2024·南充模拟）中国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有笔不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸、问华长几何 ”其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺=10寸），问竹竿长多少 若设竹竿长尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意，得：.
故答案为：B．
【分析】根据同一时刻物高与影长成比例，列出方程即可．
8．（2022·贺州）如图，在 中， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
9．（2023九上·大名月考）如图，在中，，，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ EG∥BD
∴，
∴，即，选项A错误；
∵ FG∥AC
∴，，选项B错误；
∴则，选项C错误；
∴.选项D正确；
故答案为：D.
【分析】本题考查平行线分线段成比例和三角形相似的判定与性质。根据平i行线，可得线段成比，三角形相似，得到对应线段成比。熟悉三角形相似的性质和判定是解题关键。
10．（2023九上·寿阳月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（-4，-4）
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】
解：如图所示
∵ 点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大
∴ OA'：OA=2：1
∴ A'（4，4）或（-4，-4）
故答案为B
【分析】本题考查位似变换的性质，根据各点到位似中心的距离之比等于相似比是解题的关键。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023九上·禅城月考）如图，，请你添加一个条件： ，使，（只需写出一个满足题目要求的条件即可）.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件为，证明如下：
∵，
∴，
即，
又∵，
∴
故答案为： .
【分析】先根据等量代换得出，再由即可证明.
12．（2020九上·北部湾月考）如图， ， ，则图中相似三角形有 对.
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵ ， ，
∴可直接得出 ， ，
由 ， ，可得： ， ，
∴ ，共有3对相似三角形，
故答案为：3.
【分析】根据相似三角形的判定定理分析即可.
13．（2023九上·海曙期中）如图，在平行四边形中，是线段上一点，连结、交于点.若，则 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，AB=CD
∵
设AE=2x，BE=3x
则AB=CD=5x
∵
∴∠ACD=∠AED
又∵∠AFE=∠CFD
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】本题只需证明进一步得出便可求出的值.
14．如图所示，已知在中，是边AB上的一点，的平分线AQ分别与CD，BC交于点P，Q，那么的值为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AQ平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAQ，
又∵∠ACD=∠B，
∴△ACP∽△ABQ，
∴.
故答案为：.
【分析】由角平分线的定义得∠CAP=∠BAQ，结合已知，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACP∽△ABQ，由相似三角形对应边成比例即可得出答案.
15．（2023九上·来宾期中）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B=60°，∠C=80°，∠A'=100°，则∠D= ．
【答案】120°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
∴∠B=∠ B' ，∠C=∠ C' ，∠A= ∠A'，∠D=∠D' ；
∴∠D=∠D'=360°-60°-80°-100°=120°
故答案为：120°.
【分析】根据多边形相似，对应的角相等，可得∠B=∠ B' ，∠C=∠ C' ，∠A= ∠A'，∠D=∠D'；根据四边形的内角和是360°，即可求出∠D的度数.
16．（2023九上·期末）如图所示，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为 .
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：连接DB，OA并延长交于点E
∴点M是位似中心，
∴点M（4，2）.
故答案为：（4，2）.
【分析】利用位似图形的性质可知。对应点的连线或延长线相交于一点（位似中心），因此连接DB，OA并延长交于点E，可得到位似中心点E的坐标.
三、解答题（共9题，共72分）
17．已知，求值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，
原式=；
（2）解：∵
∴
∴原式= .
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】等比的性质：如果， 那么(b+d+f≠0），
（1）根据等比性质直接求解；
（2）利用分式的基本性质可得，再利用等比性质求解即可.
18．（2023九上·兰溪月考）如图，正方形ABCD中，AB=9，E是BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF.
（1）证明：ΔABE∽ΔECF.
（2）当BE=3时，求CF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
（1）先根据是正方形，得出，再根据和可得出：，根据相似三角形的判定方法即可求证；
（2）由（1）可知，列出，代入数据可求出的长．
19．（2021·南县模拟）如图，在 中， 为 上一点， .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：如图所示：
，
∴
（2）解： ，
，即 ，
解得： ，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明；
(2)由相似三角形对应边成比例列出方程可求出BC，从而可得到CD的值.
20．（2020九上·亳州期中）如图，在 中， ， ， ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：设 ，则
∵ ，
∴
解得
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴
即 ．
∴ ．
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例进行解答即可。
21．（2019·顺德模拟）如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC＝∠ECB．
（1）求证：AE＝ED；
（2）连接BD交CB于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝ED
（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由于 ∠EBC＝∠ECB ，ABCD是矩形，故∠DEC=∠AEB，根据“两个角对应相等且一角所对的边对应相等的两个三角形全等”这一定理可推出△ABE≌△DCE，则AE=DE；
（2）由于AD//BC，BD与CE相交于F，可推出△DEF∽△BCF，那么根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质可得S△BCF：S△DEF=（DE：CB）2。
22．（2018·泸县模拟）如图，AE为△ABC外接圆⊙O的直径，AD为△ABC的高．
求证：
（1）∠BAD=∠EAC；
（2）AB AC=AD AE
【答案】（1）证明：如图，连接CE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠E=90°，
又∵∠B=∠E，
∴∠BAD=∠EAC
（2）在△ABD与△AEC中，
，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴AB AC=AD AE
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连结CE，由AD为△ABC的高可知∠ADB=90°，所以∠BAD+∠B=90°，再由AE是⊙O的直径可知∠ACE=90°，所以∠EAC+∠E=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠B=∠E，根据等角的余角相等得出∠BAD=∠EAC；
（2）根据两角对应相等的两三角形相似得出△ABD∽△AEC，再根据相似三角形对应边成比例即可证明AB AC=AD AE.
23．（2017九上·台州月考）矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，AE=10，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：由（1）可知△ABE∽△DFA，
∴AB：DF=AE：AD，
∵AB=6，AD=12，AE=10，
解得DF=7.2.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行内错角相等得出∠AEB=∠DAF，根据垂直的定义及矩形的四个角都是直角得出∠B=∠AFD=90°，根据有两组角对应相等的三角形相似得出△ABE∽△DFA；
（2）根据相似三角形对应边成比例得出AB：DF=AE：AD，根据比例式建立方程，求解即可。
24．（2017·西湖模拟）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，DE．AC与DE相交于点F．
（1）求证：△ADF∽△CEF；
（2）若AD=4，AB=6，求 的值．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）解：∵E为AB的中点，∴CE= AB=AE，∴∠EAC=∠ECA；∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF；
∵CE= AB=3，AD=4，∴ = = ，∴ =
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义证明∠DAC=∠CAB，从而得出△ADC∽△ACB；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等量代换证明∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；进而得到△AFD∽△CFE，根据相似三角形的性质得出AD：CE=AF：CF；进而得出答案。
25．（2016·抚顺模拟）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°后得△A1B1C1，画出△A1B1C1并直接写出点C1的坐标为 ；
（2）以原点O为位似中心，在第四象限画一个△A2B2C2，使它与△ABC位似，并且△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1．
【答案】（1）（2，3）
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；（2）利用关于原点中心对称的点的特征特征，把A、B、C点的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2．
1 / 1
